Matemática frente b

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MATEMÁTICA 
Frente B 
1. Produtos notáveis e fatoração 
2. Divisibilidade, MDC e MMC 
3. Equações e problemas 
4. Razões e proporções 
5. Regra de três 
6. Geometria de posição e poliedros 
7. Prismas 
8. Pirâmides 
9. Cilindros 
10. Cones 
11. Esferas 
12. Inscrição de sólidos 
 
1. PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
Os produtos notáveis são identidades que podem ser obtidas de maneira prática. Assim, 
como são muito frequentes no cálculo algébrico, iremos listar os principais: 
 
I) Quadrado da soma de dois termos 
(a + b)² = a² + 2.a.b + b² 
 
II) Quadrado da diferença de dois termos 
(a – b)² = a² – 2.a.b + b² 
 
III) Produto da soma pela diferença de dois 
termos 
(a + b)(a – b) = a² – b² 
 
IV) Cubo da soma de dois termos 
(a + b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³ 
 
V) Cubo da diferença de dois termos 
(a – b)³ = a³ – 3.a².b + 3.a.b² – b³ 
 
 
FATORAÇÃO 
• Fator comum 
Inicialmente, identificamos um termo comum a todas as parcelas da expressão. Em seguida, 
colocamos esse termo em evidência. Exemplos: 
1º) ab + ac = a(b + c) 
• Agrupamento 
Às vezes, não é possível identificar, de início, um fator comum a todas as parcelas da expressão. 
Nesse caso, formamos dois ou mais grupos com um termo comum. Em seguida, colocamos em 
evidência um fator comum a todos os grupos. Exemplos: 
1º) ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y)= (x + y)(a + b) 
SOMA E DIFERENÇA DE CUBOS 
Trata-se de identidades muito úteis em cálculo algébrico. São elas: 
I) Soma de cubos: a³+ b³ = (a + b) (a² – ab + b²) 
II) Diferença de cubos: a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²) 
Exemplo: Fatorar a expressão x³ – 27. 
Resolução: x³ – 27 = x³ – 3³ = (x – 3)(x² + 3x + 9) 
IDENTIFICAÇÃO DE UM PRODUTO NOTÁVEL 
Exemplos: 1º) x² + 10x + 25 = (x + 5)² → Quadrado da soma. 
2º) a^4b – c^6 = (a²b)² – (c³)² = (a²b + c³)(a²b – c³) → Produto da soma pela diferença. 
3º) a³ – 3a² + 3a – 1 = (a – 1)³ → Cubo da diferença. 
FATORAÇÃO DO TRINÔMIO DA FORMA 
Ax² + bx + c. Sejam x¹ e x² as raízes reais do trinômio ax² + bx + c, com a ≠ 0. Esse trinômio 
pode ser escrito na forma: a(x – x¹)(x – x²) 
Observação 
As raízes podem ser obtidas pela Fórmula de Bháskara: 
 
2. 
 
