Efeito substituicao e efeito rendimento

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UNIVERSIDADE SÃO TOMÁS DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÓMICAS E EMPRESARIAIS 
Curso: Gestao de Empresas 
 
Efeito substituição e Efeito-rendimento (Introdução aos dois métodos: de 
Hicks e de Slutsky) 
Uma redução no preço de uma mercadoria tem dois efeitos: 
1. Os consumidores tenderão a comprar mais do bem que se tornou mais barato e menos das 
mercadorias que se tornaram relativamente mais caras. Essa resposta a uma mudança nos 
preços relativos dos bens é chamada de efeito substituição. 
 
2. Como um dos bens se torna mais barato, há um aumento no poder de compra dos 
consumidores. Eles se encontram agora em uma situação melhor porque podem comprar a 
mesma quantidade de bens com menos dinheiro, tendo em mãos recursos para realizar 
compras adicionais. A mudança na demanda resultante da alteração desse poder de compra 
é chamada de efeito renda. 
 
Esses dois efeitos em geral ocorrem ao mesmo tempo; porém, é útil distingui-los para fins de 
análise. Os aspectos característicos de cada um encontram-se ilustrados na Figura 4.6, em que a 
linha de orçamento original é RS e há apenas duas mercadorias: alimento e vestuário. Neste caso, 
o consumidor maximiza a utilidade por meio da escolha da cesta de mercado A, obtendo assim o 
nível de utilidade associado à curva de indiferença U1. 
Vejamos o que ocorre se o preço do alimento cair, fazendo com que a linha de orçamento sofra 
um movimento de rotação para a direita, tornando-se RT. O consumidor agora escolhe a cesta de 
mercado B, situada sobre a curva de indiferença U2. O fato de a cesta de mercado B ter sido 
escolhida, embora a cesta de mercado A estivesse disponível, leva-nos a saber que B é preferível a 
A. Assim, uma redução no preço do alimento permite que o consumidor aumente seu nível de 
satisfação, pois seu poder aquisitivo apresentou elevação. A variação total do consumo de alimento 
ocasionada pelo preço menor é representada por A1A2. Inicialmente, o consumidor adquiria OA1 
unidades de alimento; contudo, após a alteração do preço, o consumo desse bem elevou-se para 
OA2. Portanto, o segmento de reta A1A2 representa o aumento desejado na aquisição de alimentos. 
 
 
 
 
 
 
Efeito substituição 
O efeito substituição é a modificação no consumo de alimento associada a uma variação em seu 
preço, mantendo-se constante o nível de utilidade. Na determinação do efeito substituição 
compensa-se o rendimento de forma que o indivíduo fique sobre a mesma curva de indiferença. 
Essa substituição é caracterizada por um movimento ao longo da curva de indiferença. Na Figura 
4.6, o efeito substituição pode ser obtido desenhando-se uma linha de orçamento paralela à nova 
linha de orçamento RT (que reflete o preço relativo mais baixo do alimento), mas que seja tangente 
à curva de indiferença original, Ul (mantendo-se constante o nível de satisfação). A nova e 
imaginária linha de orçamento reflete o fato de que a renda nominal foi reduzida para que 
atingíssemos nosso objetivo conceitual de isolar o efeito substituição. Dada essa linha de 
orçamento, o consumidor escolhe a cesta de mercado D, obtendo OE unidades de alimento. Dessa 
forma, o segmento A1E representa o efeito substituição. 
A Figura 4.6 torna claro o fato de que, quando o preço do alimento diminui, o efeito substituição 
sempre conduz a um aumento na quantidade demandada desse bem. Assim, no caso das curvas de 
indiferença convexas, o ponto de maximização da satisfação na nova linha de orçamento RT deve 
estar situado abaixo e à direita do ponto original de tangência. 
 
