13 1 Funções vetoriais e curvas espaciais (1)

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FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS ESPACIAIS
CAPÍTULO 13.1
FUNÇÕES VETORIAIS 
 Função: Regra que associa a cada elemento de seu domínio um elemento de sua imagem.
FUNÇÕES VETORIAIS 
 Função vetorial ou Função a valores vetoriais
 Função vetorial 𝑟 em que os valores são vetores tridimensionais;
 Para todo número t no domínio de 𝒓 existe um único vetor de 𝑉3 denotado por 𝑟(𝑡).
 Componentes do vetor: 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡) e ℎ(𝑡) Funções reais.
 𝑟 𝑡 = 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡) = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗 + ℎ 𝑡 𝑘
 Exemplo 1: Se 𝑟 𝑡 = 𝑡3, ln 3 − 𝑡 , 𝑡 , então as funções componentes são? Qual o domínio?
Domínio:
Conjunto de números reais
Imagem:
Conjunto de vetores
FUNÇÕES VETORIAIS 
 O limite de uma função vetorial 𝑟 é definido tomando-se os limites de suas funções componentes.
1. Se 𝑟 𝑡 = 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡) , então
lim
𝑡→𝑎
 𝑟 𝑡 = lim
𝑡→𝑎
𝑓 𝑡 , lim
𝑡→𝑎
𝑔 𝑡 , lim
𝑡→𝑎
ℎ(𝑡)
 Observação 1: Os limites das funções vetoriais obedecem às mesmas regras que os limites das funções
reais.
FUNÇÕES VETORIAIS 
 Exemplo 2: Suponha que u e v sejam funções vetoriais que possuem limites quando 𝑡 → 𝑎 e c uma
constante. Demonstre as seguintes propriedades de limites.
 Exemplo 3: Determine lim
𝑡→0
 𝑟 𝑡 , onde 𝑟 𝑡 = (1+𝑡3), t𝑒−𝑡 ,
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡
.
 Observação 2: 𝑟 é contínua em a se e somente se suas funções componentes f, g e h forem contínuas em a.
CURVAS ESPACIAIS
 As curvas espaciais e as funções vetoriais contínuas estão intimamente relacionadas.
 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡) e ℎ(𝑡) Funções reais no intervalo I.
 O conjunto C de todos os pontos (x, y, z) no espaço é dito de curva espacial, onde
2. 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑦 = 𝑔 𝑡 𝑧 = ℎ(𝑡)
 t varia no intervalo I.
 As equações em 2 são denominadas equações paramétricas de C e t é o parâmetro.
CURVAS ESPACIAIS
 Movimento de uma partícula;
 𝑟(𝑡) é o vetor posição;
 Qualquer função contínua 𝑟 define uma curva espacial C.
 Exemplo 4: Descreva a curva definida pela função vetorial:
 𝑟 𝑡 = 1+𝑡, 2 +5t, − 1 + 6𝑡
CURVAS ESPACIAIS
 As curvas planas também podem ser representadas utilizando-se notação vetorial.
 Exemplo, a curva determinada pela equações 𝑥 = 𝑡2 − 2𝑡 e 𝑦 = 𝑡 + 1 poderia ser também descrita
pela equação vetorial:
 𝑟 𝑡 = 𝑡2 − 2𝑡, 𝑡 + 1 = (𝑡2 − 2𝑡) 𝑖 + (𝑡 + 1) 𝑗
onde, 𝑖 = 1,0 e 𝑗 = 0,1 .
 Exemplo 5: Esboce a curva cuja equação vetorial é dada por 𝑟 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑗 + 𝑡 𝑘.
 Exemplo 6: Esboce a curva da equação vetorial 𝑟 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑡 e indique as setas qual a direção que
o parâmetro t cresce.
CURVAS ESPACIAIS
 Agora será dada uma descrição geométrica da curva e será pedido para encontrar as equações
paramétricas para ela.
 Exemplo 7: Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas para o segmento de reta
ligando o ponto P(1, 3, -2) ao ponto Q(2, -1, 3).
 Exemplo 8: Determine uma equação vetorial que represente a curva obtida pela interseção do cilindro
𝑥2 + 𝑦2 = 1 com o plano 𝑦 + 𝑧 = 2.
CURVAS ESPACIAIS
 Exemplo 9: Se dois objetos viajam pelo espaço ao longo de duas curvas diferentes, é sempre
importante saber se eles vão colidir. (Será que um míssil atingiu seu alvo em movimento? Vão se
colidir duas aeronaves?) As curvas podem se interceptar, mas precisamos saber se os objetos estão na
mesma posição no mesmo instante. Suponha que as trajetórias de duas partículas sejam dadas pelas
seguintes equações vetoriais:
 𝑟1 𝑡 = 𝑡
2, 7t − 12, 𝑡2 𝑟2 𝑡 = 4𝑡 − 3, 𝑡
2, 5t − 6
para 𝑡 ≥ 0. As partículas colidem?
EXERCÍCIOS
 Seção 13.1 – James Stewart 7ª Edição.
 1-14, 17-20, 29, 40-44, 47, 48, 49.