Aula 2

Prévia do material em texto

Bases 
Matemáticas para 
Engenharia
Professor Alexis Silveira
Aula 2
UNIDADE 1 – MATEMÁTICA E 
ENGENHARIA
1.3 – Razão e Proporção
1.4 – Regra de Três e Porcentagem
2
RAZÃO
O numerador “a” é chamado de antecedente
O denominador “b” é chamado de consequente
3
RAZÃO
A palavra razão, vem do latim ratio, e significa
"divisão". Como no exemplo anterior, são diversas
as situações em que utilizamos o conceito de razão.
4
RAZÃO
O conceito de razão é a forma mais comum e
prática de fazer a comparação relativa entre duas
grandezas.
Ao dividir uma grandeza por outra, estamos
comparando a primeira com a segunda, que passa a
ser a base da comparação.
5
RAZÃO
1) Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240
candidatos.
Razão entre os candidatos aprovados e os inscritos
nesse concurso:
1 candidato aprovado a cada 5 inscritos
6
RAZÃO
2) Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.
Razão entre o número de mulheres e o número de
convidados:
3 em cada 4 convidados são mulheres
7
RAZÃO
Observações:
1) A razão entre dois números racionais pode ser
apresentada de três formas. Exemplo:
Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.
2) A razão entre dois números racionais pode ser
expressa com sinal negativo, desde que seus termos
tenham sinais contrários. Exemplos:
A razão entre 1 e -8 é .
A razão entre é .
8
RAZÕES INVERSAS
Considere as razões
O produto dessas razões é 1,
Nesse caso podemos afirmar que as razões são
inversas.
Duas razões são inversas entre si quando o
produto delas é igual a 1.
Nas razões inversas o antecedente de uma é o
consequente de outra e vice-versa.
9
RAZÕES INVERSAS
Observações:
1) Uma razão de antecedente zero não possui
inversa.
2) Para determinar a razão inversa de uma razão
dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.
10
RAZÕES EQUIVALENTES
Dada uma razão entre dois números:
Obtemos uma razão equivalente multiplicando-
se ou dividindo-se os termos de uma razão por um 
mesmo número racional (diferente de zero)
11
RAZÕES EQUIVALENTES
Razões equivalentes
12
RAZÃO ENTRE GRANDEZAS DE MESMA 
ESPÉCIE
Denomina-se razão entre grandezas de
mesma espécie o quociente entre os números
que expressam as medidas dessas grandezas
numa mesma unidade.
13
RAZÃO ENTRE GRANDEZAS DE MESMA 
ESPÉCIE
1) Calcular a razão entre a altura de duas crianças, sabendo que
a primeira possui uma altura h1= 1,20m e a segunda possui
uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada
por:
2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras
de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma
área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2.
A razão entre as áreas da quadra de vôlei e basquete:
14
RAZÃO ENTRE GRANDEZAS DE ESPÉCIES 
DIFERENTES
Para determinar a razão entre duas grandezas de
espécies diferentes, determina-se o quociente entre
as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser
acompanhada da notação que relaciona as
grandezas envolvidas.
15
RAZÃO ENTRE GRANDEZAS DE ESPÉCIES 
DIFERENTES
1) Consumo médio:
Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu
carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de
combustível. Qual a razão entre a distância e o
combustível consumido? O que significa essa razão?
Essa razão significa que a cada litro consumido
foram percorridos em média 11,5 km.
16
RAZÃO ENTRE GRANDEZAS DE ESPÉCIES 
DIFERENTES
2) Velocidade média:
Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5
horas. Qual a razão entre a medida dessas
grandezas? O que significa essa razão?
Essa razão significa que a cada hora foram
percorridos em média 90 km.
17
PROPORÇÃO
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
a e d são chamados de extremos e b e c são
chamados de meios
18
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS 
PROPORÇÕES
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual
ao produto dos meios.
19
SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS
Dada uma razão entre dois números, obtemos
uma razão equivalente da seguinte maneira:
Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de
uma razão por um mesmo número racional (diferente
de zero), obtemos uma razão equivalente.
Ex:
20
GRANDEZAS
Grandeza é tudo que pode ser medido, contado.
Exemplos de grandezas: volume, massa,
superfície, comprimento, capacidade, velocidade e
tempo.