Efeito rendimento 
O efeito rendimento é a variação no consumo de alimento ocasionada pelo aumento do poder 
aquisitivo, mantendo-se constantes os preços relativos. Na determinação do efeito rendimento 
parte-se da situação compensada e caminha-se para a nova curva de indiferença. 
Na Figura 4.6, poderemos ver o efeito renda se partirmos da linha imaginária de orçamento, que 
passa pelo ponto D, e formos para a linha de orçamento original, RT, que é paralela à anterior e 
passa por B. O consumidor escolhe a cesta B, situada sobre a curva de indiferença U2 (pelo fato 
de o preço mais baixo do alimento ter aumentado o nível de utilidade do consumidor). O aumento 
no consumo de alimento, passando de OE para OA2, é a medida do efeito renda, que é positivo, 
pois o alimento é um bem normal (os consumidores adquirem maiores quantidades do bem quando 
suas rendas aumentam). Por refletir o movimento feito pelo consumidor de uma curva de 
indiferença para outra, o efeito renda mede a variação de seu poder aquisitivo. Na Figura 4.6, 
vimos que o efeito total de uma mudança no preço é fornecido teoricamente pela soma do efeito 
substituição e do efeito renda: 
Efeito total (A1A2) = Efeito substituição (A1E) + Efeito renda (EA2) 
Lembremo-nos aqui de que a direção do efeito substituição é sempre a mesma: um declínio no 
preço provoca um aumento no consumo do bem. Entretanto, o efeito renda pode fazer com que a 
demanda se modifique em qualquer uma das duas direções, dependendo de o bem ser normal ou 
inferior. 
Um bem é inferior quando o efeito renda é negativo: quando a renda aumenta, o consumo cai. A 
Figura 4.7 apresenta o efeito renda e o efeito substituição para um bem inferior. O efeito renda 
negativo é medido pelo segmento EA2. Mesmo no caso dos bens inferiores, o efeito renda 
raramente é grande o suficiente para superar o efeito substituição. Consequentemente, quando o 
preço de um bem inferior cai, seu consumo quase sempre apresenta aumento. 
 
Efeito Substituição e Efeito Renda 
Compensação na Renda 
Suponha que haja uma variação no preço de um dos bens. A essa variação podemos relacionar 
dois conceitos de compensação na renda: 
Compensação de Slutsky: é a variação na renda do consumidor necessária para fazer com que a 
renda do consumidor seja suficiente, para comprar a cesta de bens consumida antes da variação no 
preço. 
Compensação de Hicks: é a variação na renda do consumidor necessária para fazer com que a 
cesta de consumo final escolhida por ele seja indiferente à cesta de consumo escolhida antes da 
variação no preço. 
Compensação de Slutsky 
 
Compensação de Hicks 
 
Efeitos substituição e renda de Hicks: Redução no preço do bem 1 
 
Efeitos substituição e renda de Slutsky: Redução no preço do bem 1 
 
 
Efeitos substituição e renda de Hicks: Elevação no preço do bem 1 
 
Efeitos substituição e renda de Slutsky: Elevação no preço do bem 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALGUNS EXEMPLOS 
1. Considere o espaço de consumo de 2 bens, X e Y, relativo a um determinado consumidor. 
Apresente uma interpretação gráfica dos efeitos substituição e rendimento numa situação 
em que o preço do bem X diminui (X é um bem normal). Efectue as explicações que 
entender necessárias para acompanhar a leitura do gráfico. Reporte-se às abordagens de 
Hicks e Slutsky. 
Resposta: 
ABORDAGEM DE HICKS 
Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Hicks determina a 
quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem diminui, mas o bem-estar do 
consumidor mantém-se (nível de utilidade mantem-se). Ou seja, Hicks encontra uma restrição 
orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental final (a azul claro) mas que 
seja tangente à curva de indiferença que também o é à restrição orçamental inicial (a azul escuro). 
 
ABORDAGEM DE SLUTSKY 
Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Slutsky determina a 
quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem diminui, mas o poder de 
compra do consumidor mantém-se. Ou seja, Slutsky encontra uma restrição orçamental (a verde) 
com o mesmo declive que a restrição orçamental final (a azul claro) mas que passa pelo cabaz 
inicial. Dada essa restrição orçamental (a verde), Slutsky calcula a quantidade óptima de X. 
 
