Prévia do material em texto

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
A solução de sistemas lineares é uma ferramenta matemática muito importante na engenharia. 
Normalmente os problemas não-lineares são solucionados por ferramentas lineares. Alguns problemas de 
equações lineares algébricas aplicados à engenharia incluem: 
• aproximação de equações diferenciais ou integrais através de sistemas discretas e finitos; 
• linearização local de sistemas de equações não lineares; 
• ajuste de curvas em dados. 
 
Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo: 
 









=+++
=+++
=+++
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
............
..................................................................
..................................................................
............
............
332211
22323222121
11313212111
 
 
 
Este sistema pode ser representado através de uma representação matricial da forma  x = b onde: 
A – matriz de coeficientes de ordem nn 
x – vetor de incógnitas de ordem 1n 
b – vetor independente de ordem 1n 
 
Resolução de um sistema linear 
Sistemas lineares 2 x 2 
Resolução pelo método da adição 
1) {
3𝑥 − 𝑦 = 10
2𝑥 + 5𝑦 = 1
 2) {
𝑥 − 2𝑦 = 5
2𝑥 − 4𝑦 = 2
 3) {
2𝑥 − 6𝑦 = 8
3𝑥 − 9𝑦 = 12
 
 
Interpretação geométrica dos sistemas lineares 2 x 2 
Geometricamente em sistema 2 x 2, tem duas retas, e as posições dessas retas podem ser concorrentes, 
paralelas ou coincidentes. 
1) {
3𝑥 − 𝑦 = 10
2𝑥 + 5𝑦 = 1
 2) {
𝑥 − 2𝑦 = 5
2𝑥 − 4𝑦 = 2
 3) {
2𝑥 − 6𝑦 = 8
3𝑥 − 9𝑦 = 12
 
Exercício: Resolva cada sistema 2 x 2 usando o método da adição; classifique-o quanto ao número de 
soluções e faça sua representação gráfica. 
a) {
4𝑥 + 2𝑦 = 4
2𝑥 + 𝑦 = 5
 b) {
3𝑥 − 2𝑦 = −12
5𝑥 + 6𝑦 = 8
 c) {
5𝑥 − 10𝑦 = 15
2𝑥 − 4𝑦 = 6
 
 
 
Resolução de um sistema linear por meio do escalonamento. 
Exemplo: Determine os valores de x, y e z, do sistema {
 𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 1
2𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 4
 𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 5
 
Para facilitar usaremos uma matriz que está associada ao sistema. 
 [
1 4 3
2 5 4
1 −3 −2
 
1
4
5
] 
𝐿2 = 2. 𝐿1 − 𝐿2
𝐿3 = 𝐿1 − 𝐿3 
 
~ [
1 4 3
0 3 2
0 7 5
 
1
−2
−4
] L3 = 7.L2 – 3.L3 
~ [
1 4 3
0 3 2
0 0 −1
 
1
−2
−2
] 
Logo o sistema {
 𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 1
2𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 4
 𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 5
 é equivalente a {
𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 1
0𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = −2
0𝑥 + 0𝑦 − 1𝑧 = −2
 
Temos então que z = 2, substituindo na segunda equação temos y = -2 e substituindo y e z na primeira 
equação temos x = 3. Portando a solução do sistema é S = {(3, -2, 2)} 
Propriedades: Para escalonar um sistema usamos as seguintes operações: 
1. Multiplicar uma equação por um número diferente de zero. 
2. Adicionar uma equação a outra. 
3. Permutar duas equações. 
 
Classificação e resolução de sistemas lineares escalonados 
 Para classificar um sistema escalonado, basta observar a última linha. Mas é preciso estar atento, 
pois a última linha num sistema de n incógnita é a n-ésima linha, que, se não existir, deve ser considerada 
totalmente nula (0x + 0y + 0z + ... = 0, equivale a 0 = 0). 
 Na última linha, podemos ter: 
• uma equação do 1º grau com uma incógnita (exemplo: 2z = 4; 5w = 0; z = -1, ...): o sistema é SPD; 
• uma igualdade sem incógnitas que é verdadeira (exemplo: 0 = 0; 2 = 2; 5 = 5; ...): o sistema é SPI; 
• uma igualdade sem incógnitas que é falsa (exemplo: 0 = 9; 0 = 2; 0 = -4; ...): o sistema é SI. 
 
SPD – o sistema é possível e determinado 
SPI – o sistema é possível e indeterminado 
SI – o sistema impossível 
 
Exemplos 
1º{
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −6
 4𝑦 − 2𝑧 = 0
 5𝑧 = 10
) sistema 3 x 3 já escalonado (número de equações = número de incógnitas) 
Da 3ª equação tiramos z = 2. Da segunda, fazendo z = 2, temos y = 1. Fazendo y = 1 e z = 2 na 1ª equação, 
temos x = -2. Podemos concluir que o sistema é possível e determinado, com S = {(-2, 1, 2)}. 
2º) {
9𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 𝑤 = 1
 𝑦 − 2𝑧 + 4𝑤 = 6
 5𝑧 + 2𝑤 = 3
 0𝑤 = 9
 sistema 4 x 4 já escalonado. 
A 4ª equação permite dizer que o sistema é impossível, logo S = ∅. 
3º) {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
 3𝑦 − 6𝑧 = 0
 sistema 2 x 3 já escalonado (número de equações < número de variáveis) 
Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas que equações e pelo menos um coeficiente não-
nulo em cada equação, ele é possível e indeterminado, pois as que ações que faltam podem ser consideradas 
todas 0 = 0. A incógnita que não aparece no começo das equações é chamada incógnita livre. 
Nesse exemplo, z é a incógnita livre. Fazemos z = k, com k ∈ R, para descobrir a solução geral do 
sistema. Da 2ª equação, temos 3y – 6k = 0 → y = 2k. Usando z = k e y = 2k, temos x + 2k + k = 0 → x = - 3k. 
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (-3k, 2k, k). No 3º exemplo dizemos que 
o grau de indeterminação é 1 (3 – 2) e que temos uma variável livre. 
• para k = 0, a solução é (0, 0, 0); 
• para k ≠ 0, as soluções são (-3, 2, 1), (-15, 10, 5) e outras. 
4º) {
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 2
 2𝑧 + 3𝑡 = 1
 
