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Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 
0 
UNIP UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE SOROCABA 
 
ENGENHARIA MECATRÔNICA / ELÉTRICA-1ºANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
DE UMA VARIÁVEL 
(CÁLCULO I) 
 
 
 
 ALUNO:_______________________________ RA.:___________ 
 
 
 TURMA:______________________________ SALA:__________ 
 
 
PROF. MACHADO 
 
 
 
 
 
 
 
AGOSTO/2010 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 
1 
INDICE 
 
1. Sistema Cartesiano Ortogonal....................................................................................02 
2. Variáveis e Constantes...............................................................................................02 
3. Funções......................................................................................................................03 
 3.1. Função Constante...............................................................................................03 
 3.2. Função Afim.........................................................................................................04 
 3.3. Equação da reta que “passa” por um ponto dado...............................................05 
 3.4. Função Quadrática..............................................................................................06 
 3.5. Exercícios de Funções........................................................................................07 
 3.6. Funções Trigonométricas....................................................................................11 
 3.6.1. Função Seno.............................................................................................11 
 3.6.2. Função Co-seno........................................................................................12 
 3.6.3. Função Tangente.......................................................................................13 
 3.6.4. Função Co-tangente, Secante e Co-secante............................................13 
 3.6.5. Exercícios propostos de trigonometria......................................................13 
 3.7. Função Exponencial............................................................................................14 
 3.8. Logaritmo.............................................................................................................15 
 3.9. Função Logaritmo................................................................................................16 
4. Derivadas....................................................................................................................17 
 4.1. Taxa de variação.................................................................................................17 
 4.2. Noções intuitiva de Derivada...............................................................................18 
 4.3. A Derivada como Velocidade..............................................................................21 
 4.4. Regras de Derivação...........................................................................................23 
 4.5. Exercícios resolvidos...........................................................................................24 
 4.6. Exercícios propostos...........................................................................................25 
 4.7. Regra da Cadeia..................................................................................................26 
 4.8. Derivada Implícita................................................................................................27 
 4.9. Exercícios propostos...........................................................................................28 
5. Noções de Integração.................................................................................................30 
 5.1. Integral Indefinida................................................................................................30 
 5.2. Regras de Integração..........................................................................................30 
 5.3. Exercícios Resolvidos..........................................................................................31 
 5.4. Exercícios Propostos...........................................................................................32 
 5.5. Método da Substituição.......................................................................................32 
 5.6. Exercícios Resolvidos..........................................................................................33 
 5.7. Método da Integração por Partes........................................................................34 
 5.8. Tabela de Integrais imediatas..............................................................................36 
 5.9. Integrais Definidas...............................................................................................36 
 5.10. Propriedades da Integral Definida.....................................................................38 
 5.11. Exercícios Resolvidos........................................................................................39 
 5.12. Exercícios Propostos.........................................................................................40 
 5.13. Exercícios Gerais de Integral.............................................................................41 
 5.14. Exercícios Resolvidos........................................................................................43 
6. Gabarito dos Exercícios Propostos (livro indicado pela Unip)....................................48 
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2 
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL* 
 
1. Coordenadas cartesianas ortogonais 
 
 Seja αααα o plano determinado por dois eixos Ox e Oy perpendiculares em O. 
Considere um ponto P qualquer do plano, e conduza por ele as paralelas aos eixos, que 
interceptarão Ox e Oy respectivamente em P1 e P2. 
 Escolhida uma unidade de medida (geralmente a mesma sobre os dois eixos), adota-
se a seguinte nomenclatura: 
a) Abscissa de P é o número real xP = OP1 ; 
b) Ordenada de P é o número real yP = OP2 ; 
c) Coordenadas de P são os números reais xP e yP indicados na forma de um par 
ordenado (xP ; yP); 
d) O eixo dos x ou Ox será chamado eixo das abscissas; 
e) O eixo dos y ou Oy será chamado eixo das ordenadas; 
f) O plano formado pelo par de eixos Oy e Ox será chamado plano cartesiano; 
g) O sistema de eixos formados por Oy e Ox é chamado sistema cartesiano 
ortogonal (ou ortonormal ou retangular); 
h) O ponto O é chamado de origem do sistema cartesiano ortogonal. 
 
 y 
 
 xP (abscissa de P) 
 P(x ; y) 
 P2 
 
 yP (ordenada de P) 
 
 
 O P1 x 
 
 αααα 
 
 
 
NOTA: Os eixos coordenados Oy e Ox dividem o plano cartesiano em quatro regiões 
angulares que são denominadasquadrantes: 
 y 
 
 
 2º quadrante 1º quadrante 
 (- ; +) (+ ; +) 
 
 O x 
 
 3º quadrante 4º quadrante 
 (- ; -) (+ ; -) 
 
 
 
 
• 
* A palavra “cartesiano” refere-se ao nome do criador da Geometria Analítica, René Descartes, o qual assinava as obras 
 escrevendo seu nome em latim: Cartesius. 
 A palavra “ortogonal” é utilizada aqui pelo fato de os eixos OX e OY formarem ângulo reto. 
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3 
 
Representar no sistema de eixos cartesianos ortogonais os pontos: 
A(4 ; 3) , B(−1; 3) , C(−3 ; −4) , D(4 ; −2) , E(2 ; 0) , F(0 ; 4) 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VARIÁVEIS E CONSTANTES 
 
 A grande finalidade dos números é sua utilização no sistema de medidas das 
grandezas do mundo real. 
Uma constante é uma quantidade cujo valor permanece invariável num problema 
particular, como por exemplo: altitude de uma região, temperatura em que a água 
ferve, etc. 
Uma variável é uma quantidade que assume diversos valores num determinado 
problema particular, como por exemplo: temperatura ambiente, uma distância 
percorrida, etc. 
A matemática trabalha basicamente com variáveis e constantes. As variáveis ou 
quantidades que mudam na realidade ou nas nossas simulações são em geral 
representadas pelas últimas letras do alfabeto: x, y, z, .... . As constantes são em geral 
representadas pelas primeiras letras do alfabeto: a, b, c, ..... 
Existem dois tipos de constantes: 
a) constantes absolutas que sempre têm o mesmo valor: números ou símbolos 
denotando números (ex. temperatura em que a água ferve, valor de π, etc.); 
b) constantes paramétricas que têm o mesmo valor em cada problema dado, 
mas podem ter valores diferentes em problemas diferentes. Tais 
quantidades dependem da situação particular representada no problema. 
Exemplo: 
1) Na equação da área de um círculo, A = ππππr2 temos que: 
ππππ é uma constante numérica (aproximadamente igual a 3,1416); 
A e r são variáveis . 
 
 2) Na equação segmentaria da reta 1 
b
y
 
a
x
=+ , temos: 
1 é constante numérica; 
a e b são parâmetros; 
x e y são variáveis 
 
NOTA: Na matemática aplicada freqüentemente convenciona-se representar uma variável 
pela primeira letra do seu nome – por exemplo: p para preço, q para quantidade, c para 
custo, d para demanda, o para oferta, r para receita e assim por diante. 
 
x 
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4 
FUNÇÕES 
 
1. Definição – dizemos que uma relação f de um conjunto A em um conjunto B, não 
vazios, é uma função de A em B, se e somente se, cada elemento (x) de A se 
relaciona com um único elemento (y) de B. Essa relação é denotada por y = f(x). 
 Notação: 
 f : A B 
 x y = f(x) 
 
 NOTA: x é denominado de variável independente e y de variável dependente, ou 
seja, o valor de y depende do valor de x que geralmente é expresso por uma lei de 
formação ou lei de dependência, por exemplo: y = 2.x + 3 
 
2. Domínio – o conjunto A é denominado de domínio da função , indicado por D(f) e 
representa os valores que a variável independente x pode assumir; 
3. Contradomínio – o conjunto B é denominado contradomínio da função, indicado 
por CD(f) e representa os valores da variável y; 
4. Imagem – o conjunto imagem da função é o conjunto de valores que a variável 
dependente y pode assumir para cada x correspondente. 
 A B 
 A é o domínio ou seja, conjunto de partida 
 B é o contradomínio– conjunto de chegada 
 x f y 
 Conjunto Imagem da função : Im (f) 
 y é a imagem do domínio x 
 
 Im(f) = { y ∈ B | ∃ x ∈ A com y = f(x) } 
 
Observações: 
1. Uma função definida em valores reais f: A B , A e B são subconjuntos reais; 
2. Por simplificação, deixamos muitas vezes de explicitar o domínio e o contradomínio 
 da função f, falando apenas da lei y = f(x). Neste caso, fica implícito que o 
 contradomínio é real e o domínio o “maior” subconjunto dos reais para o qual a 
 função está definida (ou seja, para que faça sentido a lei); 
 3. Algumas funções que comumente são usadas na matemática e por serem utilizadas 
 muitas vezes em operações na própria matemática ou nas aplicações de 
 fenômenos físicos, químicos ou biológicos, ou na área econômica, são 
 denominadas funções elementares. No estudo de tais funções, necessitamos 
 sempre de informações, tais como: Domínio, Imagem, Raízes, gráficos e suas 
 principais propriedades. 
I. FUNÇÃO CONSTANTE 
 
1. Definição – f: R R é uma função constante se para cada x ∈ D(f) existe um 
 único y tal que f(x) = k ou y = k, k é uma constante real 
 f: R R 
 x y = k 
 
2. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo Ox pelo ponto (o ; k) 
 y 
 
 k (0; k) 
 Im(f) = { k } 
 
 
⊡ 
x 
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5 
II. FUNÇÃO AFIM (ou função polinomial do 1º grau) 
 
 
1. Definição – denomina-se função afim a função 
 f: R R 
 x y = ax + b , com a ≠ 0 
 
2. Gráfico – o gráfico da função afim é uma reta (não vertical)de coeficiente angular a 
e coeficiente linear b, ou seja, a reta que “passa” pelos pontos (0 ; b) e (−b/a ; 0). 
 