21
GRANDEZAS
A maioria dos problemas que se apresentam em
nosso dia-a-dia liga duas grandezas relacionadas de
tal forma que, quando uma delas varia, como
consequência varia também a outra. Assim, a
quantidade de combustível gasto por um automóvel
depende do número de quilômetros percorridos. O
tempo gasto numa construção depende do número
de operários empregados.
22
GRANDEZAS
A relação entre duas grandezas variáveis estabelece
a lei de variação dos valores de uma delas em relação à
outra. Segundo tal lei, as grandezas relacionadas podem
ser direta ou indiretamente proporcionais.
23
GRANDEZAS DIRETAMENTE 
PROPORCIONAIS
Duas grandezas são diretamente proporcionais
quando a razão (divisão) entre x e y sempre dá o
mesmo resultado.
24
GRANDEZAS DIRETAMENTE 
PROPORCIONAIS
25
GRANDEZAS DIRETAMENTE 
PROPORCIONAIS
Exemplo: Quatro funcionários de uma pequena
fábrica produzem, em um turno de trabalho, 12
unidades de um certo produto
26
Número de funcionários Unidades produzidas
4 12
8 24
12 36
16 48
... ...
GRANDEZAS INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS
Duas grandezas x e y são inversamente proporcionais
quando o produto entre x e y é constante.
27
GRANDEZAS INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS
28
GRANDEZAS INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS
Exemplo: Considere uma jarra com 2 litros de
suco que serão divididos entre algumas pessoas.
29
Quantidade de pessoas Quanto cada um bebe
1 2000ml
2 1000ml
3 666,66...ml
4 500ml
... ...
GRANDEZAS PROPORCIONAIS A VÁRIAS 
OUTRAS
Uma grandeza é proporcional a várias outras se é
direta ou inversamente proporcional a cada uma
delas quando as demais não variam.
Por exemplo, o número de dias para se construir
um muro depende não apenas do número de
operários, mas também do número de horas de
trabalho diário, do número de dias, etc
30
REGRA DE TRÊS SIMPLES
31
Os problemas de regra de três simples envolvem
duas grandezas diretas ou inversamente
proporcionais.
Essas grandezas formam uma proporção em que
são conhecidos 3 valores (por isso o nome regra de
três) e o quarto valor é o procurado.
Na prática, a regra de três simples é utilizada em
situações que envolvem proporções entre
grandezas.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Passos para realizar uma regra de três simples:
1. Construir uma ‘tabela’, agrupando as grandezas da mesma espécie
em colunas e na mesma linha as grandezas de espécies diferentes;
2. Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais;
3. Montar a proporção (se as grandezas forem diretamente
proporcionais, multiplicar os valores em cruz - em forma de X. Se as
grandezas forem inversamente proporcionais, inverter os valores para
ficarem diretamente proporcional) e resolver a equação.
32
Para identificar se as grandezas 
são diretamente ou 
inversamente proporcionais, 
coloque uma seta para baixo na 
coluna onde há o X. A partir daí, 
compare-a com as outras 
colunas e defina a direção da 
seta.
Se as setas ficarem na 
mesma direção, as 
grandezas são 
DIRETAMENTE 
proporcionais.
Se as setas ficarem em 
direções diferentes, as 
grandezas são 
INVERSAMENTE
proporcionais.
REGRA DE 
TRÊS 
SIMPLES
REGRA DE TRÊS SIMPLES
1. Carolina comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse
5 camisetas do mesmo tipo e preço?
2. Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz seu percurso em 3
horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se sua velocidade fosse de
480km/h?
3. Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em
20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo
essa equipe fará o mesmo trabalho?
4. Pedroprecisa ler alguns livros para o vestibular, e notou que em 3 horas conseguiu
ler 70 páginas. Caso ele mantenha este mesmo ritmo, quantas páginas ele
conseguirá ler em um período de 360 minutos?
34
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta é utilizada em problemas
com mais de duas grandezas, direta ou
inversamente proporcionais. Neste caso, são dados
dois valores de cada grandeza, com exceção de uma
grandeza, que tem uma incógnita.
Assim como na regra de três simples, os passos
para realizar uma regra de três composta são os
mesmos.
