Introdução a derivada

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Notas de aula 
 
 
Disciplina: Cálculo Instrumental 
Professora: Maria Lívia Astolfo Coutinho Data: 
 
Discente: _____________________________________ 
 
 
Observação: Essa é uma simples nota de aula, resumida, não substitui o estudo nos livros. 
 
Derivadas 
Introdução 
 
O conceito de derivada foi introduzido em meados dos séculos XVII e XVIII em 
estudos de problemas de Física ligados ao movimento. Entre outros, destacaram-se o 
físico e matemático inglês Isaac Newton (1642-1727), o filósofo e matemático alemão 
Gottfried Leibniz (1646-1716) e o matemático francês Joseph-Louis Lagrange (1736 - 
1813 - nasceu em Turim, na Itália, mas viveu praticamente toda sua vida na França). As 
idéias preliminarmente introduzidas na Física foram aos poucos sendo incorporadas a 
outras áreas do conhecimento. Em Economia e Administração o conceito de derivada é 
utilizado principalmente no estudo gráfico de funções, determinação de máximos e 
mínimos e cálculo de taxas de variação de funções. 
 
Incrementos: 
 O incremento  x de uma variável x é a variação em x quando este cresce ou 
decresce de um valor x = xo a um valor x = x1 no seu domínio. Logo,  x = x1 – xo e 
podemos escrever também, x1 = xo +  x. 
 
Taxa Média de Variação: 
 
Seja f uma função definida num domínio D; sejam xo e xo +  x dois pontos de D. 
Quando a variável x passa do valor xo para o valor xo +  x sofrendo uma variação  x, o 
correspondente valor da função passa de f(xo) para o valor f(xo +  x) sofrendo, portanto, 
uma variação  y = f(xo +  x) – f(xo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y 
 
 
 
f(xo + x) 
 
f(xo) 
 
y = f(xo + x) – f(xo) 
x 
 xo xo + x 
O quociente 
x
xfxxf
x
y oo




 )()(
 recebe o nome de taxa média de variação da 
função quando x passa do valor xo para o valor xo +  x e expressa a variação média 
sofrida pelos valores da função entre estes dois pontos. 
 
Derivada de uma função num ponto 
Definição: 
 
Seja f(x) uma função e xo um ponto de seu domínio. Chamamos de derivada de f no 
ponto xo, se existir e for finito, o limite dado por: 
 
lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 
 
Ou 
 
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
 
 
Neste caso dizemos também que f é derivável no ponto xo. E indicaremos por uma das 
notações seguintes: 
𝑓′(𝑥0), 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
(𝑥0), 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
(𝑥0) ou ainda por 𝑦′(𝑥0) 
Exemplos: 
1. Qual a derivada de f(x) = x2 no ponto xo = 3? 
f(xo) = f(3) = 3
2 = 9 
f(xo +  x) = f(3 +  x) = (3 +  x)
2 = 32 + 2.3.  x + ( x)2 = 9 + 6 x + ( x)2 
 6)6(lim
)6(
lim
9)(69
lim
)3()3(
lim)3('
00
2
00











x
x
xx
x
xx
x
fx
f
xxxx 
𝒇′(𝟑) = 𝟔 
 
Podemos também responder de outra forma: 
𝒇′(𝒙𝟎) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝟎
𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒙 − 𝒙𝟎
 
 
𝑓′(3) = lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) − 𝑓(3)
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
𝑥2 − 9
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
(𝑥 + 3) = 3 + 3 = 6 
 
𝒇′(𝟑) = 𝟔 
 
Exercício: 
1. Calcule pela definição a derivada das funções abaixo nos pontos indicados: 
a) f(x) = 2x + 3 xo = 3 b) f(x) = -3x xo = 1 
c) f(x) = x2 – 3x xo = 2 
 
Respostas: a) 2 b) –3 c) 1 
Função Derivada 
 
Dada uma função f(x), podemos pensar em calcular a derivada de f(x) num ponto x 
qualquer, ao invés de calcular num ponto particular xo. A essa derivada, calculada num 
genérico x, chamamos de função derivada de f(x); o domínio dessa função é o conjunto 
valores de x para os quais existe a derivada de f(x). A vantagem em calcular a função 
derivada é que com ela poderemos calcular a derivada de f(x) em qualquer ponto xo, 
bastando para isso substituir, na função derivada, x por xo. 
 