2. DIVISIBILIDADE, MDC E MMC 
Divisão euclidiana 
Em que 0 ≤ r < |d| e D = qd + r. Portanto, q é o quociente, e r é o resto da divisão 
de D por d, e denotamos D por dividendo e d por divisor. Observação: Quando 
temos o caso em que r = 0, então D = q.d e, assim, dizemos que D é um múltiplo 
de d ou d é um divisor de D. 
Critérios de divisibilidade 
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando seu último algarismo é par. 
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é 
divisível por 3. 
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois 
últimos algarismos é divisível por 4. 
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando o último algarismo é 0 ou 5. 
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. 
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos 3 últimos 
algarismos é divisível por 8. 
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é 
divisível por 9. 
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando o seu último algarismo é 0. 
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem 
ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par é um número divisível por 11. 
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. 
Números Primos 
Um número inteiro positivo é dito primo quando admite exatamente dois divisores positivos: o 
número 1 e ele mesmo. Sendo P o conjunto dos números primos positivos, temos: P = {2, 3, 5, 
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...} 
Observações 
I) Se um número possui mais de dois divisores positivos, ele é chamado de composto. 
II) O número 1 não é primo nem composto. 
Reconhecimento de um número primo 
Seja n um número inteiro positivo. Para verificarmos se n é primo, podemos proceder da 
seguinte forma: 
I) Calculamos o valor de n. 
II) Verificamos se n é divisível por cada um dos números primos menores do que n. 
III) Se n não é divisível por nenhum desses números primos, então n é primo. Caso contrário, 
n é composto. 
Exemplo 
Verificar se 97 é primo. Raiz ² de 97 = 9,85 (aproximadamente) Os primos menores do que 
Raiz ² de 97 são 2, 3, 5 e 7. Observe que 97 não é divisível por nenhum desses números, ou 
seja, 97 é primo. 
Decomposição em fatores primos 
Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou pode ser escrito como um produto de fatores 
primos. Esse produto é obtido pela chamada decomposição em fatores primos ou, 
simplesmente, fatoração do número. 
Exemplo 
Decompor em fatores primos o número 840. 
840 2 
420 2 
210 2 
105 3 
35 5 
7 7 
1 840 = 2³.3.5.7 
Cálculo da quantidade de divisores de um número natural 
I) Decompõe-se o número em fatores primos. 
II) Tomam-se os expoentes de cada fator primo, e soma-se 1 a cada um deles. 
III) Multiplicam-se os resultados anteriores. O produto é a quantidade de divisores positivos 
do número. 
Exemplo 
Determinar a quantidade de divisores de 360. 
360 2 
180 2 
90 2 
45 3 
15 3 
5 5 
1 2³.3².5.1 
Assim, a quantidade de divisores é: (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4.3.2 = 24 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é o maior número que é divisor de 
todos esses números. Para se obter o MDC entre dois ou mais números, deve-se: 
I) Decompô-los em fatores primos. 
II) Tomar os fatores primos comuns com seus menores expoentes. 
III) Efetuar o produto desses fatores. 
Exemplo 
Calcular o máximo divisor comum dos números 90, 96 e 54. 90 = 2.3².5 96 = 2^5.3 54 = 2.3³ 
Daí, temos que MDC (90, 96, 54) = 2.3 = 6. 
Observação: Dois números são ditos primos entre si quando o MDC entre eles é igual a 1. 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o menor número natural, 
excluindo o zero, que é múltiplo desses números. Assim, para se obter o MMC entre dois ou 
mais números naturais, deve-se: 
I) Decompô-los em fatores primos. 
II) Tomar todos os fatores primos comuns e não comuns com seus maiores expoentes. 
III) Efetuar o produto desses fatores. 
Exemplo 
Calcular o mínimo múltiplo comum dos números 90, 96 e 54. 90 = 2.3².5 96 = 2^5.3 54 = 2.3³ 
Daí, temos que o MMC (90, 96, 54) = 2^5.3³.5 = 4 320. 
Observação: Podemos também calcular o MMC de dois ou mais números através da chamada 
decomposição simultânea. Refazendo o exemplo anterior, temos: 
90, 96, 54 2 
45, 48, 27 2 
45, 24, 27 2 
45, 12, 27 2 
45, 6, 27 2 
45, 3, 27 3 
15, 1, 9 3 
5, 1, 3 3 
5, 1, 1 5 
1, 1, 1 
 MMC (90, 96, 54) = 
2^5.3³.5 = 4 320
RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC 
Sendo a e b dois números naturais, temos: MMC (a, b)].[MDC (a, b)] = a.b 
 
3. EQUAÇÕES E PROBLEMAS 
• Equação do 1º grau 
Chamamos de equação do 1º grau a toda sentença da forma ax + b = 0, em que a e b são os 
coeficientes e a ≠ 0. Dessa forma, temos que: ax + b = 0 ⇔ ax = –b ⇔ x = -b/a 
O conjunto solução é, então, S = −{-b/a} 
• Equações tipo produto ou quociente nulo 
Para resolvermos uma equação do tipo a.b = 0, lembremos que, se a.b = 0, então a = 0 ou b = 
0.
• Equações do 2º grau 
Chamamos de equação do 2º grau a toda sentença que pode ser reduzida a ax² + bx + c = 0, em 
que a, b e c são coeficientes e a ≠ 0. A resolução desse tipo de equação é dada pela fórmula de 
Bhaskara:
 
ax² + bx + c = 0 ⇔ ax2 + bx = –c. Multiplicando os dois membros desta última igualdade por 
4a, tem-se: ax2 + bx = –c ⇔ 4a²x² + 4abx = –4ac. Somando, agora, b2 aos dois membros da 
igualdade, obtém-se: 
 
