AVALIAÇÃO II GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA VETORIAL

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23/04/2020 UNIASSELVI - Centro Universitário Leonardo Da Vinci - Portal do Aluno - Portal do Aluno - Grupo UNIASSELVI
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1. Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido podemos determinar o
vetor que liga estes dois pontos e possui a direção indicada. Através deste processo podemos
mais tarde ter um apoio no estudo das retas e planos no espaço. Baseado nisso, assinale a
alternativa CORRETA que apresenta o vetor u definido pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1),
no sentido de B para A:
 a) u = (-1,-4,-4).
 b) u = (0,-4,-4).
 c) u = (-1,-4,2).
 d) u = (-1,-4,-2).
2. O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no
eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial
aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no qual o produto entre dois
vetores tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Baseado
nisto, quanto ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (1,1,2) e v = (-3,1,2), analise as
opções a seguir:
I- u x v = (1,8,-4).
II- u x v = (0,8,4).
III- u x v = (0,-8,4).
IV- u x v = (0,8,-4).
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção II está correta.
 b) Somente a opção III está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção I está correta.
3. Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do
problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para o Núcleo deste
operador:
 a) [(1,1,0)].
 b) [(1,0,1)].
 c) [(0,0,1)].
 d) [(0,1,1)].
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4. Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços
vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma
transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito
das transformações lineares, analise as opções a seguir:
I- T(x,y) = (x² , y²).
II- T (x,y) = (2x, - x + y).
III- T (x,y) = (- x + y, x - 1).
IV- T (x,y) = (x, x - y).
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção IV está correta.
 b) As opções II e IV estão corretas.
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 c) As opções III e IV estão corretas.
 d) As opções I e III estão corretas.
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5. Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por
exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o
módulo (ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo,
bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do
paralelogramo. Baseado nisto, determine a área do triângulo formado pelos vetores u = (2,2,1)
e v = (1,1,2). Analise as opções a seguir:
I- Raiz de 3.
II- 9.
III- Raiz de 18.
IV- 6.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção III está correta.
 b) Somente a opção II está correta.
 c) Somente a opção I está correta.
 d) Somente a opção IV está correta.
6. No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e autovetores.
Teoricamente, um autovetor de uma transformação é um vetor que quando aplicado na
transformação, resulta um múltiplo de si próprio, sendo que a este fator multiplicativo, damos o
nome de autovalor. Estes conceitos possuem diversas aplicações práticas, principalmente na
Engenharia. Baseado nisso, dada a transformação T(x,y) = (2x, y) analise as sentenças a
seguir:
I- v = (1,0) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2.
II- v = (0,1) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2.
III- T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1.
IV- T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As opções I e III estão corretas.
 b) As opções II e III estão corretas.
 c) As opções I e IV estão corretas.
 d) As opções II e IV estão corretas.
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7. Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços
vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Sobre o
exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O conjunto dos números irracionais é um subespaço dos números reais.
( ) Um plano é um subespaço de R²
( ) Um ponto é um subespaço de R.
( ) Uma reta que passa na origem é um subespaço de R².
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - F - V.
 b) V - V - F - F.
 c) F - V - V - F.
 d) F - F - V - V.
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8. Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como
estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples
visualização. No entanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores
representados por coordenadas, determinar a posição dessas retas não é uma tarefa tão
simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores apresentados, com relação aos
ângulos agudos, analise as opções a seguir:
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2).
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1).
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3).
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4).
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3).
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção II está correta.
 b) As opções I, III e IV estão corretas.
 c) As opções III e V estão corretas.
 d) As opções I e IV estão corretas.
9. No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se
relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse
conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades.
Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n².
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3.
( ) A dimensão do R² é igual a 2.
( ) A dimensão do espaço formado pelospolinômios de grau 3, é igual a 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - F - F.
 b) F - V - F - V.
 c) F - F - V - V.
 d) V - F - V - V.
10.Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI)
quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em
contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se
pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisso, assinale a
alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LD:
 a) {(1,1,0),(1,0,1),(0,0,3)}.
 b) {(2,1,-1),(0,0,1),(5,2,3)}.
 c) {(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}.
 d) {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.
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