1-Aula -Juros Compostos

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Juros Compostos
No regime de juros compostos o juro gerado pelo capital inicial a ele se in corpora ao final de cada período, para também render juros no período seguinte, e assim sucessivamente..
Seguindo este raciocínio , temos:
O montante do primeiro período será dado por
O montante do segundo período será dado por 
O montante do terceiro período será dado por 
então o montante do período n podemos escrever como
A fórmula que passaremos a utilizar na resolução dos problemas que seguem será
Cálculo dos Juros
Sabemos também que 
colocando-se PV em evidencia conseguimos a fórmula
Exemplo 1
Sabendo-se que o capital de $ 1.000,00 foi aplicado à taxa de juros compostos de 3 %
a .m . por um prazo de 5 meses, determinar o montante recebido.
PV = 1.000 
i = 3 % a . m. 
n = 5 meses
FV = ?
aplicando-se a fórmula , temos :
FV=
FV = l.l59,27
CALCULO DO CAPITAL
Exemplo 2
Determinar o capital que esteve aplicado à taxa de 20 % a .a . por um prazo de 3 anos e rendeu um montante de $ 2.500,00.
PV = ?
i= 20 % a . a.
FV = 2.500,00 
n= 3 anos
aplicando-se a fórmula , temos :
=2.500 = PV
portanto PV = 1.446,76
Note que o prazo e a taxa nos dois exemplos estão na mesma unidade de tempo !!!!
Com base nos exemplos acima tente resolver os problemas que seguem, e confira as respostas.
1) Uma empresa dispondo de um capital de R$ 10.000,00 resolveu aplicá-lo por 6 meses. Sabendo-se que a taxa de juros compostos foi de 1, 5 % a . m., determinar o montante resgatado.
2) Determinar o capital que empregado a 5 meses a uma taxa de juros compostos de 2,7 % a.m. rendeu um montante de R$ 1.560,00 .
3) Sabendo-se que um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa de juros compostos de 14 % a . a determinar em quanto tempo irá produzir um montante de R$ 3.249,00.
4) Determinar a taxa de juros de uma aplicação de $ 15.000,00 durante 4 meses que rendeu um montante de R$ 19.800,00.
Respostas
1) PV = 10.000
i = 1,5 % a . m . 
n = 6 meses
FV=?
Resolução:
 
FV = 10.934,43
Resposta: $ 10.934,43
 2) FV = 1.560
i = 1,7 % a . m . 
n = 5 meses
PV = ?
Resolução:
 
 
1560=PVPV= 1.365,44
 
Resposta $ 1.365,44
3) PV = 2.500
i = 14 % a . a . 
FV= 3.249
n = ?
Resolução:
 
 3.249 = 2500
 
 OBSERVAÇÃO !!!!
para descobrirmos o valor de n que está no expoente iremos aplicar ln ( logarítimo neperiano) nos dois membros da equação, pois desta forma o n passa a multiplicar o ln ( propriedade de logarítimo) e então com a ajuda de uma calculadora determinamos o ln dos números que desejamos. calcular o ln.
 
 
Calculando-se os logaritmos, temos
0,262057= n . 0,131028
 portanto n = 2 
Note : a resposta foi dada em anos pois a taxa de juros do problema está em anos
Resposta : 2 anos 
1) PV = 15.000
n = 4 meses
FV= 19.800
i = ?
Resolução:
 
