FUNDAMENTOS DE ANÁLISE exercícios 6 ao 10

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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
6a aula
	 
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	As séries 1-1/2+1/2-1/3+1/3 - 1/4 +1/4 - 1/5+1/5 -..... e 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + 1/4.5 +.... convergem ?
		
	
	Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 0,4
	 
	Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 1
	
	Sim , convergirão, tendo as séries como o limite 1 e limite 0 respectivamente.
	
	Não convergirá
	
	Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 1,5
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Se 0 < x < 1 , qual dos números abaixo é maior que x ?
		
	 
	√x
	
	-x
	
	x . x
	
	0,9 x
	
	x . x . x
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Sendo a e b reais quaisquer e m um número real diferente de zero, então:
		
	
	a ≥ b e a m ≤ b m → m < 0
	
	a≥ b e a m ≥ b m → m≥ 1
	 
	a < b , m >0 → a m < b m
	
	a < b e a m < b m → m < 0
	
	a > b e a m > b m → m = 1
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Se a e b são números naturais diferentes de zero , quantos são maiores que ab e menores que a(b+1)?
		
	 
	a-1
	
	a + b -1
	
	b-1
	
	Nenhum
	
	Um
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	A série 1/3-1/2+1/9-1/4+1/27-...-1/8+...+1/3 não satisfaz as condições do teste de Leibniz pelo seguinte motivo:
		
	
	limite do termo geral é diferente de zero
	
	an+1>an para todo n
	 
	an>an+1 é falso pois 1/3<1/2
	
	an não são todos positivos
	
	a série não é alternada
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Seja a sequência {4n2/(2n2+1)}.
Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito.
		
	
	1
	
	4
	 
	2
	
	3
	
	5
	
Explicação:
Basta calcular o limite da sequência usando os conhecimentos estudados sobre limite de uma função no infinito.
	
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Seja a sequência an=1−nn2an=1-nn2. Dentre as opções abaixo, assinale aquela que representa os quatro primeiros termos da sequência.
		
	
	0, -3/16, -2/9, -1/4
	 
	0, -1/4, -2/9, -3/16
	
	0, 1/4, 2/9, 3/16
	
	-3/16, 0, -2/9, -1/4
	
	1, 2/3, 5/6, 3/16
	
Explicação:
Para encontrar os quatro primeiros termos da sequência basta considerar n = 1, n = 2, n = 3 e n = 4. Substituir na sequência dada.
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	As séries 1-1/2+1/2-1/3+1/3 - 1/4 +1/4 - 1/5+1/5 -..... e 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + 1/4.5 +.... convergem ?
		
	
	Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 0,4
	 
	Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 1
	
	Não convergirá
	
	Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 1,5
	
	Sim , convergirão, tendo as séries como o limite 1 e limite 0 respectivamente.
		FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
7a aula
	 
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Analisando a convergência da série (-1)n+1[n+2/n(n+1)] a forma mais correta possível de concluir a classificação dessa série,quanto a convergência, é :
		
	
	Absolutamente convergente
	
	divergente
	 
	condicionalmente convergente
	
	Análise inconcludente.
	
	convergente
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Se |x| = |y| então é correto afirmar que
		
	
	y < 0
	
	x = y
	 
	x = y e x = -y
	
	x = -y
	
	x > 0
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Resolvendo a inequação |2x-5|<3 no conjunto dos números reais, encontramos para conjunto solução:
		
	
	{ 1 , 4 }
	
	[1 , 4 [
	
	[ 1 , 4 ]
	
	] 1 , 4 ]
	 
	] 1 , 4 [ b) ] 1 , 4 ] c)[1,4] d) {1,4} e) [1,4[
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Analise a convergência da série ∞∑n=1((−1)n+1)(n+1n+2)∑n=1∞((-1)n+1)(n+1n+2)
		
	
	Limn→∞ (−1)n+1(n+1n+2)(-1)n+1(n+1n+2) = 0, portanto a série dada é convergente.
	 
	Limn→∞ (−1)n+1(n+1n+2)(-1)n+1(n+1n+2) não existe, portanto a série dada é divergente.
	
	Limn→∞ (−1)n+1(n+1n+2)(-1)n+1(n+1n+2) =1, portanto a série dada é convergente.
	
	Limn→∞ (−1)n+1(n+1n+2)(-1)n+1(n+1n+2) =1, portanto a série dada é divergente.
	
	Limn→∞ (−1)n+1(n+1n+2)(-1)n+1(n+1n+2) = 0, portanto a série dada é divergente.
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Verificando a convergencia da série de somatório (-1)n+1 .n2n concluimos que :
		
	
	pelo teste da razão é inconcludente.
	
	pelo teste da razão, a série converge para o limite 3/7
	
	a série é divergente
	
	pelo teste da razão, a série converge para o limite 0,2
	 
	pelo teste da razão, a série é absolutamente convergente e portanto convergente.
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Analise a convergência da série ∞∑n=1|cosn|(3nn!)∑n=1∞|cosn|(3nn!).
		
