Estatística Cap. 1

Prévia do material em texto

CAPÍTULO V – INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
5.1 – Definições. 
- Estatística. 
 
- Estatística Descritiva 
 
- Estatística Analítica. 
 É a parte da estatística responsável pela análise e interpretação dos 
dados existentes, obtidos pela estatística descritiva. 
5.2 – Fases para a elaboração de uma Pesquisa Estatística. 
 Para realizar uma pesquisa relacionada a um trabalho estatístico é 
necessário observar as 5 etapas no desenvolvimento desse trabalho: 
- A coleta de dados; 
- A crítica sobre os dados; 
- A apuração dos dados; 
- A exposição ou apresentação dos dados; 
- A análise dos resultados. 
5.2.1- Coleta dos dados 
 Depois de definido o objetivo da pesquisa (qual o motivo para ela ser 
realizada), damos início a primeira etapa da pesquisa que é a coleta de dados, 
que pode ser realizada de diversas formas: 
- Contínua – feita com frequência. 
Ex. A chamada em sala de aula. 
 
- Periódica – feita em intervalos constantes. 
Ex. O censo ( feito a cada 10 anos). 
- Ocasional – Feita a fim de atender uma emergência ou uma demanda 
ocasional. 
Ex. Uma epidemia. 
5.2.2 – Crítica sobre os dados 
 Após coletados os dados, eles devem ser analisados com cuidado, a 
procura de falhas, que possam influir sensivelmente no resultado da 
pesquisa. 
Ex. uma idade informada com 250 anos. 
5.2.3- Apuração dos dados. 
 É o processamento dos dados obtidos e a consequente obtenção dos 
resultados. 
Ex. Descobrir em uma população a idade média, o percentual da população 
mais idosa. 
5.2.4- Exposição ou Apresentação dos dados. 
 É a forma de apresentação dos dados da pesquisa da maneira mais 
adequada. 
Ex. Uso de tabelas, gráficos. 
5.2.5- Análise dos Resultados. 
 É o objetivo da pesquisa. É a etapa onde são realizadas as conclusões 
sobre os resultados da nossa pesquisa. 
Ex-1. Constatou-se que 75% da população de Belém tem abastecimento de 
água encanada. 
Ex-2. Nos 2 últimos períodos a média de aprovação dos alunos da disciplina 
probabilidade e estatística foi de 90%. 
5.3 – População e Técnicas de Amostragem. 
5.3.1 – População e Amostra. 
5.3.1.1 – População. 
 É o termo empregado para designar um conjunto de indivíduos que 
possuem pelo menos uma característica, ou atributo, em comum. Alguns 
autores empregam o termo universo para referir-se a uma população. 
 
5.3.1.2 – Amostra 
 Refere-se a qualquer subconjunto de uma população. A amostragem é 
uma das etapas mais importantes na aplicação de métodos estatísticos, 
envolvendo aspectos como determinação do tamanho da amostra e a 
representatividade da amostra com relação à população. 
 
5.3.1.3 – Variáveis. 
 É o conjunto das possibilidades que possui um atributo. É usada para 
atribuição dos valores correspondentes aos dados observados. É importante 
ressaltar que os dados em questão não são necessariamente numéricos, uma 
vez que podem dizer respeito a atributos qualitativos observados na 
população. Por esta razão costuma-se classificar as variáveis nas categorias 
definidas a seguir. 
 
 a) Variável Numérica. Também chamada variável quantitativa, é utilizada 
para representação de dados numéricos, ou quantitativos. 
a.1) Variável Numérica Discreta. Variável cujo domínio é um conjunto 
enumerável. Geralmente corresponde a dados de contagem. 
Exemplo: Número de defeitos em um componente, total de unidades 
defeituosas em uma amostra, idade. 
 
a.2) Variável Numérica Contínua. Variável cujo domínio é um conjunto não 
enumerável. Refere-se a dados de mensuração. 
 Exemplo: Diâmetro de um eixo, peso de um recém-nascido, altura. 
 
b) Variável Qualitativa. É utilizada para representação de atributos 
qualitativos observados na população. Pode ser dicotômica, ou binária, 
quando assume apenas dois possíveis valores, ou politômica, também 
referida como multinomial, quando pode assumir mais de dois possíveis 
valores. 
Exemplo: idade (idoso, não idoso), nomes 
 
b.1) Variável Qualitativa Categórica. É empregada para representar 
categorias, ou classes, às quais pertencem as observações registradas. 
Exemplo: Cor dos olhos, cor da pele. 
b.2) Variável Qualitativa Ordinal. Utiliza-se este tipo de variável em 
situações nas quais presume-se a necessidade de uma ordem, crescente ou 
decrescente, para os resultados. 
Exemplo: Grau de escolaridade (fundamental, médio, superior, pós-
graduado), classe social. 
 
5.3.1.4- Séries Estatísticas 
 Uma série estatística consiste basicamente de um conjunto de valores 
observados para uma variável em diferentes categorias. As séries estatísticas 
são classificadas em três categorias. 
 
a) Série Temporal. 
A variável de interesse refere-se a um período de tempo. 
Exemplo – A tabela a seguir mostra o faturamento, em milhões de reais, da 
empresa fictícia ABC durante o ano de 2007. 
 
