Geometria Plana e Espacial

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GRAZIELE TUANE DOS SANTOS 
 
RA 8089632 
 
 
 
 
PORTFÓLIO DO CICLO II DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 
 
 
 
 
 
 
POLO BELO HORIZONTE – MG 
2020 
 
 
 
GRAZIELE TUANE DOS SANTOS 
 
RA 8089632 
 
 
PORTFÓLIO DO CICLO II DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 
 
 
 Trabalho apresentado ao 
Centro Universitário Claretiano 
para a disciplina de Geometria 
Plana e Espacial, ministrada 
pela Tutora: Beatriz Consuelo 
Kuroishi Mello Santos. 
 
 
 
POLO DE BELO HORIZONTE – MG 
2020 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 Este trabalho tem como objetivo mostrar as resoluções de atividades 
relativas ao Ciclo II da disciplina Geometria plana e Espacial. 
 Abordarei questões relacionadas a polígonos, circunferência, seme-
lhança de triângulos e polígonos regulares. Para ilustração utilizarei figuras ma-
nuais e imagens feitas no Geogebra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Qual é o polígono cujo número de diagonais é o dobro do número de lados? 
O número de diagonais de um polígono convexo é determinado pela seguinte fórmula: 
𝑑 =
𝑛(𝑛−3)
2
 
Número de diagonais = d número de lados = n 
se o número de diagonais é o dobro do número de lados, então d = 2n 
2𝑛 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
 
2𝑛 =
𝑛2 − 3𝑛
2
 
2 ∙ 2𝑛 = 𝑛2 − 3𝑛 igualando a zero 
𝑛2 − 3𝑛 − 4𝑛 = 0 
𝑛2 − 7𝑛 = 0 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
= 
−(−7) ± √(−7)2 − 4 ∙ 1 ∙ 0
2 ∙ 1
=
7 ± √49
2
=
7 ± 7
2
 
𝑥1 =
7−7
2
= 
0
2
= 0 (impossível, pois não existem polígonos de zero lados) 
𝑥2 =
7+7
2
= 
14
2
= 7 raiz real: x= 7 
Confirmando a resposta: 
𝑑 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
=
7(7 − 3)
2
= 
49 − 21
2
=
28
2
= 14 
 
Resposta: O polígono cujo número de diagonais é igual ao dobro do número de lados 
é o heptágono regular (7 lados) que possui 14 diagonais. O heptágono é o único polí-
gono cujas diagonais equivalem aos lados em número. 
 
2) Em um retângulo o perímetro mede 24 cm e a medida de um lado excede em 4 cm 
o triplo da medida do outro lado. Determine as medidas dos lados desse retângulo. 
Como temos um retângulo, com 4 ângulos retos, podemos assumir que 2 dos lados 
são equivalentes, e outros dois também o são. Então, o perímetro é: P=2a+2b, sendo 
'a' e 'b' os lados diferentes do retângulo. 
Medida do lado a excede em 4 cm o triplo da medida do lado b. Portanto, a = 3b + 4 
Substituindo o valor de a na fórmula de perímetro, temos: 
2a + 2b = 24 
2(3b + 4) + 2b = 24 
6b + 8 + 2b = 24 
8b = 16 
b = 
16
8
 
b = 2 
2a + 2b = 24 
2a +2(2) = 24 
2a = 20 
a =
20
2
 
a = 10 
Para confirmar que a é o triplo da medida do outro lado, excedendo 4 cm, basta subs-
tituir o valor da aresta b em a, temos: 
a = 3b + 4 = 3(2) + 4 = 6 + 4 = 10 
Resposta: o lado menor mede 2 cm e o lado maior mede 10 cm. 
 
 
3) Em um trapézio retângulo, a bissetriz do ângulo reto da base maior forma um ângulo 
de 115° com a bissetriz do ângulo agudo da base maior. Calcule a medida do maior 
ângulo do trapézio. 
Considerando os ângulos da base menor: 
O ângulo agudo y =180o – 115o = 65o. 
Do triangulo 45o + 65o + x =180oÛ 
X = 115o +45o +
𝑦
2
 = 180o 
𝑦
2
= 180 − 160 
𝑦
2
= 20 
y = 40o 
se a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360o, temos: 
90o + 90o + 40o + x = 360o 
220o + x = 360o 
X = 140o 
Resposta: O maior ângulo do trapézio mede 140o. 
 
