Resistencia dos Materiais - FMU - Resistencia a Flexao B

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NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 1 
RESISTÊNCIA À FLEXÃO 
 
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS SUPERFÍCIES PLANAS 
 
CENTRO DE GRAVIDADE (BARICENTRO ou CENTRÓIDE) 
Todas as forças de mesma direção e sentindo atuando em uma determinada área podem ser substituídas por uma 
única força equivalente F, agindo no baricentro desta área. 
 
Baricentro 
Pode ser dentro ou fora da mesma. 
Indicado pelas coordenadas XG e YG. 
 
XG = (S1 x X1 + S2 x X2 + .......+ Sn x Xn) / 
 (S1 + S2 + ..... + Sn) 
 
YG = (S1 x Y1 + S2 x Y2 + .......+ Sn x Yn) / 
 (S1 + S2 + ..... + Sn) 
 
 
Exemplos de baricentro: 
Os valores das coordenadas do baricentro, XG e YG, são calculados em relação à origem dos eixos das 
coordenadas X-Y. 
 
 
 
Posição das 
coordenadas é em 
relação a um dos 
vértices de um 
retângulo. 
 
 
 
 
 
Posição das 
coordenadas é em 
relação a um dos 
vértices de um 
quadrado. 
 
 
 
Posição das 
coordenadas é em 
relação ao vértice 
do ângulo de 90 de 
um triângulo 
retângulo. 
 
 
 
 
Posição das 
coordenadas é em 
relação ao centro do 
círculo. 
 
 
Posição das 
coordenadas é em 
relação ao centro do 
círculo. 
 
 
Posição das 
coordenadas é em 
relação ao centro do 
círculo. 
 
Os valores das coordenadas do baricentro das figuras dependem de onde está posicionada a origem do eixo de 
coordenadas X-Y. Por exemplo: 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 2 
 
 
 
Origem dos eixos X-
Y localizado na 
extremidade inferior 
esquerda da figura. 
 
 
 
Origem dos eixos X-
Y localizada no 
centro da figura. 
 
Nos casos em que o triângulo não seja retângulo, decompô-lo em 2 triângulos retângulos e calcular os centros de 
gravidade de cada um deles. 
 
Neste caso, o XCG será 
negativo. 
 
 
EXEMPLOS 
 
1) Calcular o baricentro de um quadrado de lado igual a 10 cm, com o eixo de coordenadas localizado conforme 
figura abaixo. 
 
Como o quadrado possui lado igual a 10 cm, então a = 10 cm. 
 
A origem do eixo de coordenadas X-Y está localizado na extremidade 
inferior esquerda do quadrado. 
 
O baricentro do quadrado é composto das seguintes coordenadas: 
XCG = a / 2 = 10 / 2 = 5 cm 
YCG = a / 2 = 10 / 2 = 5 cm 
 
2) Calcular o baricentro de um triângulo, com o eixo de coordenadas localizado conforme figura abaixo, com base 
igual a 15 mm e altura igual a 20 mm. 
 
Como a base é igual a 15 mm, então b = 15 mm. 
Como a altura é igual a 20 mm, então h = 20 mm. 
 
A origem do eixo de coordenadas X-Y está localizado na extremidade 
inferior esquerda do triângulo. 
 
O baricentro do triângulo é composto das seguintes coordenadas: 
XCG = b / 3 = 15 / 3 = 5 mm 
YCG = h / 3 = 20 / 3 = 6,67 mm 
 
 
3) Calcular o baricentro de um triângulo, com o eixo de coordenadas deslocado e localizado conforme figura abaixo, 
com base igual a 15 mm e altura igual a 21 mm. 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 3 
 
Inicialmente, calcular o centro de gravidade do triângulo, supondo que a origem do eixo de coordenadas X-Y 
estivesse localizado no vértice do lado inferior direito do triângulo. 
 
Sendo assim, devemos calcular XCG1 e YCG1 conforme segue: 
 
Como a base é igual a 15 mm, então b = 15 mm. 
Como a altura é igual a 21 mm, então h = 21 mm. 
 
A origem do eixo de coordenadas X-Y está localizado na extremidade inferior esquerda do triângulo. 
Neste caso, o baricentro do triângulo seria composto das seguintes coordenadas: 
XCG1 = b / 3 = 15 / 3 = 5 mm 
YCG1 = h / 3 = 21 / 3 = 7 mm 
 
Como o triângulo está deslocado em relação à origem do eixo real de coordenadas, devemos calcular a posição final 
do baricentro da seguinte forma: 
XCG = 20 - XCG1 = 20 – 5 = 15 mm 
YCG = YCG1 + 5 = 7 + 5 = 12 mm 
 
 
 
Receita para definição dos centros de gravidade de uma secção plana complexa (formada por várias 
secções) 
 
 
 
 
 
Peça – (área hachurada) – área 
positiva 
Furos – (áreas em vazio) – área 
negativa 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 4 
 
 
Sinais (positivo ou negativo) das 
coordenadas de cada secção, em 
função de suas posições nos 
quadrantes. 
 
A posição de cada secção em 
relação ao eixo de coordenadas 
deve ser definida em referência ao 
seu centro de gravidade. 
 
XG e YG das secções ao lado 
correspondem aos seus centros de 
gravidade. 
a) Definir a posição dos eixos de coordenadas X e Y de forma mais apropriada ou adequada (que facilite os 
cálculos). 
b) Dividir a peça em secções menores conhecidas. 
c) Calcular as áreas de cada secção. Se a secção faz parte da peça, considerar sua área S como positiva. 
Caso contrário, se não faz parte da peça, considerar sua área S como negativa (neste caso, é utilizado este 
recurso buscando facilidade nos cálculos finais e muitas vezes para diminuir o número de secções). 
d) Calcular XCG e YCG de cada figura em relação à origem dos eixos de coordenadas X-Y. 
e) Calcular XCG e YCG da peça, utilizando as fórmulas ou tabela a seguir: 
 
ΣXi x Si ΣYi x Si 
Xcg perfil = Ycg perfil = 
ΣSi ΣSi
 
 
Secção Área S secção XCG secção S x XCG 
secção 
YCG secção S x YCG 
secção 
 
 
 
 
Somatória --------------- --------------- 
 
  S x XCG secções 
XCG peça = -------------------------- 
  S secções 
  S x YCG secções 
YCG peça = -------------------------- 
  S secções 
 
EXEMPLOS 
 
1) Calcular o centro de gravidade (baricentro) da peça abaixo. 
Medidas em cm 
 
Cálculo do baricentro do ¼ de círculo: 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 5 
 
Conforme tabela de centros de gravidade, para o ¼ 
de círculo temos: 
XCG = 4 x r / 3 
YCG = 4 x r / 3 
O raio do círculo é igual a r = 3 + 3 = 6 cm 
Logo, 
XCG = 4 x 6 / 3 = - 2,55 cm (lado esquerdo da 
origem dos eixos, por isso com sinal negativo) 
YCG = 4 x 6 / 3 = 2,55 cm 
 
Área S = 1/4 x  x r2 = 1/4 x  x 62 = 28,27 cm2 
 
Dividir o triângulo em duas partes (2 triângulos retângulos, conforme representado na figura. 
 
Considerando-se o triângulo retângulo superior, 
temos: 
XCG = b / 3 = 9 / 3 = 3 cm 
YCG = YCG1 + 3 
YCG = h / 3 + 3 = 3 / 3 + 3 = 4 cm 
 
Área S = base x altura / 2 = 9 x 3 / 2 = 13,5 cm2 
 
 
Considerando-se o triângulo retângulo inferior, 
temos: 
XCG = b / 3 = 9 / 3 = 3 cm 
YCG = 3 - YCG1 
YCG = 3 – h / 3 = 3 - 3 / 3 = 2 cm 
 
Área S = base x altura / 2 = 9 x 3 / 2 = 13,5 cm2 
 
Preenchendo a tabela com os dados de centro de gravidade de cada secção e suas áreas correspondentes temos: 
 
Secção Área S secção XCG secção S x XCG 
secção 
YCG secção S x YCG 
secção 
¼ círculo 28,27 - 2,55 - 72,09 2,55 72,09 
triângulo 
superior 
13,5 3 40,5 4 54 
triângulo 
inferior 
13,5 3 40,5 2 27 
 
Somatória 55,27 --------------- 8,91 --------------- 153,09 
 
  S x XCG secções 
XCG peça = -------------------------- 
  S secções 
 8,91 
XCG peça = ---------- = 0,16 cm 
 55,27 
 
  S x YCG secções 
YCG peça = -------------------------- 
  S secções 
 153,59 
YCG peça = ---------- = 2,78 cm 
 55,27 
 
 
Portanto, a posição do centro de gravidade desta peça é: 
 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 6 
2) Definir o baricentro da estruturamontada composta de 2 cantoneiras 6” x 6” e uma chapa intermediária de 170 x 
25 mm soldadas entre si, conforme croqui abaixo. 
Desconsiderar os cordões de solda no cálculo do baricentro. 
 