Para a > 0 Para a < 0 
 y y 
 
 (0 ; b) 
 −b/a b 
 (−b/a ; 0) x 
 b (−b/a ; 0) 
 (0 ; b) −b/a x 
 
 
Nota: o ponto onde a reta “corta“ o eixo x recebe o nome de raiz da função e é obtido 
fazendo y = o 
 
 Temos: y = ax + b 
 
 se y = 0 ax + b = 0 ax = − b x = − b/a que é a raiz ou zero da função 
 
 se x = 0 y = 0.x+ b y = b, ou seja, b corresponde ao valor de y onde a reta 
 “corta” o eixo dos y . 
 
3. Inclinação 
 A inclinação da reta é o ângulo “convexo”α entre o eixo x e a reta r, sempre medido de 
 x para r no sentido anti-horário. As únicas situações possíveis são: 
 
 Reta Horizontal Reta “Crescente” Reta Vertical Reta “Decrescente” 
 
 y y y y 
 
 r r r r 
 
 α α α 
 
 x x x x 
 
 αααα = 0º 0º < αααα < 90º αααα = 90º 90º < αααα < 180º 
 
 
4. Coeficiente angular da reta 
 O coeficiente angular, ou declividade da reta r, não vertical, é a tangente trigonométrica 
 do ângulo α, ou seja, a = tg αααα 
 
 NOTA: Alguns autores denotam a função do 1º grau por y = mx + n, neste caso: m = tg αααα 
 
● 
● 
● 
● 
⊡ 
⊡ 
(f é estritamente 
 crescente) 
(f é estritamente 
 decrescente) 
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6 
 y 
 P 
 y 
 
 ∆y = y – n 
 (0 ; n) 
 
 ∆x 
 α 
 0 x x 
 
 A partir do ponto (0 ; n), para uma variação ∆x de x haverá uma correspondente 
variação ∆y de y. 
 No triângulo retângulo do gráfico acima temos que: 
 tg α = 
x
n y 
 
x
y −
=
∆
∆
 x . tg α = y – n y = tg α . x + n 
 m 
 Portanto, m = tg αααα 
 
4.1. Como obter o coeficiente angular “m” sendo dados dois pontos: 
 y 
 r 
 P2 
 y2 
 
 y2 – y1 
 P1 
 y1 
 
 x2 – x1 
 
 x1 x2 x 
 
 Seja r uma reta, não vertical, e sejam P1(x1 ; y1) e P2(x2 ; y2) dois pontos distintos de r. 
 No triângulo retângulo da figura, temos: 
 
 tg α = 
12
12
 x x
 y y
−
−
 m = 
12
12
 x x
 y y
−
−
 
 
 
5. Equação da reta que passa por um ponto Po(xo ; yo) 
 Se Q(x ; y) é qualquer outro ponto da reta (isto é, um ponto genérico), então pode ser 
 usado, juntamente com o ponto Po(xo ; xo) para determinar o coeficiente angular ou 
 declividade da reta: m = 
o
o
 xx 
 y y
−
−
 e, como a declividade é constante, podemos 
 escrever: 
 y – yo = m . (x – xo) 
 
 
 
 
 
α 
αααα 
• 
● 
● 
• α 
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III. FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2º grau) 
 
1. Definição – denomina-se função quadrática ou função polinomial do 2º grau a 
função 
 f : R R 
 x y = ax2 + bx + c , com a ≠ 0 
 
 Ex.: y = x2 – 5x + 6 ; f(x) = – x2 – 4 ; y = 2x2 ; etc. 
 
2. Gráfico – o gráfico da função polinomial do 2º grau é uma parábola nas seguintes 
 condições: 
 
 ∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0 
 
 y y y 
 
 
 a > 0 
 
 
 x1 x2 x x1 = x2 x 
 x 
 x1 ≠ x2 x ∈∃ R 
 
 y y x1 = x2 y x ∈∃ R 
 
 x x 
 a < 0 x 
 
 x1 ≠ x2 
 
 
 Os pontos onde o gráfico intercepta os eixos cartesianos Ox e Oy, denominam-se 
interceptos. No eixo x temos os interceptos (x1 ; 0) e (x2 ; 0) e, no eixo y, o intercepto 
(0 ; c). 
 
 ∆∆∆∆ = b2 – 4ac é o discriminante (determina o nº de raízes reais da função). 
As raízes ou zeros da função polinomial do 2º grau são obtidas através da fórmula de 
Báscara : x = 
2a
 b ∆±−
 
NOTA 1: Se ∆∆∆∆ > 0, a função tem duas raízes reais e distintas: 
 x1 = 
2a
 b ∆+−
 e x2 = 
2a
 b ∆−−
 , podemos escrever: 
 
 f(x) = a . (x – x1) . (x – x2) 
 
NOTA 2: Se ∆∆∆∆ = 0, a função tem uma única raiz real de multiplicidade 2: 
 x1 = x2 = 
2a
b −
 , neste caso, podemos escrever: 
 
 f(x) = a . (x – x1)
2 
 
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8 
 
 y a > 0 y a < 0 
NOTA 3 : 
 
 yV V(xV ; yV) 
 
 xV 
 xV x 
 x 
 yV V (xV ; yV) 
 eixo de simetria 
 
 
 As coordenadas do vértice da parábola são : 
 
 xV = 
2a
b −
 e yV = 
4a
 ∆−
 , logo: V = 




 ∆−−
a4
 
 ; 
a2
 b
 
 OBSERVAÇÃO: 
 
1. Se a > 0 , V é ponto de mínimo (ou minimante) da função. A imagem da 
função neste caso, será: Im(f) = 


 ∞+
∆−
 ; 
4a
 
 
 
2. Se a < 0 , V é ponto de máximo (ou maximante) da função. A imagem da 
função nestecaso, será: Im(f) = 


 ∆−∞− 
4a
 
 ; 
 
EXERCÍCIOS GERAIS DE FUNÇÃO 
 
1. Se (a + 2b, a – 4) e (2 – a, 2b) representam o mesmo ponto do plano 
cartesiano, determine o valor de ab. 
 
2. Sejam os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {0; 1; 3; 5}. Represente num diagrama de 
flechas as seguintes relações binárias de A em B: 
a. f = { (x; y) ∈ A x B | y = x + 2}; 
b. g = { (x; y) ∈ A x B | y > x}; 
c. h = { (x; y) ∈ A x B | y = 2x – 1} 
 
3. Sendo A = {0; 2; 4} e B = {1; 3; 5}, represente no gráfico cartesiano de A x B a relação 
 y = x + 1, com x ∈ A e y ∈ B. 
 
4. Represente graficamente a função f: R R, definida por y = x + 1. 
 
5. Quais dos seguintes diagramas definem uma função de A ={a, b, c, d} em B = {x, y,z,w} 
 A B A B A B A B A B 
 
 
 
 
 
 (I) (II) (III) (IV) (V) 
 
a) II, III e IV b) I e IV c) IV e V d) I, III e V e) I, IV e V 
a 
b 
c 
d 
 
x 
y 
z 
w 
a 
b 
c 
d 
 
x 
y 
z 
w 
a 
b 
c 
d 
 
x 
y 
z 
w 
a 
b 
c 
d 
 
x 
y 
z 
w 
a 
b 
c 
d 
 
x 
y 
z 
w 
● 
(Concavidade para cima) 
● 
(Concavidade para baixo) 
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6. “Quando uma máquina tem t anos de idade, seu valor de revenda é de: 
 v(t) = 4800 . e-t/5 + 400 reais.” Qual era o preço, em reais, da máquina nova? 
 
7. Considere as funções f(x) = 3x – 5, g(x) = 3x2 + 2x – 4, h(x) = x – x2 e o número real 
 A = 




 −÷
h(2)
1)g(f(0)
. Determine o valor de 5 . A 1− 
 
8. O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandei- 
 rada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa 
 R$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule: 
a) o preço de uma corrida de 11 km; 
b) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida. 
 
