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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES A solução de sistemas lineares é uma ferramenta matemática muito importante na engenharia. Normalmente os problemas não-lineares são solucionados por ferramentas lineares. Alguns problemas de equações lineares algébricas aplicados à engenharia incluem: • aproximação de equações diferenciais ou integrais através de sistemas discretas e finitos; • linearização local de sistemas de equações não lineares; • ajuste de curvas em dados. Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo: =+++ =+++ =+++ nnnnnnn nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa ............ .................................................................. .................................................................. ............ ............ 332211 22323222121 11313212111 Este sistema pode ser representado através de uma representação matricial da forma x = b onde: A – matriz de coeficientes de ordem nn x – vetor de incógnitas de ordem 1n b – vetor independente de ordem 1n Resolução de um sistema linear Sistemas lineares 2 x 2 Resolução pelo método da adição 1) { 3𝑥 − 𝑦 = 10 2𝑥 + 5𝑦 = 1 2) { 𝑥 − 2𝑦 = 5 2𝑥 − 4𝑦 = 2 3) { 2𝑥 − 6𝑦 = 8 3𝑥 − 9𝑦 = 12 Interpretação geométrica dos sistemas lineares 2 x 2 Geometricamente em sistema 2 x 2, tem duas retas, e as posições dessas retas podem ser concorrentes, paralelas ou coincidentes. 1) { 3𝑥 − 𝑦 = 10 2𝑥 + 5𝑦 = 1 2) { 𝑥 − 2𝑦 = 5 2𝑥 − 4𝑦 = 2 3) { 2𝑥 − 6𝑦 = 8 3𝑥 − 9𝑦 = 12 Exercício: Resolva cada sistema 2 x 2 usando o método da adição; classifique-o quanto ao número de soluções e faça sua representação gráfica. a) { 4𝑥 + 2𝑦 = 4 2𝑥 + 𝑦 = 5 b) { 3𝑥 − 2𝑦 = −12 5𝑥 + 6𝑦 = 8 c) { 5𝑥 − 10𝑦 = 15 2𝑥 − 4𝑦 = 6 Resolução de um sistema linear por meio do escalonamento. Exemplo: Determine os valores de x, y e z, do sistema { 𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 1 2𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 4 𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 5 Para facilitar usaremos uma matriz que está associada ao sistema. [ 1 4 3 2 5 4 1 −3 −2 1 4 5 ] 𝐿2 = 2. 𝐿1 − 𝐿2 𝐿3 = 𝐿1 − 𝐿3 ~ [ 1 4 3 0 3 2 0 7 5 1 −2 −4 ] L3 = 7.L2 – 3.L3 ~ [ 1 4 3 0 3 2 0 0 −1 1 −2 −2 ] Logo o sistema { 𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 1 2𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 4 𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 5 é equivalente a { 𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 1 0𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = −2 0𝑥 + 0𝑦 − 1𝑧 = −2 Temos então que z = 2, substituindo na segunda equação temos y = -2 e substituindo y e z na primeira equação temos x = 3. Portando a solução do sistema é S = {(3, -2, 2)} Propriedades: Para escalonar um sistema usamos as seguintes operações: 1. Multiplicar uma equação por um número diferente de zero. 2. Adicionar uma equação a outra. 3. Permutar duas equações. Classificação e resolução de sistemas lineares escalonados Para classificar um sistema escalonado, basta observar a última linha. Mas é preciso estar atento, pois a última linha num sistema de n incógnita é a n-ésima linha, que, se não existir, deve ser considerada totalmente nula (0x + 0y + 0z + ... = 0, equivale a 0 = 0). Na última linha, podemos ter: • uma equação do 1º grau com uma incógnita (exemplo: 2z = 4; 5w = 0; z = -1, ...): o sistema é SPD; • uma igualdade sem incógnitas que é verdadeira (exemplo: 0 = 0; 2 = 2; 5 = 5; ...): o sistema é SPI; • uma igualdade sem incógnitas que é falsa (exemplo: 0 = 9; 0 = 2; 0 = -4; ...): o sistema é SI. SPD – o sistema é possível e determinado SPI – o sistema é possível e indeterminado SI – o sistema impossível Exemplos 1º{ 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −6 4𝑦 − 2𝑧 = 0 5𝑧 = 10 ) sistema 3 x 3 já escalonado (número de equações = número de incógnitas) Da 3ª equação tiramos z = 2. Da segunda, fazendo z = 2, temos y = 1. Fazendo y = 1 e z = 2 na 1ª equação, temos x = -2. Podemos concluir que o sistema é possível e determinado, com S = {(-2, 1, 2)}. 2º) { 9𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 𝑤 = 1 𝑦 − 2𝑧 + 4𝑤 = 6 5𝑧 + 2𝑤 = 3 0𝑤 = 9 sistema 4 x 4 já escalonado. A 4ª equação permite dizer que o sistema é impossível, logo S = ∅. 