Cantoneira 6” x 6” (152,4 x 152,4 mm) 
 
Posição do centro de gravidade da 
cantoneira 
 
Área da secção da cantoneira: 5444mm2 
 
Os centros de gravidade das 2 cantoneiras, superior e inferior já estão definidas na figura ao lado. 
 
Para calcular o baricentro da chapa intermediária utilizamos as fórmulas do retângulo: 
XCG = b / 2 = 170 / 2 = 85 mm 
YCG = h / 2 = 25 / 2 = 12,5 mm 
A área do retângulo é igual a b x h = 170 x 25 = 4.250 mm2. 
 
Sendo assim, a posição do baricentro de cada figura fica conforme segue: 
 
Cálculo do centro de gravidade de cada figura, conforme cotas indicadas no croqui acima: 
a) Cantoneira superior (1): 
XCG = 10 + 4,52 = 14,52 mm 
YCG = 4,52 + 25 + 152,4 = 181,92 mm 
 
b) Cantoneira inferior (2): 
XCG = 10 + 4,52 = 14,52 mm 
YCG = 152,4 – 4,52 = 147,88 mm 
 
c) Chapa intermediária (3): 
XCG = 85 mm 
YCG = 12,5 + 152,4 = 164,9 mm 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 7 
ΣXi x Si ΣYi x Si 
Xcg perfil = Ycg perfil = 
ΣSi ΣSi
ΣXi x Si 14,52x5444+14,52x5444+85x4250
Xcg perfil = = = 34,3mm
ΣSi 5444+5444+4250
ΣYi x Si 181,92x5444+147,88x5444+164,9x4250
Ycg perfil = = 
ΣSi 5444+5
 = 164,9mm
444+4250
 
 
Ou 
 
Preenchendo os dados na tabela abaixo, temos: 
Secção Área S secção XCG 
secção 
S x XCG secção YCG 
secção 
S x YCG secção 
Cantoneira 
superior 
5444 14,52 79.046,88 181,92 990.372,48 
Cantoneira 
inferior 
5444 14,52 79.046,88 147,88 805.058,72 
Chapa 4250 85 361.250 164,9 700.825 
 
Somatória 15.138 ----------- 519.343,76 ------------ 2.496.256,2 
 
  S x XCG secções 
XCG peça = --------------------------- = 
  S secções 
 519.343,76 
 = -------------------- = 34,3 mm 
 15.138 
  S x YCG secções 
YCG peça = -------------------------- = 
  S secções 
 2.496.256,2 
 = ---------------------- = 164,9 mm 
 15.138 
A posição do baricentro desta estrutura composta está localizada em relação à origem dos eixos de coordenadas X-Y 
de XCG = 34,3 mm e YCG = 164,9 mm. 
 
3) Determinar o centro de gravidade (baricentro) da peça abaixo. 
As medidas estão em mm (milímetros). 
As medidas não estão em escala. 
 
 
a) Dividir a peça em secções menores conhecidas, de forma que facilite o cálculo posterior do baricentro de cada 
uma delas. 
 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 8 
Secções identificadas: 
(1) Retângulo de lados 182 e 106 (54 + 52) mm. 
(2) Triângulo de lados 52 e 52 mm. 
(3) Retângulo de lados 24 e 47 mm. 
(4) Retângulo de lados 51 e 52 mm. 
 
b) Definir a posição dos eixos de coordenadas X e Y, de forma que facilite os cálculos: 
 
c) Preenchendo a tabela abaixo com as áreas e baricentro de cada secção identificada, lembrando que a figura que 
não faz parte da figura final tem sua área considerada como negativa, temos: 
Secção Área S secção XCG secção S x XCG 
secção 
YCG secção S x YCG 
secção 
1 19292 91 1755572 53 1022476 
2 -1404 18 -25272 17,33 -24331,32 
3 -1128 137,5 -155100 80 -90240 
4 -2652 156 -413712 25,5 -67626 
Somatória 14108 --------------- 1161488 --------------- 840278,68 
 
d) Calculamos então, o centro de gravidade da peça, utilizando as seguintes fórmulas: 
  S x XCG secções 
XCG peça = -------------------------- 
  S secções 
 
 1161488 
XCG peça = ------------ = 82,33 mm 
 14108 
  S x YCG secções 
YCG peça = -------------------------- 
  S secções 
 
 840278,68 
YCG peça = -------------- = 59,56 mm 
 14108 
 
Ou o cálculo direto pelas fórmulas sem preenchimento da tabela: 
 
ΣXi x Si ΣYi x Si 
Xcg perfil = Ycg perfil = 
ΣSi ΣSi
ΣXi x Si 91 x 19292 - 18 x 1404 - 137,5 x 1128 - 156 x 2652
Xcg perfil = = = 82,33mm
ΣSi 19292 - 1404 - 1128 - 2652
ΣYi x Si 53 x 1
Ycg perfil = = 
ΣSi
9292 - 17,33 x 1404 - 80 x 1128 - 25,5 x 2652
 = 59,56mm
19292 - 1404 - 1128 - 2652
 
 
Portanto, a posição do centro de gravidade da peça está representada na figura abaixo. 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 9 
 
4) Calcular o baricentro em relação aos eixos x e y da secção transversal da estrutura no formato tubular. 
Desconsiderar os cordões de solda eventualmente utilizados para formar a secção transversal tubular. 
Os eixos de coordenados já estão previamente definidos. 
Medidas em cm. 
 
Baricentro (centro de gravidade) 
Secção XCG secção YCG secção Área S secção S x XCG secção S x YCG secção 
1 5 7 140 700 980 
2 5 8,5 - 42 - 210 - 357 
∑ 98 490 623 
CG secção
CG perfil total
secção
 S x X 490
X = = = 5cm
 S 98


 
CG secção
CG perfil total
secção
 S x Y 623
Y = = = 6,36cm
 S 98


 
 
ΣXi x Si ΣYi x Si 
Xcg perfil = Ycg perfil = 
ΣSi ΣSi
ΣXi x Si 5 x 140 - 5 x 42
Xcg perfil = = = 5cm
ΣSi 140 - 42
ΣYi x Si 7 x 140 - 8,5 x 42
Ycg perfil = = = 6,36cm
ΣSi 140 - 42
 
 
 
5) Calcular o baricentro em relação aos eixos x e y da secção transversal da estrutura montada, composta por duas 
placas retangulares soldadas. 
Desconsiderar os cordões de solda utilizados. 
Os eixos de coordenados já estão previamente definidos. 
Medidas em cm. 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 10 
Baricentro (centro de gravidade) 
Secção XCG secção YCG secção Área S secção S x XCG secção S x YCG secção 
1 5 11,5 30 150 345 
2 6,5 5 30 195 150 
∑ 60 345 495 
CG secção
CG perfil total
secção
 S x X 345
X = = = 5,75cm
 S 60


 
CG secção
CG perfil total
secção
 S x Y 495
Y = = = 8,25cm
 S 60


 
 
6) Calcular o baricentro (centro de gravidade) em relação aos eixos x e y da secção transversal vazada da estrutura 
abaixo. 
Os eixos de coordenadas já estão previamente definidos. 
Medidas em cm. 
 
 
xCG = 0 e yCG = 0. 
 
 
 
MOMENTO DE INÉRCIA 
O momento de inércia é muito importante no dimensionamento de elementos de construção, pois através dos seus 
valores numéricos nos fornece uma noção da resistência da peça. 
 
Quanto maior o momento de inércia da secção transversal de uma peça, maior será a resistência da peça. 
 
Momento de inércia J: Resistência à flexão de uma viga, em função da sua geometria em relação a um eixo. 
 