Solução: 
Seja P(x) o preço, em reais, a ser pago por uma corrida de x km. 
De acordo com o enunciado, temos: 
 P(x) = 3,44 + 0,86 . x 
a) Para x = 11 P(11) = 3,44 + 0,86 . 11 = 3,44 + 9,46 P(11) = R$ 12,90 
b) Para P(x) = 21,50, teremos: 
 3,44 + 0,86 . x = 21,50 0,86x = 18,06 x = 21 km 
 
 
9. O diagrama abaixo representa uma função f de A em B. Determine o domínio e a 
 imagem dessa função. 
 
 A B 
 f 
 D(f) = 
 
 Im(f) = 
 
 
 
10. Determine o domínio das funções: 
 a) y = 
4
2
−x
 b) f(x) = 5−x c) y = 
4
2
2 −x
 
 d) f(x) = (2x – 6) ...333,0 e) y = 
5
5
−x
 f) f(x) = 
3
2
−
−
x
x
 
 g) y = 
44
2
2 +−
−
xx
x
 h) f(x) = 
3
2
−
−
x
x
 i) y = 
3
2
−
−
x
x
 
 
11. Qual dos gráficos seguintes representa uma função f de R *+ em R ? 
 R R R 
 a) b) c) 
 
 
 
 
 
 R R R 
 
0 
1 
2 
3 
2 
4 
10 
0 
9 
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10 
 
 R R 
 d) e) 
 
 
 
 R 
 R 
 
 
12. O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, em que b e c são constantes, passa pelos pontos (0; 0) 
 e (1; 2). Determine a imagem do domínio x = −2/3 
 
13. Seja f: R R a função definida por f(x) = 2x – 4. Construa o gráfico de f e 
 complete as sentenças abaixo: 
a) O conjunto solução da equação f(x) = 0 ou 2x – 4 = 0 é S = { } 
b) O conjunto solução de f(x) > 0 ou 2x – 4 > 0 é S = { } 
c) O conjunto solução de f(x) < 0 ou 2x – 4 < 0 é S = { } 
 
14. Seja g: R R a função definida por g(x) = – x + 3. Construa o gráfico de g e 
 complete as sentenças abaixo: 
a) O conjunto solução da equação g(x) = 0 ou – x + 3 = 0 é S = { } 
b) O conjunto solução de g(x) > 0 ou – x + 3 > 0 é S = { } 
c) O conjunto solução de g(x) < 0 ou – x + 3 < 0 é S = { } 
 
15. A função f, do 1º grau, é definida por f(x) = 3x + k. Determine: 
 
 a) O valor de k para que o gráfico de f “corte” o eixo das ordenadas no ponto de 
 ordenada 5; 
 b) O ponto em que o gráfico de f “corta” o eixo das abscissas. 
 
 
16. Determine a função polinomial do 1º grau que contém os pontos (1; 3) e (3; 7) 
 
 
17. Esboce o gráfico da função f :R R definida por f(x) = x2 – 4x + 3 e determine 
 o conjunto solução das inequações abaixo: 
 a) x2 – 4x + 3 > 0 b) x2 – 4x + 3 ≥ 0 
 c) x2 – 4x + 3 < 0 d) x2 – 4x + 3 ≤ 0 
 
18. Esboce o gráfico da função f :R R definida por f(x) = x2 – 4x + 4 e determine 
 o conjunto solução das inequações abaixo: 
 a) x2 – 4x + 4 > 0 b) x2 – 4x + 4 ≥ 0 
 c) x2 – 4x + 4 < 0 d) x2 – 4x + 4 ≤ 0 
 
19. Um homem-bala é lançado de um canhão e sua trajetória descreve uma parábola. 
 Considerando que no instante de lançamento (t = 0) ele está a 3 metros do solo, 1 
 segundo após ele atinge a altura de 4 metros e 3 segundos após o lançamento ele 
 atinge o solo, pede-se: 
a) A altura h do homem-bala, medida em metros e a partir do chão, em função do 
tempo t, medido em segundos; Resp.: h(t) = − t2 + 2t + 3 
 b) O valor de h para t = 2. Resp.: 3 metros 
 
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20. Determine o vértice da parábola de função y = 
4
1
(x + 4) (x – 8) 
 
21. Obtenha o vértice e o conjunto-imagem da função f : R R definida por 
 f(x) = x2 – 6x + 5 
 
22. Determine o conjunto-imagem da função f : R R definida por f(x) = −x2 + 8x – 12. 
 
23. Esboçar o gráfico e obter o conjunto-imagem da função f : [−1; 4] R definida por 
 f(x) = x2 – 2x – 3. 
 
24. Esboce o gráfico da função f : [0; 5] R definida por f(x) = x2 – 4x + 3. Ache o 
 máximo e o mínimo de f. 
25. Nas funções polinomiais do 2º grau abaixo, determine os interceptos e construa o seu 
 gráfico: 
a) f(x) = x2 – 2x 
b) f(x) = x2 – 4 
c) y = – x2 + 2x + 3 
d) y = x2 – 6x + 8 
 
26. Uma indústria produz óculos de sol pelo preço de R$ 20,00 cada. Calcula-se que se 
 cada óculos for vendido por p reais, os consumidores comprarão 120 – p unidades. 
a) expresse o lucro L(p) da indústria em função do preço de venda; 
b) esboçar o gráfico; 
c) calcular o preço para o qual o lucro será máximo 
Resolução: 
a)O lucro é expresso pelo produto : (preço vendido – custo de fabricação) . (unidades 
vendidas) , ou seja: 
 
L(p) = (p – 20) . (120 – p) L(p) = – p2 + 140 p – 2400 
 
 b) As raízes ou zeros da função são dadas por – p2 + 140 p – 2400 = 0 ou então, por 
 (p – 20) . (120 – p) = 0 
 
 p – 20 = 0 p1 = R$ 20,00 I1 (20 ; 0) 
 ou 
 120 – p = 0 p2 = R$ 120,00 I2 (120 ; 0) 
 
 O vértice é dado por : xV = 
22
120 20
 
p p 21 +=
+
 = 70 xV = R$ 70,00 e 
 yV = L(xV) = L(70) = (70 – 20) . ( 120 – 70) = 50 . 50 yV = R$ 2500,00 
 que representa o preço máximo de lucro, ou seja, LMÀX = R$ 2.500,00 
 L(p) 
 
 
 2500 
 
 
 
 
 
 20 70 120 p 
c) do gráfico e do cálculo do 
 item (b) , concluímos que 
 o lucro será máximo 
 quando o preço p for igual 
 ao xV , ou seja: 
 
 p = R$ 70,00 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
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12 
IV. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
1. FUNÇÃO SENO 
 A) Definição: é uma função de IR em IR, tal que a cada x associa um y = sen x. 
 
 f : IR IR | y = sen x 
 Geometricamente, o valor do seno de x é a medida algébrica do segmento ON 
 
obtido pela projeção ortogonal do raio OP em que AP é um arco trigonométrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B) Gráfico: O gráfico da função seno é uma curva chamada “senóide”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Do gráfico, temos: 
 1) sen x = sen (x ± 2π), pois x e (x ± 2π) são arcos de mesma extremidade no 
 ciclo trigonométrico; 
 2) D(f) = IR e Im(f) = [−1; 1] ou Im(f) = {y ∈ IR | −1 ≤ y ≤ 1}; 
 3) a função é crescente no 1º e no 4º quadrantes; 
 4) a função é decrescente no 2º e 3º quadrantes; 
 5) o período (comprimento da senóide) da função seno é 2π; 
 6) a função seno é ímpar, pois sen (−x) = −sen x 
 
2. FUNÇÃO CO-SENO 
 A) Definição: é uma função de IR em IR, tal que a cada x associa um y = cos x. 
 
 f : IR IR | y = cos x 
 Geometricamente, o valor do co-seno de x é a medida algébrica do segmento 
 
 OM obtido pela projeção ortogonal do raio OP em que AP é um arco trigonométrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinal do Seno : 
⊕ ⊕ 
Θ Θ 
Iº Q IIº Q 
IIIº Q IVº Q 
x y 
0º = 0 rad 0 
30º = π/6 1/2 
45º = π/4 2 /2 
60º = π/3 3 /2 
90º = π/2 1 
180º = π 0 
270º = 3π/2 −1 
360º = 2π 0 
 
1 
−1 
0 
2
π
 
π 
2
3π
 
 2π 4π 
2
π
− 
−π 
−
2
3π
 
−2π 
⊕ ⊕ 
Θ Θ 
Sinal do co-seno : 
⊕ 
⊕ Θ 
Θ 
Iº Q IIº Q 
IIIº Q IVº Q 
Eixo dos senos 
N 
O 
P 
A x 
Sen x 
⊡ 
y = sen x = ON 
⊕ 
Θ 
1 
y = cos x = OM 
Eixo dos 
co-senos 
M O 
P 
A x 
cos x 
⊡ 
⊕ 
Θ 
1 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
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13 
 B) Gráfico: O gráfico da função co-seno é uma curva chamada “co-senóide”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Do gráfico, temos: 
 1) cos x = cos (x ± 2π), pois x e (x ± 2π) são arcos de mesma extremidade no 
 ciclo trigonométrico; 
 2) D(f) = IR e Im(f) = [−1; 1] ou Im(f) = {y ∈ IR | −1 ≤ y ≤ 1}; 
 3) a função é crescente no 3º e no 4º quadrantes; 
 4) a função é decrescente no 1º e 2º quadrantes; 
 5) o período (comprimento da co-senóide) da função co-seno é 2π; 
 6) a função co-seno é par, pois cos (−x) = cos x. 
 