	
	é  divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente.
	
	é  divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente.
	
	é  divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente divergente.
	
	não podemos afirmar nada.
	 
	é  convergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente.
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	A equação |x-1| = |x| +1
		
	
	tem exatamente 4 soluções
	
	tem uma única solução
	 
	tem uma infinidade de soluções
	
	não tem solução
	
	tem somente duas soluções
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	A soma dos valores reais de x que são raízes da equação |2x+2| = 6x-18 é:
		
	 
	7
	
	6
	
	8
	
	9
	
	5
		FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
8a aula
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	A serie infinita de termos positivos cujo termo geral é 1/n! é :
		
	
	convergente de limite 3
	
	divergente
	 
	convergente de limite e
	
	convergente de limite 0
	
	convergente de limite n!
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine o ínfimo do conjunto E = {x∈R;3x2−10x+3<0}{x∈R;3x2-10x+3<0}.
		
	
	Inf E = 2
	 
	Inf E = 1/3
	
	Inf E = 1
	
	Inf E = 3
	
	Inf E = 1/2
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine o supremo do conjunto E = {x∈R;3x2−10x+3<0}{x∈R;3x2-10x+3<0}.
		
	
	Sup E = 1/3
	
	Sup E = 1/2
	
	Sup E = 2
	
	Sup E = 0
	 
	Sup E = 3
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência
da série ∞∑n=1(x+2)n2n∑n=1∞(x+2)n2n.
		
	
	raio de convergência R = 3 e o intervalo de convergência (0,-6).
	
	raio de convergência R = 5 e o intervalo de convergência (-10,0).
	
	raio de convergência R = 3 e o intervalo de convergência (-6,0).
 
	 
	raio de convergência R = 2 e o intervalo de convergência (-4,0).
	
	raio de convergência R = 4 e o intervalo de convergência (-4,0).
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Achar o ínfimo, se existir , do conjunto A ={ x∈ R : x = 1n1n  , n ∈∈ N* }.
		
	
	3
	
	4
	
	1
	
	-5
	 
	0
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Analisando a série somatório de 1/n3/2 verificamos que a mesma :
		
	 
	Converge absolutamente
	
	não é possível concluir
	
	converge condicionalmente
	
	diverge
	
	converge para todos os casos
	
Explicação:
É uma série-p. Nesse caso ela é convergente, pois p = 3/2  é maior que 1. Quando p é menor ou igual a 1 a série-p é divergente.
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Seja a função f(x) = 3√xx3.
determine a aproximação por  um polinômio de Taylor de grau 3 em a = 8.
 
 
 
 
 
		
	
	a aproximação será 3√xx3  ≈≈ T1x        
	
	a aproximação será  T3x     
	 
	a aproximação será 3√xx3 ≈≈ T3x     
	
	a aproximação será 3√xx3 ≈≈ T2x     
	
	a aproximação será T2x     
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Seja a série ∞∑n=1(n!xn)∑n=1∞(n!xn). Analise a convergência da série usando o teste da razão.
		
	 
	Se x ¹ 0, temos que a série diverge e  se x = 0 a série converge.
	
	Se x ¹ 0, temos que a série diverge.
	
	Se x = 0, temos que a série diverge.
	
	Se x = 0, temos que a série diverge e  se x ¹ 0 a série converge.
	
	Não podemos concluir nada sobre a convergência da série.
		FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
9a aula
	 
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Com relação a celas, é somente correto afirmar que
		
	
	O conjunto { x ∈ R : -2<x<="" td=""></x
	
	O conjunto { x ∈ R : -5<x<="" td=""></x
	
	No conjunto {x ∈ R : x>4}, não há uma extremidade definida.
	 
	O conjunto{x ∈ R : x<3} é um raio aberto definido por +oo.
	 
	O conjunto { x ∈ R : 3<x<=7} é="" uma="" cela="" semi-aberta="" definida="" por="" 3="" e="" 7.<="" td=""></x<=7}>2a Questão
	
	
	
	
	Observe a sequencia de intervalos a seguir:
Com relação a estes intervalos é somente correto afirmar que
(I) Trata-se da sequencia de intervalos In=[0,1/n[, com n pertencente a N.
(II) Esta sequencia de intervalos é encaixante.
(III) a sequencia de intervalos não possui ponto em comum.
		