Tabela 1.1 - Faturamento mensal (milhões) da empresa ABC (2007) 
 
 
b) Série Geográfica. 
Aqui a variável de interesse refere-se a um local. 
Exemplo – A tabela a seguir mostra o faturamento, em milhões de reais, da 
empresa fictícia ABC durante o ano de 2007, nas respectivas regiões de 
atuação. 
 
Tabela 1.2 – Faturamento (milhões) da empresa ABC (2007), por região. 
 
 
c) Série Específica. 
 A variável de interesse refere-se a algo específico. 
Exemplo - A tabela a seguir mostra o faturamento, em milhões de reais, da 
empresa fictícia ABC durante o ano de 2007, especificado por produto. 
 
Tabela 1.3 – Faturamento (milhões) da empresa ABC (2007), por produto. 
 
 
d) Séries Combinadas. Na prática, é comum combinar séries estatísticas com 
o objetivo de aumentar, ou detalhar, as informações disponíveis. 
Exemplo – O quadro a seguir mostra o faturamento da empresa ABC por 
produto e região, isto é, uma combinação de uma série geográfica e uma série 
específica. 
 
Quadro 1.1 – Faturamento (milhões) da empresa ABC, por produto e região. 
 
 
 
5.3.2 - Técnicas de Amostragem 
 Existem vários tipos de amostragem, mas as três mais utilizadas são: 
- Amostragem Casual; 
- Amostragem proporcional estratificada; 
- Amostragem Sistemática. 
 
Para entendermos cada um dos tipos de amostragem, veremos o 
seguinte exemplo. 
Exemplo. Uma escola fez uma pesquisa, para saber a média de idade dos 
seus 135 alunos (população), utilizando uma amostra correspondente a 20% 
dos alunos, a partir dos seguintes dados que foram obtidos. 
 
 
 
 
Idade dos alunos de uma escola 
21 19 24 21 22 25 27 22 21 26 27 25 26 21 22 
24 23 20 21 22 25 23 20 18 18 22 23 24 21 22 
21 22 24 21 22 20 18 22 21 26 18 25 20 18 18 
19 22 18 21 20 25 23 22 21 18 18 20 26 21 29 
21 19 24 23 19 23 27 19 21 26 27 19 26 21 22 
30 22 18 21 18 20 18 22 29 20 18 25 18 19 20 
21 22 19 23 22 25 18 22 28 25 18 20 23 21 22 
19 18 20 30 22 20 18 28 21 26 27 25 26 18 22 
21 22 24 21 18 25 18 28 21 19 19 25 18 21 19 
Os dados em vermelho e sublinhado representam as idades das alunas. 
Determine a média da idade dos alunos, determinando a amostra, utilizando 
cada um dos tipos de amostragem. 
a) Amostragem Casual. 
 Com uma amostra de 20% da população, essa amostra conterá a idade 
de 27 alunos. Vamos escolher os 27 primeiros alunos. 
 
21 19 24 21 22 25 27 22 21 26 27 25 26 21 22 
24 23 20 21 22 25 23 20 18 18 22 23 24 21 22 
21 22 24 21 22 20 18 22 21 26 18 25 20 18 18 
19 22 18 21 20 25 23 22 21 18 18 20 26 21 29 
21 19 24 23 19 23 27 19 21 26 27 19 26 21 22 
30 22 18 21 18 20 18 22 29 20 18 25 18 19 20 
21 22 19 23 22 25 18 22 28 25 18 20 23 21 22 
19 18 2030 22 20 18 28 21 26 27 25 26 18 22 
21 22 24 21 18 25 18 28 21 19 19 25 18 21 19 
média=μ=608/27 = 22,52 
b) Amostragem Proporcional Estratificada. 
 A amostra é retirada proporcionalmente as características da 
população. 
 Pode-se observar que dos 135 alunos, 81 são do sexo masculino e 54 
são do sexo feminino. Nesse tipo de amostragem, iremos tirar 20% dos 
alunos, proporcionalmente a quantidade de alunos do sexo masculino e do 
sexo feminino. Iremos retirar 20% dos homens e 20% das mulheres. 
População masculina Amostra 
81 20% = 16,2 16 
População feminina Amostra 
54 20% = 10,8 11 
 Vamos extrair 16 alunos do sexo masculino e 11 alunos do sexo 
feminino 
 
 
 
 
21 19 24 21 22 25 27 22 21 26 27 25 26 21 22 
24 23 20 21 22 25 23 20 18 18 22 23 24 21 22 
21 22 24 21 22 20 18 22 21 26 18 25 20 18 18 
19 22 18 21 20 25 23 22 21 18 18 20 26 21 29 
21 19 24 23 19 23 27 19 21 26 27 19 26 21 22 
30 22 18 21 18 20 18 22 29 20 18 25 18 19 20 
21 22 19 23 22 25 18 22 28 25 18 20 23 21 22 
19 18 20 30 22 20 18 28 21 26 27 25 26 18 22 
21 22 24 21 18 25 18 28 21 19 19 25 18 21 19 
média=μ=617/27 = 22,85 
c) Amostragem Sistemática 
 Quando os elementos da população já se encontram ordenados, não há 
necessidade de se construir um sistema de referência. São exemplos os 
prédios de uma rua ou os produtos que passam em uma linha de produção. 
 Nesse caso, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode 
ser feita por um sistema imposto pelo observador, o qual chamamos de 
amostragem sistemática 
 Um exemplo seria uma rua com 900 casas e desejamos obter uma 
amostra de 50 casas para entrevistarmos as pessoas que moram nelas. Para 
compor a amostra, uma casa é escolhida a cada 18 casas. 
 No nosso exemplo será necessário colocar todas as idades em ordem 
crescente ou decrescente e podermos, por exemplo, escolher um aluno a cada 
5 alunos para compor a amostra. 
 
