LINHAS DE INFLUÊNCIA

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PONTES E GRANDES ESTRUTURAS 
 Aula EAD 01 
Professor Helvio Pantoja 2020-1 
 
LINHAS DE INFLUÊNCIA EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS. 
1. CONCEITO. 
Linhas de influência NÃO são diagramas de esforços, esse é o primeiro conceito que o aluno 
deve ter. 
As linhas de influencia são utilizadas para definir o valor do máximo esforço em UMA ÚNICA 
SEÇÃO de uma estrutura, quando a carga é móvel (é possível saber onde o veículo estará para 
produzir esse esforços máximo). 
 
 
 
 
 
As linhas de influência permitem ao engenheiro determinar com precisão e rapidez o ponto 
onde a carga estará e que produzirão o máximo esforço em um ponto escolhido de uma 
estrutura. Obviamente não determinamos todos os pontos (que seriam infinitos), mas 
normalmente adotamos um número mínimo de dez seções ao longo da viga, para 
determinarmos os esforços. 
Observe que a carga é móvel e o ponto analisado (seção) é um ponto fixo. 
Assim se representam a linhas de influencia para cada seção separadamente. 
Para as vigas, temos as linhas de influência das Reações de Apoio, dos Momentos Fletores e 
dos Esforços Cortantes. 
2. Linha de Influência das Reações de Apoio de vigas isostáticas biapoiadas sem 
balanço. 
 
 
 
 
 
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Figura 1: Ilustra esquematicamente um automóvel sobre uma ponte 
 
s 
P 
VA 
L 
Figura 2 
 
2 
 
 
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 Considerando a figura 2, P é uma carga móvel que inicialmente terá valor unitário (P =1), L é o 
vão total da viga e S é uma distância variável, ou seja, s pode admitir qualquer valor entre 0 
(zero) e L (comprimento total da viga) (0 ≤ S ≤ L). 
Cálculo das reações de apoio. 
ΣFv = 0 , temo VA + VB = P, que pode ser escrito como VB = P - VA 
ΣMB = 0 , teremos VA . L – P . (L – S) = 0 
 VA = P . (L – S)/L, que pode ser escrito, a partir da divisão 
 VA = P . (1 – S/L) que para o valor de P = 1, resta 
 VA(s) = 1 – S/L, e VB(s) = S/L 
Considerando a equação de VA, escrita em função da variável S, tem a variável em primeiro 
grau (expoente 1), representando assim a equação de uma reta. 
Para traçarmos uma linha reta precisamos somente de dois pontos. 
O primeiro ponto da reta a ser traçada é determinado admitindo S = 0 (nesse caso a carga P 
está sobre o apoio A), o que resulta: 
 S = 0 ➔ VA (0) = 1 - 0 / L = 1, 
O segundo ponto se dá na outra extremidade, ou seja, S = L, quando a carga P=1 estará sobre o 
apoio, B. 
 S = L ➔ VA (L) = 1 - L/L = 0, o que gera o gráfico abaixo, representando a linha 
de influencia de uma viga biapoiada, sem balanços. 
 
 
 
Exemplos de uso da linha de influencia. 
a) Calcular a máxima reação de apoio (VA) em uma ponte rolante, em que as cargas se 
apóiam em um veículo (trem tipo), abaixo mostrado e a extensão de 12 m. 
 
 
 
 
1 
1,0 m 
40 kN 40 kN 
12, 0 m 
A 
B 
Veículo que percorre a 
ponte de A para B 
Ponte 
 
3 
 
 
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Passo 1: desenha a linha de influência. Observe que essa linha de influencia será sempre a 
mesma, não varia. 
 
 
 
Passo 2: posicionar a carga móvel no local, de modo que se tenha o maior valor do esforço 
procurado. 
Esse local, como será observado a seguir, corresponde a posicionar uma das cargas do eixo da 
carga móvel sobre o maior valor da linha de influência. Isso significa que um das cargas estará 
diretamente sobre o apoio A. 
 
 
 
 
 
Lembrando que a linha de influencia foi deduzida para uma carga unitária, assim, para 
qualquer que seja a carga, basta multiplicar o valor da carga pela a altura do triângulo abaixo 
dela. 
Logo, VA = Σ (P. h) (usamos o somatório porque normalmente temos mais de uma carga 
concentrada). 
 
Figura 3. Ilustra uma ponte rolante. A ponte se desloca para frente e para o fundo do 
galpão, enquanto o guindaste(veículo) se desloca transversalmente (para esquerda e 
direita) com a carga 
A 
B 
1 
A 
B 
1 
2 x 40 kN 
h1 
11,0 m 
 
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VA = 40 x 1 + 40 x h1 
O valor de h1 e encontrado por relação de triângulos. 
 h1 = 11 assim h1 = 0,9167 
 1 12 
 
VA = 40x(1 + 0,9167) 
VA = 76,67 kN. Como dito, com as linhas de influencia podemos determinar com precisão a 
posição da carga que gera o máximo esforço na estrutura e o valor desse esforço. 
 