Módulo de Resistência à Flexão W: Resistência da secção em relação ao esforço de flexão 
Wx = Jx / ymax 
Wy = Jy / xmax 
 
Raio de Giração i: 
Jx = S . ix2 
Jy = S . iy2 
 
Viga bi-apoiada com 
esforços atuando na parte 
superior 
Cálculo das reações nos 
apoios A e B 
Diagrama de Momento Fletor 
 
 
 
- Cálculo da Tensão admissível: adm = e / k, k: fator de segurança. 
- Dimensionamento do perfil: adm = M / W (M: Momento Fletor; W: Módulo de Resistência (depende da 
secção transversal do perfil). 
- Valores de Wx e Wy podem variar; neste caso utilizar a pior condição, ou seja, o menor dos W, a não ser 
que a viga já tenha a sua posição de apoio definida. 
- W: Quando o perfil é conhecido, este dado já está tabelado. 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 11 
 
Tabela – Momento de Inércia / Raiode Giração / Módulo de Resistência 
Secção Momento de Inércia J Raio de Giração i 
Módulo de Resistência 
W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1) Determinar o momento de inércia e módulo de resistência, relativos aos eixos baricêntricos x e y no perfil 
representado abaixo: 
unidade em mm 
Conforme tabela , temos: 
 
Momento de Inércia J 
 
Módulo de Resistência W 
 
Base b = 120 mm = 12 cm 
Altura h = 180 mm = 18 cm 
 
Jx = b x h3 / 12 = 12 x 183 / 12 = 5.832 cm4 
Jy = h x b3 / 12 = 18 x 123 / 12 = 2.592 cm4 
 
Wx = b x h2 / 6 = 12 x 182 / 6 = 648 cm3 
Wy = h x b2 / 6 = 18 x 122 / 6 = 432 cm3 
 
2) Determinar o momento de inércia e módulo de resistência, relativos aos eixos baricêntricos x e y nos perfis 
representados a seguir. 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 13 
unidade em mm 
Conforme tabela , temos: 
 
Momento de Inércia J 
 
Módulo de Resistência W 
 
Diâmetro d = 280 mm = 28 cm. 
Jx = Jy =  x d4 / 64 =  x 284 / 64 = 30.172 cm4 
Wx = Wy =  x d3 / 32 =  x 283 / 32 = 2.155 cm3 
 
 
E QUANDO NÃO TEM O J E W TABELADO, MAS SE TEM A SECÇÃO COMPOSTA (VÁRIAS SECÇÕES 
MENORES CONHECIDAS), O QUE FAZER? 
 
 
Neste caso, deve ser calculado o momento de 
inércia desta secção. 
Jx – Momento de inércia em relação ao eixo X 
Jy – Momento de inércia em relação ao eixo Y 
 
Em qual sentido esta viga possui maior resistência? 
 
A maior resistência à flexão é quando a carga atua 
na parte superior desta viga 
 
Pela tabela, Jx > Jy (Quanto maior o Momento de 
Inércia, maior será a sua resistência à flexão em 
torno do eixo considerado) 
 
No exemplo da cantoneira (perfil em L), não temos o perfil tabelado. 
Neste caso temos que calcular Wx e Wy. 
Para isso, devemos seguir a seguinte receita: 
 
Receita para cálculo do Momento de Inércia e Módulo de Resistência à Flexão: 
 
a) Dividir a secção em secções menores (seccções básicas). 
b) Calcular baricentro da secção estudada. 
c) Calcular Momento de Inércia Jx e Jy de cada secção (atenção, se a secção é simétrica em relação aos eixos 
X e Y, os momentos Jx e Jy são iguais). 
d) Fazer a somatória dos momentos de inércia das secções separadamente Jx do Jy (subtrair no caso da figura 
não fazer parte da secção). 
e) Caso a origem dos eixos da secção estudada (baricentro calculado anteriormente) não coincidir com as 
origens dos eixos de cada secção, fazer o transporte (translação) para a origem dos eixos da secção. 
: 
Jx = (Jx1 + S1 x y12) + (Jx2 + S2 x y22) + Jx3 
 
Jx3: Momento de inércia da secção 3, sendo que o baricentro da figura 3 coincide com o baricentro da secção 
composta. 
 
Jx1 e Jx2 : Momentos de inércia das secções 1 e 2 respectivamente, sendo que ambos os baricentros não 
coincidem com o baricentro da secção composta. 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 14 
S1 e S2 : Áreas das secções das secções 1 e 2 respectivamente. 
 
y1 e y2 : Distância entre baricentros das secções 1 e 2 respectivamente e baricentro da secção composta, no 
sentido Y. 
 
Fazer o mesmo para Jy = (Jy1 + S1 x x12) + (Jy2 + S2 x x22) + Jy3 
 
 
Calcular Módulos de Resistência Wx e Wy: 
Wx = Jx / ymax 
Wy = Jy / xmax 
 
 
 
 
Jx = (Jx1 + S1 x y12) + (Jx2 + S2 x y22) + Jx3 
Jy = (Jy1 + S1 x x12) + (Jy2 + S2 x x22) + Jy3 
 
Wx = Jx / ymax 
Wy = Jy / xmax 
 
xmax e ymax: máximas distâncias do centro de gravidade da secção transversal da viga em relação ao 
contorno da mesma, nos eixos X e Y. 
 
adm = M / Wx adm = M / Wy 
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular o momento de inércia em relação aos eixos x e y da secção transversal da estrutura montada, composta 
por duas placas retangulares soldadas. 
Desconsiderar os cordões de solda utilizados. 
Os eixos de coordenados já estão previamente definidos. 
Medidas em cm. 
Dados: xCG = 5cm e yCG = 4,75cm. 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 15 
 
4
3 3
4
X1 Y1
10 x 3 3 x 10
J = = 22,5cm , J = = 250cm
12 12
 
4
3 3
4
X2 Y2
3 x 10 10 x 3
J = = 250cm , J = = 22,5cm
12 12
 
 
2 2
XJ = (Jx1 + S1 x y1 ) + (Jx2 + S2 x y2 ) 
S1 = S2 = 30cm2
y1 = 4,75 - 1,5 = 3,25cm (distância entre cg do perfil e cg da secção 1, em y) 
y2 = 8 - 4,75 = 3,25cm (distância entre cg do perfil e cg da sec
42 2
X
ção 2, em y)
J = (22,5 + 30 x 3,25 ) + (250 + 30 x 3,25 ) = 906,25cm 
 
 
2 2
Y
Y
J = (Jy1 + S1 x x1 ) + (Jy2 + S2 x x2 ) 
S1 = S2 = 30cm2
x1 = 5 - 5 = 0 (distância entre cg do perfil e cg da secção 1, em x)
x2 = 5 - 5 = 0 (distância entre cg do perfil e cg da secção 2, em x) 
J = 42 2(250 + 30 x 0 ) + (22,5 + 30 x 0 ) = 272,5cm 
 
 
2) Calcular o momento de inércia em relação aos eixos x e y da secção transversal da estrutura montada, composta 
por duas placas retangulares soldadas. 
Desconsiderar os cordões de solda utilizados. 
Os eixos de coordenados já estão previamente definidos. 
Medidas em cm. 
Dados: xCG = 5,75cm e yCG = 8,25cm. 
 
4
3 3
4
X1 Y1
10 x 3 3 x 10
J = = 22,5cm , J = = 250cm
12 12
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 16 
4
3 3
4
X2 Y2
3 x 10 10 x 3
J = = 250cm , J = = 22,5cm
12 12
 
42 2
XJ = (22,5 + 30 x 3,25 ) + (250 + 30 x 3,25 ) = 906,25cm 
42 2
YJ = (250 + 30 x 0,75 ) + (22,5 + 30 x 0,75 ) = 306,25cm 
 
3) Calcular os momentos de inércia em relação aos eixos x e y da secção transversal vazada da estrutura abaixo. 
Os eixos de coordenadas já estão previamente definidos. 
Medidas em cm. 
 
 
Círculo: 
4 4
4
X1 Y1
 x d x 20
J = J = = =7.854cm
64 64
  
Quadrado: 
4 4
4
X2 Y2
a 8
J = J = = = 341,3cm
12 12
 
 
4
X Y X1 X2J = J = J - J = 7.854 - 341,3 = 7.512,7cm 
 
4) Calcular o módulo de resistência em relação aos eixos x e y da secção transversal da estrutura montada, 
composta por duas placas retangulares soldadas. 
Desconsiderar os cordões de solda utilizados. 
Os eixos de coordenados já estão previamente definidos. 
Medidas em cm. 
Dados: xCG = 2,68cm e yCG = 7,32cm, JX = 657,66cm4 e JY = 227,66cm4 . 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 17 
3
Ymax = 7,32 - 0 = 7,32cm (máxima distância em Y entre o Ycg e a borda do perfil)
Xmax = 8 - 2,68 = 5,32cm (máxima distância em X entre o Xcg e a borda do perfil)
Jx 657,66
Wx = = = 89,84cm
Ymax 7,32
Wy = 3
Jy 227,66
 = = 42,79cm
Xmax 5,32
 
 
5) Calcular o módulo de resistência em relação aos eixos x e y da secção transversal da estrutura montada, 
composta por duas placas retangulares soldadas. 
Desconsiderar os cordões de solda utilizados. 
Os eixos de coordenados já estão previamente definidos. 
Medidas em cm. 
Dados: xCG = 5,75cm e yCG = 8,25cm, JX = 906,25cm4 e JY = 306,25cm4 . 
 
3
3
906,25
Wx = = 109,85cm
8,25
306,25
Wy = = 53,26cm
5,75
 
 
6) Calcular os módulos de resistência em relação aos eixos x e y da secção transversal vazada da estrutura abaixo. 
Os eixos de coordenadas já estão previamente definidos. 
Medidas em cm. 
Dados: xCG = yCG = 0, JX = JY = 7.512,7cm4 . 
 