3. FUNÇÃO TANGENTE 
 A) Definição: é uma função de IR – {
2
π + n π, n ∈ Z } em IR, tal que a cada x associa 
 um único y = tg x, ou seja: 
 f : IR – {
2
π + n π, n ∈ Z } IR | y = tg x 
 Geometricamente, o valor da tangente de x é a medida algébrica do segmento 
 
 AT obtido pela projeção ortogonal do segmento OT no eixo das tangentes, em que 
 
 AP é um arco trigonométrico, conforme figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B) Gráfico: o gráfico da função tangente é uma curva chamada “tangentóide”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 D(f) = { x ∈ IR| x ≠ 
2
π + n π, n ∈ Z }, Im(f) = IR e período = π 
 
x y 
0º = 0 rad 1 
30º = π/6 3 /2 
45º = π/4 2 /2 
60º = π/3 1/2 
90º = π/2 0 
180º = π −1 
270º = 3π/2 0 
360º = 2π 1 
 
x 
1 
−1 
0 
2
π
 
π 
2
3π
 
 
2π 4π 
2
π
− 
−π 
−
2
3π
 
−2π 
⊕ ⊕ 
Θ Θ 
y 
Sinal da tangente: 
⊕ 
⊕ Θ 
Θ 
Iº Q IIº Q 
IIIº Q IVº Q 
0 
2
π
π 
2
3π
 2π −
2
π 
−π 4π 
−
2
3π 
−2π 
x 
y x y 
0º = 0 rad 0 
30º = π/6 3 /3 
45º = π/4 1 
60º = π/3 3 
90º = π/2 ∫ 
180º = π 0 
270º = 3π/2 ∫ 
360º = 2π 0 
 
Eixo das tangentes 
T 
O 
P 
A x 
tg x 
y = tg x = AT 
⊕ 
Θ 
1 
• 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
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14 
4. FUNÇÃO COTANGENTE, SECANTE E CO-SECANTE 
 
 O estudo das funções Cotangente, Secante e Co-secante pode ser feito a partir 
das três funções já vistas (seno, co-seno e tangente), pois elas são funções inversas. 
Assim, podemos escrever: 
 FUNÇÃO COTANGENTE: f(x) = cotg x = 
x tg
1
, com tg x ≠ 0 e 
 xcos
 xsen
 x tg = 
 FUNÇÃO SECANTE: f(x) = sec x = 
 xcos
1
 , com cosx ≠ 0 
 FUNÇÃO CO-SECANTE: f(x) = cossec x = 
 xsen
1
, com sen x ≠ 0 
 
 NOTA: A relação fundamental da trigonometria é: 1 xcos xsen 22 =+ . 
 Dessa relação, obtemos duas relações auxiliares: 
 1) x tg 1 xsec 22 += 
 2) xcotg 1 xseccos 22 += 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1. Esboce os gráficos das funções e determine a sua imagem: 
 
a) y = | sen x| e) y = 2. cos x 
 
b) f(x) = | cos x| f) y = 1 + sen x 
c) y = | tg x | , para 
2
x
2
π
<<
π
− g) f(x) = 1 + cos x 
d) y = 2. sen x h) y = − sen x i) f(x) = − cos x 
 
2. Faça o estudo do sinal das funções: 
 
a) y = sen x, para 0 ≤ x ≤ 2π 
 
b) f(x) = cos x, para 0 ≤ x ≤ 2π 
c) y = tg x, para 
2
x
2
π
≤≤
π
− 
 
3. Qual o ponto de máximo e de mínimo das funções: 
 
a) y = sen x, para 0 ≤ x ≤ π 
 
b) y = cos x , para π ≤ x ≤ 2π 
c) y = tg x, para 
2
x0
π
≤≤ 
d) y = | sen x |, para 0 ≤ x ≤ 2π 
 
e) y = | cos x |, para 0 ≤ x ≤ 2π 
 
 
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15 
V. FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 Dado um número real a > 0 e a ≠≠≠≠1, chama-se função exponencial de base a à 
função f: IR IR *+ definida por f(x) = a
x 
 
• Domínio = IR 
• Contradomínio = Conjunto Imagem = IR *+ 
 
Em a > 0 e a ≠≠≠≠1, temos: 0 1 
 a 
 0<a<1 ou a>1 
 
 Gráfico: O gráfico da função exponencial é uma curva exponencial do tipo: 
 
 A) Crescente se a > 1 B) Decrescente se 0 < a < 1 
 yy 
 
 
 
 
 a 
 1 
 1 
 a 
 
 1 x 1 x 
 
Exemplo 1. 
 
 Esboçar o gráfico da função definida em IR por f(x) = 2x 
 
 
 
Exemplo 2. 
 
 Esboçar o gráfico da função exponencial definida em IR por f(x) = 
x
2
1






 
x y = 2x 
 
-3 1/8 
-2 1/4 
-1 1/2 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
 
 
∙ 
∙ 
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16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES: 
 
P1 : ∀ x ∈ IR, a
x > o 
 
P2 : f(0) = a 
o = 1 
 
 f(1) = a 1 = a 
 
Se x1 , x2 ∈ IR e 0 < a ≠ 1 , então: 
 
P3 : 21
2x1x x x a a =⇔= 
 
P4 : 



<<≤
>≥
⇒≥
1a0 se , x x
 1 a se , x x
 a a
21
212x1x 
 
NOTA: Um caso particular importante é o número de Euler “e” = 2, 7182818184..., 
 que é usado no cálculo dos logaritmos naturais ou neperianos (em homenagem 
 ao seu criador John Napier 1550 - 1617) cuja base usa a constante de “Néper” 
 que é o número de Euler. Assim, f(x) = ex é a função exponencial natural. 
 
 
LOGARITMO – Chama-se logaritmo de um número N, numa base a o expoente x que se 
deve elevar a base a para se obter o número N, ou seja: 
 
 N a x Nlog x
a
=⇔= , onde N e a são números reais, tais que N > 0 e 
 0 < a ≠≠≠≠ 1 
 
 
Exemplos: 
a) log
2
8 = 3 , pois, 23 = 8 
b) log
2/1
4/1 = 2 , pois, 
4
1
 
2
1
2
=





 
x y=(1/2)x 
 
-3 8 
-2 4 
-1 2 
0 1 
1 1/2 
2 1/4 
3 1/8 
 
 
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17 
c) log
4
x = 2 x = 42 x = 16 (x > 0) 
d) log
x
64 = 3 x3 = 64 x3 = 43 x = 4 (0 < x ≠ 1) 
e) log 3 (x
2 – 1) = 1 x2 – 1 = 31 x2 = 4 x = ± 2 
 
 
VI. FUNÇÃO LOGARITMO 
 
 Dado um número real a, tal que, 0 < a ≠≠≠≠ 1, chama-se função logarítmica de base a 
a função f: IR *+ IR definida por f(x) = log
a
x 
• Domínio = IR *+ 
• Contradomínio = Imagem = IR 
 
Gráfico: O gráfico da função logarítmica é uma curva logarítmica do tipo: 
 
 A) Crescente se a > 1 B) Decrescente se 0 < a < 1 
 y y 
 
 
 
 1 
 1 
 1 a x 
 
 a 1 x 
 
 
 NOTA: A função logarítmica é inversa da função exponencial. 
 
Exemplo 1. 
 
 Esboçar o gráfico da função definida em por IR *+ por f(x) = log
2
x 
 
 
 
 
 
 
 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. 
 Esboçar o gráfico da função definida em IR *+ por f(x) = log 2/1
x 
x y 
 
1/8 -3 
1/4 -2 
1/2 -1 
1 0 
2 1 
4 2 
8 3 
 
 
∙ 
∙ 
 4 y 
 
 3 
 
 2 
 
 1 
 
 0 
 
 -1 
 
 -2 
 
 -3 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
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18 
 tabela 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES: 
 
P1 : log a x1 = log a x2 x1 = x2 , se 0 < a ≠ 1 
P2 : log a x1 ≤ log a x2 0 < x1 ≤ x2 , se a > 1 
P3 : log a x1 ≤ log a x2 x1 ≥ x2 , se 0 < a < 1 
P4 : para a > 1, temos: 



≤<⇔≤
≥⇔≥
1 x 0 0 xlog
 1 x 0 xlog
 
a
a 
P5 : para 0 < a < 1 , temos: 



≥⇔≤
≤<⇔≥
 1 x 0 xlog
1 x 0 0 xlog
 
a
a 
 
 
 DERIVADAS (Resumo) 
 
1. TAXA DE VARIAÇÃO 
 
 Dada a função f(x) = 2x + 3, quando atribuímos valores para a variável x, obtemos 
valores correspondentes para a variável y ou f(x): 
 
 x y = 2x + 3 (x ; y) 
 
0 y = f(0) = 2 . 0 + 3 = 3 (0 ; 3) 
1 y = f(1) = 2 . 1 + 3 = 5 (1 ; 5) 
2 y = f(2) = 2 . 2 + 3 = 7 (2 ; 7) 
3 y = f(3) = 2 . 3 + 3 = 9 (3 ; 9) 
 