	 
	(I) e (II)
	
	(II)
	
	(II) e (III)
	
	(I) e (III)
	
	(I), (II) e (III)
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere as afirmações sobre cortes:
(I) Todo corte em R é determinado por um numero real.
(II) Se (A,B) é um corte em R então existe um só numero c pertencente ao conjunto dos números reais tal que a< c, para qualquer a ∈A e c < b, para qualquer b ∈ B.  
(III) Considere um elemento fixo c pertencente ao conjunto dos reais. O par ordenado (A,B) , onde A={x ∈R: x<=c} e B={x∈ R : x>c} é um corte para R.
É somente correto afirmar que  
		
	
	(II) e (III)
	
	(I)
	
	(I) e (II)
	 
	(I) e (III)
	
	(III)
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Indique, entre as opções abaixo, a série de Fourier de f(t) = t no intervalo [- 3,3]. Esboce o gráfico da função gerada pela série no conjunto dos números reais
		
	
	f(x)= 7/pi somatório de sen( n.pi.t) [(-1)¿n+1]/n
	
	f(x)= 8/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n]/n
	 
	f(x)= 6/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n
	
	f(x)= 4/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n
	
	f(x)= 3/pi somatório de sen( n.t/3) [(-1)¿n+1]/n
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Observe a sequencia de intervalos a seguir:
Com relação a estes intervalos é somente correto afirmar que
(I) Trata-se da sequencia de intervalos In=[n,+oo[, com n pertencente a N.
(II) Esta sequencia de intervalos é encaixante.
(III) a sequencia de intervalos não possui ponto em comum.
		
	 
	(I), (II) e (III)
	
	(I)
	
	(I) e (II)
	
	(I) e (III)
	
	(II) e (III)
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Suponha que f(x) possui período 2ππ.Determine a série de Fourier da função f(x), onde f(x) é definida por zero se - ππ < x < 0 ou
 1 se 0 < x < ππ.
		
	
	série de Fourier será f(x) = 1+ 2 (3sen x+ 5 sen (2x)+ ...)
	
	A série de Fourier será f(x) = 1/2+2 (sen x+ 1/3 sen (3x)+ ...)
	
	A série de Fourier será f(x) = 3+ (sen 3x+ 7 sen (x)+ ...)
	
	A série de Fourier será f(x) = 2+5(cos x+ cos (x)+ ...)
	 
	A série de Fourier será f(x) = 1/2+2/ππ(sen x+ 1/3 sen (3x)+ ...)
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Desenvolva f(x)= cos x, se 0 < x < p , numa série de Fourier Seno. Como deverá ser definida a função f(x) em x = 0 e x = p para que a série convirja para f(x) em 0 < x < p?
		
	 
	f(x)= 8/pi somatório de (nsen2nx)/(4n¿2 - 1) ; f (0) = f(pi) = 0 .
	
	f(x)= 8/pi somatório de (sen2n)/(n-1) ; f (0) = f(pi) = 0 .
	
	f(x)= 10/pi somatório de (nsen nx)/(4n¿2 - 1) ; f (0) = f(pi) = 0 .
	
	f(x)= 5/pi somatório de (sen nx)/(2n¿2 - 1) ; f (0) = f(pi) = 0 .
	
	f(x)= 4/pi somatório de (nsen2nx)/(4n - 1) ; f(pi) = 0 .
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Verifique  se a sequência de intervalos encaixante In = [0,1/n), com n ∈∈N   possui um ponto em comum.
 
		
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 2, ou seja In = {2}
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 3, ou seja In = {3}
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 4, ou seja In = {4}
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 1, ou seja,In = {1}
	 
	 
Há uma interseção entre a sequencia de intervalos, que é o número zero, ou seja, In = {0}.
		FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
10a aula
	 
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Seja o conjunto S={(1n,0):n∈N}S={(1n,0):n∈N}. Considere agora as afirmativas
O interior de S é o conjunto vazio (afirmativa I)
pois
qualquer vizinhança de um número racional contém números irracionais. (afirmativa II)
		
	
	Somente a primeira afitrmativa é verdadeira.
	 
	As duas afirmativas são verdadeiras e a segunda justifica a primeira.
	
	As duas afirmativas são falsas.
	
	As duas afirmativas são verdadeiras, mas a segunda não justifica a primeira.
	
	Somente a segunda afirmativa é verdadeira.
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considere o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y}S={(x,y)∈R2:x≤y} da figura e as afirmativas
(I) Conjunto dos pontos interiores de S: int S={(x,y)∈R2:x<y}S={(x,y)∈R2:x<y}
(II) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´=SS´=S
(III) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y}S={(x,y)∈R2:x>y}
Para este conjunto é correto
		
	
	I e III apenas.
	
	I apenas.
	
	II e III apenas.
	 
	I, II e III.
	