 
 
3Jx 7.512,7Wx = Wy = = = 751,27cm
y 10MAX
 
 
7) Determinar o momento de inércia e módulo de resistência, relativos aos eixos baricêntricos x e y do perfil 
representado na figura abaixo (note que o quadrado e o círculo possuem o mesmo centro de gravidade). 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis18 
unidade em mm 
 
Existem 2 secções, quadrado e círculo. O centro de gravidade do perfil coincide com os centros de gravidade das 
secções. 
 
a) Secção 1: Quadrado de lado a = 400 mm = 40 cm. 
 
 
Jx1 = Jy1 = a4 / 32 = 404 / 32 = 213.333,3 cm4 
 
b) Secção 2: Círculo de diâmetro d = 200 mm = 20 cm. 
 
 
Jx2 = Jy2 =  x d4 / 64 =  x 204 / 64 = 7.854 cm4 
 
c) Cálculo da Secção composta 1 e 2: 
Jx = Jx1 - Jx2 = 213.333,3 – 7.854 = 205.479,3 cm4 (considerado Jx2 como negativo pois não faz parte da figura). 
 
Para calcular os módulos de resistência Wx e Wy, temos: 
Wx = Jx / ymax 
Wy = Jy / xmax 
Como a figura é simétrica, então Wx = Wy ---> Wx = Wy = Jx / ymax = 205.479,3 / 20 = 10.273,96 cm3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 19 
RESISTÊNCIA À FLEXÃO 
 
 
 
Verifica-se em vigas, postes engastados, etc... 
 
 
Flexão pura: 
Quando apresenta apenas momento fletor nas 
diferentes secções transversais, sem força cortante 
atuando nestas secções. 
Ex: Secção entre C e D. 
 
Flexão simples: 
Quando apresenta simultaneamente momento fletor 
e força cortante atuante nas diferentes secções 
transversais. 
Ex: Secções entre A e C; D e B. 
 
 
 
FORÇA CORTANTE Q E MOMENTO FLETOR M 
 
Convenção de sinais nos diagramas 
 
Nos exemplos de cálculo, utilizamos normalmente esta convenção de sinais, com a força cortante positiva com 
sentido para cima e momento fletor positivo com sentido de giro anti-horário. 
 
 
 
Momento fletor positivo com sentido de giro horário 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 20 
Força cortante Q 
Força cortante positiva – momento fletor positivo na 
peça. 
Vigas horizontais – Força positiva quando atua à 
esquerda da secção transversal estudada, de baixo 
para cima. 
Vigas verticais – Força positiva quando atua à 
esquerda da secção estudada, com sentido dirigido da 
esquerda para a direita. 
 
Momento fletor M 
Momento positivo quando as forças atuantes na peça 
tracionam as suas fibras inferiores. 
 
Momento negativo quando as forças atuantes na peça 
comprimem as suas fibras inferiores. 
 
Positivo quando o momento é horário à esquerda da 
secção transversal estudada. 
 
 
Força cortante Q 
Resultante das forças cortantes atuantes à esquerda 
da secção transversal estudada. 
Secção A-A: Q = RA 
Secção B-B: Q = RA – P1 
Secção C-C = RA – P1 – P2 
 
 
Momento fletor M 
Resultante dos momentos atuantes à esquerda da 
secção transversal estudada. 
Secção A-A: M = RA x X 
Secção B-B: M = RA x X – P1(X–a) 
Secção C-C: M = RA x X – P1(X–a) – P2[X–(a+b)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 21 
Exemplos de diagramas de força cortante e momento fletor com a convenção de sinais para momento 
sentido horário positivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 23 
 
Dimensionamento na flexão 
x = M / Wx, sendo que Wx = Jx / ymax 
y = M / Wy, sendo que Wy = Jy / xmax 
Para dimensionar a peça, utilizar x = y = 
 
x e y : Tensão normal atuante na fibra mais 
afastada [Pa; N/mm2; ...] 
: Tensão admissível [Pa; N/mm2; ...] 
M: Momento fletor [Nm; Nmm;...] 
Wx e Wy: Módulo de resistência da secção 
transversal [m3; mm3;...] 
xmax e ymax: Distância máxima entre LN (linha neutra) 
e extremidade da secção [m; mm; ...] 
 
 
 
 
Procedimento para dimensionamento de um perfil composto quanto à sua Resistência à Flexão: 
 
a) Calcular as reações nos apoios. 
b) Construir o diagrama de momento fletor, identificando o momento fletor máximo agindo na estrutura. 
c) Determinar o baricentro do perfil composto. 
d) Determinar os momentos de inércia Jx e Jy do perfil composto, considerando individualmente o momento de 
inércia de cada secção e o seu deslocamento. 
e) Determinar os módulos de resistência Wx e Wy. 
f) Utilizando as fórmulas de tensão ( e = Mmax / W ), dimensionar a secção da estrutura, considerando o fator 
de segurança quando solicitado. 
Mmax: Momento fletor máximo agindo na estrutura 
W: Módulo de resistência do material 
Atenção especial deve ser dada para a compatibilidade de unidades de medida. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular a máxima força P que este perfil redondo pode suportar quanto à sua resistência à flexão. 
O material do perfil possui uma tensão de escoamento de 2.000 Kgf/cm2. 
A secção do perfil é redonda, com diâmetro de 6 cm. 
Considerar nos cálculos um fator de segurança igual a 4. 
O módulo de resistência do material é igual a  x d3 / 32, tanto para o eixo X-X, quanto para o eixo Y-Y. 
adm = Mmáx / W , sendo que Mmáx é o máximo momento fletor atuando na estrutura. 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 24 
adm = e / F = 2000 / 4 = 500 Kgf/cm2 
 
adm = Mmáx / W  Mmáx = adm x W 
100 x P = 500 x  x 63 / 32 
100 x P = 10603 
P = 10603 / 100 = 106 Kgf 
 
 
2) Qual a máxima carga P que esta estrutura pode suportar, quanto a sua resistência à flexão? 
Informações sobre o projeto: 
 
A carga P atua exatamente na metade do comprimento do perfil composto. 
O perfil composto é constituído da seguinte forma: Uma viga I e uma chapa soldada na sua parte superior. 
Desconsiderar os cordões de solda. 
Dimensões e outras características do perfil e da chapa são conforme segue: 
 
A chapa e o perfil I são compostos do mesmo material, com e = 180 Mpa. 
Deve ser utilizado um coeficiente de segurança F = 3. 
 
a) Cálculo das reações nos apoios A e B: 
 
No apoio A não foi considerado a reação RAx na direção horizontal, pois não existe nenhuma força atuando nesta 
direção na estrutura. 
Para um sistema em equilíbrio de forças,  Fx = 0, portanto RAx = 0. 
 
 
 Fy = 0, então RAy + RBy = P 
 MB = 0, então (400 + 400)RAy – 400P = 0, então 800RAy = 400P 
Então RAy = 400P / 800 = P / 2 
RAy + RBy = P, então P / 2 + RBy = P, então RBy = P / 2. 
 
b) Construção do diagrama de momento fletor: 
 
Analisando esta estrutura partindo do apoio A no sentindo direito, o momento aumenta linearmente até atingir o pico 
no ponto de atuação da carga P (Mp = RAy x 400 = P / 2 x 400 = 200P). 
Esta variação linear é devida ao aumento proporcional de M à medida que se aumenta a distância em relação ao 
ponto onde atua a reação – ponto A, pois M = RAy x distância (à medida que se afasta do apoio A, o momento 
aumenta na mesma proporção). 
Á direita do ponto de atuação de P, o momento vai decrescendo linearmente até se anular no apoio B (MB = RAy x 
(400 + 400) – P x 400 = (P / 2) x 800 – P x 400 = P x 400 – P x 400 = 0). 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 25 
 
 
c) Determinação do centro de gravidade (baricentro) do perfil composto: 
 
O eixo Y está localizado bem no meio da secção do perfil, pois o mesmo é simétrico em relação a este eixo. 
Não sabemos ainda a posição do eixo X do centro de gravidade, portanto devemos calculá-lo, definindo como 
referência o eixo u. 
Transformando as dimensões do perfil I e da chapa para centímetros, temos: 
Figura Área S figura XG figura S x XG figura YG figura S x YG figura 
Perfil I 19 6,35 120,65 
Chapa 10 12,7 + 0,5 132 
 
Somatória 29 --------------- --------------- 252,65 
 
  S x XG figuras 
 XG peça = ----------------------- S figuras 
  S x YG figuras 
YG peça = ----------------------- = 8,71 cm 
  S figuras 
 
d) Determinação dos momentos de inércia Jx e Jy: 
 
O cálculo dos momentos de inércia seguem a mesma regra utilizada para cálculo do baricentro de uma figura plana, 
onde ocorre também o transporte de cada figura para a origem dos eixos de coordenadas considerados. 
O momento de inércia em relação ao eixo baricêntrico X é determinado pela soma dos momentos de inércia da 
chapa e do perfil I, e os respectivos transportes de eixos (pois o eixo baricêntrico dos perfil I e chapa não coincidem 
com o eixo baricêntrico do perfil composto). 
 
