Conceitos de Testes de Hipóteses, Testes de Hipóteses (média, p-value)

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ES T A T ÍS T IC A
AP L IC A D A
Conceitos de Testes de Hipóteses
Teste de hipótese para a média
Teste de hipótese para a média usando 
valores de p
Exercícios
Ideia do teste de hipóteses
• Em um julgamento, até que se prove o contrário, a hipótese é de que
o réu é inocente (Ho).
• Ao final, o júri o proclama inocente ou culpado de acordo com as
evidências apresentadas pelas partes (defesa e acusação).
Os possíveis erros associados ao
julgamento são:
• Tipo I: Condenar um inocente
• Tipo II: Libertar um culpado
Pela natureza da repercussão do 
erro, devemos nos preocupar com o 
erro de culpar um inocente.
Teste de hipóteses
• Para que serve?
Tomada de decisão
• Exemplo: O controle de qualidade de uma linha de produção precisa
verificar se o processo está sob controle analisando se houve aumento no
diâmetro das peças produzidas, que deve ser de 12,0 cm, em média. Para
isso, mediu o diâmetro de 25 peças e obteve um diâmetro médio de 12,5
cm. Sabendo-se pelas especificações do fabricante que o diâmetro das
peças apresenta variabilidade de 1,0 cm e que o diâmetro das peças possui
distribuição aproximadamente normal, qual seria a conclusão do controle de
qualidade?
Como saber se o valor de 12,5 cm (média da amostra)
representa uma flutuação aleatória ou se esse
aumento no diâmetro médio é real (significativo)?
Princípio do Teste de hipóteses
• “Ao ser feita determinada afirmação sobre uma população, mais
especificamente sobre um parâmetro dessa população, é natural
desejar saber se os resultados experimentais provenientes de uma
amostra contrariam, ou não, tal afirmação.”
População
(parâmetros)
Amostra
(estimadores)
• Um teste de hipótese é um processo que usa estatísticas amostrais para
testar uma afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional.
Teste de hipóteses
• Exemplo: As máquinas que enchem as latas de uma marca de bebida são
configuradas para preencher todas as latas com volume médio de 350 ml,
mas o processo apresenta variabilidade de 7 ml.
O diretor da fábrica desconfia que está ocorrendo desperdício de líquido.
Para averiguação, foi coletada uma amostra de 36 latas durante o processo
de enchimento e mediu-se o conteúdo X (em ml) delas, obtendo-se um valor
médio igual a 351,5 ml.
Verifique se a suspeita do diretor se confirma, usando o nível de 95% de
confiança.
Teste de hipóteses
• 1º passo: Como formular as hipóteses?
a) As hipóteses sempre se referem aos parâmetros (, , 2, p) da
população em estudo;
b) A hipótese inicial (H0) sempre envolve uma igualdade (=, ≥ ou ≤);
c) A hipótese alternativa (H1) sempre complementa a inicial (≠, < ou
>);
d) Para efeito de cálculo, a formulação feita inicialmente (H0) é a
hipótese aceita como verdadeira até prova em contrário, sendo
o ponto de partida para a análise.
H0:   350 (não há desperdício)
H1:  > 350 (há desperdício)
Teste de hipóteses
• 2º passo: Escolher e calcular a estatística do teste para 𝜇
𝑡 =
ത𝑋−𝜇
𝑠
𝑛
𝑧 =
ത𝑋−𝜇
𝜎
𝑛
CASO 2: variância 𝜎2 DESconhecida
Se não tivermos a variância
populacional 𝜎2, então temos que usar
a variância 𝑠2 da amostra (ou o desvio
padrão s):
Distribuição t – Student com (n-1) graus de liberdade
CASO 1: variância 𝜎2 conhecida
Se a população X de interesse possui
média 𝜇 e variância 𝜎2, já vimos que:
Distribuição normal
ത𝑋~𝑁 𝜇,
𝜎2
𝑛
Teste de hipóteses
• 3º passo: Obter o valor crítico, de acordo com o nível de
significância do teste;
• 4º passo: Verificar se o valor observado na amostra está
dentro ou fora da região crítica e concluir:
• Caso a estatística observada na amostra esteja dentro da
zona de rejeição, a hipótese nula é rejeitada (assim, a
variação observada na amostra é significativa).
• Caso o ponto observado na amostra esteja fora da zona de
rejeição, a hipótese nula não é rejeitada (assim, a variação
observada na amostra é fruto do acaso).
