Prova Substutiva CÁLCULO APLICADO ￾ VÁRIAS VARIÁVEIS

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GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01 Prova N2
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Usuário DIEGO AMARAL ROLA
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ENGPD202 - 202010.ead-4825.01
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Iniciado 22/04/20 14:03
Enviado 22/04/20 16:32
Status Completada
Resultado da tentativa 5 em 10 pontos  
Tempo decorrido 2 horas, 28 minutos
Instruções
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Pergunta 1
Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas a partir de pedaços quadrados de papelão com 169 cm 2 , cortando
quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Veja a representação a seguir: 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
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https://anhembi.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_561558_1&content_id=_12633893_1&mode=reset
https://anhembi.blackboard.com/bbcswebdav/pid-12633935-dt-content-rid-84766551_1/xid-84766551_1
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resposta:
Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter uma caixa com o
maior volume possível.
2.17 cm.
2.17 cm.
Resposta correta. A alternativa está correta. A função volume é dada pela expressão  , em
que  . Calculando  para cada uma das alternativas, concluímos que o valor do quadrado a ser recortado
deve ter 2.17 cm, pois este apresenta o maior volume: 
-   
-   
-   
-   
-   
Pergunta 2
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
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resposta:
O processo de cálculo da derivada de uma função a partir de sua definição se torna um pouco complicado em alguns casos, pois sua
definição envolve cálculos de limites. No entanto, a partir da definição, é possível formular regras de derivação que possibilitam encontrar
derivadas com mais facilidade. 
 
Considerando o exposto, sobre as regras de derivação, analise as afirmativas a seguir. 
 
I. Se  , então  .
II. Se  , então  .
III. Se  , então  .
IV. Se  , então  .
 
Está correto o que se afirma em:
I e IV, apenas.
I e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois podemos escrever  . Ao aplicar a regra da
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potência, temos que . 
Podemos escrever  . Assim, ao aplicar a regra da potência, temos que
.
Pergunta 3
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da
resposta:
Podemos calcular integrais duplas para regiões de formas mais gerais. Essas regiões podem ser classificadas em regiões do tipo I e do tipo
II. Uma região do tipo I fornece como parâmetros para a variável   funções de  , isto é,  .
Já regiões do tipo II fornecem como parâmetros para a variável   funções de  , isto é,  .
Assinale a alternativa que corresponde ao valor da integral  , onde   é a região limitada pelas curvas   e 
 :
36.
36.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a região   pode ser vista tanto como uma região do tipo I como do tipo
II. No entanto, ao considerá-la como uma região do tipo II, temos uma resolução menos trabalhosa. Assim, 
. Calculando a integral, obtemos: 
Pergunta 4
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma
constante. Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão da função e suas derivadas
na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução.
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A função   é solução da equação diferencial  .
II. A função   é solução da equação diferencial  .
III. A função   é solução da equação diferencial  .
IV. A função   é solução da equação diferencial  .
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resposta:
 
É correto o que se afirma em:
  
 
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a definição de solução de uma equação diferencial,
temos que estão corretas as afirmativas II e IV, pois: 
Afirmativa II: Correta. Dada a função  , temos  . Repare que   Trocando   na equação
diferencial, temos: 
 
Afirmativa IV: correta. Dada a função  , temos   e  . Trocando  ,   e   na
equação diferencial, temos: 
.
Pergunta 5
Analise a figura a seguir:
 
    
Figura: Semicircunferência no primeiro quadrante.
Fonte: Elaborada pela autora.
 
A figura apresenta uma semicircunferência localizada no primeiro quadrante do plano cartesiano. Essa pode ser expressa em coordenadas
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polares como  , com  . Supondo uma lâmina com o formato da região acima, a medida da densidade de massa por
unidade de área em qualquer ponto é proporcional à medida de sua distância até a origem, isto é,  , onde   é uma constante.
Assinale a alternativa que corresponde à massa da lâmina descrita acima considerando   e   e sabendo que 
 .
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois a região de integração é dada por 
. Como os parâmetros da variável   dependem da variável  , para
integrarmos  , começaremos integrando em relação à variável  , assim, obtemos a massa: 
.
Pergunta 6
Analise a figura a seguir: 
 
Fonte: Stewart (2016, p. 906).
 
Calcular uma integral dupla em coordenadas retangulares às vezes pode ser complicado, assim, é necessário tomarmos uma mudança de
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resposta:
coordenadas para facilitar os cálculos. A mudança para coordenadas polares em uma integral dupla pode ser vista da seguinte forma: “Se 
  é contínua no retângulo polar   dado por  ,  , onde  , então 
 ”.
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 2, p. 905.
 
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido limitado pelo plano   e pelo paraboloide   e
assinale a alternativa correta:
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois quando  , a região no plano   é dada pela expressão 
. Assim, o sólido se encontra abaixo do paraboloide e acima do círculo   Em coordenadas
polares, temos que a região de integração será dada por  e o paraboloide expresso
por  . Assim, o volume do sólido será:
.
Pergunta 7
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O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um
resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativodentro
da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função   é o conjunto  .
II - O domínio da função   é o conjunto  .
III - O domínio da função   é o conjunto  .
IV - O domínio da função   é o conjunto  .
  
  
 
I, IV
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resposta:
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função, concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função   é o conjunto 
. 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função   é o conjunto 
.
Pergunta 8
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da
resposta:
Uma função   é denominada racional quando for obtida pela divisão de dois polinômios, isto é,  . Para integrar esse tipo de
função quando o grau da função   for maior que o grau da função  , é possível fazer uso da seguinte formulação 
 , em que   são constantes e   são as raízes do polinômio 
 . A partir dessas informações, calcule a integral   e assinale a alternativa correta.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Temos que   e  . O grau da
função   é maior que o grau da função  . As raízes da função   são   e  , isto é, 
. Assim, 
      . Logo,   e  . Desse modo, ao aplicar o método
citado no enunciado, podemos resolver esta integral da seguinte forma: 
.
Pergunta 9
Na física, a integral da função velocidade   resulta na função posição  . Considere uma partícula, em trajetória retilínea, que obedece a
função de velocidade  , em que a unidade de medida da velocidade   equivale a metros por segundo e a unidade
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Quarta-feira, 22 de Abril de 2020 16h32min35s BRT
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resposta:
de medida do tempo   corresponde a segundos. Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta a função de posição da partícula,
sabendo que a posição inicial desta é de 4 m, isto é,  .
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Com base no enunciado, temos que  .
Então, . Dado que a posição inicial da partícula é 4
m, ou seja,  , determinaremos o valor da constante C. Como   e  , temos que
. Dessa maneira, a função posição procurada é 
.
Pergunta 10
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da
resposta:
Ao derivarmos uma função, podemos sempre obter outra função. Na Física, por exemplo, a derivada da função velocidade   resulta na
função aceleração  . Considere uma partícula, em trajetória retilínea, que obedece a função de velocidade  , em que
a unidade de medida da velocidade equivale a metros por segundo e a unidade de medida do tempo   corresponde a segundos. Com
base no exposto, assinale a alternativa correta.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A função velocidade é uma função polinomial de grau 2.
Quando esse tipo de função é derivada, temos que sua derivada é uma função polinomial com um grau de uma unidade
menor. Logo, a função aceleração é uma função polinomial de grau 1 dada por  .
 OK
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