Propriedades do limite

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Notas de aula 
 
 
Disciplina: Cálculo Instrumental 
Professora: Maria Lívia Astolfo Coutinho Data: 
 
Discente: _____________________________________ 
 
 
Propriedades dos limites 
 
1. Proposição: Se a, m e n são números reais, então: 
nmanmx
ax


)(lim
 
Desta proposição decorre que: 
Se c é um número real qualquer, então: 
a) 
cc
ax


lim
 
b) 
ax
ax


lim
 
2. Proposição: se )(lim xf
ax
 e 
)(lim xg
ax existem e c é um 
número real qualquer, então: 
 
a. 

)]()([lim xgxf
ax
)(lim xf
ax
 )(lim xg
ax
 
b. )](.[lim xfc
ax
 = c. )(lim xf
ax
 
c. 

)]()([lim xgxf
ax
)(lim xf
ax
. )(lim xg
ax
 
d. 
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax



 , desde que )(lim xg
ax
 0 
 
e.     n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim

 para n inteiro positivo. 
 
 
f. 
n
ax
xf )(lim

 = n
ax
xf )(lim

, se )(lim xf
ax
 > 0 e n inteiro 
positivo ou se )(lim xf
ax
 < 0 e n inteiro positivo ímpar. 
g.  )( ln lim xf
ax
 =  )(lim ln xf
ax
, se )(lim xf
ax
 > 0. 
h.  )( cos lim xf
ax
 = cos [ )(lim xf
ax
] 
i.  )( lim xfsen
ax
 = sen [ )(lim xf
ax
] 
j. 
)(lim
)( lim
xf
xf
ax
axee 
 
3. Proposição: Se )()()( xgxhxf  para todo x em um 
intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x = a, e se 
)(lim xf
ax
 = L = )(lim xg
ax
, então, Lxh
ax


)(lim . 
 
Limite 
Definição: 
Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no 
próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, e 
escrevemos: 
 
Lxf
ax


)(lim
 
Se para todo 0 , existe 0 , tal que  Lxf )( , sempre que 
 ax0 . 
 
Unicidade do limite 
 
Se 1)(lim Lxf
ax


 e 2
)(lim Lxf
ax


, então L1 = L2.