Teste de hipóteses
• Até aqui, temos:
H0:   350 (não há desperdício)
H1:  > 350 (há desperdício)
H0:  = 350
H1:  > 350 
Formulação equivalente, 
mais simples
()
Informações da amostra:
X = conteúdo de líquido (mL)
n = 36 e തx =351,5 mL
Informações da população:
σ = 7 mL (d.p. do processo),
além das hipóteses
Nível de confiança (1-α) = 95%
Então α = 5% (significância)
Com 95% de confiança, o resultado da amostra 
está dentro ou fora da região de rejeição?
Região de não
rejeição de Ho
Região de 
rejeição de Ho
0 = 350 X
 %
críticox
_
_
(1 - α) %
confiança
H0 H1
Teste de hipóteses
• Então…
H0:  = 350
H1:  > 350 
()
Conclusão: Não rejeitamos H0, isto é, NÃO existem evidências
estatísticas de que há desperdício de líquido ao nível de significância de
5% (equivalente a 95% de confiança). Assim sendo, o “desperdício”
observado na amostra representa uma flutuação aleatória.
zobs = 1,286xobs = 351,5 ???
_
36
7
3505,351 −
=
−
= obsz
n
X
Z


CASO 1
X_
críticox
Região de rejeição de Ho
0 = 350
5%
_
95%
H0
0 Z
5%
Rejeição de Ho
Zcritico = 1,645 
95%
H0


Teste de hipóteses
• Tipos de testes e suas regiões críticas
/2/2
Região crítica: Rejeita-se H0 para valores 
“pequenos” ou “grandes”
Região crítica: Rejeita-se H0 para valores “grandes”
Região crítica: Rejeita-se H0 para valores “pequenos”
H0:  < o
H1:  > o
Teste unilateral
à direita
Teste unilateral
à esquerda
H0:  > o
H1:  < o
Teste bilateral
H0:  = o
H1:  ≠ o
H0
H0
H0
H1
H1
H1H1
Teste de hipóteses
• Outra abordagem para concluir o teste:
valor p (ou p-value): 
probabilidade de significância 
É a probabilidade de errar ao rejeitar 
H0 com a amostra observada
ou
É o menor nível de significância com 
o qual se rejeitaria H0
5 %
0 zcrit:1,645
zobs = 1,286
H0
Zobs=1,286
0
9,92%
5 %
0 zcrit:1,645
H0
• se valor p < α, rejeitamos H0
• se valor p > α, NÃO rejeitamos H0
Um valor p pequeno significa que a
probabilidade de obter um valor da estatística
de teste como o observado é muito
improvável.
Teste de hipóteses
• Erros tipo I e tipo II:
• Se 𝛼 for o nível de significância escolhido para o teste, então a
probabilidade de um erro tipo I nunca é maior do que 𝛼.
• Erro tipo I: rejeitar a hipótese H0 quando a mesma for
verdadeira.
• Erro tipo II: falhar na rejeição à hipótese H0 quando a mesma for
falsa.
Exercícios
1) Uma linha de produção opera com um peso médio de enchimento de 16
ml por recipiente. O sobreenchimento e o subenchimento são
problemas sérios e a linha de produção pode ser paralisada se qualquer
um dos dois ocorrer. De dados passados, sabe-se que o desvio padrão
é 0,8 ml. Um inspetor de controle de qualidade amostra 30 itens a cada
2 horas e nesses momento toma a decisão de paralisar a linha de
produção para calibragem o não. Se a média amostral obtida for 15,82
ml, que atitude você recomendaria para um 𝛼 = 0,05?
zobs = -1,23; zcrítico = -1,96; Conclusão: não rejeitamos H0 (ou seja, µ =16).
Exercícios
2) Em corridas de carros, o pit stop é aonde um veículo vai para trocar
pneus, abastecer, efetuar reparos e outros ajustes mecânicos. A
eficiência de uma equipe que realiza esses ajustes pode afetar o
resultado de uma corrida. Uma equipe afirma que seu tempo médio no
pit stop (para 4 trocas de pneus e abastecimento) é menor que 13
segundos. Uma amostra aleatória de 32 tempos de pit stop tem uma
média amostral de 12,9 segundos. Suponha que o desvio padrão
populacional é de 0,19 segundos. Há evidência suficiente para
concordar com a afirmação para 𝛼 = 0,01? Use um valor p.
zobs = -2,98; valor p = 0,0014; Conclusão: rejeitamos H0 (ou seja, µ <13).
Exercícios
3) Em uma linha de produção de um tipo de fitas metálicas, a largura
média é de 50,0 mm. Para verificar se uma modificação no processo de
fabricação dessas fitas produz alguma alteração na média, obteve-se, a
partir de 10 medidas da largura após a modificação no processo, uma
largura média de 50,7 mm e um coeficiente de variação de 2,2%.