 
18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 
18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 
19; 19; 19; 19; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 
20; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 
21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 
22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 
 23; 23; 23; 23; 23; 23; 23; 23; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 25; 
25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 26; 26; 26; 26; 26; 
26; 26; 26; 27; 27; 27; 27; 27; 28; 28; 28; 29; 29; 30; 30; 
sublinhado idade das alunas 
μ=597/27=22,11 
 
5.4 - APRESENTAÇÃO DE DADOS 
A apresentação de dados pode ser efetuada através de dois modos, 
tabular ou gráfico. Para esta tarefa deve-se ter em mente o objetivo da 
apresentação, no que diz respeito ao nível de detalhamento e ao tipo de 
informação que se deseja extrair dos dados em questão. A apresentação 
tabular permite obter informações mais detalhadas, enquanto a apresentação 
gráfica permite uma compreensão mais rápida a respeito do comportamento 
da variável observada. 
 
5.4.1 – Apresentação Tabular 
Em primeiro lugar, é importante frisar que os termos “tabela” e 
“quadro” são utilizados para designar objetos distintos. O primeiro designa 
o arranjo de dados na forma de grade com laterais abertas, enquanto o 
segundo termo é empregado para designar arranjos em grades com laterais 
fechadas, conforme a Figura abaixo. 
 
 
 Tabela quadro 
Independente do formato escolhido, uma tabela deve conter três elementos: 
1 – Cabeçalho. Deve conter o máximo de informações sobre os dados 
apresentados 
2 – Corpo. De dimensões variáveis, é o espaço destinado à apresentação 
propriamente dita dos dados. 
3 – Rodapé. Deve conter a fonte dos dados e outras informações necessárias 
à compreensão. 
 
5.4.1.1 – Tabela Simples. 
É o tipo mais comum de tabela, utilizado para representar os valores 
correspondentes a uma série estatística. A disposição pode ser feita tanto por 
colunas como por linhas. 
Exemplo de tabela simples. Dados dispostos em linha. 
Tabela 1.1 - Faturamento mensal (milhões) da empresa ABC (2007) 
 
Fonte: Dados fictícios 
 
Exemplo de tabela simples. Dados dispostos em coluna. 
 
5.4.1.2 – Tabela de Dupla Entrada. 
É utilizada para representar dados de duas séries combinadas. 
Exemplo de tabela de dupla entrada. 
 
 
5.4.1.3 – Tabela de Múltiplas Entradas. 
É utilizada na representação de dados correspondentes a mais de 
duas séries. 
Exemplo de tabela de múltipla entrada. 
 
5.4.2 – Apresentação Gráfica 
Para a apresentação gráfica deve-se levar em consideração o tipo de 
série estatística estudada e, também, o tipo de variável observada, 
quantitativa ou qualitativa. Também é possível combinar as duas formas de 
apresentação, tabular e gráfica. Os principais tipos de gráficos são: 
 
5.4.2.1 – Gráfico Linear. É utilizado principalmente para representar séries 
temporais. 
 
 
Exemplo 
 
 
5.4.2.2 – Gráfico Setorial. 
É utilizado para representar séries geográficas ou específicas. 
Exemplo 
 
Tabela 1.2 – Faturamento (milhões) da empresa ABC (2007), por região. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4.2.3 – Gráfico de Colunas. 
Pode ser utilizado no lugar do gráfico setorial. 
Exemplo 
 
5.4.2.4 – Gráfico de Colunas Justapostas. 
É utilizado para representar dados de tabelas de dupla entrada. 
Exemplo 
 
 
5.5 – Distribuições de Frequências 
Por constituir-se um tipo de tabela importante para a Estatística Descritiva, faremos um 
estudo completo da distribuição de freqüências. Uma distribuição de freqüências 
condensa um grande número de dados numa tabela, de modo que 100, 200, 500 ou um 
número qualquer de valores pode ser representado em poucas linhas. É uma tabela onde 
os dados encontram-se dispostos em classes ou categorias juntamente com suas 
freqüências de ocorrências correspondentes. Podemos dividir as distribuições de 
freqüências em dois tipos: 
5.5.1 - Tipos de Distribuição 
a) Tipo A ou Tipo I. 
 Os dados são representados em uma tabela de freqüências, não agrupadas em 
classes. É usada quando os dados possuem poucos valores diferentes. 
Exemplo: 
Tabela 1- Número de acidentes de trabalho em empresas da cidade de São Paulo - 2008 
 
Fonte: dados fictícios 
 Xi = identifica as categorias em que o fato se subdivide. 
fi = corresponde a freqüência absoluta, isto é, o número de vezes que cada uma das 
categorias ocorre. 
N = soma dos fi = total de elementos observados na população ou na amostra 
 
b) Tipo B ou Tipo II 
 Os dados são representados em uma tabela de freqüências agrupados em classes, sob a 
forma de intervalos. É usada quando os dados possuem muitos valores diferentes. 
 
Exemplo 
X = Notas finais de 50 estudantes da disciplina de estatística 
 
 
 
Então a distribuição de freqüência será expressa pela tabela: 
 
Tabela 2 – Notas finais dos estudantes 
da disciplina de Estatística – 2009/1 
_________________________________________________ 
Notas fi 
_________________________________________________ 
 
1ª classe 0 10 4 
 
2ª classe10 20 5 
 
3ª classe 20 30 6 
 
4ª classe 30 40 8 
 
5ª classe 40 50 12 
 
6ª classe 50 60 7 
 
7ª classe 60 70 5 
 
 8ª classe 70 80 3 
______________________________________________ 
 
 Total 50 
______________________________________________ 
 Fonte: fictícia 
 
Onde fi é a freqüência absoluta das classes 
5.5.2 – Tipos de Dados 
 
5.5.2.1-Dados Brutos 
São os dados originais conforme eles foram coletados, não estando, portanto, 
numericamente organizados ou tabelados. Como exemplo tem-se as 50 notas dos alunos. 
 
5.5.2.2 - Rol 
 
É uma lista, onde os valores são dispostos em ordem crescente ou decrescente. No 
exemplo das notas, o rol é: 
 
0 2 3 9 11 12 13 15 17 20 
22 22 22 26 29 30 32 33 34 35 
36 37 39 40 40 41 41 42 42 43 
44 45 45 46 47 50 50 50 52 56 
57 59 60 62 66 67 69 70 75 79 
 
5.5.3 - Amplitude Total (H) 
É a diferença entre o maior valor e o menor valor observado da variável em estudo 
 H = Xmáx - Xmín 
No nosso caso, a nota maior é 79 é a menor é 0; logo, nossa amplitude total é 
 H = 79 - 0 = 79. 
 
Deve-se observar que, quando não dispusermos dos dados, o cálculo da amplitude far-
se-á levando em consideração a diferença entre o limite superior da última classe e o 
limite inferior da primeira classe. 
5.5.4 – Classe 
 É cada um dos intervalos em que os dados são agrupados. 
 Existem várias maneiras de apresentarmos o intervalo de classes: iguais ou 
diferentes entre si. Porém, sempre que possível, deveremos optar por intervalos iguais, o 
que facilitará os cálculos posteriores. 
 
5.5.5 - Limites de Classe 
 São os números extremos de cada intervalo que compõe a classe: sendo assim, 
temos um limite inferior e um superior. Se a primeira classe tiver um intervalo de notas 
de 0 até 10, o 0 será o limite inferior enquanto que o 10 será o limite superior desta classe. 
 Os limites de cada classe podem ser definidos de quatro modos distintos, 
mostrados a seguir. 
1. Intervalo “exclusive exclusive”: 
 
2. Intervalo “inclusive – exclusive”: 
 
3. Intervalo “inclusive – inclusive”: 
 
4. Intervalo “exclusive – inclusive”: 
pode-se definir como intervalo de classe (h) a diferença entre o limite superior e o limite 
inferior da classe. Portanto, no exemplo dado , h = 10 – 0 =10 
 
5.5.6 - Ponto médio das classes (Xmi). 
 É a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Assim, se 
a classe for 0 10, teremos [(0 + 10)/2]=5 , que será o ponto médio da classe. 
 
5.5.7 - Número de Classes 
 Quantas classes serão necessárias para representar o fato em estudo? Existem 
vários critérios que podem ser utilizados a fim de determinar o número de classes, porém 
tais critérios servirão apenas como indicação e nunca como regra fixa, pois caberá sempre 
ao pesquisador estabelecer o melhor número, levando-se em conta o intervalo de classe e 
a facilidade para os posteriores cálculos numéricos. 
 Neste estudo, destacaremos a Fórmula de Sturges, que estabelece que o número 
de classes K é calculado por: 
 K = 1 + 3,3 log n , onde n = número de elementos observados. 
No nosso exemplo, teríamos: 
K = 1 + 3,3 log n → K = 1 + 3,3 log 50 → K = 1 + 3,3(1,69897) → K = 1 + 5,6 = 6,6 
ou arredondando para 7 classes. 
5.5.8 - Amplitude das Classes (hc) 
hc = H/ K . No exemplo anterior, a amplitude de cada classe será: 
 hc = amplitude total = 79/7 = 11,29 = 12 
 número de classes 
Obs. 1: Na amplitude das classes (hc), observe que aumentamos uma unidade, não 
seguindo, portanto, as regras de arredondamento. Esta é uma regra que deve ser sempre 
seguida no cálculo da amplitude da classe. 
Obs. 2: Usando o bom-senso e a experiência, poderá ser conveniente , quando possível, 
a utilização da amplitude de um intervalo de classe igual a 10 ou 5, facilitando as 
operações posteriores. 
5.5.9 - Freqüência acumulada (fac): 
 Corresponde à soma das freqüências de determinada classe com as anteriores. No 
exemplo, a freqüência acumulada da 4a classe é: 
 f1 + f2 + f3 + f4 = 4 + 5 + 6 + 8 = 23. 
5.5.10 - Freqüência relativa (fri): Corresponde ao quociente entre a freqüência absoluta 
da classe e o total de elementos. 