Aqui o sistema é possível e indeterminado (está escalonado e tem duas equações e quatro incógnitas) e são 
duas as incógnitas livres (y e t). Fazemos y = 𝛼 e t = 𝛽, com 𝛼 ∈ R e 𝛽 ∈ R. 
Substituindo nas equações: 
2z + 3𝛽 = 1 → 2z = 1 - 3𝛽 → z = 
1−3𝛽
2
 
2x - 𝛼 + 
1−3𝛽
2
 – 𝛽 = 2 → 4x = 2𝛼 - 1 + 3𝛽 + 2𝛽 + 4 → 4x = 2𝛼 + 5𝛽 + 3 → x = 
2𝛼 +5𝛽+3
4
 
Solução geral: (
2𝛼+5𝛽+3
4
, 𝛼,
1−3𝛽
2
, 𝛽) 
No 4º exemplo o grau de indeterminação é 2 (4 – 2) e são duas as variáveis livres. O sistema tem infinitas 
soluções e duas delas são (2, 0, -1, 1) e (
11
2
, 2, −4, 3). 
Sistemas lineares homogêneos 
Todo sistema linear, onde o termo independente é igual a zero, é chamado de sistema linear homogêneo. 
Exemplos: 
01) {
2𝑥 + 𝑦 = 0
𝑥 − 𝑦 = 0
 02) {
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
 𝑦 − 3𝑧 = 0
 
 
Observação: todos os sistemas lineares homogêneos possuem pelo menos uma solução, chamada de solução 
trivial, é quando todas as incógnitas são iguais a zero. x = y = w = ... = z = 0 
Exercícios 
01. Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados. 
a) {
2𝑥 – 𝑦 + 3𝑧 = 0
 2𝑦 − 𝑧 = 1
 2𝑧 = −6
 
 
b) {
5𝑥 – 2𝑦 + 𝑧 = 3
 4𝑦 − 𝑧 = 5
 0𝑧 = 8
 
 
c) {
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
 𝑦 − 𝑧 = 0
 
 
d) {
𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = 𝑧
 𝑐 − 𝑑 = 0
 
02. Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo: 
a) {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 7
2𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 21
−3𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = −8
 
 
b) {
 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 6
 
 
c) {
2𝑥 − 4𝑦 + 10𝑧 = 6
3𝑥 − 6𝑦 + 15𝑧 = 11
 
 
d) {
𝑥 + 3𝑦 = 2
 −11𝑦 = −11
7𝑦 = 7
 
 
e) {
𝑥 − 2𝑦 = 4
4𝑥 − 6𝑦 = 10
6𝑥 + 9𝑦 = 0
 
 
f) {
3𝑥 − 9𝑦 = 6
5𝑥 − 15𝑦 = 10
−2𝑥 + 6𝑦 = −4
Resolução de sistemas pela regra de Cramer 
A solução de cada componente do vetor de incógnitas é dada pela relação de dois 
determinantes: 


= iix onde: 
•  = determinante da matriz A 
• i = determinante da matriz A com a i
ésima coluna substituída pelo vetor independente b. 
 
01. Resolva os sistemas pela regra de Cramer: 
a) {
2𝑥 − 5𝑦 = −2
3𝑥 + 2𝑦 = 16
 b) {
5𝑥 + 𝑦 − 1 = 2(𝑥 + 𝑦)
2𝑥 + 2𝑦 = 4 − 3𝑥 
 
 
02. Resolva a equação matricial (
1 −1
2 5
) ∙ (
𝑥
𝑦) = (
4
1
) usando a regra de Cramer. 
 
03. Resolva o sistema {
1
𝑥
+ 
1
𝑦
= 3
2
𝑥
+ 
3
𝑦
= 1
 usando a regra de Cramer. 
 
04. Resolva o sistema {
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 3
 
 
Exercícios 
01. Classifique os sistemas lineares seguintes em determinado, indeterminado ou 
impossível em função do parâmetro m. 
a) {
𝑚𝑥 + 2𝑦 = 𝑚 − 1
2𝑥 + 4𝑦 = 3𝑚 
 b) {
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑚𝑧 = 0
𝑥+ 𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 – 𝑦 − 𝑧 = 0
 
 
02. Determine os valores de k e de m a fim de que o sistema de equações seguinte seja 
indeterminado. Obtenha também a solução geral do sistema e, por fim, explicite duas 
soluções possíveis. 
{
3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0
−𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 𝑚
𝑥 + 𝑦 − 𝑘𝑧 = 2
 
 
03. Determine o valor de m para que o sistema de equações seguinte seja indeterminado. 
Depois disso, com o valor obtido para m, encontre duas possíveis soluções reais, isto é, 
determine dois conjuntos de valores de a, b e c que verifiquem simultaneamente as três 
equações. 
{
 𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 1
 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = 0
𝑚𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 2