 
 
 
• Equações incompletas 
1ª) c = 0 e b ≠ 0 
Ax² + bx + c = 0 ⇔ ax² + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇔ 
Portanto, S ={0, -b/a}. 
2ª)b = 0 e c ≠ 0 
ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax² + c = 0 ⇔ x2 = − c/a ⇔ x = 
Portanto, S = 
3ª) b = 0 e c = 0 
ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax² = 0 ⇔ x = 0. Portanto, S = {0}. 
• Soma e produto das raízes 
Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax² + bx + c = 0 em 
que a ≠ 0, vamos calcular x¹ + x² e x¹.x². 
 
 
 
 
 
 
• Sistema de equações 
A solução de um sistema de duas equações e duas incógnitas, x e y, é qualquer par ordenado de 
valores (x, y) que satisfaz a ambas equações. Observe que o par ordenado (8, 1) é solução do 
seguinte sistema: {x+y=9 ; x-y= 7} 
• Métodos de resolução de sistemas 
Substituição: Esse método consiste em isolar uma das incógnitas numa das equações e em 
substituir a expressão encontrada na outra equação. 
Adição: Para resolver um sistema pelo método da adição, adicionamos membro a membro as 
equações de modo a anular uma das incógnitas. 
4. RAZÕES E PROPORÇÕES 
Para a, b ∈ R (b ≠ 0), o quociente a/b é chamado razão entre a e b (nessa ordem, a é chamado 
antecedente, e b, consequente). Para a, b, c, d ∈ R (b ≠ 0, d ≠ 0), a igualdade de razões é 
chamada proporção. a ÷ b = c ÷ d, também escrita: a/b = c/d. 
• Algumas propriedades das proporções 
 
Números proporcionais 
Considere um corpo de massa m. Sabemos que a razão entre a força resultante que age sobre 
esse corpo e a sua aceleração é constante e igual a m. 
Quando duas grandezas possuem razão constante, são chamadas de 
grandezas diretamente proporcionais. A função por elas determinada é 
denominada função linear, e o gráfico, se contínuo, é uma reta que passa 
pela origem. 
 
5. Regra de três 
Regra de três simples 
Essa regra é aplicada quando temos apenas duas grandezas envolvidas (direta ou inversamente 
proporcionais), e queremos relacionar dois valores correspondentes de cada grandeza. São 
conhecidos três dos quatro valores e o outro valor é, então, determinado através dessa regra. 
Temos, assim, duas possibilidades: 
I) Se a1 e a2 são diretamente proporcionais a b1 e b2, então: 
 
II) Se a1 e a2 são inversamente proporcionais a b1 e b2, então: 
 
 
 
Regra de três composta 
Essa regra é aplicada quando são envolvidas mais de duas grandezas. Podemos analisar como 
se relacionam duas dessas grandezas fixando as demais. 
Exemplo 
Se 4 operários constroem um muro de 30 m de comprimento em 10 dias, trabalhando 8 horas 
por dia, quantas horas por dia deverão trabalhar 6 operários para construir 45 m do mesmo muro 
em 8 dias? 
Resolução: Sendo x o número de horas, por dia, 
trabalhadas pelos 6 operários, temos: vamos 
determinar o valor faltante da grandeza D, que 
depende dos valores das grandezas a, B e C. Fixando 
a e C, D é diretamente proporcional a B, pois quanto 
maior o número de horas trabalhadas por dia, maior será o comprimento do muro construído 
(na mesma razão, por exemplo, se dobrarmos uma grandeza, a outra também dobrará). 
Fixando B e C, D é inversamente proporcional a a, pois quanto maior o número de horas 
trabalhadas por dia, menor será o número de operários necessários à construção (em uma razão 
inversa, por exemplo, se dobrarmos uma grandeza, a outra cairá pela metade). Fixando a e B, 
D é inversamente proporcional a C, pois quanto maior o número de horas trabalhadas por dia, 
menor será o número de dias necessários à construção (em uma razão inversa). 
Então, D é proporcional a (b/ac), e podemos montar aseguinte 
proporção a partir do produto das razões dos valores conhecidos, 
observando o mesmo sentido das setas mostradas 
anteriormente:Portanto, cada um dos operários deverá trabalhar 10 horas por dia. 
 