=
i
i
ri
f
f
f 
 
No exemplo, a freqüência relativa da 7ª classe é: 
1,0
50
5
50
f 7r7 ===
f 
Ex. 1 – Construa uma tabela de distribuição de frequência completa para as notas dos 
alunos de estatística. 
Tabela 2 – Notas finais dos estudantes 
da disciplina de Estatística – 2009/1 
_________________________________________________ 
Notas fi 
_________________________________________________ 
 
1ª classe 0 10 4 
 
2ª classe 10 20 5 
 
3ª classe 20 30 6 
 
4ª classe 30 40 8 
 
5ª classe 40 50 12 
 
6ª classe 50 60 7 
 
7ª classe 60 70 5 
 
 8ª classe 70 80 3 
______________________________________________ 
 Total 50 
______________________________________________ 
Ex. 2 - Uma indústria embala peças em caixas com 100 unidades. O controle de qualidade 
selecionou 48 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças 
defeituosas. Obtendo os seguintes dados: 
 
2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 
1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 
0 0 3 0 0 0 2 0 0 1 
1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 0 
obtenha a distribuição de frequências dos dados. 
Ex. 3 - Antes de enviar um lote de aparelhos elétricos para venda, o Departamento de 
Inspeção da empresa produtora selecionou uma amostra casual de aparelhos, avaliando o 
desempenho através de uma medida especifica, obtendo os seguintes resultados: 
154 175 175 178 190 200 218 211 
165 164 176 180 190 198 215 212 
155 172 180 184 192 195 202 205 
170 156 178 180 190 200 210 205 
Pede:-se 
a) Construa um rol 
b) Construa uma distribuição de frequência com intervalo de classes 
c) Quantos aparelhos foram testados? 
d) Qual é o numero de classes? 
e) Qual é a amplitude total da amostra? 
f) Qual é a amplitude total da distribuição? 
g) Qual é a amplitude da quinta classe? 
5.6 - Gráficos de uma distribuição de freqüência. 
As distribuições de freqüências podem ser representadas através de três tipos de gráficos: 
5.6.1 - Histograma. 
 É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de 
retângulos justapostos, cujas alturas são proporcionais às freqüências absolutas e cujas 
bases correspondem ao intervalo de classe da distribuição. Na figura abaixo um exemplo 
de histograma 
 
5.6.2 - Polígono de Freqüências: É um gráfico em linhas formado por segmentos de retas; 
os pontos extremos dos segmentos correspondem ao par ordenado formado pelo ponto 
médio de cada classe da distribuição(eixo x) e pela freqüência absoluta (eixo y). 
 
5.6.2 - Ogiva ou polígono de frequência acumulada 
 É um gráfico em linhas formado por segmentos de retas; os pontos extremos dos 
segmentos correspondem ao par ordenado formado pelo limite superior de cada classe 
(eixo x) e pela freqüência acumulada (eixo y). 
 fa 
 
Exemplo 1. Para o conjunto de dados mostrado abaixo, determine a distribuição de 
frequência completa e: 
a) Construa um histograma; 
b) construa um polígono de frequência; 
c) Construa uma ogiva 
 
 Nota dos alunos de estatística – turma nova 
32 36 38 40 40 41 41 42 42 43 
44 45 45 46 50 50 50 50 53 55 
57 58 60 66 66 70 70 70 75 75 
 
5.7 - Medidas de Tendência. 
São utilizadas para dar uma interpretação para os dados de uma dada distribuição de 
frequência e, dessa forma, podermos obter informações sobre as tendências características 
de cada distribuição de frequência. Essas informações, denominadas elementos típicos da 
distribuição são: 
a) Medidas de tendência central ou de posição; 
b) Medidas de dispersão ou de variabilidade; 
c) medidas de assimetria; 
d) medidas de curtose; 
5.7.1- Medidas de Tendência Central ou de Posição. 
 São medidas utilizadas para encontrar os valores representativos do conjunto de 
dados, de modo a resumir ao máximo as observações sobre os dados em questão. As 
principais medidas de posição são a média aritmética, a média aritmética ponderada, a 
mediana e a moda. 
5.7.1.1 – Média Aritmética 
Seja um conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }. A média aritmética, ou simplesmente 
“média”, é dada por 
n
x
X
n
i
i
=
−
= 1 Média de uma amostra 
 
n
x
n
i
i
== 1 Média da população 
OBS: A notação 
−
X é empregada para representar a média de uma amostra de valores. A 
média da população costuma ser representada pela letra grega μ 
 
Exemplo 1 – Seja o conjunto de dados {2 , 4 , 3 , 5 , 6 , 2 , 5}. Calcule a média aritmética. 
 
Exemplo 2. Para o conjunto de dados das notas dos alunos de estatística, mostrado 
anteriormente, determine a média aritmética. 
 
