Resumo - Integração de Funções Racionais por Frações Parciais

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Integração de Funções Racionais por Frações 
Parciais: Caso Quadrático 
Exemplos: 
 
a)  
 dx
xxx
xx
44²³
203²8 
 
 
 
Fatorando o denominador: 
 
)4²)(1()1(4)1²(44²³  xxxxxxxx 
 
Obs: IRxxxx  44²04² 
Frações Parciais: 
 
 
)4²)(1(
)1)(()4²(
4²1)4²)(1(
203²8










xx
xCBxxA
x
CBx
x
A
xx
xx
 
 
 
 
 
)4²)(1(
4)(²)(
)4²)(1(
²4²




xx
ACxCBxBA
xx
CCxBxBxAAx
 
 
 
 
 
 
O que leva ao sistema: 
 
 
 
 
 







204
3
8
AC
CB
BA
 
 
 
0,3,5  CBA 
 
 
 
 
 
 
Integrando: 
 
 











  dxx
x
x
dx
xxx
xx
4²
3
1
5
44²³
203²8
 
 
 
 




  dxx
x
x
dx
4²
3
1
5 
 
 
 
Cxx  |4²|ln
2
3|1|ln5 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)  
 dx
xx
xx
²2
22³3
4 
 
 
 
Fatorando o denominador: 
)2²(.)2²²(²24  xxxxxxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Frações Parciais: 
 









)2²²(
²)()2²()2²(
2²)2²²(
22³3
2 xx
xDCxxBxAx
x
DCx
x
B
x
A
xx
xx
 
 
)2²²(
22²)(³)(



xx
BAxxDBxCA
 
 
 
 
 
O que leva ao sistema: 
 










22
22
0
3
B
A
DB
CA
 
 
 
1,2,1,1  DCBA 
 
 
 
Integrando: 
 







 dx
x
x
xx
dx
xx
xx
2²
12
²
)1(1
²2
22³3
4 
 
  2²2²2² x
dxdx
x
x
x
dx
x
dx
 
 
2
arctan
2
1|2²|ln
2
1.2
1
||ln
1 xxxx 








 
 





 xx
x
x
2
2arctan
2
2|2²|ln1||ln 
 
Fórmulas utilizadas: 
 
Cu
u
du  ||ln 
 
C
a
u
aau
du 
 arctan
1
²²
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
A)   44²³ xxx
dx 
CxxxR 
2
arctan
10
1|4²|ln
10
1|1|ln
5
1: 
B)  
 dx
xx
x
³
3 
CxxxR  arctan|1²|ln
2
3||ln3: 
C)   dxx
x
14
 
CxxxR  |1²|ln
4
1|1|ln
4
1|1|ln
4
1: