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Transformadas em Sinais e Sistemas (BC1509) Aula 5 Professor: Alain Segundo Potts alain.segundo@ufabc.edu.br Sala 742-1 Bibliografia • LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares, Bookman, 1a Ed., 2007. • ROBERTS, M. J.; Fundamentos em Sinais e Sistemas, McGraw-Hill, 1a Ed., 2009. • HAYKIN, S.; VAN VEEN, B.; Sinais e Sistemas, Bookman, 1a Ed., 2001. • OPPENHEIN, A.; WILLSKY, A.; NAWAB, S.; Sinais e Sistemas, 2ª ed., São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010 Objetivos • Respostas dos sistemas LTI ao impulso unitário. • Convolução – Teorema – Propriedades Convolução • Em aulas anteriores vimos como equações diferenciais descrevem as características dos sistemas e como resolvendo estas podemos encontrar a resposta do sistema para um determinado sinal de excitação. 1 out in out i t t RC out dV V t C R V t dt V t A e u t Convolução • Uma outra técnica para encontrar a respostas de sistemas LTI contínuos consiste na convolução. • A idéia por trás da convolução consiste em encontrar alguma forma de representar o sinal como uma combinação linear de funções elementares. Desta forma utilizando o principio da sobreposição é possível determinar a resposta para o sinal em questão, como a soma das respostas das funções elementares correlacionadas. Resposta ao impulso unitário Exemplo: Determine a resposta ao impulso unitário h(t) de um sistema contínuo no tempo caracterizado pela equação: Como a excitação do sistema é um impulso unitário, e a resposta é definida como h(t) temos: (t) ( ) ( )y ay t x t (t) ( ) ( )h ah t t Resposta ao impulso unitário Solução: 0 0 (t) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 1 0 t t h ah t t t t t dt t (t) ( ) 0, 0 at h ah t t h t Ke Resposta ao impulso unitário • Supondo um sistema causal a solução do sistema pode ser encontrada como: • Agora o que acontece para t = 0? • Vamos integrar a equação do sistema entre os instantes t=0- e t=0+ 0 , t<0 (t) ? , t=0 , t>0at h Ke 0 0 0 0 0 0 (t)dt (t)dt (t)dth a h (0 ) 0 0 0 0 0 0 0 1(0 ) (t)dt (t)dt (t)dt (0 ) 0 1 1 a h Ke h a h h K 0 0 (t) , 0 at at t h h t e u t e t Resposta ao impulso unitário • O resultado anterior pode ser generalizado para ser aplicado na determinação da resposta ao impulso de um sistema descrito por uma equação diferencial da forma: • Este tipo de equações diferenciais descrevem a dinâmica de sistemas LTI. (n) (n 1) 1 1 (m) (m 1) 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n m m a y t a y t a y t b x t b x t b x t b x t Resposta ao impulso unitário • A resposta h(t) deve ter uma forma funcional de maneira que: 1. Quando diferenciada diversas vezes, até a enésima derivada, todas essas derivadas devem possuir correspondência com uma derivada do impulso até a derivada de ordem m em t=0 2. A combinação linear das derivadas de h(t) devem, se somadas, igualar-se a zero para qualquer instante t0. Resposta ao impulso unitário Considere 3 casos: 1. m<n: Neste caso as derivadas de yh(t)u(t) fornecem todas as funções de singularidades necessárias para se ter a correspondência com o impulso e suas derivadas do lado direito. 2. m=n: Aqui é preciso adicionar um termo de impulso K(t) e resolver para K. 3. m>n: A enésima derivada da função adicionada a yh(t)u(t) deve ter um termo que corresponda à derivada de ordem m do impulso unitário. A função acrescida deve estar na forma: e K será determinado pela correspondência entre os coeficientes associados aos termos equivalentes em ambos os lados. Todas as demais derivadas do impulso serão levada em conta por meio da diferenciação da solução yh(t)u(t) múltiplas vezes. (Caso pouco comum) 1 1 0 0 (t) (t) (t) (t)m n m n m n m nK u K u K u Resposta ao impulso unitário Convolução • A partir de agora podemos supor que a resposta de um sistema LTI a um impulso unitário é conhecida ou pode ser calculada. • Sendo assim, será que é possível determinar a resposta a um sinal de entrada geral? Convolução • Vamos a aproximar o sinal por meio de uma sequência de pulsos retangulares. (t) ( ) ret (0) ret ( ) retP PP P P P P t T t Tt x x T x x T T T T 1 (t) ( ) ret ( ) retP PP P P n nP P P t nT t nT x x nT T x nT T T T Pulso unitário Convolução • Suponha que a resposta ao pulso unitário hp(t) é redimensionada em escala de amplitude pelo fator Tpx(nTp) e deslocada no tempo por uma quantidade igual ao pulso. • Então a aproximação da resposta do sinal pode ser escrita como: y(t) ( )P P p P n T x nT h t nT Convolução Convolução • À medida que os pulsos ficam mais curtos, a aproximação torna-se cada vez melhor. • Lembrando que a integral real de uma variável real pode ser definida como o limite de um somatório: 0 ( ) lim ( ) b b x x aa n x g x dx g n x x Convolução • Na medida que Tp diminui as aproximações tornam-se melhores. No limite quando Tp0 temos: (t ) 1 (t) ( ) ret ( ) (t )PP P n P Pd t nT x T x nT x d T T (t ) y(t) ( ) ( )P P p P n d h T x nT h t nT x h t d Convolução Convolução (t) ( ) (t )x x d Propriedade da amostragem do impulso unitário. (Aula 1) (t) ( ) (t) ( )y x h t d x h t Integral de convolução Propriedades da Convolução • Suponha que queremos realizar a seguinte integral de convolução: • onde (t) ( ) ( )x h t x h t d Propriedades da Convolução • O que significa h(t-)? • é a variável de integração pelo que devemos entender h(∙) como uma função em . Propriedades da Convolução • Aplicando os procedimentos de escalonamento e deslocamento no tempo temos: ( ) ( ) ( ( )) (t )th h h t h Propriedades da Convolução t=0 t=5 Propriedades da Convolução 1 0t 2 1 2 2 2 2 1 t y t t d t Propriedades da Convolução 0 1t 2y t Propriedades da Convolução 1 2t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 4 4 2 4 4 1 2 1 4 1 4 6 1 4 2 2 4 4 6 1 2 2 4 6 2 1 1 2 2 1 4 6 2 4 2 4 6 2 8 8 t t t t t y t t d td d d y t t t t t t t y t t t t t t t t y t t t t t t t t t t y t t t Propriedades da Convolução • Convolução de x(t) com h(t) 2 2 2 1 1 0 2 0 1 2 8 8 1 2 t t y t t t t t Propriedades da Convolução • Exemplo: Determine a resposta ao impulso do circuito RC estudado e calcule sua saída quando excitado por um degrau utilizando sua resposta ao impulso. 1 out in out t RC dV V t RC V t dt RCh t h t t h t e RC Propriedades da Convolução outV t u h t d 0 0 1 1 t t RC out t t t RC RC out V t e d RC V t e e Propriedades da Convolução • Comutatividade: • Associatividade: • Distributividade: Para y(t)=x(t)*h(t) • Diferenciação: • Área: • Redimensionamento de escala: (t) ( ) ( ) ( )x y t y t x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t y t z t x t y tz t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t y t z t x t z t y t z t (t) (t) ( ) ( ) ( )y x h t x t h t ( ) ( ) ( )y at a x at h at Área de ( ) (Área de ) (Área de )y t x h Propriedades da Convolução • Para que uma integral de convolução convirja, os funções submetidas à convolução devem ser ambas limitadas e pelo menos uma delas deve ser absolutamente integrável. • Uma função é absolutamente integrável se. h d Propriedades da Representação de sistemas pela sua resposta ao impulso • Causalidade: Um sistema de tempo contínuo causal tem uma resposta ao impulso que satisfaz h()=0 para todo <0. • Logo a saída do sistema causal é expressa como: • Note que exigir que a resposta ao impulso seja nula para tempos negativos equivale a dizer que o sistema não pode responder antes da aplicação do impulso. 0 (t) ( )y h x t d Propriedades da Representação de sistemas pela sua resposta ao impulso • Memória: Para que um sistema não possua memória sua resposta deve depender somente do valor do sinal de entrada no instante t e não de valores em instantes x(t-t0) para t0 0. • Desta forma: (t) ( ) ( ) 0, 0 , 0 y x h t d h x t d h h c c Resposta ao impulso de um sistema estático Propriedades da Representação de sistemas pela sua resposta ao impulso • Estabilidade: De acordo com o critério de estabilidade BIBO um sistema é estável se para uma entrada limitada a saída do sistema também é limitada . Formalmente temos: xx t M yy t M (t) ( ) ( ) (t) ( ) ( ) y h x t d h x t d y h x t d h x t d a b a b ab a b Lembrar Propriedades da Representação de sistemas pela sua resposta ao impulso • Como a entrada é limitada: No pior caso temos: A saída será limitada se e somente se a resposta ao impulso for absolutamente integrável: xx t M (t) ( ) x x M y h x t d M h d yy t M h d Propriedades da Representação de sistemas pela sua resposta ao impulso • Inversibilidade: Um sistema é inversível se sua entrada puder ser recuperada da saída. Isto implica a existência de um sistema inverso que toma a saída do sistema original como sua entrada e produz a entrada do sistema original. 1 1 1 1 , t y t x t h t x t y t h t y t y t h t h t h t h t y t h t h t t Trabalho Extraclasse • Estudar capítulos 6 do livro (Roberts). • Exercícios 20-28 capítulo 6.
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