93339755-Exercicio-4-Uma-prova-alternativa

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Estruturas Algébricas
Moisés Toledo∗
12 de maio de 2012
1 Exercício 5 - Página 214 (uma prova mais convincente)
Exercício 5. Seja G um grupo e H,K dois subgrupos de G. Suponha que (G : H) e
(G : K) são finitos. Mostre que (G : H ∩K) é finito.
Demonstração.
(i) Sejam A = {aH; a ∈ G}, B = {bK; b ∈ G, K < G} e C = {z(H ∩K); z ∈
G, H,K < G}.
(ii) Pela hipóteses temos |A| = (G : H), |B| = (G : K) e |C| = (G : H ∩K).
(iii) Seja a função
ϕ : C −→ A×B
z(H ∩K) 7−→ (zH, zK)
a qual está bem definida pois
z1(H ∩H) = z2(H ∩H)⇔ z−12 · z1 ∈ H ∩K
⇔ z−12 · z1 ∈ H , e z−12 · z1 ∈ K
⇔ z1H = z2H , e z1K = z2K
⇔ (z1H, z1K) = (z2H, z2K)
⇔ ϕ(z1(H ∩H)) = ϕ(z2(H ∩H))
(iv) A função ϕ é injetiva. De fato: dados z1(H ∩ H), z2(H ∩ H) ∈ C tais que
ϕ(z1(H ∩H)) = ϕ(z2(H ∩H)) então (z1H, z1K) = (z2H, z2K) assim
z1H = z2H , e z1K = z2K ⇒ z−12 · z1 ∈ H e z−12 z1 ∈ K
⇒ z−12 · z1 ∈ H ∩K
⇒ z1(H ∩K) = z2(H ∩K)
(v) Assim |C| ≤ |A× B| = |A| · |B| isto é (G : H ∩K) ≤ (G : H) · (G : K). Por
tanto (G : H ∩K) é finito.
∗Universidade Federal da Paraíba