3. Linha de Influência do Momento Fletor de vigas isostáticas biapoiadas sem balanço. 
O princípio será o mesmo. Carga unitária, posicionada em uma distância variável S. O ponto C 
é o ponto onde queremos encontrar o máximo Momento Fletor, e está distante “a” do apoio 
esquerdo e “b” do apoio direito. 
 
 
 
 
 
 
A carga P pode ocupar duas posições relativas ao ponto C: pode estar antes de C ou 
após o ponto C. Matematicamente, podemos escrever essas duas hipóteses 
a) Carga P antes do ponto C: 0 ≤ s ≤ a 
b) Carga P após o ponto C: a ≤ s ≤ L (que está ilustrado na figura 4 acima) 
Análise do caso a) Carga antes do ponto C. (0 ≤ s ≤ a) 
 
 
 
a 
L 
VA = 1 – s/L 
s P 
b 
C 
VB = s/L 
Figura 4 
a 
s 
P 
=
1
= 
L 
VA = 1 – s/L 
b 
C 
VB = s/L 
= 1 
= 1 
Figura 5 
 
5 
 
 
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O momento em C pode ser calculado tanto pelas forças que estão a esquerda quanto 
pelas forças que estão a direita do ponto C, no entanto, usando as forças que estão a direita 
resulta em uma equação mais simples, e por isso é utilizada. 
M(c) = VB . b, como já sabemos quem é VB, ficamos com: 
M(c) = (s/L) . b, 
“s” é uma variável, e está em primeiro grau (expoente = 1), essa equação de M(c) é a equação 
de uma reta. 
Os dois pontos que determinarão essa reta são os extremos do intervalo, ou seja, s = 0 e S = a. 
• Quando S = 0, resulta que M(c) = 0 
• Quando S = a, resulta que M(c) = (a . b)/L 
Saindo do intervalo, extrapolando a reta, fazendo S = L, teremos M(c) = (L/L) . b = b 
Graficamente nesse intervalo, teremos a seguinte reta. 
 
 
 
 
 
 
Análise do caso b) Carga depois do ponto C. (a ≤ s ≤ L) 
 
 
 
 
 
Da mesma forma que foi feita a análise anterior, usamos o caminho mais fácil para o cálculo do 
momento em “C”. Esse percurso se dá agora pelas forças a esquerda, assim temos: 
)(a.b)/L 
b 
C b a 
Figura 6 
a 
s 
P 
=
1
= 
L 
VA = 1 – s/L 
b 
C 
VB = s/L 
Trecho extrapolado 
 
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M(c) = VA . a, como VA já é conhecido, ficamos com: 
M(c) = (1 - (s/L)) . a, 
Sendo “s” uma variável, e está em primeiro grau (expoente = 1), essa equação de M(c) é 
também a equação de uma reta. 
Os dois pontos que determinarão essa reta são os extremos do intervalo, ou seja, s = a e s = L. 
 
• Quando s = a, resulta que M(c) = (1 – a/L) . a 
Resolvendo o parênteses primeiramente,temos: 
M(c) = ((L – a)/L) . a e observando que (L – a) = b, ficamos com: 
M(c) = (b/L) . a, ou reescrevendo, 
M(c) = (a . b)/L, fato que já era previsível, pois estamos calculando o Momento Fletor no 
ponto C, e independentemente do caminhamento das forças, pela esquerda ou direita, o valor 
do momento será sempre o mesmo para uma estrutura em equilíbrio, e este já havia sido 
calculado na etapa anterior. 
• Quando S = L, resulta que M(c) = (1 – L/L) . a, que resulta em M(c) = 0 
Saindo do intervalo e extrapolando a reta, fazendo S = 0, teremos M(c) = (1 -(0/L)) . a, que 
resulta em: 
M(c) = a 
Graficamente nesse intervalo, teremos a seguinte reta que aqui está traçada em azul, e 
sobreposta no caso a. 
A linha de influência é o traçado colorido com traços cheios. O Momento Fletor no ponto 
considerado será sempre igual a (a.b)/L. Os valoresexternos (na vertical) “a” e “b” são muito 
úteis para o traçado gráfico em escala, hoje feito em ferramentas CAD, o que evita a utilização 
de regas de três para se obter o valor do momento máximo no ponto. 
Obs. O valor positivo tanto das reações de apoio, quando dos momentos fletrores foram 
plotados na parte inferior do gráfico. 
 
 
 
)(a.b)/L 
b 
C b a 
a 
 
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Exercício proposto número 2. 
Considere a mesma viga e o mesmo carregamento móvel do exercício anterior. 
Detemine: a) a posição da carga móvel que produzirá o maior valor do momento fletor em 
uma seção distando 4,0 metros do apoio esquerdo, e 
 b) o valor do momento máximo. 
Resolução. 
Passo 1 – fazemos a linha de influência para a viga, que sempre será igual ao que foi mostrada 
acima. A seguir os números obtidos com os dados do problema. 
 
 
 
 
 
 
Passo 2 - Posicionamos a carga no local onde temos a maior altura do triângulo. Como há dois 
eixos de carga, somente uma estará sobre essa maior altura. A outra carga pode ficar a 
esquerda ou a direita dessa maior altura. Temos que verificar a altura a esquerda e a direita, e 
adotar a maior altura. 
Aqui visualmente percebemos que segunda maior altura maior está a direita da maior altura 
do triangulo e identificado como h1. 
 
