Prova A5 (N2) CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS

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CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS
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Pergunta 1)
Considere a função de duas variáveis image0035e2f17d9_20211112220934.gif, tal que as variáveis image0045e2f17d9_20211112220934.gif e image0055e2f17d9_20211112220935.gif são funções das variáveis image3005e2f17d9_20211112220935.gif e image3015e2f17d9_20211112220935.gif, isto é, image3025e2f17d9_20211112220936.gif e image3035e2f17d9_20211112220936.gif. A derivada da função image3045e2f17d9_20211112220936.gif com relação à variável image3005e2f17d9_20211112220937.gif é obtida por meio da regra da cadeia expressa por image3055e2f17d9_20211112220937.gif. Já a derivada de image0395e2f17d9_20211112220937.gif com relação à variável image3015e2f17d9_20211112220938.gif é obtida por meio da expressão image3065e2f17d9_20211112220938.gif.
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função image3075e2f17d9_20211112220938.gif com relação às variáveis image3005e2f17d9_20211112220939.gif e image3015e2f17d9_20211112220939.gif, sabendo que image3085e2f17d9_20211112220940.gif e image3095e2f17d9_20211112220940.gif.
Resposta:
image3165e2f17d9_20211112220944.gif e image3175e2f17d9_20211112220944.gif
Pergunta 2)
Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma image0725e2f1cab_20211112221239.gif. O nome separável vem do fato de que a equação pode ser separada em uma função de image0235e2f1cab_20211112221239.gif e uma função de image0735e2f1cab_20211112221239.gif. A solução de tal equação é obtida ao integrarmos ambos os lados da igualdade.
 
Dado que image0745e2f1cab_20211112221239.gif é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde à solução da equação diferencial separável image0755e2f1cab_20211112221240.gif.
Resposta: 
image0805e2f1cab_20211112221242.gif.
Pergunta 3)
Para calcular a área de uma região limitada por duas funções, é possível se utilizar da teoria de integrais. Com ela, a área entre duas funções image0175e2f0e73_20211112220733.gif e image2525e2f0e73_20211112220733.gif limitada em um intervalo image2535e2f0e73_20211112220733.gif pode ser definida como image2545e2f0e73_20211112220733.gif, desde que image2555e2f0e73_20211112220734.gif para todo image2535e2f0e73_20211112220734.gif. Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta a área da região limitada pelas funções image2565e2f0e73_20211112220734.gif e image2575e2f0e73_20211112220734.gif no intervalo image2585e2f0e73_20211112220734.gif.
Resposta: 
image2695e2f0e73_20211112220737.gif.
Pergunta 4)
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da função image2045e2f17d9_20211112220837.gif.
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto image2055e2f17d9_20211112220837.gif na direção do vetor image1835e2f17d9_20211112220838.gif.
 
Resposta: 
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
Pergunta 5)
Considere uma função de duas variáveis positiva, isto é, image0115e345dc4_20211112221402.gif. Se a função image0125e345dc4_20211112221403.gif está limitada a uma região retangular image0135e345dc4_20211112221403.gif, o volume image0145e345dc4_20211112221403.gif do sólido que está acima da região retangular e abaixo da superfície image0155e345dc4_20211112221404.gif é obtido por meio da expressão image0165e345dc4_20211112221404.gif Utilize a expressão acima para calcular o volume do sólido que está acima da região image0175e345dc4_20211112221404.gif e abaixo da superfície image0185e345dc4_20211112221404.gif. Assinale a alternativa que representa o volume do sólido considerado:
Resposta: 
13 u.v.
Pergunta 6)
Leia o excerto a seguir:
 
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é image1245e2f1cab_20211112221214.gif. A queda de voltagem por causa do indutor é image1255e2f1cab_20211112221214.gif. Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida image1265e2f1cab_20211112221214.gif. Então. temos image1275e2f1cab_20211112221215.gif, que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no instante image0245e2f1cab_20211112221215.gif” (STEWART, 2016, p. 537).
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Considerando uma resistência de image1285e2f1cab_20211112221215.gif, uma indutância de image1295e2f1cab_20211112221215.gif e uma voltagem constante de image1305e2f1cab_20211112221216.gif, assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente do circuito  quando o interruptor é ligado em image1315e2f1cab_20211112221216.gif.
Resposta: 
image1485e2f1cab_20211112221221.gif.
Pergunta 7)
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
 
De acordo com essa definição e considerando a função image1625e2f17d9_20211112220947.gif e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta.
Resposta: 
image1805e2f17d9_20211112220954.gif na direção de image1815e2f17d9_20211112220954.gif.
Pergunta 8)
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial image1955e2f1cab_20211112221118.gif se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: image1965e2f1cab_20211112221118.gif, onde image1975e2f1cab_20211112221119.gif representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo image0245e2f1cab_20211112221119.gif. Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial image1955e2f1cab_20211112221119.gif reduzida em 0,043% após 15 anos.
 
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é image1985e2f1cab_20211112221119.gif.
II. A função que representa o problema descrito é image1995e2f1cab_20211112221120.gif.
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de image2005e2f1cab_20211112221120.gif.
 
É correto o que se afirma em:
Resposta: 
I e II, apenas.
Pergunta 9)
As integrais duplas podem ser interpretadas geometricamente como o volume de um sólido limitado entre uma região plana e uma superfície. Esse resultado continua válido independente do sistema de coordenadas adotado, sejam coordenadas cartesianas ou coordenadas polares. Assinale a alternativa que corresponde ao volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cone image2755e345dc4_20211112221348.gif e pelo cilindro image2765e345dc4_20211112221348.gif
Resposta: 
image2825e345dc4_20211112221350.gif
Pergunta 10)
A área de uma região no plano image0735e345dc4_20211112221306.gif também pode ser obtida por meio da integral dupla, na qual consideramos que image0745e345dc4_20211112221306.gif. Na região retangular image0275e345dc4_20211112221306.gif, temos que image0755e345dc4_20211112221307.gif e image0765e345dc4_20211112221307.gif, onde image0775e345dc4_20211112221307.gif e image0785e345dc4_20211112221307.gif são funções da variável image0215e345dc4_20211112221308.gif, com image0795e345dc4_20211112221308.gifpara todo image0805e345dc4_20211112221308.gif. Assim, podemos escrever image0815e345dc4_20211112221308.gif. De acordo com a teoria de integrais duplas, assinale a alternativa que corresponde à área da região do plano image0735e345dc4_20211112221309.gif limitada pelas curvas image0825e345dc4_20211112221309.gif e image0835e345dc4_20211112221309.gif.
Resposta: 
image0935e345dc4_20211112221313.gif