De acordo com os valores da tabela, notamos que, a medida que x varia de 0 até 3, 
a variável y varia de 3 até 9, ou seja: 
 x1 = 0 y1 = 3 
 x2 = 3 y2 = 9 
 
 ∆x = x2 – x1 = 3 ∆y = y2 – y1 = 6 
(a variação de x foi de 3 unidades) (a variação de y foi de 6 unidades) 
 
 A taxa de variação de uma função em relação a sua variável independente x, dada 
no caso por 
x
y
∆
∆
, representa o coeficiente angular da reta ou a sua inclinação, e que é 
sempre constante, quando a função dada é linear. Vejamos a tabela para y = 2x + 3: 
x y 
 
1/8 3 
1/4 2 
1/2 1 
1 0 
2 -1 
4 -2 
8 -3 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
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19 
 
x1 x2 ∆x = x2 – x1 y1 = f(x1) y2 = f(x2) ∆y = y2 – y1 
x
y
∆
∆
 
0 1 1 – 0 = 1 3 5 5 – 3 = 2 2 ÷÷÷÷1 = 2 
1 3 3 – 1 = 2 5 9 9 – 5 = 4 4 ÷÷÷÷2 = 2 
2 5 5 – 2 = 3 7 13 13 – 7 = 6 6 ÷÷÷÷3 = 2 
3 6 6 – 3 = 3 9 15 15 – 9 = 6 6 ÷÷÷÷3 = 2 
 
 Assim, a taxa de variação 
x
y
∆
∆
 = 2 , isto significa que o coeficiente angular da reta (m) 
é constante e igual a 2, ou seja, m = 2 na reta de equação y = mx + n. 
 
 Para uma função do 2º grau, a taxa de variação não será mais uma constante, por 
exemplo, seja a função f(x) 2x2 – 1 
 
x1 x2 ∆x = x2 – x1 y1 = f(x1) y2 = f(x2) ∆y = y2 – y1 
x
y
∆
∆
 
0 –1 –1 – 0 = –1 –1 1 1 – (–1) = 2 –2 
1 –2 –2 – 1 = –3 1 7 7 – 1 = 6 –2 
2 4 4 – 2 = 2 7 31 31 – 7 = 24 12 
3 5 5 – 3 = 2 17 49 49 – 17 = 32 16 
 
 
 
Veja a situação dos dois gráficos: y 
 y = x2 – 1 
 y y = 2x + 37 
 2=(∆y) 
 5 =(∆y) 
 1=(∆x) 
 2=(∆y) 
 3 = (∆x) 
 1=(∆x) 
 
 1 2 x x 
 
 
 Taxa de variação constante: Taxa de variação não constante: 
 
x
y
∆
∆
 = 
1
2
 = 
1
2
 = 2 
x
y
∆
∆
 = 
1
6
 ≠ 
1
2
 
 
 
2. NOÇÃO INTUITIVA DE DERIVADA 
 
 Seja a função y = f(x) contínua num intervalo [a ; b], com a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b. 
 Se ∆x = x2 – x1 e ∆y = y2 – y1 = f(x2) – f(x1) , então a taxa de variação é dada 
por: 
12
12
1 2
12
 x x
)f(x )f(x
 
 xx
 y- y
 
x
y
−
−
=
−
=
∆
∆
 (I) 
=(∆y) 
=(∆x) 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
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20 
x 
y 
 Como ∆x = x2 – x1 x2 = x1 + ∆x 
 
 Substituindo em (I) , teremos: 
x
)f(x x) f(x
 
 x x
)f(x )f(x
 
x
y 11
12
12
∆
−∆+
=
−
−
=
∆
∆
 
 y f(x) 
 
 reta secante 
 Q 
 y2 
 
 ∆y = y2 – y1 
 P 
 y1 
 
 ∆x = x2 – x1 
 
 x1 x2 = x1 + ∆x x 
 
 Sendo ∆x um acréscimo dado em x (positivo ou negativo) e ∆y um acréscimo dado 
em y (positivo ou negativo), a taxa de variação 
x
y
∆
∆
, que é um quociente de acréscimos, 
pode ser também positiva ou negativa, significando coeficiente angular ou inclinação 
positiva ou negativa . Essa taxa de variação 
x
y
∆
∆
 também é chamada de razão 
incremental ou taxa média de variação. Na figura acima, a taxa de variação 
x
y
∆
∆
 
representa o coeficiente angular da reta secante à curva determinada pelos pontos 
P(x1 ; y1) e Q(x2 ; y2). Quando o ponto Q tende a P, isto é, o ponto Q desloca-se sobre a 
curva até coincidir com o ponto P, a reta secante se aproxima da reta tangente à curva. 
Isto faz com que ∆x 0 (lê-se: delta x tende a zero). 
 
 reta 
 
 
 
 
 
 reta 
 
 
 
 
 
 
 
Como vimos no gráfico, à medida que x2 x1 (x2 tende a x1), ∆x vai tendendo a zero, 
conseqüentemente , a reta secante vai se aproximando da reta tangente. 
 Usando a teoria dos limites, podemos escrever: 
 
 
12
12
ox x x
)f(x )f(x
 lim
−
−
→∆
 = 
x
)f(x )x f(x
 lim 11
ox ∆
−∆+
→∆
 = 
x
y
 lim
ox ∆
∆
→∆
 que é o coeficiente 
angular da reta secante quando Q P, ou seja, Q tende a coincidir com P. 
a 
b 
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21 
 
 A esse limite, 
x
y
 lim
ox ∆
∆
→∆
 , que é o limite de uma taxa instantânea de variação ou 
simplesmente, taxa de variação quando ∆x → 0, chamamos de derivada da função 
f(x) no ponto x1∈D(f) e indicamos por f’(x1), quando o limite existe e é finito. 
 
 Portanto: f’(x1) = 
x
)f(x )x f(x
 lim 11
ox ∆
−∆+
→∆
 = 
x
y
 lim
ox ∆
∆
→∆
 
 
 NOTA: Se um ponto P(x0 ; y0) pertence a uma função y = f(x), então o coeficiente 
angular da reta tangente à curva dada pela função será: 
 
 m = f’(x0) = 
x
y
 lim
ox ∆
∆
→∆
 = 
x
)f(x )x f(x
 lim 00
ox ∆
−∆+
→∆
 
 
 
 A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por y’ ou f’(x), tal que, seu 
valor em qualquer x do domínio de f é dado por: 
 
 y’ = f’(x) = 
x
)f(x )x f(x 
 lim
ox ∆
−∆+
→∆
 , se o limite existir. 
 
 NOTA: Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada para todos 
os pontos do seu domínio. 
 
 OBSERVAÇÃO: A derivada de uma função pode ser denotada por: 
 
 y’ ou f’(x) ou 
dx
dy
 ou 
dx
df
 ou Dx(y) ou Df(x) 
 
Exemplos: 
 
 1) Calcular a derivada da função f(x) = 3x2 
 f’(x) = 
x
)f(x )x f(x 
 lim
ox ∆
−∆+
→∆
 = 
x
x3 )x 3.(x 
 lim
22
ox ∆
−∆+
→∆
 
 
 f’(x) = 
x
3x )xx 2xx.(3
 lim
222
ox ∆
−∆+∆+
→∆
 = 
x
x3 x 3x 6x 3x
 lim
222
ox ∆
−∆+∆+
→∆
 
 
 f’(x) = 
x
x 3 xx6
 lim
2
ox ∆
∆+∆
→∆
 = 
x
x) 36x ( . x
 lim
ox ∆
∆+∆
→∆
 = x 36x lim
ox
∆+
→∆
 = 6x + 3.0 
 
 Portanto : f’(x) = 6x ou y’ = 6x 
 
 2) Calcular o coeficiente angular da reta tangente à curva f(x) = 3x2 no ponto P( 1 ; 3 ) 
 Solução: 
 Da questão (1) vimos que f’(x) = 6x e, sabendo que m = f’(x0) , onde xo é a 
 abscissa de um ponto pertencente à curva dada, concluímos que: 
 
 m = f’(xo) = f’(1) = 6 .1 m = 6 
 
 
 
0 
 xo yo 
notação de Leibniz 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 
22 
 y 
 
 reta tangente (y = mx + n) 
 
 3 P(1 ; 3) 
 
 
 x 
 
 
 3) Determine a equação da reta tangente à curva f(x) = 3 x2, no ponto P(1; 3) 
 
 Solução: 
 A equação da reta tangente pode ser obtida pela fórmula: 
 
 y – yo = m . ( x – xo ) 
 
 Das questões (1) e (2) , temos que: m = 6, xo = 1 e yo = 3 
 
 Portanto: y – 3 = 6 . (x – 1) y – 3 = 6x – 6 y = 6x – 3 que é a 
 
 equação da reta tangente representada no gráfico acima. 
 