Decomposição do EfeitoPreço em Efeito Substituição e Efeito Rendimento 
2. Considere que as preferências de um consumidor representativo são descritas pela função 
de utilidade: 𝑼 = 𝑿𝒀, onde U designa o índice de utilidade, X a quantidade de alimentos 
consumida por período de tempo, expressa em unidades, e Y representa a quantidade de 
vestuário. O consumidor dispõe de um rendimento de 40 u.m. por período de tempo que 
gasta integralmente nestes bens. O preço do bem X é de 1 u.m. e o do bem y é de 1 u.m.. 
Suponha que o preço do bem X duplicou. Determine o efeito preço e decomponha-o, 
analítica e graficamente, nas suas componentes de efeito rendimento e de efeito 
substituição segundo as abordagens seguintes: 
Variação compensatória do rendimento 
a) Método de Hicks 
b) Método de Slutsky 
Para determinar o efeito total da variação do preço do bem X sobre o consumo destes bens, tem-
se que calcular a situação de equilíbrio inicial (𝐏𝐱 = 𝟏 𝐮.𝐦, 𝐏𝐲 = 𝟏 𝐮.𝐦 ) e a situação de 
equilíbrio final (𝐏𝐱 = 𝟐 𝐮.𝐦, 𝐏𝐲 = 𝟏 𝐮.𝐦): 
Situação de equilíbrio inicial: max 𝑼 = 𝑿𝒀 𝒔. 𝒂 𝑿 + 𝒀 = 𝟒𝟎 
{
𝑈𝑀𝑔𝑥
𝑈𝑀𝑔𝑦
=
𝑃𝑥
𝑃𝑦
𝑃𝑥 ∗ 𝑥 + 𝑃𝑦 ∗ 𝑦 = 𝑅
↔ {
𝑌
𝑋
=
1
1
𝑥 + 𝑦 = 40
↔ {
𝑌 = 𝑋
𝑥 + 𝑥 = 40
↔ {
−
2𝑥 = 40 ↔{
𝑦∗ = 20
𝑥∗ = 20
𝑈 = 400
 
Em equilíbrio, o consumidor adquire 20 unidades de alimentos e 20 unidades do vestuário, obtendo 
nível de utilidade de 400. 
Situação de equilíbrio final: max 𝑼 = 𝑿𝒀 𝒔. 𝒂 𝟐𝑿 + 𝒀 = 𝟒𝟎 
{
𝑈𝑀𝑔𝑥
𝑈𝑀𝑔𝑦
=
𝑃𝑥
𝑃𝑦
𝑃𝑥 ∗ 𝑥 + 𝑃𝑦 ∗ 𝑦 = 𝑅
↔ {
𝑌
𝑋
=
2
1
𝑥 + 𝑦 = 40
↔ {
𝑌 = 2𝑋
2𝑥 + 2𝑥 = 40
↔ {
𝑌 = 2𝑋
4𝑥 = 40
↔ {
𝑦∗ = 20
𝑥∗ = 10
𝑈 = 200
 
Após a alteração dos preços relativos, o consumidor passa a adquirir apenas 10 unidades de 
alimentos e 20 unidades de vestuário situando-se na curva de indiferença de índice 200. 
Pode-se concluir que o efeito total resultante do aumento do preço do bem X (efeito-preço) foi: 
 Sobre o bem X: ∆𝑋 = 10 − 20 ⇔ ∆𝑋 = −10 unidades por período de tempo; 
 Sobre o bem Y: ∆𝑌 = 20 − 20 ⇔ ∆𝑌 = 0 
 
Decomposição do Efeito Preço em Efeito Substituição e Efeito Rendimento 
Para se decompor o efeito preço em efeito substituição e em efeito rendimento, tem que se 
determinar uma situação de equilíbrio, que corresponde às escolhas que o consumidor realizaria 
se, dado o novo sistema de preços, auferisse de uma variação hipotética do rendimento (“variação 
compensatória do rendimento”) que o compensasse da perda de rendimento real provocada pela 
duplicação do preço do bem X. Essa variação compensatória do rendimento é definida como sendo 
aquela que permitiria ao consumidor manter o seu poder de compra, sendo este entendido: 
 Na abordagem de Hicks, como aquele que permite que o consumidor continue a usufruir 
do mesmo nível de satisfação inicial (𝑈 = 400); 
 Na abordagem de Slutstky, como aquele que permite que o consumidor continue a poder 
adquirir o cabaz de bens inicial (𝑿 = 𝟐𝟎; 𝒀 = 𝟐𝟎). 
 
a) Método de Hicks 
A determinação da situação de equilíbrio hipotética passa pela resolução do seguinte problema: 
qual é o rendimento mínimo de que o consumidor necessitaria para que, dados os novos preços, 
mantivesse constante o seu nível de utilidade? 
Formalizando: 𝑴𝒊𝒏 𝟐𝑿 + 𝒀 = 𝑹 𝒔. 𝒂 𝑿𝒀 = 𝟒𝟎𝟎 
 