	I e II apenas.
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dizemos que um conjunto G em RpRp é um aberto em RpRp se, Ax∈GAx∈G, existe r>0,r∈Rr>0,r∈R, tal que Ay∈RpAy∈Rp, ||x−y||G||x-y||G, em outras palavras, um conjunto G é aberto se todo ponto de G é centro de alguma bola aberta inteiramente contida em G.
Com relação às propriedades dos conjuntos abertos, considere as afirmativas. 
 
(I) O vazio e todo o espaço RpRp são abertos em RpRp.
(II) A interseção de dois abertos quaisquer é um aberto em RpRp..
(III) A união de qualquer coleção de abertos é um aberto em RpRp..
 
Com relação às afirmativas e as propriedades dos conjuntos abertos, é CORRETO
		
	
	II e III somente.
	
	I e III somente.
	 
	I, II e III.
	
	I e II somente.
	
	II somente.
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	<r}`A noção de bola é fundamental no estudo de espaços métricos. Considerando x como um ponto no espaço métrico E e dado um número real r>0r>0, considere as afirmativas a seguir.  </r}`
<r}`(I) Uma bola aberta de centro x e raio r é também chamada uma vizinhança de x.</r}`
<r}`(II) Uma boa aberta pode ser indicada por  N(x,r)={y∈Rp, ∣|x−y|}∣N(x,r)={y∈Rp, ∣|x-y|}∣</r}`
<r}`(III) Uma boa aberta pode ser indicada por N(x,r)={y∈Rp, d(x,y)}N(x,r)={y∈Rp, d(x,y)}
</r}`
<r}`Com relação anoção de bola e ás afirmativas acima, é correto</r}`
		
	
	I e II somente.
	
	II e III somente.
	 
	I, II e III .
	
	I e III somente.
	
	I, somente.
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	As afirmativas abaixo são relacionadas à noção de vizinhança no espaço métrico R.
 
 (I) Um ponto x∈Rpx∈Rp é dito ponto interior de um conjunto A⊂RpA⊂Rp se existe uma vizinhança de x totalmente contida em A.
 
(II) Um ponto x∈Rpx∈Rp é dito ponto exterior de um conjunto A⊂RpA⊂Rp se existe uma vizinhança de x inteiramente contida em no complementar de A - C(A)
 
(III) Se toda vizinhança N(x,r) de centro x e raio r contém um ponto de G  e um ponto do complementar de G (Rp -G) diz-se que x é um ponto fronteira de G.
 
Com relação às afirmativas e a teoria de vizinhança no espaço metrico R, é CORRETO
		
	
	II e III somente.
	
	I e II somente.
	 
	I, II e III.
	
	I, somente.
	
	I e III somente.
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Observe o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y}S={(x,y)∈R2:x≤y} e as afirmativas referentes a ele.
(I) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y}S={(x,y)∈R2:x>y}
(II) Conjunto dos pontos fronteira de S:  fr S={(x,y)∈R2:x=y}S={(x,y)∈R2:x=y}
(III) Fecho de S:  ¯¯¯S2=SS¯2=S
Com relação ao conjunto dado e as afirmativas, é correto
		
	
	II e III somente.
	
	I e II somente.
	
	I somente.
	
	I e III somente.
	 
	I, II e III.
	
	 7a Questão
	
	
	
	Dizemos que um conjunto G em RpRp é um aberto em RpRp se, Ax∈GAx∈G, existe r>0,r∈Rr>0,r∈R, tal que Ay∈RpAy∈Rp, ||x−y||G||x-y||G, em outras palavras, um conjunto G é aberto se todo ponto de G é centro de alguma bola aberta inteiramente contida em G.
Com relação às propriedades dos conjuntos abertos, considere as afirmativas. 
 
(I) O vazio e todo o espaço RpRp são abertos em RpRp.
(II) A interseção de dois abertos quaisquer é um aberto em RpRp..
(III) A união de qualquer coleção de abertos é um aberto em RpRp..
 
Com relação às afirmativas e as propriedades dos conjuntos abertos, é CORRETO
		
	
	II e III somente.
	
	I e II somente.
	 
	I, II e III.
	
	I e III somente.
	
	II somente.
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Com relação ao conjunto em questão e as afirmativas, é correto
Considere as afirmativasabaixo que são relacionadas ao conjunto S1=[2,4[ U {5}⊆RS1=[2,4[ U {5}⊆R.
(I) Conjunto dos pontos exteriores de S: ext(S1)=]−∞,2] U ]4,5[ U ]5,+∞[(S1)=]-∞,2] U ]4,5[ U ]5,+∞[
(II) Conjunto de pontos aderentes a S (fecho) de S: ¯¯¯S1=[2,4]U{5}S¯1=[2,4]U{5}
(III) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´1=[2,4]S´1=[2,4]
Com relação ao conjunto em questão e as afirmativas, é correto
		
	
	I e III somente.
	
	II somente.
	
	II e III somente.
	 
	I, II e III .
	
	I e II somente.