13_14_AjusteDeCurvas

Prévia do material em texto

Ajuste de curvas 
Método dos mínimos quadrados 
Jorge Díaz Calle 
Noção 
• Dados os valores experimentais de grandezas 
(considerando que contêm erros) pretende-se 
encontrar uma curva que “represente” os 
dados fornecidos e outros relacionados, de tal 
forma que seja minimizado o erro total 
cometido no sentido da média quadrática. 
Tabela com valores experimentais 
0.11
2.9
8.7
0.7
5.6
8.4
5.3
0.3
2.2
0.1
Tensão
0.2
8.1
6.1
4.1
2.1
0.1
8.0
6.0
4.0
2.0
eIntensidad
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
ItemApós realizar 10 medições 
com um tensiômetro para 
diferentes intensidades de 
corrente, obtemos a 
Tabela de dados: 
Se geramos um gráfico dos dados, observa-se: 
Aparenta ser um comportamento 
linear com algumas oscilações. 
 
Tentando desenhar uma reta que 
unindo os dados: 
O conjunto de segmentos 
de reta, podem ser ajusta- 
dos com uma reta, pois 
os “picos” podem ser me- 
dições com erro. 
Ajustando os dados com uma reta 
• Observamos os dados. Então, a tensão será 
ajustada com uma reta cuja equação é: 
 
• Então os dados satisfazem o sistema: 
bxay
y
x






Tensão
eIntensidad













ba
ba
ba
ba
bxay ii
)0.2(0.11
)6.0(0.3
)4.0(2.2
)2.0(0.1

O sistema matricial é 
110210
0.11
2.9
8.7
0.7
5.6
8.4
5.3
0.3
2.2
0.1
10.2
18.1
16.1
14.1
12.1
10.1
18.0
16.0
14.0
12.0
)0.2(0.11
)8.1(2.9
)6.1(8.7
)4.1(0.7
)2.1(5.6
)0.1(8.4
)8.0(5.3
)6.0(0.3
)4.0(2.2
)2.0(0.1
xx
ii
B
b
a
A
b
a
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
bxay








































































































O produto com a transposta 
• Lembrar que o produto com a transposta 
pode projetar em uma menor ou maior 
dimensão do sistema: 
 
 ou 
 
• O primeiro caso permite reduzir a um sistema 
de duas equações com duas incógnitas, assim: 
22210102 xx
t
x PAA 
1010102210 x
t
xx PAA 
Sistema projetado a dimensão 2 


















































































0.11
2.9
8.7
0.7
5.6
8.4
5.3
0.3
2.2
0.1
1111
28.14.02.0
10.2
18.1
16.1
14.1
12.1
10.1
18.0
16.0
14.0
12.0
1111
28.14.02.0




b
a
210102210102 x
t
xx
t
x BAXAA 
Tabela melhorada 
.......56.11
0.22
88.0
2.0
00.4
24.3
56.2
96.1
44.1
00.1
64.0
36.0
16.0
04.0
0.11
2.9
8.7
0.7
5.6
8.4
5.3
0.3
2.2
0.1
0.2
8.1
6.1
4.1
2.1
0.1
8.0
6.0
4.0
2.0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
10
1
2

i
iiiii
yxxyxi



















0.56
12.79
100.11
0.114.15
b
a
Resolvemos o sistema por Gauss 
Jordan 












6.511.1
52.1703.3
6.511.1
12.790.114.15





















25
6
10
55
292
01
6.511.1
55
292
01
25
6
55
292
 xy






0.561011
12.790.114.15
 :é estendidamatrix A 
Podemos projetar outros valores 
Sistema geral projetado a dimensão 2 






















































































n
n
nn
n
n
nn
y
y
y
y
y
y
y
xxxx
b
a
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
1
5
4
3
2
1
121
1
5
4
3
2
1
121
1111
1
1
1
1
1
1
1
1111