Sendo a chapa identificada como secção 1 e o perfil I identificado como secção 2, temos: 
 
Jx = Jx1 + S1 x y’12 + Jx2 + S2 x y’22 
 
Chapa: 
Jx1 = b x h3 / 12 = 10 x 13 / 12 = 0,83 cm4 
S1 x y’12 = (10 x 1) x (0,5 + 12,7 – 8,71)2 = 10 x 4,492 = 201,6 cm4 
Perfil I: 
Jx2 = 511 cm4 
S2 x y’22 = 19 x (8,71 – 12,7 / 2)2 = 19 x (8,71 – 6,35)2 = 105,8 cm4 
 
Portanto, Jx = 0,83 + 201,6 + 511 + 105,8 = 819,25 cm4 
 
O momento de inércia relativo ao eixo Y não tem o transporte, pois os eixos Y da chapa e do perfil I coincidem com o 
eixo Y do perfil composto. 
 
Jy = Jy1 + Jy2 
Chapa: 
Jy1 = b x h3 / 12 = 1 x 103 / 12 = 83,3 cm4 
Perfil I: 
Jy2 = 50 cm4 
 
Portanto, Jy = 83,3 + 50 = 133,3 cm4 
 
e) Determinação dos módulos de resistência Wx e Wy: 
 
Wx = Jx / Ymáx = 819,25 / 8,71 = 94 cm3 
Wy = Jy / Xmáx = 133,3 / 5 = 26,67 cm3 
 
Ymax e Xmax – máximas distâncias das bordas do perfil composto em relação ao seu centro de gravidade, 
nos eixos X e Y. 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 26 
Como a solicitação é vertical (aplicação da carga), consideraremos apenas o Wx. 
 
f) Determinação da máxima carga P: 
 
e = 180 Mpa = 180 N/mm2 = 18.000 N/cm2 = 1800 Kgf/cm2 
 
adm = e / F = 1800 / 3 = 600 Kgf/ cm2 
 
adm = Mmax / Wx, então adm x Wx = Mmax, logo adm x Wx = 200P 
 
Portanto, 600 x 94 = 200P, então P = 282 Kgf. 
 
 
3) Calcular o momento de inércia, módulo de resistência e tensão admissível do perfil composto por 2 chapas 
soldadas. 
 
Calculando o centro de gravidade deste perfil temos os valores de Xcg e Ycg = 36 mm, conforme mostrado na figura. 
 
a) Cálculo do momento de inércia de cada chapa: 
 
Chapa 1: 
 
 
b = 100 e h = 30 
Jx1 = 100 x 303 / 12 = 225.000mm4 
Jy1 = 30 x 1003 / 12 = 2.500.000mm4 
 
Chapa 2: 
b = 30 e h = 70 
Jx2 = 30 x 703 / 12 = 857.500mm4 
Jy2 = 70 x 303 / 12 = 157.500mm4 
 
b) Cálculo do momento de inércia do perfil composto: 
Y1: distância entre o centro gravidade da chapa 1 e o centro gravidade do perfil, no eixo Y = 21 
X1: distância entre o centro gravidade da chapa 1 e o centro gravidade do perfil, no eixo X = 14. 
Y2: distância entre o centro gravidade da chapa 2 e o centro gravidade do perfil, no eixo Y = 29. 
X2: distância entre o centro gravidade da chapa 2 e o centro gravidade do perfil, no eixo X = 21. 
S1 = 3000 mm2 
S2 = 2100 mm2 
 
Jx = (Jx1 + S1 x y12) + (Jx2 + S2 x y22) 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 27 
Jx = (225.000 + 3000 x 212) + (857.500 + 2100 x 292) = 2.623.600 mm4 
 
Jy = (Jy1 + S1 x x12) + (Jy2 + S2 x x22) 
Jy = (2.500.000 + 3000 x 142) + (157.500 + 2100 x 212) = 4.171.600 mm4 
 
c) Cálculo do módulo de resistência do perfil composto: 
ymax: máxima distância entre o centro de gravidade do perfil e borda do perfil no sentido vertical = 64mm. 
xmax: máxima distância entre o centro de gravidade do perfil e borda do perfil no sentido horizontal = 64mm. 
 
Wx = Jx / ymax = 2.623.600 / 64 = 40.994 mm3 
Wy = Jy / xmax = 4.171.600 / 64 = 65.181 mm3 
 
d) Cálculo da tensão admissível do perfil: 
Supondo máximo momento fletor atuando no perfil é de 375.000 Kgfmm e supondo também que a solda não interfere 
na resistência do material. 
 
Para força atuando no sentido horizontal: 
adm = M / Wx = 375.000 / 40.994 = 9,2 Kgf/mm2 
 
Para força atuando no sentido vertical: 
adm = M / Wy = 375.000 / 65.181 = 5,8 Kgf/mm2 
 
 
4) Sobre uma viga agem os esforços representados 
na figura. 
Selecionar o perfil tipo I mais adequado na tabela 
anexa, levando em conta também o custo, para 
operar com segurança no sistema apresentado 
para resistir à flexão. 
Condição de carregamento conforme mostrada ao 
lado. 
Utilizar nos cálculos um fator de segurança igual a 
2. 
Não considerar o peso próprio da viga. 
Material da viga com e = 180 MPa e E = 200 GPa. 
 
 
 
 
Momento máximo = 18kNm = 18.000.000 Nmm 
 
Cálculo do perfil: 
K = 2 
σadm = σe / K = 180 / 2 = 90 N/mm2 
Mmáx = 18.000.000 Nmm 
 
σadm = Mmáx / W, então W = Mmáx / σadm, então, 
W =18.000.000 / 90 = 200.000mm3 = 200cm3 
 
Forças atuam na direção y, então escolher com Wx imediatamente superior ao calculado: 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 28 
Perfil I 8 x 4” x 6,86 mm esp alma com Wx = 236cm3 
 
 
5) Sobre uma viga agem os esforços representados 
na figura. 
Selecionar o perfil tipo I mais adequado na tabela 
anexa, levando em conta também o custo, para 
operar com segurança no sistema apresentado para 
resistir à flexão. 
Condição de carregamento conforme mostrada ao 
lado. 
Utilizar nos cálculos um fator de segurança igual a 
2,5. 
Não considerar o peso próprio da viga. 
Material da viga com e = 180 MPa e E = 200 GPa. 
 
 
Momento máximo = 26Nm = 26.000.000 Nmm 
 
Cálculo do perfil: 
K = 2,5 
σadm = σe / K = 180 / 2,5 = 72 N/mm2 
Mmáx = 26.000.000 Nmm 
 
σadm = Mmáx / W, então W = Mmáx / σadm, então, 
W =26.000.000 / 72 = 361.111mm3 = 361,11cm3 
 
Forças atuam na direção y, então escolher com Wx imediatamente superior ao calculado: 
 
Perfil I 10 x 4 5/8” x 7,87 mm esp alma com Wx = 405cm3 
 
6) O robô industrial, mostrado na figura abaixo, é mantido na posição estacionária indicada e ele é rotulado em A e 
conectado a um cilindro hidráulico BD. 
Dimensione a o eixo ABC quanto à sua resistência à flexão, admitindo que o braço e a garra tenham um peso 
uniforme de 0,6 KN/m e suportam uma carga de 4 KN em C. Considerar a secção transversal circular do braço 
praticamente maciça. 
Dados: Material do braço com e = 280 MPa. 
Condição de carregamento conforme mostrada ao lado. 
Sabe-se que o máximo momento fletor agindo na estrutura é de 5,28kNm. 
Utilizar nos cálculos um fator de segurança igual a 2. 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 29 
 
Diagrama do momento fletor: 
 
Cálculo do perfil: 
K = 2 (fator de segurança) 
σadm = σe / K = 280 / 2 = 140 N/mm2 
Mmáx = 5,28 kNm = 5.280.000 Nmm 
 
σadm = Mmáx / W, então W = Mmáx / σadm, então W = 5.280.000 / 140 = 37.714 mm3 (módulo de resistência) 
 
Fórmula para cálculo do módulo de resistência de eixos maciços: 
,
3
X
3
3 3
3
 x d
W = 
32
 x d 37.714 x 32
37.714 = , então = d , então 384.152 = d , então
32
d= 384.152 = 72,69mm



 
 
 
7) Dimensionar, calculando o seu diâmetro, o eixo de um motor elétrico representado na figura com relação à sua 
resistência à flexão, considerando que o mesmo possui secção circular maciça. 
A carga aplicada na polia e ponta do eixo é de 22 kN para acionamento de um outro equipamento acoplado ao motor 
através de uma correia. 
Dados: Material do eixo com e = 280 MPa. 
Condição de carregamento conforme mostrada ao lado. 
Sabe-se que o máximo momento fletor agindo na estrutura é de 4,4kNm. 
Não considerar o peso próprio do eixo. 
Utilizar nos cálculos um fator de segurança igual a 2. 
 
