Sistemas Lineares Homogêneos e Aplicações dos Sistemas Lineares

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Sistema Linear Homogêneo
Um sistema linear cujos termos independentes ( números que
ficam após o sinal de igual) são todos iguais a zero é chamado
de sistema linear homogêneo. Um sistema homogêneo sempre
tem a solução trivial, isto é, x1 = 0 , x2 = 0 , x3 = 0 , ... xn = 0 .
Um sistema homogêneo que somente possui a solução trivial
será possível determinado. Um sistema homogêneo que tem
soluções além da solução trivial será possível indeterminado.
Neste caso algumas variáveis são dadas em função de
parâmetros : t, r ....
Exemplo. Resolva o sistema linear 
homogêneo abaixo.
x  y  z  0
2x  y  z  0
x  y  z  0
1 1 1 0
2 1 1 0
1 1 1 0

1 1 1 0
0 3 1 0
0 0 2 0
-3y - 0  0  y  0
x  0  0  0  x  0
O sistema tem somente a solução trivial.
Isto é, é um sistema é possível determinado.
S  { ( 0, 0, 0) }
Exemplo. Resolva o sistema linear 
homogêneo abaixo.
x  y  z  0
2x  y  z  0
3x  2y  2z  0
1 1 1 0
2 1 1 0
3 2 2 0

1 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0

1 1 1 0
0 1 1 0
0 0 0 0
z  t
-y - t  0  y  t
x -t  t  0  x  0
O sistema tem infinitas soluções.
Isto é, é um o sistema é possível indeterminado.
S  { ( 0, -t, t) } t  
Aplicações dos Sistemas Lineares
Exemplo. As correntes elétricas em amperes do circuito abaixo são 
dadas pelo sistema linear ao lado. Determine estas correntes
I1  I2  I3  0
4I1  6I2  1
4I1  2I3  2
1 1 1 0
4 6 0 1
4 0 2 2

1 1 1 0
0 10 4 1
0 4 6 2
1 1 1 0
0 1  2
5
1
10
0 4 6 2

1 1 1 0
0 1  2
5
1
10
0 0 22
5
12
5
22
5
I3  125  I3 
6
11
I2  25 .
6
11
 1
10
 I2  722
I1  722 
6
11
 0  I1   522
Exemplo. Escreva uma equação equilibrada para a reação química 
abaixo :
Esta questão é encontra x,y,z e w tais que
x C3H8  y O2  z CO2  w H2O
A solução é dada pelo sistema linear a seguir.
Resolva esse sistema.
3x - z  0
8x - 2w  0
2y - 2z - w  0
3 0 1 0 0
8 0 0 2 0
0 2 2 1 0

1 0  1
3
0 0
8 0 0 2 0
0 2 2 1 0
1 0  1
3
0 0
0 0 8
3
2 0
0 2 2 1 0

1 0  1
3
0 0
0 2 2 1 0
0 0 8
3
2 0
w  t
8
3
z  2t  0  z  3
4
t
2y -2. 3
4
t  t  0  y  5
4
t
x  1
3
. 3
4
t  0  x  1
4
t