Exercícios de Cálculo Numérico

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FUNDAÇÃO ALAGOANA DE PESQUISA, EDUCAÇÃO E CULTURA 
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ALAGOAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO:ENG. CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO 
PROFESSOR:GREGORIO TOMAS Turma: DATA: 
 
LISTA 1: INTEGRAL INDEFINIDA – INTEGRAL DEFINIDA 
 
1) Calcule as integrais abaixo utilizando a regra da potência. 
 
a) ∫ 𝑥8 𝑑𝑥 b) ∫ 𝑥
5
7 𝑑𝑥 c) ∫ 𝑥
3√𝑥 𝑑𝑥 
2) Calcule as integrais utilizando apropriadamente as propriedades, e em seguida, derive o resultado 
para comprovar seu cálculo. 
 
a) ∫ [5𝑥 +
2
3𝑥5
] 𝑑𝑥 b) ∫ [𝑥−3 − 3𝑥
1
4 + 8𝑥2] 𝑑𝑥 
 
3) Calcule a primitiva de cada função e determine a constante 𝑐 aplicando o valor inicial dado. 
 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= √𝑥
3
, 𝑦(1) = 2 b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= sen 𝑡 + 1, 𝑦 (
𝜋
3
) =
1
2
 c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥+1
√𝑥
 , 𝑦(1) = 0 
 
4) Uma partícula move-se ao longo de um eixo 𝑠 com função posição 𝑠 = 𝑠(𝑡) e a função 
velocidade 𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡). Use a informação dada para encontrar 𝑠(𝑡). 
 
a) 𝑣(𝑡) = 32𝑡; 𝑠(0) = 20 b) 𝑣(𝑡) = 3√𝑡; 𝑠(4) = 1 
 
5) Encontre: 
 
a) a forma geral de uma função cuja derivada segunda é √𝑥. 
b) uma função 𝑓 tal que 𝑓′′(𝑥) = 𝑥 + cos 𝑥 e, além disso, 𝑓(0) = 1 e 𝑓′′(0) = 2. 
 
6) Suponha que uma haste uniforme de metal com 50 cm de comprimento é isolado lateralmente, e 
as temperaturas nas extremidades expostas são mantidas em 25 °C e 85 °C, respectivamente. 
Suponha que o eixo 𝑥 é escolhido como na figura anexa e que o temperatura 𝑇(𝑥) satisfaz a 
equação 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
= 0. Calcule 𝑇(𝑥) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 50. 
 
 
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7) Em uma certa cidade a temperatura (em ºC) 𝑡 horas depois das 9 h foi aproximada pela função: 
𝑇(𝑡) = 20 + 6 sen (
𝜋
12
𝑡). 
Calcule a temperatura média durante o período entre 9 h e 21h. 
 
8) Suponha que a velocidade de um camundongo correndo ao longo do rodapé de um quarto seja 
modelada pela função 𝑣(𝑡) = 4 + 0,5𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 10, em que 𝑡 está em segundos e 𝑣 está em 
metros por segundo (m/s). (Suponha que os valores positivos de 𝑣 indiquem movimento para a 
direita.) Calcule: 
a) o deslocamento do camundongo em 0 ≤ 𝑡 ≤ 10. 
b) o(s) instante(s) em que o camundongo está na posição 81 m, sabendo que 𝑠(0) = 16. 
 
9) Suponha que o valor em dólares de um iate com 𝑡 anos de uso seja 𝑉(𝑡) = 270000𝑒−0,17𝑡. Qual 
o valor médio do iate ao longo de 10 anos de uso? 
 
10) Um pesquisador estima que 𝑡 horas depois da meia-noite, em um período típico de 24 horas, a 
temperatura na estação do inverno em certa cidade do hemisfério norte é dada pela função 
definida por 𝑇(𝑡) = 3 −
2
3
(𝑡 − 13)2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 24 graus Celsius. Qual a temperatura média da 
cidade entre 6h00 da manhã e 4h00 da tarde? 
 