210102210102 x
t
xx
t
x BAXAA 
O sistema em dimensão 2 
• Observe o sistema obtido 
 
 
 
• Isso significa que podemos resolver se 
completamos a tabela inicial com os produtos 
necessários e seus somatórios. 






































n
i
i
n
i
ii
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
y
yx
b
a
x
xx
1
1
11
11
2
1
Caso um comportamento como: 
• Observar os dados e ao levar a um desenho: 
13/1
7/1
25.0
4.0
0.1
5.2
0.5
0.3
0.2
5.1
0.1
8.0
6
5
4
3
2
1






ii yxitem
Quais curvas posso utilizar? 
• Reta: 
• Parábola: 
• Polinômio: 
 
• Hipérbola: 
 
• Função exponencial: 
bxay  *
cxbxay  ** 2
01
1
1 ... axaxaxay
n
n
n
n 


axbzaxCyeCyCey axax  lnlnlnlnln



bax
y
1
Ajuste de Dados em Hipérbole 
• Uma hipérbole é representada por 
• Criamos uma nova variável 
• Assim, pensamos em um ajuste similar ao de 
uma reta, corrigindo a tabela. 
bax
y


1
.
1
bax
y
z 
0.13
0.7
0.4
5.2
0.1
4.0
13/1
7/1
25.0
4.0
0.1
5.2
0.5
0.3
0.2
5.1
0.1
8.0
6
5
4
3
2
1
item












iii zyx
Calculando a hipérbole 





















9.27
07.99
63.13
3.1389.41
b
a
07.99
0.65
0.21
0.8
75.3
0.1
32.0
89.41
0.25
0.9
0.4
25.2
0.1
64.0
9.27
0.13
0.7
0.4
5.2
0.1
4.0
3.13
0.5
0.3
0.2
5.1
0.1
8.0
6
5
4
3
2
1
item 2















iiiii
zxxzx
 .2.)3( xz .
23
1


x
y
Comparando 
23
1


x
y
53.0
19
1
2)7(3
1
)7( temos0.7 Para 

 yx
Ajuste quadrático 
• Para ajustar com um polinômio quadrático: 
 
• Exemplo: 
cxbxay  2
5.4
0.1
9.0
0.1
6.1
10.4
50.0
60.0
00.1
00.2
472.22
00.16
0625.5
00.1
4096.0
887.12
00.8
375.3
00.1
512.0
89.7
00.4
25.2
00.1
64.0
15.4
25.0
40.0
00.1
50.2
3.5
0.2
5.1
0.1
8.0
4
3
2
1
Item 2432
















iiiiiiiii yxyxxxxyx
Forma geral do sistema matricial 
13
3
2
1
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
2
2
3
2
33
2
2
22
1
2
11
2
1
1
1
1
1
nxnx
n
i
nn
ii
nnn
iii
iii
B
c
b
a
A
y
y
y
y
y
c
b
a
xx
xx
xx
xx
xx
cxbxay
cxbxay
cxbxay
cxbxay
cxbxay
cxbxay
































































































































































n
i
ni
ni
nn
ii
ni
ni
y
y
y
y
y
xxxxx
xxxxx
c
b
a
xx
xx
xx
xx
xx
xxxxx
xxxxx 3
2
1
321
222
3
2
2
2
1
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
321
222
3
2
2
2
1
11111
1
1
1
1
1
11111



























































n
i
i
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
y
yx
yx
c
b
a
nxx
xxx
xxx
1
1
1
2
11
2
11
2
1
3
1
2
1
3
1
4
Para o exemplo 


































15.4
1.4
5.4
43.589.7
3.589.7887.12
89.7887.12472.22
c
b
a
924.7254.9725.2 2  xxy
Para o caso de ajuste exponencial 
• Uma função exponencial pode ser expressada 
 
• Para ajustar os dados a uma curva exponencial 
observamos que podemos criar uma nova 
variável para transformar o ajuste em reta. 
axeCy 
axCeCeCyz axax  lnlnlnlnln
Baxz
axBzCB