A) A DERIVADA COMO VELOCIDADE 
 
 S(t) 
 
 S(t + ∆t) 
 ∆S ∆S = S(t+∆t) – S(t) é o 
 S(t) deslocamento 
 
 
 t 
 t (t + ∆t) 
 
 ∆t 
 
 Temos que: 
t
S(t) t) S(t 
 
t
S
∆∆∆∆
−−−−∆∆∆∆++++
====
∆∆∆∆
∆∆∆∆
 = vm 
 
Quando ∆t→0 , obtemos a velocidade instantânea, ou velocidade no instante t, 
que é o limite das velocidades médias, ou seja:v(t) = 
dt
dS
 
t
S(t) t) S(t 
 lim
0t
====
∆∆∆∆
−−−−∆∆∆∆++++
→→→→∆∆∆∆
 ou v(t) = (t)S' 
dt
dS
==== 
 
 Esse valor é o que se vê no velocímetro de um auto. 
 
 
 
B) ACELERAÇÃO – De modo análogo à velocidade, temos: 
 A aceleração média no instante t é dada por: 
1 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 
23 
 
 am = 
t
 v(t) t) t(v
∆∆∆∆
−−−−∆∆∆∆++++
 
 
Quando ∆t→0 , obtemos a aceleração instantânea, ou aceleração no instante t, 
que é o limite das acelerações médias, ou seja: 
 
 a(t) = 
dt
dv
 
t
v(t) t) v(t 
 lim
0t
====
∆∆∆∆
−−−−∆∆∆∆++++
→→→→∆∆∆∆
 ou a(t) = (t)v' 
dt
dv
==== 
 
EXEMPLO 1: 
 No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua 
posição no instante t é dada por S(t) = 16t – t2 . 
Determinar: 
a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2 ; 4]; 
b) a velocidade do corpo no instante t = 2; 
c) a aceleração média no intervalo [0 ; 4]; 
d) a aceleração no instante t = 4 
Resolução: 
a) Vm = 
t
S
∆
∆
 = vel. unid. 10 
2
2848
2
)22.16()44.16(
24
)2(S)4(S 22
====
−−−−
====
−−−−−−−−−−−−
====
−−−−
−−−−
 
b) V(t) = S’(t) = 16 – 2t 
no instante t = 2, temos: v(2) = 16 – 2 . 2 = 12 unid. vel. 
c) am = 
t
V
∆
∆
 = acel. unid. 2 
4
8
4
168
4
)0.216()4.216(
04
)0(v)4(v
−−−−====
−−−−
====
−−−−
====
−−−−−−−−−−−−
====
−−−−
−−−−
 
d) a(t) = V’(t) = S’’(t) = −2 
no instante t = 4, temos: a(4) = −2 unid. acel. 
 
2. Calcular a taxa de variação da função f(x) = x2 + 3x – 1, quando 
 x varia de 1 para 3. 
 
x
y
∆∆∆∆
∆∆∆∆
 = 7 
2
14
2
317
2
)11.31()13.33(
13
)1(f)3(f 22
========
−−−−
====
−−−−++++−−−−−−−−++++
====
−−−−
−−−−
 
 
3. Dada a função y = x2 + x + 1, determinar a taxa de variação da 
 função quando x aumenta de 0 para 1. 
 
x
y
∆∆∆∆
∆∆∆∆
 = 2 
1
2
1
13
1
)100()111(
01
)0(f)1(f 22
========
−−−−
====
++++++++−−−−++++++++
====
−−−−
−−−−
 
 
4. Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores 
 de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela 
 moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do 
 primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por: 
 
 3
t 
 64t )(
3
−=tf . 
a) qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4 ?; 
b) qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8 ?; 
c) quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia ? 
Resolução: 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 
24 
Para um tempo t qualquer, a taxa é dada por f’(t) = 64 – t2 
a) no tempo t = 4 , temos: f’(4) = 64 – 42 = 64 – 16 = 48 pessoas / dia; 
b) no tempo t = 8 , temos: f’(8) = 64 – 82 = 64 – 64 = 0 a epidemia está 
 totalmente controlada. 
c) Como o tempo foi contado em dias a partir do 1º dia de epidemia, o 5º dia 
 corresponde à variação de t do 4º para o 5º dia. 
 O número de pessoas atingidas pela moléstia durante o 5º dia foi: 
 f(5)–f(4) =
3
64
 256 
3
125
 320 
3
4 
 4 . 64 
3
5 
5 64
33
+−−=







−−







−. ≅ 43 pessoas 
OBSERVAÇÃO: 
* A taxa de variação da função horária é chamada de velocidade escalar V
dt
dS
= ; 
* A taxa de variação da velocidade é chamada de aceleração escalar a
dt
dv
= . 
 
Para facilitar o cálculo das derivadas das funções, evitando o uso da definição, podemos 
usar as regras de derivação a seguir: 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO: 
 (derivadas de algumas funções elementares) 
Função Derivada 
y = k y’ = 0 K = constante real; 
y = x y’ = 1 u e v são funções de x; 
y = k . x y’ = k n é um número natural. 
y = x n y’ = n . x n – 1 
y = k . x n y’ = k . n . x n − 1 
y = k . u y’ = k . u’ 
y = u n y’ = n . u n – 1 . u’ 
y = u ± v y’ = u’ ± v’ 
y = u . v y’ = u’.v + v’. u 
y = 
v
u
 y’ = 
2v
u . v' v '.u −
 
 
y = eu y’ = eu . u’ 
y = ln u y’ = 
u
'u
 
 Obtidas a partir da 
 Regra da Cadeia 
y = au y’ = au . ln a . u’ 
y = log
a
u y’ = 
u
'u
. log
a
e ou y’ = 
a ln . u
'u
 
 
y = sen u y’ = u’ . cos u 
y = cos u y’ = − u’ . sen u 
y = tg u y’ = u’ . sec2 u 
y = cotg u y’ = − u’ . cossec2 u 
 
Exemplos: 
 
 I) Calcular pela regra de derivação a derivada das seguintes funções: 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 
25 
 
1) f(x) = 5 f’(x) = D(k) = 0 
 
2) f(x) = 3 . x f’(x) = D(k . x) = k f’(x) = 3 
 
3) f(x) = x3 f’(x) = D(xn) = n . x n – 1 , n = 3 
 
 f’(x) = 3 . x 3 – 1 f’(x) = 3 x2 
 
4) f(x) = 3x + 2 f’(x) = D(u + v) = u’ + v’ = 3 + 0 = 3 
 
5) f(x) = (2x + 3)3 f’(x) = D(un) = n . un – 1 . u’ 
 n = 3 
 u = 2x + 3 u’ = 2 + 0 = 2 
 
 f’(x) = 3 . (2x + 3)3 – 1 . 2 f’(x) = 6 . (2x + 3)2 
 
6) y = x3 – 12x + 5 y’ = 3x2 – 12 
 
7) y = x3x2 − y = (x2 – 3x) 2
1
 y’ = D(un) = n . un−1 . u’ 
 n = 1/2 
 u = x2 – 3x u’ = 2x – 3 
 y’ = 
2
1
. (x2 – 3x)
1 
2
1
−
. (2x – 3) y’ = 
2
1
. (x2 – 3x) 2
 1−
. (2x – 3) 
 
8) y = (2 + 3x).(5 – 2x) y’ = D(u . v) = u’.v + v’. u 
 u = 2 + 3x u’ = 3 
 v = 5 – 2x v’ = −2 
 
 y’ = 3 . (5 – 2x) + (−2) . (2 + 3x) = 15 – 6x – 4 – 6x y’ = 11 – 12x 
 
9) y = 
1x3
4x2
−
+
 y’ = D 





v
u
 = 
2v
u . v' v '.u −
 
 u = 2x + 4 u’ = 2 
 v = 3x – 1 v’ = 3 
 
 y’ = 
2)1x3(
4) (2x . 3 1) (3x . 2
−
+−−
 = 
2)1x3(
12x62x6
−
−−−
 y’ = 
2)1x3(
14
−
−
 
 
10) f(x) = ln (x3 – 2) f’(x) = D(ln u) = 
u
'u
 
 u = x3 – 2 u’ = 3x2 y’ = 
2x
x3
3
2
−
 
11) f(x) = e5x –2 f’(x) = D(eu) = eu . u’ 
 u = 5x – 2 u’ = 5 y’ = 5. e5x – 2 
 
12) y = 2 x3x
2 − y’ = D(au) = au . ln a . u’ a = 2 , u = x2 – 3x u’ = 2x – 3 
 y’ = 2 x3x
2 − . ln 2 . (2x – 3) 
13) y = log (2x + 3) y’ = D(log u) = 
a ln . u
'u
 
 u = 2x + 3 u’ = 2 y’ = 
10 ln . )3x2(
2
+
 
14) y = sen 5x y’ = D(sen u) = u’ . cos u 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 
26 
 u = 5x u’ = 5 y’ = 5 . cos 5x 
 
15) y = cos (2x + 3) y’ = D(cos u) = − u’ . sen u 
 u = 2x + 3 u’ = 2 y’ = − 2 . sen (2x + 3) 
 
16) y = tg (x2 – 4x) y’ = D(tg u) = u’ . sec2 u 
 u = x2 – 4x u’= 2x – 4 y’ = (2x – 4) . sec2 (x2 – 4x) 
 