Diagrama do momento fletor: 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis30 
 
Cálculo do perfil: 
K = 2 (fator de segurança) 
σadm = σe / K = 280 / 2 = 140 N/mm2 
Mmáx = 4,4 kNm = 4.400.000 Nmm 
 
σadm = Mmáx / W, então W = Mmáx / σadm, então W = 4.400.000 / 140 = 31.429 mm3 (módulo de resistência) 
 
Fórmula para cálculo do módulo de resistência de eixos maciços: 
,
3
X
3
3 3
3
 x d
W = 
32
 x d 31.429 x 32
31.429 = , então = d , então 320.133 = d , então
32
d= 320.133 = 68,4mm



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 31 
RESISTÊNCIA À FLEXÃO – RESUMO 
 
 
 
Depende do material e secção transversal da viga / estrutura. 
 
2 2
3 3
X X
3 x 8 8 x 3
W = = 32 cm , W = = 12 cm
6 6
 
A primeira situação de aplicação de força apresentará maior resistência à flexão. 
 
Momento de Inércia J: resistência ao movimento da estrutura. 
 
Sequência para dimensionamento: 
 
1) Cálculo do baricentro (centróide). 
 
Secção simples: utilizar fórmula tabelada. 
 
Secção complexa: 
Dividir a secção da estrutura em secções conhecidas. 
Definir origem e eixos de coordenadas x e y, de forma que facilitem o cálculo do baricentro da secção da estrutura. 
Cálculo do baricentro de cada secção, em relação à origem definida para a secção da estrutura. 
Áreas que fazem parte da secção da estrutura (positiva) e que não fazem parte da estrutura (negativa). 
Preencher tabela: 
Secção Área S xCG yCG xCG x S yCG x S 
 
 
 
 Σ 
CG CG
CG CG
Σx x S Σy x S
x = , y = 
ΣS ΣS
 
Perfis com secções padronizadas: tabela definem a área da secção transversal e localização do baricentro. 
 
2) Cálculo do momento de inércia J. 
 
Sentido de flexão da estrutura: 
 No lado oposto ao da aplicação da carga. 
 
Maior resistência à flexão: 
 No sentido do maior momento de inércia da secção da estrutura. 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 32 
Secção simples: aplicar fórmula tabelada 
 
 Secção retangular: 
 
3 3
X Y
b x h h x b
J = , J = 
12 12
 
 
 Secção circular: 
 
4
X Y
 x d
J = J = 
64

 
 
 Secção tubular: 
 
4 )4
X Y
 x (D - d
J = J = 
64

 
 
Secção complexa: 
Perfis com secções padronizadas: tabela definem os momentos de inércia. 
 
a) Soma de secções: 
 
Calcular Jx e Jy para cada secção menor conhecida. 
 
Calcular momento de inércia resultante. 
 Para n secções: 
 
2 2 2
X X1 1 1 X2 2 2 X3 3 3J = (J + S x y ) + (J + S x y ) + (J +S x y )+... 
 
2 2 2
Y Y1 1 1 Y2 2 2 Y3 3 3J = (J + S x x ) + (J + S x x ) + (J +S x x )+... 
 
 b) Subtração de secções: 
 
 CG coincidentes: 
 
 X X1 X2 Y Y1 Y2J = J - J , J = J - J 
 Secção 1: retângulo completo, Secção 2: circulo 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 33 
CG não coincidentes: 
 
 
2 2 2
X X1 1 1 X2 2 2 X3 3 3J = (J + S x y ) - (J + S x y ) - (J +S x y ) 
 
2 2 2
Y Y1 1 1 Y2 2 2 Y3 3 3J = (J + S x x ) - (J + S x x ) - (J +S x x ) 
 Secção 1: retângulo maior completo, Secção 2: círculo, Secção 3: retângulo menor 
 
3) Cálculo do módulo de resistência à flexão W. 
 
Secção simples: aplicar fórmula tabelada 
 
 Secção retangular: 
 
2 2
X Y
b x h h x b
W = , W = 
6 6
 
 
 Secção circular: 
 
3
X Y
 x d
W = W = 
32

 
 
 Secção tubular: 
 
4 )4
X Y
 x (D - d
W = W = 
32D

 
 
Secção complexa: 
Perfis com secções padronizadas: tabela definem os módulos de resistência. 
 
 xMAX e yMAX: máxima distância em relação às bordas, nas direções x e y. 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 34 
 
 
 
 X YX Y
MAX MAX
J J
W = , W = 
y x
 
 
4) Dimensionamento da secção da estrutura: 
 
 eADM = 
K

 
 MAXADM
M
 = 
W
 
 
MMAX: Máximo momento fletor atuante na estrutura, determinado pelo diagrama de momento fletor. 
 
W: Módulo de resistência de flexão, em relação aos eixos x ou y, que deve ser escolhido de acordo onde 
ocorre a flexão. 
 
 Exemplo: Utilizando Wx para dimensionamento. 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 35 
 
 
Quando utilizar perfis padronizados, consultar a tabela de perfis do fabricante escolhendo o perfil que tenha um 
módulo de resistência W imediatamente superior ao valor calculado. 
 
 
 
 
PERFIL I 
 Dimensões A EIXO X-X EIXO Y-Y P 
Medida 
Nominal 
Altura h 
(mm) 
Largura 
mesa b 
(mm) 
Espessura 
alma d (mm) 
Área 
secção 
(cm2) 
Jx 
(cm4) 
Wx 
(cm3) 
rx 
(cm) 
Jy 
(cm4) 
Wy 
(cm3) 
ry 
(cm) 
Peso 
(Kg/m) 
3"x 2 3/8" 76,2 59,2 4,32 10,8 105 27,6 3,12 18,9 6,4 1,33 8,5 
3"x 2 3/8" 76,2 61,2 6,38 12,3 112 29,6 3,02 21,3 7,0 1,31 9,7 
3"x 2 3/8" 76,2 63,7 8,86 14,2 121 32,0 2,93 24,4 7,7 1,31 1,.2 
4"x 2 5/8" 101,6 67,6 4,83 14,5 252 49,7 4,17 31,7 9,4 1,48 11,4 
4"x 2 5/8" 101,6 69,2 6,43 16,1 266 52,4 4,06 34,3 9,9 1,46 12,7 
4"x 2 5/8" 101,6 71,0 8,28 18,0 283 55,6 3,96 37,6 10,6 1,45 14,1 
4"x 2 5/8" 101,6 72,9 10,20 19,9 299 58,9 3,87 41,2 11,3 1,44 15,6 
5"x 3" 127,0 76,2 5,33 18,8 511 80,4 5,21 50,2 13,2 1,63 14,8 
5"x 3" 127,0 79,7 8,81 23,2 570 89,8 4,95 58,6 14,7 1,59 18,2 
5"x 3" 127,0 83,4 12,50 28,0 634 99,8 4,76 69,1 16,6 1,57 22,0 
6"x 3 3/8" 152,4 84,6 5,84 23,6 919 120,6 6,24 75,7 17,9 1,79 18,5 
6"x 3 3/8" 152,4 87,5 8,71 28,0 1003 131,7 5,99 84,9 19,4 1,74 22,0 
6"x 3 3/8" 152,4 90,6 11,80 32,7 1095 143,7 5,79 96,2 21,2 1,72 25,7 
 
Exemplo: Para um perfil I, obtivemos pelo cálculo Wx = 61 cm3. 
Devemos escolher pela tabela o perfil I com Wx = 80,4 cm3, com medidas de: 5” x 3” x 5,33 mm (altura x largura x 
espessura da alma). 
 
Diagrama da força cortante e momento fletor: 
 
Sentido de montagem do diagrama: esquerda para a direita. 
 
Cálculo da força cortante e do momento fletor em cada secção (I, II, III, etc). 
 
Cálculo um pouco antes da secção e um pouco depois da secção. 
 
 Motivo: 
Momento fletor: um pouco antes, não tem a ação do momento, um pouco depois já existe a ação do 
momento de 20 kNm. 
 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 36 
 
 
 
 
Carga distribuída 
 
Exemplo: Carga uniformemente distribuída. 
 
Força cortante 
 
Neste trecho: 
 
Numa distância X 
Q = 2 x X 
 
Momento fletor 
 
Neste trecho: 
 
Numa distância X 
M = Q x X/2 = 2 x X x X/2 
 
Após o trecho onde age a carga distribuída, considerar a força equivalente desta carga distribuída nos cálculos de 
força cortante e momento fletor. 
 
