AVALIAÇÃO ONLINE 02 Geometria Analítica e Álgebra Vetorial UNIASSELVI

Prévia do material em texto

AVALIAÇÃO ONLINE 02 – Geometria Analítica e Álgebra Vetorial 
UNIASSELVI 
 
 
 
Quando trabalhamos com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto escalar 
com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A esta operação 
damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em particular, o 
módulo deste resultado calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. 
Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 19. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 38. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 15. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 12. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
F - V - F - F. 
V - F - F - F. 
F - F - V - F. 
F - F - F - V. 
 
Durante o estudo das transformações lineares, verificamos os conceitos de núcleo e imagem 
de uma transformação. O núcleo de uma transformação linear é o subconjunto do domínio 
formado pelos vetores que são levados ao vetor nulo do contradomínio. A imagem é o conjunto 
de vetores do contradomínio que são resultados da aplicação dos vetores do domínio na 
transformação. Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA a respeito da transformação a 
seguir: 
 
 
 
O vetor (2, 4) não pertence ao domínio da transformação. 
A transformação a seguir não é um operador linear. 
O vetor (1,-1) pertence ao núcleo da transformação. 
O vetor (2,2) possui imagem (0,0). 
 
 
Além dos conceitos teóricos e processuais vistos a respeito da Álgebra Linear e Vetorial, temos 
que saber que transformações lineares são usadas para descrever vários tipos de mudanças 
geométricas, como rotação, homotetia, cisalhamento, reflexão, além de outras deformações no 
plano ou no espaço. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as 
falsas: 
 
( ) T(x,y) = (2x,2y) é uma transformação de expansão. 
( ) T(x,y) = (x/2,y/2) é uma transformação de expansão. 
( ) T(x,y) = (-x,y) é uma transformação de reflexão sobre X. 
( ) T(x,y) = (x,-y) é uma transformação de reflexão sobre X. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
F - V - V - F. 
F - F - F - V. 
V - F - V - F. 
V - F - F - V. 
Uma transformação linear pode ser compreendida e associada ao estudo de funções, que 
normalmente já conhecemos desde o Ensino Médio. Isto se deve ao fato de uma 
transformação linear ligar dois conjuntos através de uma lei de formação. A grande diferença é 
que uma transformação opera com vetores e não com números reais como de costume. 
Baseado na transformação linear de R³ em R³, dada por T(x,y,z) = (x + y, 2x, y - z), classifique V 
para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Uma base para a imagem desta transformação é [(1,2,0),(1,0,1),(0,0,1)]. 
( ) A sua imagem tem dimensão 2. 
( ) O núcleo da transformação possui apenas o vetor nulo. 
( ) A dimensão do domínio da transformação é 3. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
V - V - F - F. 
V - F - V - V. 
V - V - F - V. 
F - V - F - V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços 
vetoriais. Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar 
se ela preserva as operações de soma e multiplicação por um escalar. Baseado nisto, assinale 
a alternativa CORRETA que apresenta a imagem do vetor (1, -2, 4) quando aplicado na 
transformação a seguir: 
 
 
(-5, 2). 
(-3, 2). 
(-3, -2). 
(3, -2). 
 
 
 
Em muitas aplicações, não é interessante trabalhar com um espaço vetorial "inteiro", mas com 
uma parte deste espaço, ou seja, um subespaço, que seja constituído pelas combinações 
lineares de um dado conjunto de vetores. Será, então, conveniente escrever os elementos 
desse subespaço como combinações lineares de um conjunto que contenha o menor número 
possível de vetores e que estes sejam escritos de forma simplificada. Neste aspecto, podemos 
representar estes subespaços através de bases. Sobre os conjuntos que podem ser bases de 
R², classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) {(2,3),(-1,4)} 
( ) {(2,3),(-6,-9}) 
( ) {(1,5),(3,11)} 
( ) {(0,2),(0,0)} 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
F - V - F - V. 
F - F - F - V. 
V - V - F - F. 
V - F - V - F. 
 
 
 
 
 
 
Quando trabalhamos geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas 
retas estas situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples 
visualização. Entretanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores 
representados por coordenadas, determinar a posição destas retas não é uma tarefa tão 
simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores apresentados, analise as opções que 
são ortogonais: 
 
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2). 
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1). 
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3). 
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4). 
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
As opções I, III e IV estão corretas. 
Somente a opção II está correta. 
As opções III e V estão corretas. 
As opções I e IV estão corretas. 
 
 
 
O núcleo e a imagem de uma transformação linear são dois subespaços de seu domínio e de 
seu contradomínio, respectivamente, que nos fornecem informações operatórias valiosas 
sobre a transformação. Baseado nisto, utilizando seus conceitos sobre núcleo e imagem de 
uma transformação, dada a transformação a seguir, verifique a imagem do vetor (4,1,2) para 
esta transformação e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 
 
 
A imagem é o vetor (1,0,0) e, desta forma, pertence ao núcleo da transformação. 
A imagem é o vetor (1,0,0) e, desta forma, não pertence ao núcleo da transformação. 
A imagem é o vetor (0,0,0) e, desta forma, não pertence ao núcleo da transformação. 
A imagem é o vetor (0,0,0) e, desta forma, pertence ao núcleo da transformação. 
 
 
 
 
Muitos problemas de Matemática Aplicada envolvem o estudo de transformações, ou seja, a 
maneira como certos dados de entrada é transformada em dados de saída. Em geral, o 
estudante está familiarizado com funções, logo consegue compreender conceitos como o de 
imagem de uma transformação linear. Baseado nisto, dada a transformação T(x,y,z) = (x + y, 2x, 
y - z), assinale a alternativa CORRETA que apresenta uma base para sua imagem: 
[(1,4,0),(1,5,1),(3,0,-1)] 
[(1,2,0),(1,0,1),(0,0,-1)] 
[(1,0),(0,1),(0,-1)] 
[(1,2),(1,0,),(0,-1)] 
 
 
Quando trabalhamos geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas 
retas estas situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples 
visualização. Entretanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores 
representados por coordenadas, determinar a posição destas retas não é uma tarefa tão 
simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores apresentados, analise as opções que 
são ortogonais: 
 
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2). 
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1). 
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3). 
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4). 
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
As opções I, III e IV estão corretas. 
Somente a opção II está correta. 
As opções III e V estão corretas. 
As opções I e IV estão corretas.