11) Calcule as integrais utilizando o método da substituição. 
 
a) ∫
sen(𝑥)
√2+cos(𝑥)
𝑑𝑥
b) ∫ sen5(2𝑥) cos(2𝑥) 𝑑𝑥
c) ∫
𝑑𝑥
√2𝑥−1
5
1
 
d) ∫ 𝑥𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
1
0
 
e) ∫
𝑥
(𝑥2+3)3
𝑑𝑥
−1
−2
 
 
12) Sabendo que 𝑓 é positiva em [𝑎, 𝑏], determine a área definida pelas integrais. 
 
a) ∫ (2𝑥 + 1)𝑑𝑥
3
0
 
b) ∫ (
5
0
5𝑥 − 𝑥2) 𝑑𝑥 
c) ∫ sen 𝑥
𝜋
0
 𝑑𝑥 
d) ∫ cos 𝑥
1
−1
 𝑑𝑥 
 
 
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13) Determine a área líquida com sinal para as funções abaixo. 
 
a) ∫ cos 𝑥
2𝜋
0
 𝑑𝑥 b) ∫ (𝑥2 − 7𝑥 + 1)
6
1
 𝑑𝑥 
 
14) Determine a medida do trabalho 𝑊, em Joules, para que a força 𝐹(𝑥) = 10𝑥 − 𝑥2 (Newton), 
desloque um bloco de 𝑥 = 1 para 𝑥 = 5 metros. 
 
15) Determine a área englobada entre 𝑓 e 𝑔 nos intervalos especificados a baixo. 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥, 𝑔(𝑥) = 0, 𝑥 = 0 e 𝑥 = 2. 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 
c) 𝑓(𝑥) = cos(2𝑥), 𝑔(𝑥) = 0, 𝑥 = 𝜋/4 e 𝑥 = 𝜋/2. 
d) 𝑓(𝑥) = sec2(𝑥), 𝑔(𝑥) = 2, 𝑥 = −𝜋/4 e 𝑥 = 𝜋/4. 
 
16) Encontre a área das regiões sombreadas. 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
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17) Se a taxa de natalidade da população é 𝑛(𝑡) = 2200𝑒0,024𝑡 pessoas por ano e a taxa de 
mortalidade é 𝑚(𝑡) = 1460𝑒0,018𝑡 pessoas por ano, encontre a área entre estas curvas para o 
período 0 ≤ 𝑡 ≤ 10. O que esta área representa? 
 
18) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em 
torno das retas especificadas. 
 
a) 𝑦 = 1 −
1
2
𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2; em torno do eixo 𝑥. 
b) 𝑦2 = 𝑥, 𝑥 = 2𝑦; em torno do eixo 𝑦. 
c) 𝑦 =
1
4
𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 2; em torno do eixo 𝑦. 
d) 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = 2𝑦; em torno do eixo 𝑦. 
e) 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = 𝑦2; em torno de 𝑦 = 1. 
 
19) Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo 𝑥, da região limitada 
inferiormente pela parábola 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1, e superiormente pela reta 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3, no 
intervalo −1 ≤ 𝑥 ≤ 2. 
 
20) Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada 
pelas curvas em torno do eixo 𝑦. 
 
a) 𝑦 =
1
𝑥
, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2. 
b) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1. 
c) 𝑦 = 𝑒−𝑥
2
, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1. 
d) 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2, 𝑦 = 𝑥. 
 
21) Determine o volume, por camadas cilíndricas, da região limitada inferiormente pela parábola 
𝑔(𝑥) = 𝑥2, e superiormente pela reta 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, no intervalo −1 ≤ 𝑥 ≤ 3. 
 
22) Encontre o comprimento exato da curva. 
 
a) 𝑦 = 𝑥2 −
1
8
ln(𝑥) , 1 ≤ 𝑥 ≤ 3. 
b) 𝑦 = 1 + 6𝑥3/2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
c) 𝑦 = ln(cos(𝑥)) , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋/3. 
 
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23) Encontre o comprimento do arco da curva 𝑦 =
4
9
𝑥
3
2, no intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 3. 
 
24) Vimos em aula que, o volume por camadas cilíndricas em torno do eixo y é dado por 𝑉 =
∫ 2𝜋𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, em que 𝑓 é uma função contínua não negativa no intervalo [𝑎, 𝑏], 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 e 
𝑅 a região delimitada acima por 𝑦 = 𝑓(𝑥), abaixo pelo eixo 𝑥 e nas laterais pelas retas 𝑥 =
𝑎 e 𝑥 = 𝑏. Sabendo disso, determine o volume do sólido que resulta quando a região englobada 
pela curva 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 gira em torno do eixo y, em 0 ≤ 𝑥 ≤ 2. 
 
 
25) Um cone circular reto com altura ℎ e base com raio 𝑟. 
 
 
26) Denomina-se toro sólido, o sólido com formato de rosquinha como o da figura a seguir. 
 
 
 
a) Escreva uma integral para o volume de um toro sólido com raios 𝑟 e 𝑅. 
b) Interpretando a integral como uma área, encontre o volume do toro.