 II) Dada a função f(x) = x2 + 2x –1 , determine: 
 
1) a variação de y quando x aumenta de 1 para 3 
 
 para x1 = 1 , temos: y1 = 1
2 + 2 . 1 – 1 = 1 + 2 – 1 y1 = 2 
 
 para x2 = 3 , temos: y2 = 3
2 + 2 . 3 – 1 = 9 + 6 – 1 y2 = 14 
 
 Temos: quando x varia de 1 para 3, y varia de 2 para 14 
 
2) a taxa de variação 
x
y
 
∆
∆
 
 6 
2
12
 
 1 
2 14
 
 x x
 y y
 
x
y
 
12
12 ==
−
−
=
−
−
=
∆
∆
3
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Calcular a primeira derivada das seguintes funções: 
 
a) f(x) = – 10 b) f(x) = 4x c) y = 5x2 + 6x - 2 
d) f(x) = x e) y = (x
2 – 3x).(x + 1) 
f) y = 
3x
2x
+
−
 
g) y = x 3
1
 
h) y = 
2x
1
+
 i) y = 
3 3x + 
j) f(x) = (2x + 3)5 k) y = 4x2 + 2x l) y = x + 4 
m) y = 9x3 + 5 x 4
1
−
 
n) y = (7 – x)(7 + x) 
o) y = 
x
3x2 −
 
p) y = 4x3 + 5x2 +10x – 3 q) y = (2x + 2)2 + (x –1)2 r) y = (2x + 4)0,5 
s) y =
4x
x2
+
 
t) y = 3x . )3x( 5 ++ 
u) y = 
3
1
x
x21





 +
 
v) y = 4x23 + x) f(x) = log
3
(x2 +5) z) y = ln (x3 – 3x) 
 
2) Se λ é a curva de equação y = x3 – 12x, determine a equação da reta tangente à 
 curva, no ponto de abscissa 4, ou seja, xo = 4. 
 
3) Determine a taxa de variação da função f(x) = x2 + 1 quando x varia de 1 para 3. 
 
4) O lucro semanal de uma fábrica em função do preço de venda, é dado pela lei 
denominada função lucro por: L(p) = 20.(10 – p).(p – 2) . Determinar a taxa de variação 
do lucro se o preço p variar de R$ 2,00 para R$ 6,00. 
 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 
27 
 REGRA DA CADEIA (Derivada da função composta) 
 
 Seja y = g(u), u = f(x) e se as derivadas 
dx
du
 e 
du
dy
 existem, então a 
função composta y = g[f(x)] tem derivada que é dada por: 
 
du
dy
 
dx
dy
= . 
dx
du
 ou y’(x) = g’(u) . f '(x) 
 
Exemplo: Determine as derivadas 
dx
dy
 : 
a) y = (x2 + 3x + 4)5. A função equivale a y = u5 , então: 
 
du
dy
 = 5.u4 ; sendo u = x2 + 3x + 4, temos 
dx
du
 = 2x + 3 . Logo: 
 
du
dy
 
dx
dy
= . 
dx
du
 = 5. u4 . (2x + 3) = 5.(x2 + 3x + 4)4.(2x + 3) 
 
 Obs.: Note que: se y = un, então y’ = n.un−−−−1.u’ 
 
b) y = (2x +1)100 y = un 
 u = 2x + 1 
dx
du
 = 2 e 
du
dy
 = 100.u99 
 ∴∴∴∴ 
du
dy
 
dx
dy
= . 
dx
du
 = 100.u99.2 = 200.(2x + 1)99 
 
c) y = ln(x2 + 1) y = ln u 
 u = x2 + 1 
dx
du
 = 2x e 
du
dy
 = 
u
1
 
 ∴∴∴∴ 
du
dy
 
dx
dy
= . 
dx
du
 = 
u
1
 . 2x = 
1x
x2
2 +
 
dx
dy
 = y’ = 
1x
x2
2 +
 
 
d) y = 5 . 3x2 + y = 5 . (x2 + 3)1/2 y = a.un 
 y’ = 
dx
dy
 = a.n.un−1.u’ 
 a = 5 , n = ½ 
 u = x2 + 3 u’ = 
dx
du
 = 2x 
 
dx
dy
 = y’ = 5 . 
2
1
 . (x2 + 3)
1
2
1−
. 2x = 5x . (x2 + 3) 2
1−
 = 
2
1
2 )3x(
x5
+
 ou 
 
dx
dy
 = y’ = 
3x
x5
2 +
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 
28 
DERIVADA IMPLÍCITA 
 
 Seja F(x; y) = 0 uma equação nas variáveis x e y. Se existir uma função 
f, tal que para todo x pertencente ao seu domínio [∀x∈D(f)] se tenha F(x; y) = 
0, dizemos que f é dada implicitamente por essa equação. 
 
Exemplos: 
a) A equação 01y
2
1
x2 =−+ define implicitamente a função y = 2.(1- x2) 
 Verificação: substituindo y = 2.(1 – x2) na equação dada, temos: 
 
2
1
x2 + . 2 . (1 – x2) – 1 = 0 x2 + 1 – x2 – 1 = 0 0 = 0 (V) 
 
b) A equação x2 + y2 = 4 (que é a equação de uma circunferência de centro 
na origem e raio igual a 2) define, implicitamente, as funções: 
x2 + y2 = 4 y2 = 4 –x2 y = ± 2x4 − 
 
 y = 2x4 − 
 ou funções na forma implícita 
 y = − 2x4 − 
 
 
 
 
A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA IMPLÍCITA 
 
 Suponhamos que F(x; y) = 0 defina implicitamente uma função derivável 
y = f(x). Podemos determinar y’, sem explicitar y (sem precisar isolar y), 
usando a regra da cadeia. 
 
Exemplos: 1) Determinar as derivadas implicitamente: 
a) x2 + y2 = 4 
 derivando ambos os membros em relação a x, temos: 
 
dx
d )yx( 22 +
 = 
dx
)4(d
 ou (x2 + y2)’ = (4)’ 
 0
dx
dy
dx
dx 22
=+ ou (x2)’ + (y2)’ = 0 
 2x + 2y . 
dx
dy
 = 0 ou 2x + 2y . y’ = 0 
 isolando-se 
dx
dy
 ou y’ , temos: 
 2y . 
dx
dy
 = − 2x ou 2y . y’ = − 2x 
 
dx
dy
 = 
y
x
y2
x2
−=
−
 ou y’ = 
y
x
y2
x2
−=
−
 
 
b) x2 + 
2
1
y – 1 = 0 
 derivando membro a membro, temos: 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 
29 
 
'
2 1y
2
1
x 





−+ = 0’ (x2)’ + 
'
y
2
1






- (1)’ = 0 2x + 





'y
2
1
 - 0 = 0 
 y
2
1
’ = − 2x y’ = −−−− 4x 
 
c) x2 + 5y3 – x = 5 
 temos: (x2 + 5y3 – x )’ = 5’ 2x + 15y2.y’ – 1 = 0 
 15y2 . y’ = 1 – 2x y’ = 
2y15
x21 −
 
 
d) x . y – ln y = 2 
 temos: (x . y – ln y)’ = 2’ 1 . y + y’ . x - 
y
1
. y’ = 0 
 y’ . 





− x
y
1
 = y y’ . 




 −
y
xy1
 = y y’ = 
xy1
y2
−
 
 
e) x2.y + 3x.y3 – 3 = x 
 temos: (x2.y + 3x.y3 – 3)’ = x’ (x2.y)’ + 3(x.y3)’ – 3’ = 1 
 2x.y + x2.y’ + 3.(1.y3 + 3x2.y’) – 0 = 1 
 2xy + x2y’ + 3y3 + 9x2.y’ = 1 y’.(x2 + 9xy2) = 1 – 2xy – 3y3 
 y’ = 
22
3
xy9x
y3xy21
+
−−
 
2) Determinar a equação da reta tangente à curva x2 + 
2
1
y – 1 = 0 no 
 ponto (−1 ; 0). 
 
 Solução: 
 I) Derivando implicitamente em relação a x, temos: 
 2x + 
2
1
 y’ = 0 
2
1
 y’ = −2x y’ = − 4x ou f’(x) = − 4x 
 II) No ponto de abscissa xo = −1 determinamos o coeficiente angular da 
 reta: m = f’(xo) = f’(−1) = −4.(−1) m = 4 
 III) Equação da reta: y – yo = m.(x – xo) y – 0 = 4 . [x – (-1)] 
 y = 4 . (x + 1) y = 4x + 4 
 
EXERCÍCIOS DO LIVRO: UM CURSO DE CÁLCULO – HAMILTON 
LUIZ GUIDORIZZI, indicados no cronograma do programa. 
 