A solução deste problema é dada pela resolução do sistema: 
{
𝑈𝑀𝑔𝑥
𝑈𝑀𝑔𝑦
=
𝑃𝑥
𝑃𝑦
𝑥𝑦 = 𝑈
↔ {
𝑌
𝑋
=
2
1
𝑥𝑦 = 400
↔{
𝑌 = 2𝑋
𝑥 ∗ 2𝑥 = 400
↔ {
𝑦 = 2𝑥
2𝑥2 = 400
↔ {
𝑦 = 2𝑥
𝑥2 = 200
↔ ↔{
𝑦∗ = 2 ∗ 14.14 = 28.28
𝑥∗ = √200 = 14.14
𝑅 = 56.57
 
Se o consumidor auferisse de uma variação compensatória do rendimento de cerca de 16,57 u.m 
(pois tem 40 u.m), então, aos novos preços relativos dos bens, ele consumiria em equilíbrio cerca 
de 14,14 unidades de alimentos por período de tempo e 28,18 unidades de vestuário e mantinha o 
nível de satisfação (𝑈 = 400). 
Segundo a abordagem de Hicks, a decomposição do efeito-preço é: 
 Bem X Bem Y 
Efeito Substituição 14.14 − 20 = −5.86 28.28 − 20 = 8.28 
Efeito Rendimento 10 − 14.14 = −4.14 20 − 28.28 = 8.28 
Efeito Total ∆𝑋 = −10 ∆𝑌 = 0 
 
NB: Decompor graficamente o efeito preço 
 
b) Método de Slustky 
O rendimento que o consumidor necessitaria de possuir para, aos novos preços, poder continuar a 
adquirir o cabaz de bens inicial (𝑋 = 20; 𝑌 = 20) é igual a: 𝟐 𝒙𝟐𝟎 + 𝟐𝟎 = 𝟔𝟎 𝑢.𝑚, ou seja, 𝑹 =
𝟔𝟎 𝒖.𝒎. De notar que, neste caso, a variação compensatória de rendimento (20 u.m.) equivale à 
diferença de custo de aquisição de 20 unidades do bem X (20 = ∆𝑃𝑥 ∗ 𝑋, sendo ∆𝑃𝑥 = 2 −
1 𝑒 𝑋 = 20) e daí que esta abordagem surja, também, designada por técnica da diferença de custo. 
No entanto, com este rendimento e para a nova razão de preços, o consumidor não está em 
equilíbrio, porque a recta orçamental intercepta a curva de indiferença de índice 400 no ponto de 
consumo abaixo. A situação de equilíbrio correspondente a este nível de rendimento hipotético é 
obtida através da resolução do sistema: 𝒎𝒂𝒙 𝑼 = 𝑿𝒀 𝒔. 𝒂 𝟐𝑿 + 𝒀 = 𝟔𝟎 
{
𝑈𝑀𝑔𝑥
𝑈𝑀𝑔𝑦
=
𝑃𝑥
𝑃𝑦
𝑃𝑥 ∗ 𝑥 + 𝑃𝑦 ∗ 𝑦 = 𝑅
↔ {
𝑌
𝑋
=
2
1
2𝑥 + 𝑦 = 60
↔ {
𝑌 = 2𝑋
2𝑥 ∗ 2𝑥 = 60
↔ {
𝑌 = 2𝑋
4𝑥 = 60
↔ ↔ {
𝑦∗ = 30
𝑥∗ = 15
𝑈 = 450
 
Neste caso, o consumidor atingiria um maior nível de bem-estar (𝑈 = 450), consumindo, em 
equilíbrio, 15 unidades do bem X por período de tempo e 30 unidades do bem y. 
A decomposição do efeito-preço segundo a abordagem de Slutsky é: 
 Bem X Bem Y 
Efeito Substituição 15 − 20 = −5 30 − 20 = 10 
Efeito Rendimento 10 − 15 = −5 20 − 30 = −10 
Efeito Total ∆𝑋 = −10 ∆𝑌 = 0 
 
