Calculo da seção transversal - Esbeltez

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Dimensionamento simples para peças de madeira
 DANDARA VIANA JANEIRO 30, 2019 ESTRUTURAS 2 COMMENTS
Olá, engenheiros! Nesse post, você aprenderá como dimensionar peças maciças de madeira por meio dos critérios de segurança da ABNT NBR 7190/97 e ainda preparamos um ótimo exemplo de como calcular as dimensões de uma tesoura de madeira.
Se quiser conferir como se calcula a resistência de uma estrutura de madeira, veja nosso post anterior.
Boa leitura!
Critérios de segurança no estado limite último
Abaixo, os critérios de segurança exigidos para uma estrutura de madeira em diversas situações.
Compressão paralela às fibras
Em peças de madeira submetidas à compressão axial, o critério de segurança é dado por:
\mathrm{σ_{cd}≤f_{cd}}σcd​≤fcd​
Onde:
· σcd: é a tensão solicitante de projeto na compressão longitudinal às fibras (kN/m²);
· fcd: é a tensão resitente de projeto na compressão longitudinal às fibras (kN/m²).
Flambagem
A compressão axial pode provocar flambagem na peça, diminuindo sua estabilidade. Isso depende tanto da esbeltez da peça quanto da magnitude da força axial aplicada.
Limite de esbeltez
Para peças comprimidas, segundo a NBR 7190/97, o limite de esbeltez de uma peça deverá ser menor ou igual a 140 para que haja estabilidade. A esbeltez é, então, calculada por:
\mathrm{λ=\dfrac{L_{fl}}{i}}λ=iLfl​​
Onde:
· λ: é o coeficiente de esbeltez da peça;
· Lfl: é o comprimento de flambagem (m);
· i: é o raio de giração da seção transversal (m).
Para colunas curtas
0< Lfl/i≤40
Para colunas medianamente esbeltas
40< Lfl/i≤80
Para colunas esbeltas
80< Lfl/i≤140
Comprimento de flambagem
O comprimento de famblagem é o valor teórico considerado para o cálculo da flambagem e leva em consideração as condições de contorno da estrutura.
VALORES DE K PARA DIVERSAS CONDIÇÕES DE CONTORNO.
 
\mathrm{L_{fl}=K.L}Lfl​=K.L
Onde:
· K: é o parâmetro de flambagem, esquema acima;
· L é o comprimento real da peça (m).
Compressão normal às fibras
Já em peças de madeira submetidas à compressão normal às fibras, o critério de segurança é dado por:
\mathrm{σ_{cnd}<f_{cnd}}σcnd​<fcnd​
\mathrm{f_{cnd}=0,25.f_{cd}.σ _n}fcnd​=0,25.fcd​.σn​
Onde:
· σcnd: é a tensão solicitante de projeto na compressão normal às fibras (kN/m²);
· fcnd: é a tensão resistente de projeto na compressão normal às fibras (kN/m²);
· σn: é um coeficiente que leva em conta a maior rigidez da madeira para esforço aplicados em pequena área, tabela 1.
TENSÃO DE COMPRESSÃO NORMAL ÀS FIBRAS.
Tabela 1 – Coeficiente σn de acréscimo da tensão resistente de compressão normal às fibras em função de b.
Compressão inclinada em relação às fibras
Em relação à compressão longitudinal e normal, a compressão inclinada é intermediária às duas acima. Dessa forma, o critério de segurança é função do ângulo de inclinação β é dado por:
\mathrm{σ_{cβd}<f_{cβd}}σcβd​<fcβd​
\mathrm{f_{cβd}=\dfrac{ f_{cd}. f_{cnd}}{ f_{cd}{sen}^2β+ f_{cnd}{cos}^2β}}fcβd​=fcd​sen2β+fcnd​cos2βfcd​.fcnd​​
Onde:
· β é o ângulo de inclinação com a horizontal (graus) e β>6֯, caso contrário será considerada compressão normal;
· σcβd: é a tensão solicitante de projeto na compressão inclinada (kN/m²);
· fcβd: é a tensão resistente de projeto na compressão inclinada (kN/m²).
Tração
O critério de segurança para peças sujeitas à tração paralela às fibras da madeira é dado por:
\mathrm{σ_{td}≤f_{td}}σtd​≤ftd​
Onde:
· σtd: é a tensão solicitante de projeto na tração longitudinal às fibras (kN/m²);
· ftd: é a tensão resistente de projeto na tração longitudinal às fibras (kN/m²).
Flexão simples reta
Para uma peça sujeita à flexão em torno de um eixo principal de inércia, as tensões normais de bordo dever atender às seguintes condições, já conhecidas:
\mathrm{σ_{cd}≤f_{cd}}σcd​≤fcd​
\mathrm{σ_{td}≤f_{td}}σtd​≤ftd​
Sendo σd calculada por:
\mathrm{σ_{d}≤M_{d}/W}σd​≤Md​/W
Onde:
· σd: é a tensão solicitante de projeto na flexão simples (kN/m²);
· Md: é o momento fletor de projeto (kN.m);
· W: é o módulo de resistência à flexão do bordo considerado (m³) e equivale à razão entre o momento de inércia e a distância da linha neutra à fibra externa.
Cisalhamento longitudinal
Em peças submetidas à flexão com esforço cortante, o critério de segurança referente às tenções cisalhantes é dado por:
\mathrm{τ_{cd}≤f_{vd}}τcd​≤fvd​
Onde:
· τcd: é a tensão solicitante de projeto no cisalhamento paralelo às fibras (kN/m²);
· fvd: é a tensão resistente de projeto no cisalhamento paralelo às fibras (kN/m²) e vale:
Para a madeira das árvores coníferas
\mathrm{f_{vd}=0,12.f_{cd}}fvd​=0,12.fcd​
Para a madeira das árvores dicotiledôneas
\mathrm{f_{vd}=0,10.f_{cd}}fvd​=0,10.fcd​
Exemplo aplicado
Dimensione a treliça de madeira abaixo sujeita ao carregamento dado, considerando a madeira do tipo Maçaranduba com fcd=1,592kN/cm² e ftd=2,068kN/cm².
REPRESENTAÇÃO DA TRELIÇA.
CARREGAMENTO DA TRELIÇA.
RESOLUÇÃO:
Passo 01: Esforços resultantes nas barras da treliça
Para facilitar, o cálculo dos esforços nas barras da treliça foram feitos por meio do software Ftool e está mostrado na figura abaixo.
ESFORÇOS NORMAIS RESULTANTES NAS BARRAS DA TRELIÇA.
Passo 02: Dimensionamento das barras do banzo superior solicitadas à compressão
EIXOS DE FLAMBAGEM PARA OS BANZOS COMPRIMIDOS.
Para peças comprimidas, segundo a NBR 7190/97, a esbeltez da peça deverá ser menor que 140 para que haja estabilidade. As condições de apoio são consideradas birrotuladas e peça será dimensionada para compressão centrada, logo o comprimento de flambagem é igual ao comprimento da peça. Então:
\mathrm{λ=\dfrac{Lfl}{i}}λ=iLfl​
Onde:
· λ: é o coeficiente de esbeltez da peça;
· Lfl: é o comprimento de flambagem (m);
· i: é o raio de giração da seção transversal (m).
Para o eixo x
\mathrm{λx =Lx/ix≤140}λx=Lx/ix≤140
\mathrm{ix≥Lx/140=2,78/140=1,986cm}ix≥Lx/140=2,78/140=1,986cm
\mathrm{h=ix.\sqrt{12}=6,817cm}h=ix.12​=6,817cm
Para o eixo y
\mathrm{λy =Ly/iy≤140}λy=Ly/iy≤140
\mathrm{iy≥Ly/140=1,39/140=0,993cm}iy≥Ly/140=1,39/140=0,993cm
\mathrm{b=iy.\sqrt{12}=3,439cm}b=iy.12​=3,439cm
Logo, de acordo com o resultado acima e com a tabela 2, a seção comercial mínima adotada, inicialmente,  seria 7,0 x 7,0.