 
6) GEOMETRIA DE POSIÇÃO 
Introdução 
Alguns conceitos na Geometria são intuitivos, primitivos e, por isso, não necessitam de 
definição. A Geometria de posição é construída com base nas noções intuitivas de ponto, reta e 
plano, que estão exemplificadas na figura a seguir: 
I) A, B, C e D são pontos; 
II) r ou AB é a reta que contém os pontos A e B; 
III) α é o plano que contém o teto da casa. 
A partir dos conceitos básicos de ponto, reta e plano, podemos enunciar alguns postulados 
(verdades aceitas sem demonstração): 
I) Em uma reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. 
II) Em um plano, bem como fora dele, há infinitos pontos. 
III) Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. 
IV) Por um ponto passam infinitas retas. 
v) S e uma reta tem dois pontos distintos num plano, então 
ela está contida no plano. 
Determinação de planos 
Dizemos que um plano está determinado quando ele é único. Existem quatro modos de se 
determinar planos: 
i) Por três pontos não colineares. 
ii) Por uma reta e um ponto fora dela. 
iii) Por duas retas concorrentes 
iv) Por duas retas paralelas distintas. 
Posições relativas entre duas retas 
Duas retas que pertencem ao mesmo plano (coplanares) podem ser: paralelas ou concorrentes. 
 
Caso particular: 
Duas retas são perpendiculares se, e somente se, são concorrentes e formam 
ângulo reto. 
Reversas 
Duas retas são reversas se, e somente se, não existir um plano que as 
contenha, ou seja, se não forem coplanares. Caso particular:Duas retas 
são ortogonais se, e somente se, são reversas e formam ângulo reto. 
Posições relativas entre uma reta e um plano 
• Reta contida no plano 
Uma reta r (AB) está contida em um plano α se, e somente se, todos os 
pontos da reta pertencem ao plano. 
• Reta secante (ou concorrente) ao plano 
Uma reta e um plano são secantes se possuem um único ponto em comum. 
• Reta paralela ao plano 
Uma reta e um plano são paralelos se, e somente se, não possuem pontos em 
comum. 
Posições relativas entre planos 
Dois planos podem admitir as seguintes posições relativas: 
• Paralelos coincidentes 
Dois planos são coincidentes se, e somente se, possuem todos os pontos em comum. 
• Paralelos distintos 
Dois planos são paralelos distintos se, e somente se, não possuem ponto em 
comum. 
• Secantes 
Dois planos são secantes se, e somente se, possuem uma única reta em comum. 
 
Reta perpendicular ao plano 
Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente se, eles têm um ponto 
comum e a reta é perpendicular a todas as retas do plano que passam por esse 
ponto comum. 
Uma reta e um plano são oblíquos se, e somente se, são concorrentes e não são perpendiculares. 
Teorema 
se uma reta é perpendicular a um plano, então ela é perpendicular ou ortogonal a qualquer reta 
do plano. 
Teorema 
se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao 
plano. 
Planos perpendiculares 
Um plano α é perpendicular a um plano β se, e somente se, α 
contém uma reta perpendicular a β. 
Observe, na figura, que o chão da sala (plano β) é perpendicular à parede (plano α), pois o 
chão possui uma reta perpendicular à parede (reta r). 
POLIEDROS 
Poliedros são figuras espaciais fechadas formadas pela reunião de 
polígonos, como mostrado nos exemplos seguintes: 
Cada polígono é denominado face do poliedro. Os lados dos polígonos são as arestas do 
poliedro e os vértices dos polígonos são os vértices do poliedro. Um poliedro é chamado 
convexo se o plano que contém qualquer um dos seus polígonos deixa os demais polígonos no 
mesmo semiespaço. 
Exemplos: O segundo poliedro é não convexo, pois o plano que 
contém a face negritada, por exemplo, divide o poliedro em duas 
partes, uma para cada semiespaço. 
Propriedade 
A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é s = (v – 2).4r em que V é o 
número de vértices, e r é um ângulo reto (90º). 
Relação de Euler 
Para todo poliedro convexo, vale a relação v – A + F = 2 em que V é o número de vértices, a é 
o número de arestas, e F é o número de faces. 
Poliedros de Platão 
Um poliedro é chamado poliedro de Platão se, e somente se, satisfaz as três seguintes condições: 
i) Todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas. 
ii) De todos os vértices, parte o mesmo número (m)de arestas. 
iii) vale a Relação de Euler (v – A + F = 2). 
Propriedade 
Existem cinco, e somente cinco, classes de poliedros de Platão. 
 