Definição: 
 
Seja A um intervalo aberto tal que uma função f(x) seja derivável em cada 𝑥 ∈ 𝐴. 
Então, podemos definir uma função que associa cada elemento de x do domínio a sua 
derivada f’(x). À função dessa forma definida dá-se o nome de função derivada de f. 
Para obtermos essa função utilizamos a definição de derivada em um ponto genérico x, 
portanto: 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙𝟎 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎)
∆𝒙
 
 
A derivada de f é representada por 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) 
Outras notações que podemos utilizar para são: 
(i) 𝐷𝑥𝑦 (lê-se derivada de 𝑦 em relação a 𝑥); 
(ii) 𝐷𝑥𝑓(𝑥) (lê-se derivada de 𝑓(𝑥) em relação a 𝑥); 
(iii) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 (lê-se derivada de 𝑦 em relação a 𝑥). 
 
Derivadas de algumas das funções elementares 
 
a) Derivada da função constante: Se f(x) = c, 𝒄 ∈ ℝ, então temos: 
 
f(x) = c ⇒ f ’(x) = 0 
 
b) Derivada da função potência: Se𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏, 𝒏 ∈ ℤ*, então temos: 
 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 ⟹ 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 
 
c) Derivada de uma constante multiplicada por uma função. 
𝒚 = 𝒌. 𝒇(𝒙) ⟹ 𝒚′ = 𝒌. 𝒇´(𝒙) 
d) Derivada da função exponencial: Se 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙, com 𝒂 > 𝟎 𝒆 𝒂 ≠ 𝟏, então temos: 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 ⟹ 𝒇′(𝒙) = 𝒂𝒙 𝒍𝒏 𝒂 
Caso particular: 𝒚 = 𝒆𝒙 ⟹ 𝒚′ = 𝒆𝒙 
 
e) Derivada da função logarítmica (caso particular): Se 𝑓(𝑥) = ln 𝑥, com 𝑥 ∈ ℝ+
∗ , então 
temos: 
𝒚 = 𝒍𝒏 𝒙 ⇒ 𝒚′ = 
𝟏
𝒙
 
 
Regras de derivação 
Estudaremos agora relações que nos permitirão calcular a derivada da soma, 
multiplicação e quociente das funções elementares vistas até o momento. Reforçamos a 
idéia de que tais relações são consequências da definição de função derivada. 
 
a) Se u e v são funções deriváveis num intervalo A e f uma função definida por 
f(x) = u(x) + v(x), então f’(x) = u’(x) + v’(x), 
 ou seja, a derivada da soma é a soma das derivadas. 
 
b) Se u e v são funções deriváveis num intervalo A e f uma função definida por f(x) = u(x) 
. v(x), então f’(x) = u’(x) . v(x) + u(x). v’(x), ou seja, a derivada do produto de duas 
funções é igual à derivada da primeira função multiplicada pela segunda função, mais 
a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função. 
 