 =1550/30 = 51,66 
 
5.7.1.2 – Média Aritmética Ponderada 
Para dados agrupados em distribuições de freqüências a média aritmética ponderada é 
calculada utilizando-se a frequência absoluta como peso. Então, se um conjunto de n 
valores foi agrupado em k classes, com pontos médios xm1 , xm2 , ... , xmk , e freqüências 
absolutas f1 , f2 , ... , fk , respectivamente, então a média aritmética ponderada é dada por: 
 
 


=
=
−
=
k
i
i
i
k
i
mi
f
fx
X
1
1 
 
Ex. Determinar a média aritmética ponderada das notas dos alunos de estatística vistas 
anteriormente. 
 
 
32 36 38 40 40 41 41 42 42 43 
44 45 45 46 50 50 50 50 53 55 
57 58 60 66 66 70 70 70 75 75 
 
H=75-32 = 43 ## K= 1+3,3 log30 = 5,87 → K = 6 ## h = 43 / 6 = 7,16 → h = 8 
 
Tabela – Notas dos estudantes 
da disciplina de Estatística 
 ________________________________________________ 
 Notas fi fa Xmi fi Xmi 
 _________________________________________________ 
 
 32 40 3 3 36 108 
 
 40 48 11 14 44 484 
 
 48 56 6 20 52 312 
 
 56 64 3 23 60 180 
 
 64 72 5 28 68 340 
 
 72 80 2 30 76 152 
 _______________________________________________ 
 Total 30 1576 
 _____________________________________________ 
 
 μ = 1576/30 =52,53 
 
5.7.1.3 - Mediana (Md). 
 É o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados 
 
5.7.1.3.1 - Mediana para dados não agrupados 
 Para dados não agrupados, esses dados são organizados em ordem crescente. Se a 
quantidade de valores é ímpar, a mediana, ou valor mediano, é simplesmente o valor 
central. Se a quantidade de valores é par, a mediana é a média dos dois valores centrais. 
 
Exemplo 1 – Seja o conjunto {3 , 3 , 4 , 5 , 5 , 6 , 7 , 9 , 11 , 12 , 12}. Neste caso a mediana 
é Md= 6. 
 
Exemplo 2 – Seja o conjunto {0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 7 , 8}. Aqui a mediana é 
dada pela média dos dois valores centrais, isto é, Md= (4 + 5)/2 = 4,5. 
 
5.7.1.3.2 – Mediana para dados agrupados em distribuições de freqüências. 
É usada a expressão: 
c
a
i h
fi
f
n
LMd










−
+= 2
 
onde: Li = limite inferior da classe que contém o valor mediano, isto é, da classe cuja 
freqüência acumulada crescente é igual ou imediatamente superior a n / 2. 
fa = freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o valor mediano. 
fi = freqüência simples ou absoluta da classe que contém o valor mediano. 
hc = amplitude da classe que contém o valor mediano. 
 
Exemplo 1. Para a tabela da distribuição de frequência das notas de estatísticas, determine 
a mediana. 
 
Tabela – Notas dos estudantes 
da disciplina de Estatística 
 ________________________________________________ 
 Notas fi fa Xmi fi Xmi 
 _________________________________________________ 
 
 32 40 3 3 36 108 
 
 40 48 11 14 44 484 
 
 48 56 6 20 52 312 
 
 56 64 3 23 60 180 
 
 64 72 5 28 68 340 
 
 72 80 2 30 76 152 
 _______________________________________________ 
 Total 30 1576 
 _____________________________________________ 
 
 
5.7.1.3 - Moda 
 
 A moda, ou valor modal, de um conjunto de dados é o valor com maior freqüência 
individual. É importante ressaltar que o valor modal pode não existir, além disto, caso exista, pode 
não ser único. Neste último caso, diz-se que o conjunto é bimodal, trimodal, etc. 
 
Ex. Para o conjunto de dados { 18,19, 20, 20, 23, 25, 25, 25, 28} a moda é Mo= 25. 
 
Para dados agrupados em distribuições de freqüências, a moda pode ser calculada através 
da fórmula dada por: 
 
ci hLMo 





+

+=
21
1 
onde: 
Li = limite inferior da classe modal, isto é, a de maior freqüência absoluta. 
∆1 = (freqüência absoluta da classe modal menos a freqüência absoluta da classe anterior). 
∆2 = (freqüência absoluta da classe modal menos a freqüência absoluta da classe 
posterior). 
hc = amplitude da classe modal. 
Exemplo 1. Para a tabela da distribuição de frequência das notas de estatísticas, determine 
a moda. 
 
 
Tabela – Notas dos estudantes 
da disciplina de Estatística 
 ________________________________________________ 
 Notas fi fa Xmi fi Xmi 
 _________________________________________________ 
 
 32 40 3 3 36 108 
 
 40 48 11 14 44 484 
 
 48 56 6 20 52 312 
 
 56 64 3 23 60 180 
 
 64 72 5 28 68 340 
 
 72 80 2 30 76 152 
 _______________________________________________ 
 Total 30 1576 
 _____________________________________________ 
 
 
5.7.2 - Medidas de dispersão ou de variabilidade; 
 Como podemos observar as medidas de posição nos mostram qual a tendência 
entre os números de uma distribuição. 
 A média aritméticamostra uma observação média e central entre todos os 
números, a mediana os valores centrais de uma distribuição e a moda os números que 
ocorrem com maior frequência. 
 