Observação 
Um poliedro é regular se ele é de Platão e possui todas as arestas congruentes. Todo poliedro 
regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é poliedro regular. 
 
7) PRISMAS 
Prisma é todo poliedro convexo construído tomando-se dois polígonos congruentes situados em 
planos paralelos e unindo-se os pontos desses polígonos através de segmentos paralelos. 
Podemos, então, identificar no prisma mostrado os seguintes 
elementos: 
i) Bases: faces ABCDE e FGHIJ 
ii) Arestas da base: (AB, BC, CD, DE, EA) e (FG, GH, HI, IJ, JF) 
iii) Faces laterais: paralelogramos BCHG, CDIH, DEJI, EAFJ, ABGF 
iv) Arestas laterais: CH, DI, EJ, AF, BG 
A altura de um prisma é a distância h entre os planos das bases. 
Classificação 
Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das 
bases. Num prisma reto, as faces laterais são retângulos. 
Prisma oblíquo é aquele cujas arestas são oblíquas aos planos das 
bases. 
Prisma regular é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares. 
Áreas 
Área lateral (AL) é a soma das áreas das faces laterais. Área total é a soma da área lateral com 
as áreas das bases. AT = AL+ 2.AB 
Volume 
O volume de um prisma é o produto da área da base pela medida da altura. V = 
AB.h Pode-se demonstrar também que o volume de um prisma é o produto da área 
da secção reta pela medida da aresta. V = S.a 
S= Secção reta ou secção normal é uma secção cujo plano é perpendicular às arestas laterais. 
• PARALELEPÍPEDOS 
Paralelepípedo reto é um prisma reto cujas bases são paralelogramos. A 
superfície total de um paralelepípedo reto é a reunião de quatro retângulos 
(faces laterais) e de dois paralelogramos (bases). 
 