3º) { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 3𝑦 − 6𝑧 = 0 sistema 2 x 3 já escalonado (número de equações < número de variáveis) Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas que equações e pelo menos um coeficiente não- nulo em cada equação, ele é possível e indeterminado, pois as que ações que faltam podem ser consideradas todas 0 = 0. A incógnita que não aparece no começo das equações é chamada incógnita livre. Nesse exemplo, z é a incógnita livre. Fazemos z = k, com k ∈ R, para descobrir a solução geral do sistema. Da 2ª equação, temos 3y – 6k = 0 → y = 2k. Usando z = k e y = 2k, temos x + 2k + k = 0 → x = - 3k. Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (-3k, 2k, k). No 3º exemplo dizemos que o grau de indeterminação é 1 (3 – 2) e que temos uma variável livre. • para k = 0, a solução é (0, 0, 0); • para k ≠ 0, as soluções são (-3, 2, 1), (-15, 10, 5) e outras. 4º) { 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 2 2𝑧 + 3𝑡 = 1 Aqui o sistema é possível e indeterminado (está escalonado e tem duas equações e quatro incógnitas) e são duas as incógnitas livres (y e t). Fazemos y = 𝛼 e t = 𝛽, com 𝛼 ∈ R e 𝛽 ∈ R. Substituindo nas equações: 2z + 3𝛽 = 1 → 2z = 1 - 3𝛽 → z = 1−3𝛽 2 2x - 𝛼 + 1−3𝛽 2 – 𝛽 = 2 → 4x = 2𝛼 - 1 + 3𝛽 + 2𝛽 + 4 → 4x = 2𝛼 + 5𝛽 + 3 → x = 2𝛼 +5𝛽+3 4 Solução geral: ( 2𝛼+5𝛽+3 4 , 𝛼, 1−3𝛽 2 , 𝛽) No 4º exemplo o grau de indeterminação é 2 (4 – 2) e são duas as variáveis livres. O sistema tem infinitas soluções e duas delas são (2, 0, -1, 1) e ( 11 2 , 2, −4, 3). Sistemas lineares homogêneos Todo sistema linear, onde o termo independente é igual a zero, é chamado de sistema linear homogêneo. Exemplos: 01) { 2𝑥 + 𝑦 = 0 𝑥 − 𝑦 = 0 02) { 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 𝑦 − 3𝑧 = 0 Observação: todos os sistemas lineares homogêneos possuem pelo menos uma solução, chamada de solução trivial, é quando todas as incógnitas são iguais a zero. x = y = w = ... = z = 0 Exercícios 01. Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados. a) { 2𝑥 – 𝑦 + 3𝑧 = 0 2𝑦 − 𝑧 = 1 2𝑧 = −6 b) { 5𝑥 – 2𝑦 + 𝑧 = 3 4𝑦 − 𝑧 = 5 0𝑧 = 8 c) { 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 𝑦 − 𝑧 = 0 d) { 𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = 𝑧 𝑐 − 𝑑 = 0 02. Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo: a) { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 7 2𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 21 −3𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = −8 b) { 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1 2𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 6 c) { 2𝑥 − 4𝑦 + 10𝑧 = 6 3𝑥 − 6𝑦 + 15𝑧 = 11 d) { 𝑥 + 3𝑦 = 2 −11𝑦 = −11 7𝑦 = 7 e) { 𝑥 − 2𝑦 = 4 4𝑥 − 6𝑦 = 10 6𝑥 + 9𝑦 = 0 f) { 3𝑥 − 9𝑦 = 6 5𝑥 − 15𝑦 = 10 −2𝑥 + 6𝑦 = −4 Resolução de sistemas pela regra de Cramer A solução de cada componente do vetor de incógnitas é dada pela relação de dois determinantes: = iix onde: • = determinante da matriz A • i = determinante da matriz A com a i ésima coluna substituída pelo vetor independente b. 01. Resolva os sistemas pela regra de Cramer: a) { 2𝑥 − 5𝑦 = −2 3𝑥 + 2𝑦 = 16 b) { 5𝑥 + 𝑦 − 1 = 2(𝑥 + 𝑦) 2𝑥 + 2𝑦 = 4 − 3𝑥 02. Resolva a equação matricial ( 1 −1 2 5 ) ∙ ( 𝑥 𝑦) = ( 4 1 ) usando a regra de Cramer. 03. Resolva o sistema { 1 𝑥 + 1 𝑦 = 3 2 𝑥 + 3 𝑦 = 1 usando a regra de Cramer. 04. Resolva o sistema { 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 3 Exercícios 01. Classifique os sistemas lineares seguintes em determinado, indeterminado ou impossível em função do parâmetro m. a) { 𝑚𝑥 + 2𝑦 = 𝑚 − 1 2𝑥 + 4𝑦 = 3𝑚 b) { 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑚𝑧 = 0 𝑥+ 𝑦 + 𝑧 = 0 2𝑥 – 𝑦 − 𝑧 = 0 02. Determine os valores de k e de m a fim de que o sistema de equações seguinte seja indeterminado. Obtenha também a solução geral do sistema e, por fim, explicite duas soluções possíveis. { 3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 −𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 𝑚 𝑥 + 𝑦 − 𝑘𝑧 = 2 03. Determine o valor de m para que o sistema de equações seguinte seja indeterminado. Depois disso, com o valor obtido para m, encontre duas possíveis soluções reais, isto é, determine dois conjuntos de valores de a, b e c que verifiquem simultaneamente as três equações. { 𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 1 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = 0 𝑚𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 2
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