Tabela 2 – Dimensões padrão para peças de madeira serrada.
Entretanto, para elementos principais a área mínima da seção transversal adotada deverá ser maior que 50 cm² e ter espessura maior que 5 cm, segundo o item 10.2.1 da NBR 7190. Seguido esses critérios, a verificação se iniciará pela seção 5,0×12,0.
Verificação para a seção 5,0 x 12,0
A tabela 3, extraída da NBR 7190, mostra os valores médios para a madeira Maçaranduba.
Tabela 3 – Valores de resistência da madeira Maçaranduba.
Para a verificação, faremos uso das tabelas de Pfeil e Pfeil abaixo. Mas antes calcularemos os dados de entrada:
\mathrm{Ec/fc=22733/82,9=274,22}Ec/fc=22733/82,9=274,22
\mathrm{λ_{crítico}=Lfl/i=139/1,45≈96}λcrıˊtico​=Lfl/i=139/1,45≈96 ⇒ Usaremos, neste caso, o cruzamento entre a linha 90 e a coluna 6
Coeficiente de fluência \mathrm{φ=2,0}φ=2,0 (caso mais desfavorável)
Tabela 4 – Valores de ρ para peça de madeira de seção retangular, Ec/fc=240.
 
 
Tabela 5 – Valores de ρ para peça de madeira de seção retangular, Ec/fc=280.
Como o valor de Ec/fc está entre 240 e 280, será necessário uma interpolação entre as duas tabelas:
\mathrm{\dfrac{280-274,22}{280-240}=\dfrac{0,273-ρ}{0,273-0,247}}280−240280−274,22​=0,273−0,2470,273−ρ​
\mathrm{ρ=f'_{cd}/f_{cd}=0,269}ρ=fcd′​/fcd​=0,269
                          \mathrm{f'_{cd}=ρ.f_{cd}=0,269.1,592=0,429kN/cm^2}fcd′​=ρ.fcd​=0,269.1,592=0,429kN/cm2
Logo,
\mathrm{σ_{cd}=\dfrac{|F_{máxima}|}{A_{existente}}=\dfrac{34,20}{5.12}=0,570kN/cm^2}σcd​=Aexistente​∣Fmaˊxima​∣​=5.1234,20​=0,570kN/cm2
Como f’cd<σcd, então a seção 5,0×12,0 não atende.
Verificação para a seção 5,0 x 16,0
\mathrm{Ec/fc=22733/82,9=274,22}Ec/fc=22733/82,9=274,22
\mathrm{λ_{crítico}=Lfl/i=139/1,45≈96}λcrıˊtico​=Lfl/i=139/1,45≈96
\mathrm{φ=2,0}φ=2,0 (mais desfavorável)
Por interpolação temos:
\mathrm{\dfrac{280-274,22}{280-240}=\dfrac{0,273-ρ}{0,273-0,247}}280−240280−274,22​=0,273−0,2470,273−ρ​\mathrm{ρ=f'_{cd}/f_{cd}=0,269}ρ=fcd′​/fcd​=0,269
                              \mathrm{f'_{cd}=ρ.f_{cd}=0,269.1,592=0,429kN/cm^2}fcd′​=ρ.fcd​=0,269.1,592=0,429kN/cm2
Logo,
\mathrm{σ_{cd}=\dfrac{|F_{máxima}|}{A_{existente}}=\dfrac{34,20}{5.16}=0,427kN/cm^2}σcd​=Aexistente​∣Fmaˊxima​∣​=5.1634,20​=0,427kN/cm2
Como f’cd>σcd, então a seção 5,0×16,0 resiste aos esforço e será utilizada para as barras comprimidas 1, 2, 3, e 4.
Passo 03: Dimensionamento das diagonais solicitadas à compressão
EIXOS DE FLAMBAGEM PARA AS DIAGONAIS.