A) Cálculo da diagonal d = raiz² de a² + b² + c² 
No triângulo BCD, temos f2 = a2 + b2. No triângulo BDD’, temos d2 = f 2 + c2 ⇒ d2 = a2 + b2 + c2 ⇒ 
B) Cálculo da área total S = 2(ab + ac + bc) 
A área total do paralelepípedo é a soma das áreas de seis retângulos: dois deles (ABCD, A’B’C’D’) com dimensões a e b, outros dois (ABB’A’, 
DCC’D’) com dimensões a e c e os últimos dois (ADD’A’, BCC’B’) com dimensões b e c. Logo: S = 2ab + 2ac + 2bc 
C) Cálculo do volume V = a.b.c 
O volume de um prisma, como sabemos, é o produto da área da base pela altura, ou seja, V = AB.h. Assim, para o paralelepípedo retângulo, 
temos: AB = a.b e h = c 
• CUBO 
Cubo é um paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes. Dado 
um cubo de aresta a, calculemos sua diagonal d, sua área total S e seu 
volume V. 
A) Cálculo da diagonal d = a (raiz ² 3) 
Inicialmente, calculemos a medida f de uma diagonal de face. No triângulo BAD, temos 
f2 = a² + a² ⇒ f² = 2a² ⇒ f = a raiz² 2. No triângulo BDD’, temos d2 = a² + f² ⇒ d² = a² 
+ 2a² ⇒ d² = 3ª² ⇒ 
B) Cálculo da área total S = 6a² . 
A superfície total de um cubo é a reunião de seis quadrados congruentes de lado a. A área de cada um é a². 
C) Cálculo do volume V = a³ . 
No cubo de aresta a, temos: AB = a.a e h = a 
8) PIRÂMIDES 
Pirâmide é todo poliedro convexo construído unindo-se os vértices de um 
polígono qualquer (base da pirâmide) a um mesmo ponto (vértice da 
pirâmide) situado fora do plano desse polígono. I) Base: face ABCDEF 
II) Arestas da base: AB, BC, CD, DE, EF e FA 
III) Faces laterais: os triângulos BCV, CDV, DEV, EFV, FAV e ABV 
IV) Arestas laterais: CV, DV, EV, FV, AV e BV 
A altura de uma pirâmide é a distância h entre o vértice e o plano da base. 
Pirâmide regular 
Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular, e a projeção 
ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. Numa pirâmide 
regular, as arestas laterais são congruentes, e as faces laterais são triângulos 
isósceles congruentes. 
Chama-se apótema de uma pirâmide regular a altura (relativa ao lado da base) 
de uma face lateral. 
Tetraedro 
Tetraedro é uma pirâmide triangular. Tetraedro regular é um tetraedro que possui as seis 
arestas congruentes entre si. 
Relações numa pirâmide regular 
Em que: 
VM = ap é o apótema da pirâmide regular 
(altura da face lateral); 
OM = aB é o apótema da base; 
OA = R é o raio da circunferência 
circunscrita à base; 
VA = L é a aresta lateral da pirâmide; 
VO = h é a altura da pirâmide. 
 
 
 
Áreas lateral e total 
Para uma pirâmide qualquer, a área lateral corresponde à soma das áreas de todas as faces laterais. Como 
em uma pirâmide regular as faces laterais são triângulos isósceles congruentes, para calcularmos a área 
lateral, fazemos a área de uma face lateral multiplicada pelo número de faces laterais. A área total de 
uma pirâmide corresponde à soma da área lateral com a área da base: AT = AL+ AB 
Volume V = 1/3.AB.h 
Sejam AB a área da base e h a altura de uma pirâmide qualquer. 
Secção de uma pirâmide por um plano paralelo à base 
 Quando seccionamos uma pirâmide por um plano paralelo à base, separamos 
essa pirâmide em dois sólidos. O sólido que contém o vértice é uma nova 
pirâmide, e o sólido que contém a base da pirâmide é um tronco de pirâmide de 
bases paralelas. A nova pirâmide e a pirâmide primitiva têm bases semelhantes, 
e os elementos lineares homólogos (arestas das bases, arestas laterais, alturas, etc.) são proporcionais. 
Assim, dizemos que elas são semelhantes. 
Razão de semelhança 
Essa razão será representada por k. 
Para razões entre áreas homólogas, 
temos: 
 
Para razões entre volumes das pirâmides semelhantes, em que V e v são os volumes das pirâmides 
grande e pequena, respectivamente, temos: Podemos, então, generalizar da seguinte maneira: 
I) A razão entre áreas homólogas de quaisquer dois sólidos semelhantes 
é igual ao quadrado da razão de semelhança. 
II) A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo 
da razão de semelhança. 
Volume Do Tronco De Pirâmide 
Dadas a área AB da base maior, a área aB da base menor e h a medida da altura do tronco, o volume do 
tronco da pirâmide pode ser obtido por meio da fórmula: 
 
 
9) CILINDROS 
Considere dois círculos de mesmo raio, situados em dois planos paralelos, e a reta e, que passa 
pelos centros destes. Chama-se de cilindro circular a reunião dos segmentos paralelos à reta e 
que unem os dois círculos. 
Bases: círculos congruentes situados em planos paralelos. 
Eixo: é a reta determinada pelos centros das bases. 
Geratrizes: são os segmentos, paralelos ao eixo, com extremidades nas 
circunferências das bases. 
Altura: distância h entre os planos das bases 
 
O cilindro circular reto é também chamado cilindro de 
revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo 
em torno de um eixo que contém um dos seus lados 
 