 
 Note !!!
Elevamos os dois membros da equação por 
1,071873=1+i
1,071873 – 1 =+i
0,071873= i 
i = 7,19 % a . m .
Resposta: 7,19 % a . m .
EXERCÍCIOS
1) Determinar o capital que empregado por 5 meses a uma taxa de 2,7 % a . m . rendeu um montante de R$ R$ 1.200,00.
PV=?
n = 5 meses
i = 2,7 % a m
FV = 1.200,00
1.200 = PV 1.200 = PV.1.200=PV. 1,1424901200/1.142490=PVPV=1.050,34
2) Certo investidor recebeu as seguintes propostas: Aplicar $ 10.000,00 por 36 meses à juros compostos de 3% a . m. ou aplicar este mesmo valor pelo mesmo prazo à juros simples de 5 % a . m.. Qual das propostas é mais interessante ?
PV = 10.000
N= 36 meses
I= 3 % am 
FV=? 
FV= 10.000. FV = 10.000.2,898278FV= 28.982,78 (Juros Compostos)
Juros Simples
PV = 10.000
N= 36 meses
I= 5 % am 
FV=? 
FV= 10.000( 1+0,05.36) FV= 10.000(1+ 1,800000)FV= 10.000(2,800000)FV= 28.000
A proposta de juros compostos é mais atraente.
3) Determinar o capital que rendeu um montante de R$ 2.500,00 e esteve aplicado a uma taxa de juros compostos de 2,5 % a . m. durante 5 meses.
PV = ?
FV = 2.500
I= 2,5% am
N= 5 meses
2.500=PV 2.500=PV.1,1314082.500/1,131408=PVPV= 2.209,64
4) Determinar o capital que rendeu um montante de $ 12.000,00 e esteve aplicado a uma taxa de juros compostos de 1,5 % a . m. durante 3 meses.
PV = ?
FV= 12.000
I= 1,5% am
N= 3 meses
12.000=PV 12.000= PV(1,045678) 12.000/1,045678=PV PV = 11.475,80
R: 11.475,80
5) Se a inflação mensal está em torno de 7 % a . m. em quanto tempo uma mercadoria que custa
 R$ 15.000,00. atingirá o preço de $ 25.772,79 ?
I= 7% am
N=?
PV= 15.000
FV= 25.772,79 ln1,718186=0,541269 e ln1,07=0,067659
25.772,79= 15.000 25.772,79/15.000= 1,718186= ln1,718186=n.ln1,07 0,541269=n.0,067659 0,541269/0,067659=nn= 8 meses
6) Sabendo-se que um capital de R$ 1.777,99 esteve aplicado à taxa de juros compostos de 4 % a . m. , determinar em quanto tempo irá produzir um montante de $ 2.000,00.
PV = 1.777,99
I = 4% a m
FV = 2.000
N= ? Resposta n = 3 meses
7) Determinar a taxa anual de juros de uma aplicação de $ 13.000,00 durante 4 meses que rendeu um montante de $ 13.797,73.
PV = 13.000
N = 4 meses 
FV = 13.797,73
I = ? Resposta i = 1,50% a m 
8) Determinar o capital que aplicado à taxa de 8,2 % a .m . durante 6 meses rende juros de $ 75. 573, 51.
PV =?
I = 8,2 % a m 
J = 75.573,51
 75.573,51 = -1) 75.573,51= 75.573,51 = PV 0,604588
75.573,51/0,604588=PV PV = 125.000 
3
3
2
3
)
1
(
)
1
(
i
PV
FV
i
FV
FV
+
=
®
+
=
n
n
n
n
i
PV
FV
i
FV
FV
)
1
(
)
1
(
1
+
=
®
+
=
-
n
i
PV
FV
)
1
(
+
=
PV
FV
J
-
=
[
]
1
)
1
(
-
+
=
n
i
PV
J
PV
i
PV
J
n
-
+
=
)
1
(
n
i
PV
FV
)
1
(
+
=
5
)
03
,
0
1
.(
000
.
1
+
=
FV
3
)
20
,
0
1
.(
500
.
2
+
=
PV
)
7280000
,
1
.(
500
.
2
PV
=
7280000
,
1
500
.
2
=
PV
6
)
015
,
0
1
(
000
.
10
+
=
FV
)
093443264
,
1
(
000
.
10
=
FV
n
)
14
,
1
(
500
.
2
249
.
3
=
n
)
14
,
1
(
500
.
2
249
.
3
=
n
)
14
,
1
(
299600000
,
1
=
)
14
,
1
ln(
.
299600000
,
1
ln
n
=
n
=
131028262
,
0
262056525
,
0
n
i
PV
FV
)
1
(
+
=
4
)
1
(
000
.
15
800
.
19
i
+
=
4
)
1
(
000
.
15
800
.
19
i
+
=
4
)
1
(
000
.
15
800
.
19
i
+
=
4
)
1
(
320000000
,
1
i
+
=
)
1
(
1
i
PV
FV
+
=
4
1
)
4
1
.(
4
4
1
)
1
(
)
320000000
,
1
(
i
+
=
i
+
=
1
)
320000000
,
1
(
4
1
2
2
1
2
)
1
(
)
1
(
i
PV
FV
i
FV
FV
+
=
®
+
=