 é ajuste o portanto
 , : temos,ln Fazendo
Dados para o ajuste 
• Dados iniciais 

0.20
0.8
0.4
5.2
0.2
0.1
0.5
0.3
0.2
5.1
0.1
0.0
6
5
4
3
2
1
item ii yx
916.05.2ln
693.02ln
995.2
079.2
386.1
916.0
693.0
0.0
0.20
0.8
0.4
5.2
0.2
0.1
0.5
0.3
0.2
5.1
0.1
0.0
6
5
4
3
2
1
item



iii zyx
Ajuste em reta 
916.05.2ln
693.02ln
051.2625.41069.85.12
995.2
079.2
386.1
916.0
693.0
000.0
 
000.5
000.3
000.2
500.1
000.1000.0
 
995.2
079.2
386.1
916.0
693.0
000.0
 
000.5
000.3
000.2
500.1
000.1
000.0
 
6
5
4
3
2
1
item 2



iiiii
zxxzx






































n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
z
zx
B
a
nx
xx
1
1
1
11
2


















069.8
051.26
65.12
5.1225.41
:resolvemos Logo,
B
a
Ajuste exponencial 
• Resolvendo: 
 
• Substituindo: 
079.0ln079.0e6076.0 eCCBa 
x
x
xax
ey
ey
eeeCy
6076.0
6076.0079.0
6076.0079.0
0822.1
ou




Aplicação 
• Uma pesquisadora em química, após um processo térmico 
sobre um alimento, tabelou a presença de uma componente 
em quatro tempos diferentes. Após uma análise dos dados 
conjetura que uma curva quadrática ajusta bem os mesmos. 
Determine a curva quadrática que melhor ajusta os dados: 
23.3
08.0
25.0
40.0
50.2
3.9
0.5
0.2
5.1
8.0
4
3
2
1
Item
ii yt

Aplicação 
• Utilizando o ajuste realizado, a pesquisadora informa a 
presença da componente na terceira e quarta hora do 
processo térmico em uma tabela modificada. Quais os valores 
informados? É um bom ajuste? Existe outro ajuste melhor? 
50.5
00.2
00.1
90.0
60.1
50.3
40.0
50.0
60.0
00.2
4721.646
000.625
000.16
0625.5
4096.0
887.136
000.125
000.8
375.3
512.0
89.31
00.25
00.4
25.2
64.0
23.3
08.0
25.0
4.0
5.2
3.9
0.5
0.2
5.1
8.0
4
3
2
1
Item 2432
iiiiiiiii ytyttttyt

Ajuste quadrático 
• Ajustando com a curva: 
• Resolvemos 


























































































23.3
5.3
5.5
43.989.31
3.989.31887.136
89.31887.1364721.646
1
1
1
2
11
2
11
2
1
3
1
2
1
3
1
4
c
b
a
y
yt
yt
c
b
a
ntt
ttt
ttt
n
i
i
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
cxbxay  2
Ajuste quadrático 
• A curva quadrática é 
 
 
 
 
 
• Logo os valores informados 
(Não físico – Errado) 
7211.4336.3482.0 2  xxy
9109.0)0.4(
9489.0)0.3(


y
y
Melhor ajuste seria hipérbole 
• Sugere-se uma hipérbole 
 
 
• Completando a tabela 
89.31
00.25
00.4
25.2
64.0
57.74
50.62
00.8
75.3
32.0
4.19
5.12
00.4
50.2
40.0
08.0
25.0
40.0
50.2
3.9
0.5
0.2
5.1
8.0
4
3
2
1
Item 2
iiiiii tztzyt

nmt
y


1
.
1
nmt
y
z 
Hipérbole de ajuste 
• Resolvendo temos 
82.187.2
1


t
y
10352.0)0.4(
14728.0)0.3(


y
y