 
 
 
 
 
Se o traçado for feito em escala, tipo em ferramenta CAD, cota-se h1. 
4 A 
 
8 
12 
(a.b)/L =( 4 . 8) / 1 = 2,6667 
B 
B 
h1 
2 x 40 kN 
A 
 
Essa altura é menor que h1, 
portanto descartada 
2,6667 
7,0 m 
 
8 
 
 
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Aqui usamos regra de três. 
 h1 = 7,0 
 2,6667 8,0 
 
Obtendo-se h1 = 2,3333 
 
O momento máximo, da mesma forma que a reação de apoio, se dá pela multiplicação das 
cargas pelas respectivas alturas, como as duas cargas são iguais, podemos escrever a equação 
como. 
 
 M(c) = Σ (P . h) 
 M(c) = 40 . (2,6667+2,3333) = 200 kN.m 
 
Exercício 3. Considere uma ponte rodoviária de 20 m de vão biapoiado e sem balanço, por 
onde passará a carga móvel mostrada abaixo. Observando a seção a 6 m do apoio direito: 
a) Determine a máxima reação de apoio; 
b) A posição do “trem tipo” onde ocorrerá o máximo momento fletor na seção pedida, e, 
c) O máximo momento nessa seção. 
 
 
 
 
Resolução: Letra a) 
Passo 1. Primeiramente fazemos a linha de influência da reação de apoio. Como a viga é 
biapoiada e sem balanços, as reações máximas Va e Vb serão iguais. 
Para quebrar o paradigma iniciado, faremos a LI(Vb). 
 
 
 
 
 
1,5 m 1,5 m 
98 kN 98 kN 98 kN 
22kN/m 
Obs: a carga distribuída tem o comprimento das pontes rodoviárias 
1 
20 m 
 
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 Passo 2. Posicionar o veículo na pior condição em relação a linha de influencia traçada. 
Sempre um “eixo de carga” deve ser posicionado sobre o apoio o maior valor na LI. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculo das alturas h1 e h2 por regra de três, teremos: 
h1 = 19/22 = 0,8636 
h2 = 20,5/22 = 0,9318 
Igualmente como já foi calculado, para as cargas concentradas basta fazer o somatório 
da multiplicação das cargas pelas alturas. No caso de carga distribuída, a idéia é igual, no 
entanto, teríamos de fazer o somatório de “infinitas” cargas distribuídas. Somatório de 
infinitésimos é uma integral, e integral é área, assim, basta multiplicar a carga distribuída pela 
área da figura geométrica da linha de influência, aqui um triângulo. 
Portanto, o máximo valor da reação de apoio Vb, será: 
VB, Max = Σ P . h + Σ q . A 
VB, Max = 98 . (1 + 0,9318 + 0,8636) + 22 x (20 . 1 / 2) = 493,95 kN 
 
Resolução do item b). 
Da mesma forma faremos a linha de influência e posicionaremos a carga no local mais 
desfavorável (onde estão as maiores alturas). Aqui faremos isso em um só passo. 
 
 
1,5 m 22 kN m 1,5 m 
3 x 98 kN 
1 h1 h2 
19 m 
20,5 m 
 
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Uma vez que o desenho não está em escala, não se tem certeza de qual eixo de carga 
estará sobre a altura h (a maior altura do triangulo), podendo ser o eixo central (que está) 
desenhado, ou o eixo da extrema direita do veículo. Testaremos as alturas h1 e h3 e 
adotaremos a maior. A regra é usar as maiores alturas para posicionarmos os eixos de carga. 
H = (a. b)/L = 14 . 6 /20 = 4,2000 
Usando regra de três, podemos chegar as três alturas procuradas. 
Pelo triangulo retângulo da esquerda, temos: 
h1 = 4,2000 . (11/14) = 3,3000 
h2 = 4,2000 . (12,5/14) = 3,7500 
Pelo triângulo da direita, encontramos h3. 
h3 = 4,2000 . (4,5/6) = 3,1500 
Em nosso curso é bom usar quatro casas decimais para uma melhor aproximação. 
Podemos observar que entre o maior valor entre h1 e h3 resultou com h1 = 3,3. 
Portanto os eixos de carga ficarão sobre h1, h2 e h, diferentemente do desenho apresentado, 
respondendo assim o item b do exercício. 
Item c). Determinação do momento máximo. 
O momento máximo se dá pelo uso da equção. 
Mmax = Σ( P . h) + Σ (q . A) 
Mmax = 98 .( 3,3000 + 3,7500 + 4,2000) + 22 . (20 . 4,2000)/2 
Mmax = 2.026,50 kN.m 
 
1,5 m 22 kN m 1,5 m 
3 x 98 kN 
4,5 
h2 h 
14 m 6,0 m 
h1 h3 
12,5 
11 
Fim da aula EAD 01. Na próxima teremos a LI para o Cortante, vigas com balanço e vigas Gerber.