As medidas de posição (ou tendência central), não observam a variação (ou 
dispersão) entre os números de uma distribuição. 
 
Exemplo. Foi realizada uma pesquisa onde se registrou a temperatura de 2 cidades durante 
uma semana. O resultado foi o seguinte: 
Cidade Temperatura média 
 A 23; 24; 22; 22; 23; 23; 24 23 
 B 26; 31; 16; 23; 20; 23; 22 23 
 
 Mesmo as médias sendo iguais a cidade A apresentou uma temperatura mais 
homogênea, enquanto a cidade B apresentou maior variação. 
 
 A principal utilidade das medidas de tendência central é a determinação de valores 
característicos ou típicos de um conjunto de dados. Entretanto, a informação fornecida 
por tais medidas é incompleta, se não for acompanhada de alguma informação sobre a 
variabilidade dos dados. Esta informação é obtida através do cálculo de medidas de 
dispersão ou de variabilidade. 
 
5.7.2.1 - Amplitude Total 
 Seja um conjunto de dados ordenados {x1 , x2 , ... , xn }, onde x1 e xn representam 
o valor mínimo e o valor máximo, respectivamente, do conjunto. A amplitude total é dada 
por: 
1xxAT n −= 
Esse parâmetro é falho, pois é influenciado apenas pelos valores extremos , desprezando 
os demais números que compõem a distribuição. 
 
Exemplo 1 – Calcule a amplitude total para o conjunto de dados do Quadro abaixo. 
 
Notas dos alunos de estatística 
0 2 3 9 11 12 13 15 17 20 
22 22 22 26 29 30 32 33 34 35 
36 37 39 40 40 41 41 42 42 43 
44 45 45 46 47 50 50 50 52 56 
57 59 60 62 66 67 69 70 75 79 
79079 =−=AT 
5.7.2.2 - Variância 
5.7.2.2.1- Para dados não agrupados 
Seja um conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }, não necessariamente ordenados. A variância 
é gerada a partir das diferenças dos valores do conjunto de dados em relação à média do 
mesmo. Entretanto, é necessário ter em mente a natureza dos dados estudados, mais 
especificamente, se os mesmos constituem uma população ou uma amostra. Para o 
primeiro caso, a variância é dada por: 
n
x
n
i
i
=
−
= 1
2
2
)( 
 Variância de uma população 
Para o caso de uma amostra a variância é obtida por: 
1
)(
1
2
2
−
−
=

=
−
n
xx
S
n
i
i
 Variância de uma amostra 
Vários estudos foram realizados e mostram, matematicamente, que quando calculamos a 
variância de uma amostra usando (n-1), a variância obtida será a melhor estimativa da variância 
da população, tornando-se assim uma estimativa com menor erro. 
Ex. 1 – Calcule a variância para uma amostra, cujo dados são mostrados abaixo: 
2 2 1 5 4 3 3 1 4 5 
X= 30/10 = 3 
S2 = 2 [(1-3)2 +(2-3)2 +(3-3)2 + (4-3)2 +(5-3)2 ] / 9 = 20 / 9 = 2,22 
 
5.7.2.2.1- Para dados agrupados. 
 
Para uma distribuição de freqüências com k classes, com freqüências absolutas f1 , ... , fk 
, e pontos médios Xm1 , ... , Xmk , respectivamente, a variância de uma população é dada 
por: 
 
 
 
 
Para uma amostra a variância é dada por: 
 
 Ex. Calcular a variância para os dados da distribuição de freqüências das notas dos 
alunos de estatística 
 
 
Notas dos alunos de estatística 
 
32 36 38 40 40 41 41 42 42 43 
44 45 45 46 50 50 50 50 53 55 
57 58 60 66 66 70 70 70 75 75 
Tabela – Notas dos estudantes 
da disciplina de Estatística 
 ________________________________________________ 
 Notas fi fa Xmi fi Xmi fi (Xmi -52,53)
2 
 _________________________________________________ 
 
 32 40 3 3 36 108 819,7227 
 
 40 48 11 14 44 484 800,3699 
 
 48 56 6 20 52 312 1,6854 
 
 56 64 3 23 60 180 167,4027 
 
 64 72 5 28 68 340 1196,6045 
 
 72 80 2 30 76 152 1101,6818 
 _________________ ______________________________ 
 Total 30 1576 4087,467 
 _______________________________________________ 
σ2 = 4087,467 / 30 = 136,2489 
 
 
5.7.2.3 – Desvio Padrão 
1
)(
1
1
2
__
2
−
−
=


=
=
k
i
i
k
i
mii
f
xxf
S


=
=
−
=
k
i
i
k
i
mii
f
xf
1
1
2
2
)( 

O desvio padrão é uma das medidas mais usadas na análise da dispersão dos 
valores em uma série de dados. Ele é definido como a raiz quadrada da variância, 
fornecendo uma medida nas mesmas dimensões dos dados analisados. 
Algumas propriedades úteis do desvio padrão: 
- O desvio padrão é um valor positivo, e portanto indica uma distância entre os valores 
medidos e a média; 
- Pelo menos 75% dos valores em uma população estão dentro do intervalo [μ - 2σ, μ + 
2σ], onde μ denota a média e σ denota o desvio padrão; 
- Em uma distribuição normal, cerca de 95% dos valores da população estão dentro do 
intervalo acima. 
Ex. 1 – Calcule o desvio padrão para a amostra do exemplo anterior. 
2 2 1 5 4 3 3 1 4 5 
 