 
 
 
 
 
TABELA DE PERFIS PADRONIZADOS 
 
PERFIL I 
 Dimensões A EIXO X-X EIXO Y-Y P 
Medida 
Nominal 
Altura 
h (mm) 
Largura 
mesa b 
(mm) 
Espessura 
alma d (mm) 
Área 
secção 
(cm2) 
Jx 
(cm4) 
Wx 
(cm3) 
rx (cm) 
Jy 
(cm4) 
Wy 
(cm3) 
ry 
(cm) 
Peso 
(Kg/m) 
3"x 2 3/8" 76,2 59,2 4,32 10,8 105 27,6 3,12 18,9 6,4 1,33 8,5 
3"x 2 3/8" 76,2 61,2 6,38 12,3 112 29,6 3,02 21,3 7,0 1,31 9,7 
3"x 2 3/8" 76,2 63,7 8,86 14,2 121 32,0 2,93 24,4 7,7 1,31 1,.2 
4"x 2 5/8" 101,6 67,6 4,83 14,5 252 49,7 4,17 31,7 9,4 1,48 11,4 
4"x 2 5/8" 101,6 69,2 6,43 16,1 266 52,4 4,06 34,3 9,9 1,46 12,7 
4"x 2 5/8" 101,6 71,0 8,28 18,0 283 55,6 3,96 37,6 10,6 1,45 14,1 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 37 
4"x 2 5/8" 101,6 72,9 10,20 19,9 299 58,9 3,87 41,2 11,3 1,44 15,6 
5"x 3" 127,0 76,2 5,33 18,8 511 80,4 5,21 50,2 13,2 1,63 14,8 
5"x 3" 127,0 79,7 8,81 23,2 570 89,8 4,95 58,6 14,7 1,59 18,2 
5"x 3" 127,0 83,4 12,50 28,0 634 99,8 4,76 69,1 16,6 1,57 22,06"x 3 3/8" 152,4 84,6 5,84 23,6 919 120,6 6,24 75,7 17,9 1,79 18,5 
6"x 3 3/8" 152,4 87,5 8,71 28,0 1003 131,7 5,99 84,9 19,4 1,74 22,0 
6"x 3 3/8" 152,4 90,6 11,80 32,7 1095 143,7 5,79 96,2 21,2 1,72 25,7 
8"x 4" 203,2 101,6 6,86 34,8 2400 236,0 8,30 155,1 30,5 2,11 27,3 
8"x 4" 203,2 103,6 8,86 38,9 2540 250,0 8,08 165,9 32,0 2,07 30,5 
8"x 4" 203,2 105,9 11,20 43,7 2700 266,0 7,86 179,4 33,9 2,03 34,3 
8"x 4" 203,2 108,3 13,50 48,3 2860 282,0 7,69 194 35,8 2,00 38,0 
10"x 4 
5/8" 
254,0 118,4 7,87 48,1 5140 405,0 10,30 282 47,7 2,42 37,7 
10"x 4 
5/8" 
254,0 121,8 11,40 56,9 5610 442,0 9,93 312 51,3 2,34 44,7 
10"x 4 
5/8" 
254,0 125,6 15,10 66,4 6120 482,0 9,60 348 55,4 2,29 52,1 
10"x 4 
5/8" 
254,0 129,3 18,80 75,9 6630 522,0 9,35 389 60,1 2,26 59,6 
12"x 5 
1/4" 
304,8 133,4 11,70 77,3 11330 743,0 12,10 563 84,5 2,70 60,6 
12"x 5 
1/4" 
304,8 136,0 14,40 85,4 11960 785,0 11,80 603 88,7 2,66 67,0 
12"x 5 
1/4" 
304,8 139,1 17,40 94,8 12690 833,0 11,60 654 94,0 2,63 74,4 
12"x 5 
1/4" 
304,8 142,2 20,60 104,3 13430 881,0 11,30 709 99,7 2,61 81,9 
15"x 5 
1/2" 
381,0 139,7 10,40 80,6 18580 975,0 15,20 598 85,7 2,73 63,3 
15"x 5 
1/2" 
381,0 140,8 11,50 84,7 19070 1001,0 15,00 614 87,3 2,70 66,5 
15"x 5 
1/2" 
381,0 143,3 14,00 94,2 20220 1061,0 14,70 653 91,2 2,63 73,9 
15"x 5 
1/2" 
381,0 145,7 16,50 103,6 21370 1122,0 14,40 696 95,5 2,59 81,4 
18"x 6" 457,2 152,4 11,70 103,7 33460 1464,0 18,00 867 113,7 2,89 81,4 
18"x 6" 457,2 154,6 13,90 113,8 35220 1541,0 17,60 912 117,9 2,83 89,3 
18"x 6" 457,2 156,7 16,00 123,3 36880 1613,0 17,30 957 122,1 2,79 96,8 
18"x 6" 457,2 158,8 18,10 132,8 38540 1686,0 17,00 1004 126,5 2,75 104,3 
20"x 7" 508,0 177,8 15,20 154,4 61640 2430,0 20,00 1872 211,0 3,48 121,2 
20"x 7" 508,0 179,1 16,60 161,3 63110 2480,0 19,80 1922 215,0 3,45 126,6 
20"x 7" 508,0 181,0 18,40 170,7 65140 2560,0 19,50 1993 220,0 3,42 134,0 
20"x 7" 508,0 182,9 20,30 180,3 67190 2650,0 19,30 2070 226,0 3,39 141,5 
20"x 7" 508,0 184,7 22,20 189,7 69220 2730,0 19,10 2140 232,0 3,36 148,9 
 
 
PERFIL U 
 P Dimensões A EIXO X-X EIXO Y-Y CG 
Medida 
Nominal 
Peso 
(Kg/m) 
Altura 
h (mm) 
Espessura 
alma d 
(mm) 
Largura 
aba b 
(mm) 
 Área 
secção 
(cm²) 
 Jx 
(cm4) 
 Wx 
(cm²) 
 rx 
(cm) 
Jy (cm4) 
Wy 
(cm³) 
 ry 
(cm) 
 xG 
(cm) 
3"x 1 1/2" 6,1 76,2 4,32 35,8 7,78 68,9 18,1 2,98 8,2 3,32 1,03 1,11 
3"x 1 1/2" 7,4 76,2 6,55 38 9,48 77,2 20,3 2,85 10,3 3,82 1,04 1,11 
3"x 1 1/2" 8,9 76,2 9,04 40,5 11,4 86,3 22,7 2,75 12,7 4,39 1,06 1,16 
4"x 1 5/8" 8,0 101,6 4,57 40,1 10,1 159,5 31,4 3,97 13,1 4,61 1,14 1,16 
4"x 1 5/8" 9,3 101,6 6,27 41,8 11,9 174,4 34,3 3,84 15,5 5,1 1,14 1,15 
4"x 1 5/8" 10,8 101,6 8,13 43,7 13,7 190,6 37,5 3,73 18,0 5,61 1,15 1,17 
6"x 2" 12,2 152,4 5,08 48,8 15,5 546 71,7 5,94 28,8 8,06 1,36 1,3 
6"x 2" 15,6 152,4 7,98 51,7 19,9 632 82,9 5,63 36,0 9,24 1,34 1,27 
6"x 2" 19,4 152,4 11,1 54,8 24,7 724 95,0 5,42 43,9 10,5 1,33 1,31 
6"x 2" 23,1 152,4 14,2 57,9 29,4 815 107 5,27 52,4 11,9 1,33 1,38 
8"x 2 1/4" 17,1 203,2 5,59 57,4 21,8 1356 133,4 7,89 54,9 12,8 1,59 1,45 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 38 
8"x 2 1/4" 20,5 203,2 7,7 59,5 26,1 1503 147,9 7,6 63,6 14 1,56 1,41 
8"x 2 1/4" 24,2 203,2 10 61,8 30,8 1667 164 7,35 72,9 15,3 1,54 1,4 
8"x 2 1/4" 27,9 203,2 12,4 64,2 35,6 1830 180,1 7,17 82,5 16,6 1,52 1,44 
8"x 2 1/4" 31,6 203,2 14,7 66,5 40,3 1990 196,2 7,03 92,6 17,9 1,52 1,49 
10"x 2 
5/8" 
22,7 254 6,1 66 29,0 2800 221 9,84 95,1 19 1,81 1,61 
10"x 2 
5/8" 
29,8 254 9,63 69,6 37,9 3290 259 9,31 117 21,6 1,76 1,54 
10"x 2 
5/8" 
37,2 254 13,4 73,3 47,4 3800 299 8,95 139,7 24,3 1,72 1,57 
10"x 2 
5/8" 
44,7 254 17,1 77 56,9 4310 339 8,7 164,2 27,1 1,7 1,65 
10"x 2 
5/8" 
52,1 254 20,8 80,8 66,4 4820 379 8,52 191,7 30,4 1,7 1,76 
12"x 3" 30,7 304,8 7,11 74,7 39,1 5370 352 11,7 161,1 28,3 2,03 1,77 
12"x 3" 37,2 302,8 9,83 77,4 47,4 6010 394 11,3 186,1 30,9 1,98 1,71 
12"x 3" 44,7 304,8 13 80,5 56,9 6750 443 10,9 214 33,7 1,94 1,71 
12"x 3" 52,1 304,8 16,1 83,6 66,4 7480 491 10,6 242 36,7 1,91 1,76 
12"x 3" 59,6 304,8 19,2 86,7 75,9 8210 539 10,4 273 39,8 1,9 1,83 
15"x 3 
3/8" 
50,4 381 10,2 86,4 64,2 13100 688 14,3 338 51 2,3 2 
15"x 3 
3/8" 
52,1 381 10,7 86,9 66,4 13360 701 14,2 347 51,8 2,29 1,99 
15"x 3 
3/8" 
59,5 381 13,2 89,4 75,8 14510 762 13,8 387 55,2 2,25 1,98 
15"x 3 
3/8" 
67,0 381 15,7 91,9 85,3 15650 822 13,5 421 58,5 2,22 1,99 
15"x 3 
3/8" 
74,4 381 18,2 94,4 94,8 16800 882 13,3 460 62 2,2 2,03 
15"x 3 
3/8" 
81,9 381 20,7 96,9 104,3 17950 942 13,1 498 66,5 2,18 2,21 
 
