Estudo de Retas no Espaço

Prévia do material em texto

Aula 07 – Estudo de Retas no Espaço
Retas no R³
Queremos determinar a equação da reta
que passa por Q(x0,y0,z0) e tem a direção
do vetor v = (a,b,c).
Seja P(x,y,z) qualquer ponto da reta r.
Queremos que o vetor 𝑄𝑃 seja um
múltiplo do vetor Ԧ𝑣 , isto é
𝑄𝑃 = t Ԧ𝑣
com t ∈ 𝑅 ,−∞ < 𝑡 < +∞
Você viu em Geometria Analítica que o
vetor 𝑄𝑃 é um vetor dados por dois
pontos, isto é,
𝑄𝑃 = P – Q
𝑄𝑃= (x,y,z) - (x0,y0,z0) 
𝑄𝑃 = (x – x0 , y – y0 , z-z0)
Temos que QP  tv , logo
(x - x0, y  y0, z - z0 )  t.(a,b,c)
(x - x0, y  y0, z - z0 )  (at , bt , ct )
Podemos escrever
x  x0  at
y  y0  bt
z  z0  ct
-   t   (1)
Chamamos de (1) as equações paramétricas da reta r. Para encontrar (1) devemos fornecer
o ponto Q(x0,y0, z0 e tambem o vetor v , que chamaremos de vetor diretor v ,
v  a, b,c
Exemplo. Determine as equações
paramétricas da reta r que passa pelo
ponto Q(1,-3,2) e tem vetor diretor
Ԧ𝑣 =(-4,3,2).
No nosso caso (x0,y0,z0  1,3,2 e v  a,b,c  4,3,2.
Substituindo esses valores em (1) , temos
x  1  4t
y  3  3t
z  2  2t
-   t  
Exemplo. Considere a reta r de equações
paramétricas abaixo.
x  2  t
y  1  2t
z  2  t
-   t  
a) Faça t = 1 e obtenha um ponto dessa
reta.
x  2  t
y  1  2t
z  2  t
-   t  
a) Determine um ponto dessa reta.
x  2  t
y  1  2t
z  2  t
-   t  
Substituindo t por 1, temos x  3, y  3, z  -1,
isto é, (3,3,-1) é um ponto dessa reta.
b) O ponto (6,9,2) é um ponto dessa reta?
x  2  t
y  1  2t
z  2  t
-   t  
b) O ponto (6,9,2) é um ponto dessa reta?
x  2  t
y  1  2t
z  2  t
-   t  
Substituímos x por 6, y por 9 e z por 2 nas eq. acima.
Quando fazemos isto encontramos o mesmo valor de t
nas três equações. Esse valor é t  4. Logo o ponto
(6,9,2) pertence a reta r.
b) O ponto (6,9,2) é um ponto dessa reta?
x  2  t
y  1  2t
z  2  t
-   t  
Substituímos x por 6, y por 9 e z por 2 nas eq. acima.
Quando fazemos isto encontramos o mesmo valor de t
nas três equações. Esse valor é t  4. Logo o ponto
(6,9,2) pertence a reta r.
c) O ponto (3,3,1) pertence a esta reta?
x  2  t
y  1  2t
z  2  t
-   t  
c) O ponto (3,3,1) pertence a esta reta?
x  2  t
y  1  2t
z  2  t
-   t  
Substituímos x por 3, y por 3 e z por 1 nas eq. acima.
Quando fazemos isto encontramos t  1 na 1ª eq. ,
t  1 na 2ª eq. e t  3 na 3ª eq. Como os valores de t
são distintos, (3,3,1)  r.
Posições relativas de duas retas no espaço
Sejam as retas r1 e r2 com seus respectivos
vetores diretores v1 e v2 .
Essas retas podem ser : concorrentes,
paralelas, coincidentes ou reversas.
Quando dizemos que v1 é múltiplo de v2,
escrevemos v1 = kv2, k é um número real.
Exemplo
a) v1 = (2,4,10) e v2 = (1,2,5) .
Neste caso temos que v1 = 2.v2 , ou seja
esses vetores são múltiplos.
b) v1 = (2,4,10) e v2 = (1,2,6) .
Não existe k tal que v1 = kv2 ,logo esses
vetores não são múltiplos.
O esquema abaixo vai identicar que tipo de retas que r1e r2 são.
v1  kv2
r1 com interseção com r2  r1e r2 são coincidentes
r1 sem interseção com r2  r1e r2 são paralelas
v1  kv2
r1 com interseção com r2  r1e r2 são concorrentes
r1 sem interseção com r2  r1e r2 são reversas.
Exemplo. Verifique se as retas r1 e r2 abaixo
são : coincidentes, paralelas, concorrente
ou reversas. Se forem concorrentes escreva
as coordenadas do ponto de interseção.
r1 :
x  1  t
y  2  t
z  1  2t
r2 :
x  4  s
y  1  2s
z  7  s
r1 :
x  1  t
y  2  t
z  1  2t
r2 :
x  4  s
y  1  2s
z  7  s
Observe que v1  1,1,2 e v2  1,2,1.
Desta forma as retas são concorrentes ou reversas
Vamos resolver o sistema de equações formado por r1 e r2.
Igualando x, y e z nas duas equações, temos :
1  t  4  s
2  t  1  2s
1  2t  7  s

t  s  3
t  2s  3
2t  s  6
Resolvendo esse sistema por escalonamento, temos
1 1 3
1 2 3
2 1 6

1 1 3
0 3 0
0 3 0

1 1 3
0 3 0
0 0 0
s  0 e t  3. Quando colocamos esses pontos nas duas
equações, encontramos o ponto (4,-1,7)
Portanto as retas são concorrentes.
Distância de um ponto a uma reta
Seja P(x0,y0,z0) , a reta r com vetor diretor v.
Considere Q(x,y,z) um ponto qualquer da
reta. Queremos determinar D.
Escolhemos um ponto qualquer da reta Q(x,y,z), 
para isto basta escolher um valor de t nas 
equações paramétricas.
Área do paralelogramo = | 𝑄𝑃𝑥 Ԧ𝑣 | (1)
Esse x é produto vetorial da geométrica analítica.
Sabemos também que a 
Área do paralelogramo = base . altura
Área do paralelogramo = |𝑣| . D (2)
Fazendo (1) = (2) , temos
D 
QP x v
v
Exemplo. Calcule a distância do ponto P(1,1,3) à reta
r:
x  2t
y  1  3t
z  3  6t
r:
x  2t
y  1  3t
z  3  6t
Escolhemos um ponto da reta r. Fazendo t  0, temos Q(0,1,3).
Dai segue que o vetor QP  1,0,0.Agora vamos fazer
QP x v
QP  ( 1 , 0 , 0 )
v  ( 2 , 3 , 6 )
QP x v ( 0 , -6 , 3 )
QPxv  0  36  9  45  3 5
v  4  9  36  7
D  3 5
7