Página 148: 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 
30 
 Exercícios 7.3 
 
 2. Calcule g’(x) sendo g dada por: 
 a) g(x) = x6 b) g(x) = x100 c) g(x) = 
x
1
 d) g(x) = x2 
 e) g(x) = 
3
1
x
 f) g(x) = 
7
1
x
 g) g(x) = x h) g(x) = x−3 
 
Página 159: 
 Exercícios 7.7 
 
 1. Calcule f ’(x). 
 a) f(x) = 3x2 + 5x b) f(x) = x3 + x2 + 1 c) f(x) = 3x3 – 2x2 + 4 
 
 d) f(x) = 3x + x e) f(x) = 5 + 3x−2 f) f(x) = 2 3 x 
 g) f(x) = 3x + 
x
1
 h) f(x) = 
x
4
 + 
2
5
x
 i) f(x) = 
3
2
 x3 + 
4
1
 x2 
 j) f(x) = 3 x + x l) f(x) = 2x + 
x
1
 + 
2
1
x
 m) f(x) = 6x3 + 3 x 
 n) f(x) = 5x4 + bx3 + cx2 + k, onde a, b, c e k são constantes. 
 
 7. Calcule F’(x) onde F(x) é igual a: 
 a) 
12 +x
x
 b) 
1
12
+
−
x
x
 c) 
35
33 2
−
+
x
x
 d) 
1+x
x
 
Página 160: Exercícios 7.7 
 
 9. Calcule f ’(x) onde f(x) é igual a: 
 a) 3x2 + 5cos x b)1
cos
2 +x
x
 c) x . sen x d) x2. tgx 
 
 12. Calcule f ’(x). 
 a) f(x) = x2. ex b) f(x) = 3x + 5 ln x c) f(x) = ex . cos x 
 
 e) f(x) = x2. ln x + 2ex i) f(x) = 
x
xln
 
 
Página 179: Exercícios 7.11 
 
 1.Determine a derivada. 
 a) y = sen 4x b) y = cos 5x c) f(x) = e3x d) f(x) = cos 8x 
 
 e) y = sen t3 f) g(t) = ln (2t + 1) g) y = esen t h) f(x) = cos ex 
 
 i) y = (sen x + cos x)3 j) y = 13 +x 
 
Página 180: Exercícios 7.11 (regra da cadeia - funções compostas) 
 
 4.Derive. 
 a) y = x e3x b) y = ex cos 2x c) y = e−x sen x 
 
 d) y = e−2t sen 3t e) f(x) = e
2x− + ln (2x + 1) g) y = 
xsen
x
2 
5 cos
 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 
31 
NOÇÕES DE INTEGRAÇÃO 
I) INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 A integral é a operação inversa da derivada, ou seja, conhecida a derivada de uma 
função, a integração ou antiderivação desta gera a função que originou a derivada. 
 Exemplo: a derivada da função f(x) = x3 + C é a função f’(x) = 3x2 , então a integral 
ou integração da função f’(x) = 3x2 é a função f(x) = x3 + C , onde C = constante real. 
 Simbolicamente podemos escrever: 
 23x 
dx
dy
= , cuja diferencial é representada por dy = 3x2 . dx 
 ∫ ∫= dx .3x dy 2 y = x3 + C ou f(x) = x3 + C 
 
 ∫ símbolo da operação integração (lê-se: integral) 
 
Definições: 
 
 I. Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo dado, 
 se para todo valor de x pertencente ao intervalo dado, tem-se F’(x) = f(x); 
 
 II. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C, onde C é uma constante é 
 chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por: 
 
 ∫ )x(f dx = F(x) + C (notação de Leibniz) 
 III. Da definição de integral indefinida, decorre que: 
 
 ∫ )x(f dx = F(x) + C F’(x) = f(x) 
 
 f(x) é a função integrando; 
 F(x) é uma integral; 
 F(x) + C é a integral indefinida; 
 C é uma constante de integração 
 
 Obs.: O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado 
 Integração. 
 
PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA 
 
I. ∫ )x(f. k dx = k ∫ )x(f dx , k = constante real 
II. ∫ ± .dx g(x)] )x(f[ = ∫ )x(f dx ± ∫ )x(g dx 
III. [ ]∫ dx . )x(f dx
d
 = f(x) , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria 
 função. 
 
 
REGRAS DE INTEGRAÇÃO: 
 Considerando: C ∈ IR, K ∈ IR, u = f(x) , v = g(x) e n ≠ −1, temos as seguintes 
integrais (elementares) imediatas: 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
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32 
 
 1. ∫dx = x + C 2. ∫ dx k = k ∫dx = k . x + C 
 3. ∫ dx xn = 1 n
x 1 n
+
+
 + C 4. ∫ − dx x 1 = ∫ dx x
1
 = ln |x| + C 
 5. ∫ dx ax = a ln
ax
 + C , 0 < a ≠ 1 6. ∫ dx ex = xe + C 
 7. ∫ ∫ ∫±=± dv du dv) du( 
 
Exemplo 1: 
 
 Calcular as integrais indefinidas: 
 
a) ∫ dx 5 = 5 ∫ dx = 5 x + C , C∈IR 
b) ∫∫ +−=++−=−=−
+
C 
 2 
x 
 C 
1 1
 x
 dx x dx x
21 1
, C∈IR 
c) dx 5 dx x 3 dx 5 dx 3x dx 5) x3(∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =+=+=+ 
 C 5x x
2
3
 C x 5 
1 1
 x
 . 3 2
1 1
++=++
+
=
+
 
 
d) ∫ ∫ ∫∫ =−+=−+ dx x 2 dx x dx x dx 2x) x x( 3232 
 = C 
1 1
 x
 2 
1 3
 x
 
12
x 1 11 31 2
+
+
−
+
+
+
+++
 = 
 = C x 
4
 x
 
3
x 2
43
+−+ , C∈IR 
e) ∫ ∫ ∫ ∫ +−=−=−=−+ C x 3
x
 dx dx x dx 1) (x dx 1) (x . 1) x(
3
22 , C∈IR 
f) ∫ ∫ ∫ ∫∫ =++=++=+ dx 9 dx x 6 dx x dx 9) x6 (x dx 3) x( 242422 
 = C 9x x2 
5
 x
 C 9x 
3
 x
 6 
5
x 3
535
+++=+++ , C∈IR 
g) C 
x
 1 
 C 
1
x
 C 
1 2
 x
 dx x dx 
x 
1 11 22
2
+−=+
−
=+
+−
==
−+−
−∫∫ , C∈IR 
h) C |x| ln dx 
x
1
 dx x 1 +== ∫∫ − , C∈IR 
i) C x 
3
2
 C x
3
2
 C 
 x
 C 
1 
 x
 dx x dx x 32
3
2
3
2
3
2
1
1 
2
1
2
1
+=+=+=+
+
==
+
∫ ∫ , C∈IR 
j) ∫ ∫∫ ++=+=+ C 2 ln
2 
 e 2 dx 2 dx e 2 dx )2 e 2(
x
xxxxx , C∈IR 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 Calcular as integrais indefinidas: 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 
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33 
 
 a) ∫ dx x b) ∫ dx x5 c) ∫ dx x6 2 
 d) ∫ dx x 2/1 e) ∫ dx x . 3
4 3 f) ∫ − dx x 3/1 
 g) ∫ − dt t 2 h) ∫ dx x . 2 3 2 i) ∫ dt . t3 
 j) ∫ + dx )3x2( k) ∫ + dx . x1 l) ∫ dx x3 2 
 m) ∫ ++ dx . 4)3xx1,0( 2 n) ∫ − dx . 9) x( 2 o) ∫ +− dx 5). 4x x3( 2 
 p) ∫ − dx . 1) (x x2 q) ∫ + dt . 3)(2t 2 r) ∫ −+ dx ).1x2).(3x( 
 s) ∫ 3t
dt
 t) ∫ +1x
dx
 u) ∫ + dx . 3x
1
 
 
Respostas: 
 
a) C x. 
2
1 2 + b) C x. 
2
5 2 + c) C 2x 3 + 
d) C x. 
3
2 2
3
+ e) C x 3
4
+ f) C x. 
2
3 2/3 + 
g) C 
t
 1 
+− h) C x. 
5
6 3
5
+ i) C t . 3 . 
3
2 3/2 + 
j) C 3x x 2 ++ k) C x) .(1 
3
2 3/2 ++ l) C x3 + 
m) C 4x x.
2
3
 x. 
30
1 23 +++ n) C 9x x. 
3
1 3 +− o) C 5x 2x x 23 ++− 
p) C x. 
3
1
 x. 
4
1 34 +− q) C 9t 6t t . 
3
4 23 +++ r) C 3x x. 
2
5
 x. 
3
2 23 +−+ 
s) C 
t2
1
 
2
+− t) C 1)2(x 1/2 ++ u) Ln |x + 3| + C 
 
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA INTEGRAÇÃO 
 
 Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F’(x) = f(x). Se g(x) é uma função derivável 
tal que Im(g) ⊂ D(F), podemos considerar a função composta F[g(x)]. 
 Pela regra da cadeia, temos: 
 
 F[g(x)]’ = F’[g(x)] . g’(x) = f[g(x)] . g’(x), isto é, F[g(x)] é uma primitiva de f[g(x)].g’(x). 
Então, podemos escrever: 
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34 
 ∫ ] )( [ xgf . g’(x) dx = F[g(x)] + C 
 Fazendo u = g(x), du = g’(x) dx, temos: 
 ∫ ] )( [ xgf . g’(x) dx = ∫ du