NB: Decompor graficamente o efeito preço 
3. Considere que as preferências de um consumidor representativo são descritas pela função 
de utilidade: 𝑼 = 𝟐𝑿𝟎.𝟒𝒀𝟎.𝟔. O consumidor dispõe de uma renda de 50 u.m e que o preço 
de X é de 1 u.m. e o do bem y é de 6 u.m.. Suponha que o preço de Y passa para 4 u.m. 
Determine o efeito preço e decomponha-o analiticamente nas suas componentes de efeito 
rendimento e de efeito substituição segundo as abordagens de variação compensatória do 
rendimento pelo Método de Hicks e pelo Método de Slutsky. 
Resposta: 
NB: Se conhecemos as funções de procura de cada bem, podemos mais rapidamente calcular o 
cabaz optimo: 
As funções de procura de cada bem são: 𝑿 =
𝟎.𝟒𝑹
𝑷𝑿
 𝒆 𝒀 =
𝟎.𝟔𝑹
𝑷𝒚
 
Cabaz óptimo inicial: 
{
 
 
 
 𝑃𝑥 = 1
𝑃𝑦 = 6
𝑅 = 50
↔
{
 
 
 
 𝑋 =
0.4 ∗ 50
1
𝑌 =
0.6 ∗ 50
6
𝑈 = 2 ∗ 200.4 ∗ 50.6
↔ {
𝑋 = 20
𝑌 = 5
𝑈 = 17.4
 
Cabaz óptimo final: 
{
 
 
 
 𝑃𝑥 = 1
𝑃𝑦 = 4
𝑅 = 50
↔
{
 
 
 
 𝑋 =
0.4 ∗ 50
1
𝑌 =
0.6 ∗ 50
4
𝑈 = 2 ∗ 200.4 ∗ 7.50.6
↔ {
𝑋 = 20
𝑌 = 7.5
𝑈 = 22.2
 
 
Pode-se concluir que o efeito total resultante da diminuição do preço do bem Y (efeito-preço) foi: 
 Sobre o bem X: ∆𝑋 = 20 − 20 ⇔ ∆𝑋 = 0; 
 Sobre o bem Y: ∆𝑌 = 7.5 − 5 ⇔ ∆𝑌 = 2.5 
Efeito substituição e efeito rendimento a Hicks 
Sabemos que Hicks determina a quantidade consumida de um bem num cenário em que o preço 
deste bem varia, mas o bem-estar do consumidor mantém-se (para este caso, o bem estar deve 
manter se no índice 𝑈 = 17.4). 
𝑈 = 2(
0.4𝑅
𝑃𝑋
)
0.4
(
0.6𝑅
𝑃𝑌
)
0.6
↔ 2 ∗ 200.4 ∗ 50.6 = 2(
0.4𝑅
1
)
0.4
(
0.6𝑅
4
)
0.6
↔ 
↔ 2 ∗ 200.4 ∗ 50.6 = 2 ∗ 0.40.4𝑅0.4 ∗ 0.150.6𝑅0.6 
↔ 2 ∗ 200.4 ∗ 50.6 = 2 ∗ 0.40.4 ∗ 0.150.6𝑅 ↔ 𝑅 =
2 ∗ 200.4 ∗ 50.6
2 ∗ 0.40.4 ∗ 0.150.6
 ↔ 𝑹 ≅ 𝟑𝟗 
{
 
 
 
 𝑃𝑥 = 1
𝑃𝑦 = 4
𝑅 = 39
↔
{
 
 
 
 𝑋 =
0.4 ∗ 39
1
𝑌 =
0.6 ∗ 39
4
𝑈 = 2 ∗ 15.60.4 ∗ 5.850.6
↔ {
𝑿 = 𝟏𝟓. 𝟔
𝒀 = 𝟓. 𝟖𝟓
𝑼 = 𝟏𝟕. 𝟒
 
 Bem X Bem Y 
Efeito Substituição 15.6 − 20 = −4.4 5.85 − 5 = 0.85 
Efeito Rendimento 20 − 15.6 = −4.4 7.5 − 5.85 = 1.65 
Efeito Total ∆𝑋 = 0 ∆𝑌 = 2.5 
 
Efeito substituição e efeito rendimento a Slutsky 
Sabemos que Slutsky determina a quantidade consumida do bem num cenário em que o preço 
deste bem varia, mas o poder de comprado consumidor mantém-se. Neste caso primeiro 
determinamos a renda suficiente para que dado os novos preços, o consumidor continue a adquirir 
o cabaz inicial (𝑋 = 20 𝑒 𝑌 = 5): 
𝑅′ = 𝑃𝑋𝑋 + 𝑃𝑌
′𝑌 ↔ 𝑅′ = 1 ∗ 20 + 4 ∗ 5 = 40 
{
 