 
CANTONEIRA DE ABAS IGUAIS 
Dimensões Área P EIXO X-X e Y-Y 
Dimensão 
Nominal (pol) 
Dimensão 
Nominal 
(mm) 
Espessura 
(pol) 
Área 
secção 
(cm²) 
Peso 
(kg/m) 
Jx = Jy 
(cm4) 
Wx = 
Wy 
(cm³) 
rx = ry 
(cm) 
imáx 
(cm) 
imin 
(cm) 
xG = 
yG 
(cm) 
5/8 x 5/8 16 x 16 1/8 0,96 0,71 0,20 0,18 0,45 0,56 0,3 0,51 
3/4 x 3/4 19 x 19 1/8 1,16 0,88 0,37 0,28 0,58 0,73 0,38 0,58 
7/8 x 7/8 22 x 22 1/8 1,35 1,04 0,58 0,37 0,66 0,8 0,48 0,66 
7/8 x 7/8 22 x 22 1/8 1,48 1,19 0,83 0,49 0,76 0,96 0,51 0,76 
1 x 1 25 x 25 3/16 2,19 1,73 1,24 0,65 0,76 0,95 0,48 0,81 
1 x 1 25 x 25 1/4 2,83 2,21 1,66 0,98 0,73 0,91 0,48 0,86 
Dimensões Área P EIXO X-X e Y-Y 
Dimensão 
Nominal (pol) 
Dimensão 
Nominal 
(mm) 
Espessura 
(pol) 
Área 
secção 
(cm²) 
Peso 
(kg/m) 
Jx = Jy 
(cm4) 
Wx = 
Wy 
(cm³) 
rx = ry 
(cm) 
imáx 
(cm) 
imin 
(cm) 
xG = 
yG 
(cm) 
1 1/4 x 1 1/4 32 x 32 1/8 1,93 1,5 1,66 0,81 0,96 1,21 0,63 0,91 
1 1/4 x 1 1/4 32 x 32 3/16 2,77 2,2 2,49 1,14 0,96 1,2 0,61 0,96 
1 1/4 x 1 1/4 32 x 32 ¼ 3,61 2,86 3,32 1,47 0,93 1,16 0,61 1,01 
1 1/2 x 1 1/2 38 x 38 1/8 2,32 1,83 3,32 1,14 1,19 1,5 0,76 1,06 
1 1/2 x 1 1/2 38 x 38 3/16 3,42 2,68 4,57 1,63 1,16 1,47 0,73 1,11 
1 1/2 x 1 1/2 38 x 38 1/4 4.45 3,48 5,82 2,13 1,14 1,44 0,73 1,19 
1 1/2 x 1 1/2 38 x 38 5/16 5,42 4,26 6,65 4,53 1,11 1,39 0,73 1,24 
1 3/4 x 1 3/4 44 x 44 1/8 2,7 2,14 5,41 1,63 1,39 1,76 0,88 1,21 
1 3/4 x 1 3/4 44 x 44 3/16 3,99 3,15 7,49 2,29 1,37 1,73 0,88 1,29 
1 3/4 x 1 3/4 44 x 44 1/4 5,22 4,12 9,57 3,11 1,34 1,69 0,86 1,34 
1 3/4 x 1 3/4 44 x 44 5/16 6,45 5,05 11,23 3,77 1,32 1,66 0,86 1,39 
1 3/4 x 1 3/4 44 x 44 3/8 7,61 5,94 12,9 4,26 1,29 1,61 0,86 1,45 
2 x 2 51 x 51 1/8 3,09 2,46 7,90 2,13 1,6 2,03 1,01 1,39 
 
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 39 
2 x 2 51 x 51 3/16 4,58 3,63 11,23 3,11 1,57 1,99 0,99 1,44 
2 x 2 51 x 51 1/4 6,06 4,76 14,56 4,09 1,54 1,94 0,99 1,49 
2 x 2 51 x 51 5/16 7,41 5,83 17,48 4,91 1,52 1,91 0,99 1,54 
2 x 2 51 x 51 3/8 8,77 6,99 19,97 5,73 1,49 1,86 0,99 1,62 
2 1/2 x 2 1/2 64 X 64 1/4 7,68 4,1 29,1 6,4 1,95 2,45 1,24 1,83 
2 1/2 x 2 1/2 64 X 64 5/16 9,48 5 35,4 7,8 1,93 2,43 1,24 1,88 
2 1/2 x 2 1/2 64 X 64 3/8 11,16 5,9 40,8 9,1 1,91 2,41 1,22 1,93 
3 x 3 76 5/16 11,48 6,1 62,4 11,6 2,33 2,94 1,5 2,21 
3 x 3 76 3/8 13,61 7,2 74,9 14 2,35 2,92 1,47 2,26 
3 x 3 76 7/16 15,68 8,3 83,3 15,7 2,3 2,91 1,47 2,31 
3 x 3 76 1/2 17,74 9,4 91,6 17,5 2,27 2,86 1,47 2,36 
4 x 4 102 3/8 18,45 9,8 183,1 25,1 3,15 3,96 2 2,9 
4 x 4 102 7/16 21,35 11,3 208,1 28,7 3,12 3,94 1,98 2,95 
4 x 4 102 1/2 24,19 12,8 233,1 32,4 3,1 3,91 1,98 3 
4 x 4 102 9/16 26,97 14,3 253,9 35,6 3,07 3,86 1,98 3,07 
4 x 4 102 5/8 29,74 15,7 278,9 39,4 3,06 3,86 1,96 3,12 
5 x 5 127 1/2 30,65 16,2 470,3 51,9 3,92 4,95 2,49 3,63 
5 x 5 127 9/16 34,26 18,1 516,1 57,4 3,88 4,89 2,49 3,71 
5 x 5 127 5/8 37,81 20 566,1 63,3 3,87 4,89 2,46 3,76 
5 x 5 12711/16 41,29 21,8 611,9 68,8 3,85 4,86 2,46 3,81 
5 x 5 127 3/4 44,77 23,6 653,5 73,9 3,82 4,82 2,46 3,86 
6 x 6 152 3/8 28,13 14,9 641,0 58,1 4,77 6,05 3,02 4,17 
6 x 6 152 7/16 32,65 17,2 736,7 67,1 4,75 6,02 3,02 4,22 
6 x 6 152 1/2 37,1 19,6 828,3 75,8 4,73 5,97 3 4,27 
6 x 6 152 9/16 41,48 21,9 919,9 84,7 4,71 5,95 3 4,34 
6 x 6 152 5/8 45,87 24,2 1007,3 93,2 4,69 5,94 2,97 4,39 
6 x 6 152 11/16 50,19 26,5 1090,5 101,4 4,66 5,9 2,97 4,45 
6 x 6 152 3/4 54,45 28,7 1173,8 109,9 4,64 5,84 2,97 4,52 
6 x 6 152 13/16 58,65 31 1252,9 117,9 4,62 5,81 2,97 4,57 
6 x 6 152 7/8 62,77 33,1 1327,8 125,5 4,6 5,8 2,97 4,62 
8x 8 203 1/2 50 26,4 2022,9 137,2 6,36 8,05 4,01 5,56 
8x 8 203 9/16 56 29,6 2251,8 153,3 6,34 8,02 4,01 5,61 
8x 8 203 5/8 62 32,7 2472,4 168,9 6,31 7,97 4,01 5,66 
8x 8 203 11/16 67,94 35,8 2688,8 184,4 6,29 7,95 4,01 5,72 
8x 8 203 3/4 73,81 38,9 2901,1 199,9 6,27 7,92 3,99 5,79 
8x 8 203 13/16 79,61 42 3109,2 215 6,25 7,89 3,99 5,84 
8x 8 203 7/8 85,35 45 3313,2 229,9 6,23 7,86 3,96 5,89 
8x 8 203 15/16 91,1 48,1 3508,8 244,3 6,21 7,84 3,96 5,94 
8x 8 203 1" 96,77 51 3704,4 259,4 6,19 7,81 3,96 6,02