Secção meridiana é a interseção do cilindro com um plano que contém a 
reta OO’ determinada pelos centros das bases. A secção meridiana de um 
cilindro reto é um retângulo. 
Cilindro equilátero é um cilindro cuja secção meridiana é um quadrado, ou seja, 
a geratriz e a altura têm medidas iguais ao dobro da medida do raio da base do 
cilindro. 
Área lateral. AL= 2πrh 
Planificando a superfície lateral de um cilindro reto, obtemos um retângulo de dimensões 2pr e h. 
Logo, a superfície lateral de um cilindro circular reto é equivalente a um retângulo de dimensões 2πr 
(comprimento da circunferência da base) e h (altura do cilindro). 
Área total AT = 2πr(h + r) 
A área total de um cilindro é a soma da área lateral (AL) com as áreas das duas bases (AB =πr2); logo: AT = AL + 
2AB ⇒ AT = 2πrh + 2πr2 
Volume do cilindro V = πr2h 
 Qualquer plano b paralelo a a que secciona o prisma também secciona o cilindro, determinando 
secções de mesma área AB. Podemos afirmar, então, que os dois sólidos têm volumes iguais. 
Vcilindro = Vprisma = AB.h O volume de um cilindro é o produto da área da base pela medida 
da altura. Como AB = πr2, 
 
10) CONES 
Considere um círculo de centro O e raio r situado num plano αe um ponto 
V fora de α. Chama-se cone circular a reunião dos segmentos de reta com 
uma extremidade em V e a outra no círculo. Base: o círculo de centro O e raio 
r. Vértice: o ponto V. Geratrizes: são os segmentos com uma extremidade em V e a outra 
na circunferência da base. Altura: distância entre o vértice do cone e o plano da base. Eixo: é a reta que contém 
o vértice e o centro da base. 
1. Se o eixo do cone é oblíquo ao plano da base, temos um 
cone circular oblíquo. 
2. Se o eixo do cone é perpendicular ao plano da base, temos 
um cone circular reto. 
O cone circular reto é também chamado cone de revolução, 
pois é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém 
um de seus catetos. G² = h² + r² 
Secção meridiana é a interseção do cone com um plano que contém o seu eixo. 
A secção meridiana de um cone circular reto ou cone de revolução é um 
triângulo isósceles. 
Cone equilátero é um cone cuja secção meridiana é um triângulo 
equilátero (g = 2r e h = raiz² 3). 
 
ÁREA LATERAL 
Planificando a superfície lateral de um cone reto, obtemos um setor circular de raio g (geratriz) 
e cujo arco correspondente mede 2pr. Logo, a superfície lateral de um cone reto de raio de base 
r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco 2pr. A área 
lateral do cone reto pode, então, ser calculada por uma simples proporção: 
Comprimento do arco/Área do setor 
 2πg ___________ πg² 
2πr ___________ AL 
 
Para determinarmos o ângulo θ, fazemos uma outra 
proporção: 
Comprimento do arco/ Ângulo 
2πg ___________2π rad ou 360° 
2πr ___________θ 
Área total AT = πr(g + r) 
A área total de um cone é a soma da área lateral (A ) com a área da base (AB); logo: AT = Al+ AB ⇒ A T = prg + pr2 
Volume do cone 
Qualquer plano βparalelo a αque secciona o cone também 
secciona o tetraedro. Sendo as áreas das secções A1 e A2, 
respectivamente, temos: A1/A2 = (h’/h)² e A2/AB = (h’/h)². 
Logo, A1 = A2, para todo plano βparalelo a α. Então, o cone 
e o tetraedro têm volumes iguais. Vcone = Vtetraedro = 
1/ 3.AB.h 
O volume de um cone é um terço do produto da área da base pela medida da altura. Como AB 
= πr2, temos: V = 13 πr2h 
Razão de semelhança 
A razão entre dois elementos lineares homólogos é denominada razão de 
semelhança. Essa razão será representada por k. 
Para razões entre áreas homólogas, temos: 
 
 
Para razões entre volumes dos cones semelhantes, em que V e 
v são os volumes dos cones grande e pequeno, 
respectivamente, temos: 
I)A razão entre áreas homólogas de quaisquer dois sólidos semelhantes é igual ao quadrado da 
razão de semelhança. II) A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo 
da razão de semelhança. 
Volume do tronco de cone 
Dados o raio R da base maior, o raio r da base menor e h a medida da 
altura do tronco, o volume do tronco de cone pode ser obtido por meio 
da fórmula: 
 