Para ambos os eixos
\mathrm{λ=Lfl/i≤140}λ=Lfl/i≤140
\mathrm{i≥Lfl/140=1,39/140=0,993cm}i≥Lfl/140=1,39/140=0,993cm
\mathrm{b=i.\sqrt{12}=3,439cm}b=i.12​=3,439cm
Logo, de acordo com o resultado acima e a tabela abaixo, a seção comercial mínima adotada, inicialmente,  seria 5,0 x 5,0.
Entretanto, para elementos principais a área mínima da seção transversal adotada deverá ser maior que 50 cm² e ter espessura maior de cm, segundo o item 10.2.1 da NBR 7190. Seguido esses critérios, a verificação se iniciará pela seção 5,0×12,0.
Verificação para a seção 5,0 x 12,0
\mathrm{Ec/fc=22733/82,9=274,22}Ec/fc=22733/82,9=274,22
\mathrm{λ_{crítico}=Lfl/i=139/1,45≈96}λcrıˊtico​=Lfl/i=139/1,45≈96
\mathrm{φ=2,0}φ=2,0 (mais desfavorável)
Por interpolação temos:
\mathrm{\dfrac{280-274,22}{280-240}=\dfrac{0,273-ρ}{0,273-0,247}}280−240280−274,22​=0,273−0,2470,273−ρ​
\mathrm{ρ=f'_{cd}/f_{cd}=0,269}ρ=fcd′​/fcd​=0,269
                              \mathrm{f'_{cd}=ρ.f_{cd}=0,269.1,592=0,429kN/cm^2}fcd′​=ρ.fcd​=0,269.1,592=0,429kN/cm2
Logo,
\mathrm{σ_{cd}=\dfrac{|F_{máxima}|}{A_{existente}}=\dfrac{11,40}{6.12}=0,190kN/cm^2}σcd​=Aexistente​∣Fmaˊxima​∣​=6.1211,40​=0,190kN/cm2
Como f’cd>σcd, então a seção 6,0×12,0 resiste aos esforço e será utilizada para as barras comprimidas das diagonais 10 e 12 da treliça.
Passo 04: Dimensionamento do banzo inferior solicitado à tração
Nessa situação, não é necessário verificar a flambagem, pois a barra está sob tração. Então, é estimada uma área da seção transversal que seja suficiente para resistir a esse esforço.
\mathrm{σ_{td}≤f_{td}}σtd​≤ftd​
\mathrm{30,70/A≤ 2,068}30,70/A≤2,068
\mathrm{A≥ 14,845cm^2}A≥14,845cm2
Logo, será utilizado a área mínima de 50 cm², sendo adotado o perfil comercial de 6,0 x 12,0 cm, por ser o mais econômico dentre as opções.
Passo 05: Dimensionamento da barra vertical solicitada à tração
Para a barra 11, inicialmente é estimada uma área da seção transversal que seja suficiente para resistir ao esforço de tração.
\mathrm{σ_{td}≤f_{td}}σtd​≤ftd​
\mathrm{10/A≤ 2,068}10/A≤2,068
\mathrm{A≥4,836cm^2}A≥4,836cm2
Logo, será utilizado a área mínima de 50 cm², sendo adotado para a barra 11 o perfil comercial de 6,0 x 12,0 cm, por ser o mais econômico dentre as opções.
Passo 06: Dimensionamento das barras não solicitadas
Nas barras 9 e 13, como não estão sendo solicitadas, a seção foi apenas adotada como sendo composta de duas peças de seção 2,5×10 para que fosse possível realizar as ligações,  considerando que nas peças estruturais secundárias a área mínima é de 18 cm2 e espessura mínima de 2,5 cm.
Passo 07: Resultado
As seções calculadas para as barras das treliças são apresentadas a seguir:
TESOURA DE MADEIRA.
 
Esse post baseou-se, entre outras fontes, no livro Estruturas de Madeira de Pfeil e Pfeil, indicamos para você que tem interesse em se aprofundar mais no assunto.