Geometria de Pirâmides e Tetraedros

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PIRÂMIDE 
 
1. DEFINIÇÃO: é um poliedro no qual uma das faces é um polígono qualquer chamado BASE e as 
demais faces são triangulares, determinadas por um dos lados da base e por um ponto fora do 
plano da base, chamado VÉRTICE (V) da pirâmide. 
 
 
 
 
2. ELEMENTOS 
 
a) FACES LATERAIS: são as faces triangulares que tem como um dos 
vértices o vértice da pirâmide. 
 
b) ALTURA DA PIRÂMIDE (h): distância do vértice da pirâmide ao 
plano da base. 
 
 
 
 
 
3. CLASSIFICAÇÃO 
 
a) QUANTO AO POLÍGONO DA BASE: pirâmide triangular (a base é um triângulo), pirâmide 
quadrangular (a base é um quadrilátero), pirâmide pentagonal (a base é um pentágono). E assim por 
diante. 
 
b) PIRÂMIDE RETA: quando a projeção ortogonal do vértice da pirâmide cai no centro da base. 
 
c) PIRÂMIDE REGULAR: quando a pirâmide for reta e sua base um polígono regular. 
 
 
 
 
 
 2 
4. ELEMENTOS DA PIRÂMIDE REGULAR 
 
a) ARESTAS DA BASE ( )l : são os lados do polígono da base. 
 
b) RAIO DA BASE ( )r : raio da circunferência circunscrita ao polígono da base. 
 
c) APÓTEMA DA BASE ( )a : apótema do polígono regular da base. 
 
d) APÓTEMA DA PIRÂMIDE ( )ap : altura de uma face lateral. 
 
e) ARESTAS LATERAIS ( )al : são congruentes. 
 
f) ÁREA DA FACE ( )Sf : área de um triângulo isósceles da face lateral. 
 
OBSERVAÇÃO: nas pirâmides regulares as faces laterais são triângulos isósceles e congruentes. 
 
 
 
5. ÁREA DA BASE ( )Sb : área do polígono da base. 
 
 
6. ÁREA LATERAL ( ) Sl : é a soma das áreas das faces laterais. 
 
 
7. ÁREA TOTAL ( )St : é a soma da área lateral com a área da base. SbSlSt += . 
 
 
8. VOLUME ( )V : é a terça parte do produto entre a área da base e a altura. 
 
HSbV =
3
1
 ou 
3
HSb
V

= 
 
 
EXEMPLOS 
 
1) Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede cm 8 . Sabendo-se que a altura da 
pirâmide é cm 3 , determinar: 
 
a) a área lateral dessa pirâmide. 
b) a área total dessa pirâmide. 
c) o volume dessa pirâmide. 
 
2) Numa pirâmide triangular regular a aresta da base mede dm 6 e a aresta lateral dm 8 . Determinar: 
 
a) o apótema da pirâmide. 
b) o apótema da base. 
c) a altura da pirâmide. 
d) a área total da pirâmide. 
e) o volume da pirâmide. 
 
3) A aresta de um tetraedro regular mede cm 12 . Determinar: 
 
a) a medida da altura do tetraedro. 
b) a área total do tetraedro. 
c) o volume do tetraedro. 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1. Numa pirâmide regular de base triangular, a aresta da base mede cm 32 e a altura mede cm 4 . 
Determinar: 
a) o apótema da base. b) o apótema da pirâmide. c) a aresta lateral. 
2. Determinar a área total e o volume de um tetraedro regular cuja aresta mede m 2 . 
3. Uma pirâmide regular hexagonal tem cm 4 de altura e a aresta da base mede cm 2 . Determinar: 
a) a área da base. b) a área lateral c) o volume. 
4. Quanto mede a aresta de um tetraedro regular de volume igual a 329 m ? 
5. Considerar uma pirâmide quadrangular regular inscrita em um cubo de aresta cm 2 . Pede-se: 
a) a área lateral da pirâmide. b) a área total da pirâmide. c) o volume da pirâmide. 
d) a razão entre os volumes da pirâmide e do cubo. 
e) a razão entre as áreas totais da pirâmide e do cubo. 
6. Um prisma de base pentagonal tem 3360 m de volume. Qual o volume de uma pirâmide de mesma 
base e mesma altura? 
7. Qual é o volume de uma pirâmide regular quadrangular de altura cm 6 , sabendo que a aresta da 
base mede cm 24 ? 
8. Determinar o volume de uma pirâmide reta cuja base é um triângulo retângulo isósceles de catetos 
iguais a m 2 e cuja altura da pirâmide é m 5 . 
9. O apótema de uma pirâmide quadrangular regular é o dobro da aresta da base. Sabendo-se que a 
área total dessa pirâmide é 125 cm2, calcule sua altura. 
10. A base de uma pirâmide regular é um hexágono. O apótema dessa pirâmide mede 39 cm e a 
área lateral é o triplo da área da base. Qual é o volume dessa pirâmide? 
11. Uma pirâmide triangular regular tem a base inscrita num círculo de 8 cm de raio. A altura é o 
triplo da aresta da base. Calcule o volume dessa pirâmide. 
12. Uma pirâmide tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem 7 cm e 23 cm. 
Calcule seu volume, sabendo que a altura é igual à hipotenusa desse triângulo. 
13. (CESGRANRIO) Considere a pirâmide AEGH no cubo ABCDEFGH de aresta a, como se vê na 
figura. Então, a distância de H ao plano AEG, vale: 
a) 
2
3a
 
b) 
3
2a
 
c) 
2
2a
 
d) 
3
3a
 
e) 
2
a
 
 
 
 
 4 
 
 
 
14. (PUC-PA) O volume da pirâmide regular de base quadrada VABCD é 327 m3. Se a altura da 
pirâmide é igual à aresta da base, então a área do triângulo VBD vale: 
a) 
2
327
m2 
b) 227 m2 
c) 
2
29
 m2 
d) 
2
227
 m2 
e) 327 m2 
 
 
 
 
15. (CESESP-PE) Considere um octaedro regular, cuja aresta mede 6 cm e um de seus vértices V 
repousa sobre um plano P perpendicular ao eixo que contém V. Prolongando-se as quatro arestas 
que partem do outro vértice V´, que está na perpendicular a P em V, até interceptar o plano P, 
forma-se uma pirâmide regular de base quadrangular. Assinale, então, dentre as alternativas 
abaixo, a única que corresponde à área total dessa pirâmide assim construída: 
a) 39 cm2 
b) 336 cm2 
c) )13(144 + cm2 
d) 3144 cm2 
e) 3108 cm2 
 
 
 
 
Respostas: 
 
9. cm
2
155
, 10. 
32324 cm , 11. 1152cm3, 12. 
3
2
145
cm , 13. c, 14. d, 15. c.