 
 
11) ESFERAS 
A esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo 
em torno de um eixo que contém o diâmetro. 
Seção 
Toda seção plana de uma esfera é um círculo. Se o plano secante 
passa pelo centro da esfera, temos como seção um círculo 
máximo da esfera. Sendo R o raio da esfera, d a distância do 
plano secante ao centro e r o raio da seção, vale a relação: 
Área da esfera A = 4πR² 
Chama-se superfície da esfera de centro O e raio R ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a medida OP seja igual a R. 
Volume da esfera V = 4/3 πR³ 
Fuso esférico 
É a região da superfície da esfera compreendida entre duas semicircunferências com 
extremidades nos polos da esfera. O ângulo α, medido na seção equatorial, e o raio 
R da esfera caracterizam o fuso. 
Área do fuso Sendo α o ângulo do fuso, temos: 
 
Cunha esférica 
É a região da esfera compreendida entre dois semicírculos que contêm o seu 
diâmetro. A cunha fica determinada pelo raio da esfera e pela medida do ângulo 
α. 
Volume da cunha 
Sendo α o ângulo da cunha, temos: 
Perceba que ∞º/360° ou ∞/2π equivalem à fração que a 
cunha corresponde da esfera. 
 
 
 
 
12) INSCRIÇÃO DE SÓLIDOS 
Esfera e cubo 
Vamos calcular o raio r da esfera inscrita em um cubo de 
aresta a. Seja a figura: 
O diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo. Assim: 2r = a. 
r = a/ 2 
O diâmetro da esfera é igual à diagonal do cubo. Assim: 2R 
= a√3. R = a √3/𝟐 
Esfera e tetraedro regular 
Num tetraedro regular, a soma das distâncias de um ponto interior qualquer às quatro faces é 
igual à altura do tetraedro. Sendo I um ponto interior e x, y, z e t as respectivas distâncias às 
faces ABC, ABD, ACD e BCD, queremos provar que: x + y + z + t = h. Em que h é a altura do 
tetraedro. 
Demonstração: De fato, a soma dos volumes das pirâmides 
IABC, IABD, IACD e IBCD é igual ao volume de ABCD. 
Sendo S a área de uma face do tetraedro, temos: 1/3 Sx + 1/3 Sy 
+ 1/3 Sz + 1/3 St = 1/3 Sh ⇒ x + y + z + t = h. Agora, vamos 
calcular o raio r da esfera inscrita e o raio R da esfera 
circunscrita. 
Sendo o centro O um ponto interior do tetraedro regular, vale a 
propriedade anterior, isto é: x + y + z + t = h e, com x = y = z 
= t = r, temos: 4r = h . r = ¼ .h 
E como R + r = h, então: R = ¾. H 
Como a altura do tetraedro regular é h = a √6/3 , temos: r = a 
√6/12 e R = a√6/4 
Cilindro e cone 
Vamos relacionar as medidas de um cilindro reto e de um cone reto circunscrito a esse cilindro. 
Veja a figura: 
Usando semelhança entre os triângulos da figura, 
temos: 
 
Cilindro e esfera 
O cilindro circunscrito a uma esfera é um cilindro equilátero, cujo raio da 
base é igual ao raio da esfera.O raio da base r e a altura h de um cilindro 
inscrito em uma esfera de raio R obedecem à relação: (2R)² = (2r)² + h² 
Esfera e cone reto 
Veja a figura de uma esfera inscrita em um cone reto, em que O é o centro da esfera inscrita no 
cone, e D é o ponto de tangência entre a esfera e o cone. 
Usando semelhança entre os triângulos da 
figura, temos 
 
 
 
Podemos obter x aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADO: x² = (H – r)² – r² ⇒ x = 
√H(H -- 2r) 
Analisemos, agora, uma esfera circunscrita a um cone reto. 
Das relações métricas no triângulo retângulo ABD, temos: g² = 2Rh e 
r² = h(2R – h)