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MateMática
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Fabrício Maia
assunto: relações Métricas: Menelaus, ceva, PtoloMeu, HiParco, carnot e euler
frente: MateMática i
014.980 - 140321/19
AULAS 36 e 39
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Teorema de Menelaus
Sejam D,E e F pontos sobre as retas suportes dos lados do 
∆ABC, conforme a figura a seguir.
 C
A
B D
F
E
Então, os pontos D, E e F são colineares se, e somente se, 
CE
EA
AF
FB
BD
DC
· · .= 1
Teorema de Ceva
seja ABC um triângulo qualquer e sejam D, E e F, respectivamente, 
pontos sobre os lados AB, BC, e AC.
A
E
P
B
D
CF
 
Então, AF , BD e CE são concorrentes em P se, e somente se,
AE
EB
BF
FC
CD
DA
· · .= 1
Teorema de Ptolomeu
Em um quadrilátero ABCD inscritível, a soma dos produtos dos 
lados opostos é igual ao produto das diagonais.
 
B
A
D
C
P
AB ⋅ CD + DA ⋅ BC = CA ⋅ BD
Teorema de Hiparco
A razão entre as diagonais de um quadrilátero inscritível é 
igual a razão entre as somas dos produtos dos lados que concorrem 
com as respectivas diagonais.
B
A
D
P
C
AC
BD
=
AB AD + BD DC
AB BC + AD DC
⋅ ⋅
⋅ ⋅
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Módulo de estudo
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Teorema de Carnot
Num triângulo acutângulo a soma das distâncias do circuncentro 
aos lados é igual à soma dos raios dos círculos circunscrito e inscrito.
O: centro da circunferência
R: circunraio
r: inraio
B
A
D
CF
E
O
OD + OE + OF = R + r
Teorema de Euler
Sejam O e I o circuncentro e o incentro, respectivamente, de 
um triângulo ABC com raio da circunferência circunscrita igual a R e 
raio da circunferência inscrita igual a r.
A
O
I
CB
OI2 = R2 – 2Rr
Exercícios
01. Em um triângulo ABC de área igual a 52 m2, as cevianas AE e 
BF interceptam-se em P, conforme a figura a seguir. 
 A
E
P
B
CF
 Se BE = 3 ⋅ EC e AC = 4 ⋅ AF, determine a área da região 
triangular BPE.
02. Prove que, se ABCDEFG é um heptágono regular convexo, então,
1 1 1
AB AC AD
= +
03. Calcule as diagonais de um quadrilátero ABCD inscritível em 
função de seus lados a, b, c e d.
04. Num quadrilátero inscritível ABCD, AD = DC. Se as diagonais desse 
quadrilátero cortam-se em I e se AI = 6 cm, CI = 4 cm e BI = 8 cm, 
o maior lado desse quadrilátero mede:
A) 33 cm
B) 2 33 cm
C) 3 33 cm
D) 4 7 cm
E) 5 11cm
05. Em um triângulo ABC, a medida da bissetriz interna AD é a média 
geométrica entre as medidas dos segmentos BD e DC, e a medida 
da mediana AM é a média geométrica entre os lados AB e AC. 
Os pontos D e M estão sobre o lado BC de medida a. Pede-se 
determinar os lados AB e AC do triângulo ABC em função de a.
06. Uma corda intercepta o diâmetro de um círculo de centro O no 
ponto C’ segundo um ângulo de 45º. Sejam A e B os pontos 
extremos desta corda, e a distância AC’ igual a 3 + 1 cm. 
O raio do círculo mede 2 cm, e C é a extremidade do diâmetro 
mais distante de C’. O prolongamento do segmento AO intercepta 
BC em A’. Calcule a razão em que A’ divide BC.
07. Seja um triângulo ABC. AH é a altura relativa de BC, com H 
localizado entre B e C. Seja BM a mediana relativa de AC. Sabendo 
que BH = AM = 4, a soma dos possíveis valores inteiros de BM é
A) 11
B) 13
C) 18
D) 21
E) 26
08. Prove que em um quadrilátero convexo qualquer, a soma dos 
quadrados dos quatro lados é igual à soma dos quadrados das 
diagonais mais quatro vezes o quadrado do segmento que une 
os pontos médios das diagonais. 
09. O quadrilátero convexo ABCD, cujos lados medem, 1 cm, 3 cm, 
4 cm e 6 cm, está inscrito em uma circunferência de centro O e 
raio R. Calcule o raio R da circunferência.
10. O quadrilátero MNPQ está inscrito em uma circunferência de 
centro O e raio 6 cm, conforme a figura a seguir.
Q
M
N
O
E
P
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Módulo de estudo
 Sabe-se que QM = 3 cm, MN = 8 cm e que a diagonal MP 
passa por O. Se E é um ponto do segmento QN tal que ME 
é perpendicular a QN, então o valor do perímetro do triângulo 
QME, em cm, é
A) 5 + 5
B) 
9
2
C) 7 + 5
D) 
5
2
+ 3
E) 2 3+
11. Uma expressão que dá o lado do eneágono regular, em função 
das diagonais a, b e c, com a < b < c, é
A) 
c b
a
2 2+
 
 
B) 
cb
a
C) 
c b
a
2 2−
D) 
c b
a
+



2
 
E) 
c b
a
−



2
12. Um quadrilátero convexo ABCD está inscrito em um círculo de 
diâmetro d. Sabse-se que AB = BC = a, AD = d e CD = b, com a, 
b e d diferentes de zero. 
 Demonstre que d2 = bd = 2a2
13. Sejam A, B, C, D, E os vértices de um pentágono regular inscrito num 
circulo e P um ponto qualquer o arco BC. Unindo-se P a cada um 
dos vértices do pentágono, mostre que PA + PD = PB + PC + PE.
14. Sejam ABC um triângulo, E o ponto médio de AC e O o ponto 
médio de BE. A reta AO intersecta o lado BC em D. Se AO = 12, 
calcular OD.
15. O quadrilátero convexo ABCD está inscrito em uma circunferência 
de raio 5 cm. Se AB = 8 cm, AC = 3 10 cm, CD = 6 cm e 
∠ADC < 90º, calcule a área do quadrilátero.
Anotações
Gabarito
01 02 03 04 05
27 * * B *
06 07 08 09 10
* B * * A
11 12 13 14 15
C * * 4 39
*02. Demonstração
 03. BD
ac bd ab cd
ad bc
AC
bd ac bc ad
ab cd
=
+( ) +( )
+
=
+( ) +( )
+
; 
 05. AB
a a= 2
4
3 2
4
 e AC=
 06. 
A B
A C
’
’
= −3 2 6
2
 08. Demonstração
 09. 
3 66
8
 12. Demonstração
 13. Demonstração
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: FABRÍCIO MAIA
DIG.: REJANE – REV.: CARLA ARAÚJO