Podemos concluirque, com a modificação, a largura média das fitas
não se alterou, ao nível de 5% de significância?
tobs = 1,984; tcrítico1 = -2,262 e tcrítico2 = 2,262; Conclusão: não rejeitamos H0 (ou seja, µ = 50)
Exercícios
4) De acordo com um estudo, o custo médio de uma cirurgia bariátrica
(perda de peso) é de U$ 21.500. Você acha que essa informação está
incorreta. Você seleciona aleatoriamente 25 pacientes que realizaram a
cirurgia e descobre que o custo médio de suas cirurgias é de U$ 20.695.
De estudos anteriores, o desvio padrão populacional é conhecido, U$
2.250, e a população é normalmente distribuída. Há evidências
suficientes para concordar com sua afirmação para 𝛼 = 0,05? Use um
valor p.
zobs = -1,79; valor p = 0,0734; Conclusão: não rejeitamos H0 (ou seja, µ =U$21.500).
Exercícios
5) Um fabricante de conservas anuncia que o conteúdo líquido das latas
de seu produto é, em média, de 2000 gramas, com desvio padrão de
40 gramas. A fiscalização de pesos e medidas investigou uma amostra
aleatória de 64 latas, verificando média de 1990 gramas. Fixando o
nível de significância de 0,05, deverá o fabricante ser multado por
efetuar venda abaixo do especificado?
6) Um projeto de investimento está sendo avaliado pelo método pay-back.
Uma situação envolvendo cenários futuros ou os seguintes tempos de
retorno do investimento (em anos): 2,8 – 4,3 – 3,7 – 6,4 – 3,2 – 4,1 – 4,4
– 4,6 – 5,2 – 3,9. Teste ao nível de significância de 5%, a hipótese de
que o tempo médio de retorno seja superior a 4 anos.
zobs = -2,0; zcrítico = -1,64; Conclusão: rejeitamos H0 (ou seja, µ < 2000).
tobs = 0,81; tcrítico = 1,833; Conclusão: não rejeitamos H0 (ou seja, µ ≤ 4).
Exercícios
7) Um fabricante de lâmpadas fluorescentes garante que a vida útil média
de certo modelo que ele produz é de pelo menos 10000 horas. Para
testar essa garantia você registra a vida útil, em horas de uma amostra
aleatória de 32 lâmpadas desse modelo obtendo uma média de 9500
horas. O desvio padrão da vida útil do produto, pelas especificações de
seus componentes, vale 1000 horas. Quais devem ser as hipóteses a
serem testadas? Qual a conclusão do teste ao nível de 1% de
significância? Conclua pela abordagem do valor p.
zobs = -2,83; valor p = 0,0023; Conclusão: rejeitamos H0 (ou seja, µ<10000).
Exercícios
8) Em um anúncio, uma rede de pizzaria afirma que a média de seu tempo
de entrega é menor que 30 minutos. Uma seleção aleatória de 36
tempos de entrega tem média de 28,5 minutos. Pelo histórico da
empresa que faz o delivery o desvio padrão é de 3,5 minutos. Há
evidência suficiente para apoiar a afirmação usando o nível de
significância de 5%? Use a abordagem do valor p para concluir o teste.
9) Uma indústria afirma que o nível do pH da água em um rio próximo é de
6,8. Você seleciona aleatoriamente 39 amostras de água e mede o pH
de cada uma. A média amostral e o desvio padrão são de 6,7 e 0,35,
respectivamente. Há evidência suficiente para rejeitar a afirmação da
indústria considerando nível de significância 𝛼 = 0,05?
zobs = -2,57; valor p = 0,0051; Conclusão: rejeitamos H0 (ou seja, µ<30).
tobs = -1,78; tcrítico1 = -2,024 e tcrítico2 = 2,024; Conclusão: não rejeitamos H0 (ou seja, µ=6,8).
Exercícios
10) Um de seus distribuidores reporta uma média de 150 vendas por dia
para a direção. Você suspeita que essa média não seja correta e então
realiza uma auditoria selecionando aleatoriamente informações de 41
dias, analisando o número de vendas de cada dia daquele distribuidor.
Dessa análise foi obtida uma média de 143 vendas com desvio padrão
de 15 vendas. Ao nível de 5% de significância há evidência para
duvidar da média reportada pelo distribuidor?
tobs = -2,99; tcrítico1 = -2,021 e tcrítico2 = 2,021; Conclusão: rejeitamos H0 (ou seja, µ≠150).