𝒇(𝒙) = 𝒖. 𝒗 ⟹ 𝒇 ′(𝒙) = 𝒖′. 𝒗 + 𝒖. 𝒗′ 
 
c) Se u e v são funções deriváveis num intervalo A e h uma função definida por 
ℎ(𝑥) =
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
 , com v(x) ≠ 0, então ℎ′(𝑥) =
𝑢′(𝑥).𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥). 𝑣′(𝑥)
[𝑣(𝑥)]2
, ou seja, a derivada 
do quociente de duas funções é a fração que tem como denominador o quadrado da 
função original e como numerador o denominador multiplicado pela derivada do 
numerador original menos o produto do numerador original pela derivada do 
denominador. 
𝒇(𝒙) = 
𝑢
𝑣
 ⟹ 𝑓′(𝑥) =
𝑢′. 𝑣− 𝑢 . 𝑣′
𝑣²
 
Exercícios 
Obtenha a derivada de cada função a seguir: 
a) 𝑦 = 𝑥5 b) 𝑦 =
1
2
𝑥2 + 2𝑥 
c) 𝑦 = 10𝑥2 + 5𝑥 − 1 d) 𝑦 = 7𝑙𝑛𝑥 + 𝑒𝑥 
e) 𝑦 = 𝑥5 − 4𝑥3 −
3
2
𝑥2 + 8𝑥 − 3 f) 𝑦 = 𝑥2. 𝑙𝑛𝑥 + 𝑙𝑛2 
g) 𝑦 = (2𝑥2 − 3𝑥 + 5). (2𝑥 − 1) h) 𝑦 =
𝑥−1
𝑥−2
 
i) 𝑦 =
2
𝑥3
+
5
𝑥2
+
1
2
 j) 𝑦 = √𝑥2
3
+ √2
3
 
n) 𝑦 = 𝑒𝑥 − 3𝑥 + 2𝑙𝑛𝑥 o) 𝑦 =
𝑥³−1
2𝑥²+1
 
Respostas: 
a) 𝑦′ = 5𝑥4 b) 𝑦′ = 𝑥 + 2𝑥 . 𝑙𝑛2 
c) 𝑦′ = 20𝑥 + 5 d) 𝑦′ =
7
𝑥
+ 𝑒𝑥 
e) 𝑦′ = 5𝑥4 − 12𝑥2 − 3𝑥 + 8 f) 𝑦′ = 2𝑥𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 
g) 𝑦 ′ = 12𝑥²− 16𝑥 + 13 h) 𝑦′ =
−1
(𝑥−2)²
 
i) 𝑦′ = −
6
𝑥4
−
10
𝑥³
 j) 𝑦′ =
2
3 √𝑥
3 
n) 𝑦 ′ = 𝑒𝑥 − 3𝑥 . 𝑙𝑛3 +
2
𝑥
 o) 𝑦 ′ =
2𝑥4+3𝑥²+4𝑥
(2𝑥2+1)²
 
 
RESUMO 
 
Derivada de funções elementares 
Derivada da constante: f(x) = c ⇒ f ’(x) = 0 
Derivada da função potência: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 ⟹ 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 
Derivada de uma constante multiplicada por uma função: 𝐲 = 𝐤. 𝐟(𝐱) ⟹ 𝐲′ = 𝐤. 𝐟´(𝐱) 
Derivada da função exponencial: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 ⟹ 𝒇′(𝒙) = 𝒂𝒙 𝒍𝒏 𝒂 
 Caso particular função exponencial: 𝑦 = 𝑒𝑥 ⟹ 𝑦′ = 𝑒𝑥 
 Caso particular função logarítmica: 𝒚 = 𝒍𝒏 𝒙 ⇒ 𝒚′ = 
𝟏
𝒙
 
 
 
 
Regras de Derivação 
Derivada da soma ou diferença: 𝒇(𝒙) = 𝒖 ± 𝒗 ⟹ 𝒇 ′(𝒙) = 𝒖′ ± 𝒗′ 
Derivada do produto: 𝒇(𝒙) = 𝒖. 𝒗 ⟹ 𝒇 ′(𝒙) = 𝒖′. 𝒗 + 𝒖. 𝒗′ 
Derivada do quociente: 𝒇(𝒙) = 
𝑢
𝑣
 ⟹ 𝑓′(𝑥) =
𝑢′. 𝑣− 𝑢 . 𝑣′
𝑣²