35
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
36
• Lembre-se:
1. Construir uma ‘tabela’, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e na 
mesma linha as grandezas de espécies diferentes;
2. Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais;
3. Montar a proporção e resolver a equação.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
1. Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas,
quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
2. Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5
dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
3. Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de
altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual
será o tempo necessário para completar esse muro?
4. Para esvaziar um compartimento com 700 m3de capacidade, 3 ralos
levaram 7 horas para fazê-lo. Se o compartimento tivesse 500 m3de
capacidade, ao utilizarmos 5 ralos quantas horas seriam necessárias
para esvaziá-lo?
37
PORCENTAGEM
Razão centesimal
Taxa percentual
Taxa unitária 
Elementos do cálculo percentual
38
RAZÃO CENTESIMAL
Uma razão apresentada com o denominador 100 
é chamada de razão centesimal.
Uma outra forma de representá-las é substituindo 
o denominador 100 pelo símbolo %.
39
TAXA PERCENTUAL E TAXA UNITÁRIA
Como se relacionam?
• Quando 3/5 é representado em sua forma decimal, o numeral
0,6 é chamado de taxa unitária por representar uma parte da
unidade;
• Quando a razão 3/5 é representada como 60%, é chamado de
taxa percentual por representar uma parte da centena.
40
TAXA PERCENTUAL E TAXA UNITÁRIA
41
Taxa percentual e taxa unitária querem 
dizer a mesma coisa, só que são 
representadas de forma diferente.
ELEMENTOS DO CÁLCULO PERCENTUAL
 Porcentagem: valor que representa a quantidade tomada de outra;
 Principal: é o valor do qual se calcula a porcentagem;
 Taxa: valor que representa a quantidade de unidades tomadas a cada 100.
42
ELEMENTOS DO CÁLCULO PERCENTUAL
1. Um vendedor tem 5% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão
numa venda de R$4.000,00?
2. Em um colégio 26% dos alunos são meninas. Quantos alunos possui o
colégio, se elas são em número de 182?
3. Um terreno tem 70% de sua área plantada, que corresponde a 154 hectares.
Qual a área total do terreno?
4. Calcular 20% de 300.
5. Calcular 15% de 30%.
43
ELEMENTOS DO CÁLCULO PERCENTUAL
44
Lembrete: Para calcularmos, podemos usar a regra de três 
simples ou a seguinte fórmula:
VARIAÇÃO PERCENTUAL
♣ Os cálculos são utilizados para determinar a mudança ocorrida em uma
variável ao longo do tempo.
♣ Fórmula para calcular a Variação Percentual:
• Como aplicar?
1. Encontrar o valor inicial e o final relativos a uma variável;
2. Subtrair o valor final menos o inicial;
3. Dividir a resultado anterior pelo valor inicial;
4. Multiplicar a resposta por 100.
45
VARIAÇÃO PERCENTUAL
❖Você comprou uma blusa por R$ 30. Depois de uma semana, você retorna à
loja e percebe que agora, o preço dessa mesma blusa é R$ 50. Assim, você
quer saber o percentual de aumento entre o preço desta semana e o preço
da semana passada. Como fazer?
▪ Utilizando a fórmula, temos que: 
1. Valor final = R$50 
2. Valor inicial = R$30
3. Variação entre os dois valores = R$20
46
EXEMPLOS
1 Um produto sofreu um aumento de 20% em uma semana e 30% na semana
seguinte. Ao final das duas semanas, qual foi a taxa de aumento total deste
produto?
2. Sobre um salário base de R$ 1.200,00, foram aplicados: a) adicional de 20%
pela chefia; b) adicional de 5% pela produtividade; c) desconto de 6% de
previdência. Calcule o salário resultante e a taxa de variação.
3. (Vunesp-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um
produto por x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de
50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado
um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar
que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de
custo:
a) prejuízo de 10%. b) prejuízo de 5%. c) lucro de 20%.
d) lucro de 25%. e) lucro de 30% 47
EXEMPLOS
4. (Fuvest-SP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro.
Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu
salário atual é:
a) 2,56 x b) 1,6x c) x + 160 d) 2,6x e) 3,24x
5. (PUC-Rio) Um carro foi vendido por R$ 10.000,00, com
prejuízo de 20% sobre o preço da compra. O carro havia sido
comprado , em reais, por:
a)10.200,00 b)11.500,00 c)12.000,00 d)12.500,00 e)13.000,00
48