 
4) Calcule o raio da circunferência inscrita em um trapézio isósceles de bases 2 cm e 
8 cm. 
O Teorema de Pitot diz que “um quadrilátero é circunscritível (os quatro lados são 
tangentes ao círculo) se, e somente se, a soma dos lados opostos forem iguais”. Como 
a soma dos dois lados opostos é igual, então a soma dos outros dois é 10 cm: 
 AB+ CD= AD+ BC 
2+8 = x + x 
10 = 2x 
x = 
10
2
= 5𝑐𝑚. ( o lado AD e o lado BC medem 5 cm cada) 
 
Entre a base menor e a maior há 6cm de diferença (8 – 2), distribuindo esse valor na 
base maior temos 
6
2
= 3𝑐𝑚 em cada canto, ou seja a base maior mede 3 + 2 +3 = 
8cm. Assim é formado, em cada lateral, um triângulo de medidas 5, 3 e h(altura). 
Como a soma dos catetos ao quadrado é igual à hipotenusa ao quadrado(Teorema 
de Pitágoras): 
52 = 32 + ℎ2 
25 = 9 + ℎ2 
ℎ2 = 16 
ℎ = √16 = 4 
 
A altura(h) do trapézio é igual ao diâmetro(d) da circunferência, h=d. O diâmetro tem 
o dobro do valor do raio. Então o raio é a metade, ou seja, d=2r: 
ℎ = 2𝑟 
4 = 2𝑟 
 
4
2
= 𝑟 
𝑟 = 2𝑐𝑚 . 
 
Resposta: O raio da circunferência inscrita no trapézio mede 2 cm. 
 
5) Um ponto P está fora de uma circunferência, a 13 cm do centro. Uma secante tra-
çada a partir de P intercepta a circunferência nos pontos Q e R, de forma que o seg-
mento externo PQ mede 9 cm e o segmento interno QR mede 7 cm. Qual é o raio da 
circunferência? 
1a opção de resolução: Potência de um ponto 
PQ. PR = PB. PA 
9(9+7)=(13-r). (13 - r + 2r) 
144 = (13 – r).(13 + r) 
144 = 169 + 13𝑟 − 13𝑟 − 𝑟2 
−𝑟2 = −25 ×(-1) 
𝑟 = √25 = 5 
 
2a opção de resolução: M = Ponto Médio da corda qr qr: (altura) 
h: Menor distância entre o centro 0 e a corda r: raio da circunferência 
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 
132 = (9 +
7
2
)2 + ℎ2 
132 = (
25
2
)2 + ℎ2 
169 =
625
4
+ ℎ2 
ℎ2 = 169 −
625
4
 
ℎ2 =
51
4
cm 
ℎ = √
51
4
=
√51
2
 cm 
𝑟2 =
51
4
+
49
4
=
100
4
= 25 
𝑟 = √25 = 5 cm 
Resposta : O raio da circunferência mede 5 cm. 
 
6) Na figura a seguir, sabendo-se que os ângulos A e E são ângulos retos e que a 
medida dos segmentos AC = 12 cm, BE = 15 cm e AB = 20 cm, qual é a área do 
quadrilátero ACED? 
Nesta figura há dois triângulos retângulos: ABC e BDE. Os triângulos ABC e BDE são 
semelhantes, então podemos aplicar o Teorema de Tales da seguinte forma: 
𝐴𝐵
𝐴𝐶
=
𝐸𝐵
𝐸𝐷
 
20
12
=
15
𝐸𝐷
 
20 ED = 12∙15 
20 ED =180 
ED = 9 cm 
Como temos que a área do quadrilátero é a área do triângulo ABC menos a área do 
triângulo BDE, e sabendo que a base de ABC vale 20 cm e sua altura vale 12 cm, e a 
base de BDE vale 15 cm e sua altura vale 9 cm, temos que: 
Área ABC = 
𝑏∙ℎ
2
=
20∙12
2
=
240
2
= 120 𝑐𝑚2 
Área BDE = 
𝑏∙ℎ
2
=
15∙9
2
=
135
2
= 67,5 𝑐𝑚2 
Área do quadrilátero = 120 – 67,5 = 52,5 𝑐𝑚2. 
Resposta: A área do quadrilátero ACED é 52,5 𝑐𝑚2.