 
 
 𝑃𝑥 = 1
𝑃𝑦 = 4
𝑅 = 40
↔
{
 
 
 
 𝑋 =
0.4 ∗ 40
1
𝑌 =
0.6 ∗ 40
4
𝑈 = 2 ∗ 160.4 ∗ 60.6
↔ {
𝑿 = 𝟏𝟔
𝒀 = 𝟔
𝑼 = 𝟏𝟕. 𝟖
 
 
 Bem X Bem Y 
Efeito Substituição 16 − 20 = −4 6 − 5 = 1 
Efeito Rendimento 20 − 16 = 4.4 7.5 − 6 = 1.5 
Efeito Total ∆𝑋 = 0 ∆𝑌 = 2.5 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Através da seguinte função de utilidade do consumidor Rafaelito com rendimentos de 1600 
u.m que consome dois bens α e β dada por: 
𝑼 = 𝒇(𝜶, 𝜷) = 𝜶𝟑𝜷 
a) Determine as funções de procura marshalliana dos dois bens: α e β 
b) Calcule o cabaz óptimo e a utilidade máxima (nivel de satisfacao) que Rafaelito pode 
alcançar, sabendo que os preços dos bens α e β são de 20 e 10 u.m respectivamente. 
c) Mantendo o rendimento e o preço de β constantes, o aumento do preço do bem α em 100%, 
ira melhorar ou piorar o bem-estar de Rafaelito? Justifique e quantifique a sua resposta. 
d) Calcule o efeito - substituição e o efeito - rendimento desta variação do preço do bem 𝛼 
(use a abordagem dos dois (2) métodos: Hicks e Slutsky). 
2. A função de utilidade do Cabeção que gasta todo o seu rendimento para consumir dois bens X 
e Y é dada por: 𝑼 = 𝟒𝑿𝟎.𝟓𝒀𝟎.𝟓 
O Cabeção dispõe um rendimento de 1200u.m e os preços dos bens X e Y são respectivamente 
de 60 e 30u.m. 
a) Deriva a função de procura marhalliana dos dois bens (X,Y). 
b) Calcule o cabaz óptimo e a utilidade máxima que este consumidor pode alcançar, supondo 
que o orçamento que dispõe para gastar integralmente na aquisição destes dois bens é de 
1200 u.m. e que os preços dos bens X e Y são 60 e 30 u.m respectivamente. 
c) Mantendo o rendimento e o preço de y constantes, a redução do preço de x em 50% ira 
melhorar ou piorar o bem-estar do Cabeção? Justifique e quantifique a sua resposta. 
d) Calcule o efeito - substituição e o efeito - rendimento desta variação do preço do bem X 
(use a abordagem dos dois (2) métodos: Hicks e Slutsky). 
3. Determine o efeito preço e decomponha-o, analiticamente, nas suas componentes de feito 
substituição e efeito rendimento segundo as abordagens de variação compensatória do 
rendimento pelo Método de Hicks e Slutsky nas seguintes situações: 
 
a) 𝑈 = 𝑥
3
4⁄ 𝑦
1
4⁄ ; 𝑃𝑥 = 2; 𝑃𝑦 = 2 ; 𝑅 = 10 ; 𝑃𝑦 = 4 
Funções de procura marshallianas: 𝑋 =
3𝑅
4𝑃𝑋
 𝑒 𝑌 =
𝑅
4𝑃𝑦
 
 
b) 𝑈 = 𝑥3𝑦2; 𝑃𝑥 = 1.5; 𝑃𝑦 = 4 ; 𝑅 = 45; 𝑃𝑥
′ = 3 
Funções de procura marshallianas: 𝑋 =
3𝑅
5𝑃𝑋
 𝑒 𝑌 =
2𝑅
5𝑃𝑦
 
 
c) 𝑈 = 5𝑥0.5𝑦0.5; 𝑃𝑥 = 2; 𝑃𝑦 = 10 ; 𝑅 = 100; 𝑃𝑥
′ = 5 
Funções de procura marshallianas: 𝑋 =
𝑅
2𝑃𝑋
 𝑒 𝑌 =
𝑅
2𝑃𝑦