5.7.3 – Medidas de Assimetria 
A assimetria de um conjunto de dados, agrupados ou não, pode ser avaliada através do 
coeficiente de assimetria: 
 ass = 3(
−
X - Md) /  
Se ass for igual a zero então a distribuição (ou conjunto de dados) é dito simétrico. Se 
uma distribuição de freqüências é simétrica então as 3 medidas de posição coincidem, 
isto é, 
−
X = Md = Mo. 
 
 
distribuição de freqüências simétrica 
 
 
 
Se ass > 0 então a assimetria é positiva significando que o gráfico da distribuição tem 
uma cauda alongada à direita. 
Se a distribuição é positivamente assimétrica então 
−
X > Md > Mo 
 
 
http://www.cavalcanteassociados.com.br/index.php?page=article&id=15
 
 
distribuição de frequências com assimetria positiva 
 
 
Caso ass seja negativo a cauda do gráfico será alongada à esquerda. 
Se a distribuição é negativamente assimétrica então 
−
X < Md < Mo 
 
 
 
 
distribuição de freqüências com assimetria negativa 
 
Exemplo 1 – Calcular o coeficiente de assimetria para o conjunto de dados abaixo 
 
2,7 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9 3,9 
A média é 
−
X = 3,2286 , o desvio padrão é  = 0,5323 e a mediana é Md = 3,1. Então: 
 
( )
7248,0
5323,0
1,32286,33
=
−
=ass é uma distribuição assimétrica positiva 
 
5.7.4 - Percentil 
 O valor mediano é aquele que divide um conjunto de dados ordenados em duas 
partes iguais. Da mesma forma, também pode ser útil discriminar valores correspondentes 
a uma determinada percentagem. Este tipo de situação ocorre, por exemplo, quando se 
deseja determinar a renda familiar que define os 10% mais ricos em uma sociedade. 
 
 Para determinar certo percentil em um conjunto de dados é suficiente ordenar estes 
mesmos dados e localizar o elemento correspondente à fração desejada, de modo análogo 
ao usado para determinar a mediana. 
 
Exemplo 1 – Seja o conjunto de dados mostrado no Quadro abaixo. O 90º percentil é o 
valor que separa 90% dos exemplares com menor comprimento dos 10% com a maior 
comprimento. Então, considerando que o conjunto tem n = 150 observações, basta separar 
os 15 últimos elementos, que são justamente os pertencentes à última coluna. Neste caso 
o 90º percentil é igual a 37. Isto significa que 90% dos exemplares apresentam 
comprimento inferior a 37 cm. 
 
Comprimento em cm de 150 amostras de folhas de babosa 
 
Para dados agrupados em distribuições de freqüências pode-se utilizar a fórmula dadapor: 
 
c
P
a
IPP h
f
f
pn
LP












−
+= 100 
 
onde: 
LIP = limite inferior da classe que contém o p–ésimo percentil, isto é, da classe cuja 
freqüência acumulada é igual ou imediatamente superior a pn / 100. 
fa = freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o p–ésimo percentil. 
fP = freqüência absoluta da classe que contém o p–ésimo percentil. 
hc = amplitude da classe que contém o p–ésimo percentil. 
 
Exemplo 1 – Calcular o 90º percentil e o 10º percentil para a distribuição de freqüências abaixo, 
que foi obtida dos dados mostrados no exemplo anterior 
 
__________________________________________ 
 Classes fi fa 
 
135
100
15090
100
==
xpn 
O valor procurado pertence à 6ª. classe, que tem frequência acumulada igual a 138. 
LIP = 35 
fa = 125 
fP = 13 
h = 38 – 35 = 3 
Substituindo na fórmula 
 
3,373
13
125135
3590 =




 −
+=P 
 
5.7.5 – Medidas de Curtose 
A Curtose mede o achatamento de uma distribuição de freqüências, em 
comparação com uma distribuição normal e é avaliada através do coeficiente percentílico 
de Curtose dado por 
 
Para uma distribuição normal, o coeficiente de curtose é C = 0,263 e a distribuição 
é chamada de mesocúrtica. Se o valor calculado para C é inferior a 0,263, diz-se que a 
distribuição é leptocúrtica (alongada). Se o valor é superior a 0,263, diz-se que a 
distribuição é platicúrtica (achatada). As três situações são ilustradas nas figuras abaixo. 
 A caracterização do tipo de curtose auxilia na avaliação da dispersão dos dados 
do conjunto. Uma distribuição leptocúrtica possui dispersão baixa, enquanto uma 
distribuição platicúrtica possui dispersão elevada, tomando como referência a dispersão 
verificada em uma distribuição normal. 
 
 
Distribuição mesocúrtica 
 
 
Distribuição leptocúrtica 
 
 
Distribuição platicúrtica