Exercícios de Cálculo II

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Universidade Federal de Viçosa 
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Departamento de Matemática 
 
3a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 147-CÁLCULO II 
 
1) Use o método de variação de parâmetro para encontrar uma solução particular para a equação 
 
a) xeyyy 265 =+′−′′ 
b) xeyyy −=+′+′′ 32 
c) xyyxyx ln432 =+′−′′ 
d) xyyxyx ln432 =+′−′′ 
 
2) Calcule os limites das seqüências, se existir. 
a) 
510
134
2
2
++
+−
=
nn
nn
an resposta: 4 
b) 
( )( )
n
nn
an 510
5123
−
−+
= resposta: 3 
c) 




 +=
n
nan
1
1ln resposta: 1 
d) 
nn e
n
a
2cos
= resposta 0 
e) 
n
n
na
3
2
= resposta 0 
f) nnan −+= 1
2 resposta: +∞→na 
g) 
11
22
++
−
+
=
an
n
n
n
an , RIa ∈ resposta: a 
h) 
n
n
n
e
ne
a
21+
= resposta: 0 
i) 




 −=
n
a
nan cos1
2 resposta 
2
2a
 
j) 
( )
n
n
a
k
n
ln
= , NIk ∈ resposta: 0 
k) 
k
n
n
n
a
1
ln= , NIk ∈ resposta: 0 
l) 




−=+
=
= 121
21
kn
k
k
kn
an resposta 1 
 
3) Escrever os 4 primeiros termos das seqüências, dado os termos de ordem n abaixo. Existe o limite 
n
n
n a
a 1lim +
∞→
 nos casos (i) e (ii)? 
(i) 
3
2
1 1)1(
n
n
a nn
+
−= + resposta 




 −− ...,
64
17
,
27
10
,
8
5
,2 e 1lim 1 =+
+∞→ n
n
n a
a
 
(ii) 
)!2(
2
n
n
an = resposta 




 ...,
2520
1
,
80
1
,
6
1
,
2
1
 e 0lim 1 =+
+∞→ n
n
n a
a
 
 
4) Determine se as seqüências abaixo são convergentes ou divergentes. Caso seja convergente para 
onde converge? 
a) { }3232 −−+ nn resposta { }na é convergente e 0→na 
b) 








n
e n
 resposta { }na é divergente 
c) 





 ++++
n
nL321
 resposta { }na é divergente 
d) { }2 −nn e resposta { }na é convergente e 0→na 
e) 
3 2
3 2
n 3n 4
n n 8n 12
 − +
 − − + 
 resposta { }na é convergente e 1→na 
f) 
3
3
n
1 2n
 
 + 
 resposta { }na é convergente e 
1
2n
a → 
g) ( )
3
n
3
n
1
1 2n
 
− + 
 resposta: { }na é divergente 
h) ( )
3
n
4
n
1
1 2n
 
− + 
 resposta { }na é convergente e 0→na 
 
5) Use o teorema da convergência monótona para mostrar que as seqüências dadas são 
convergentes. 
a) 






nn
n !
 resposta: Mostre que a seqüência é monótona decrescente e note que o primeiro termo é um 
limitante superior , é claro que a seqüência é positiva, logo NInan ∈∀≤< ,10 . Aplique então o Teorema 
da Convergência Monótona ( Toda seqüência monótona limitada é convergente ) para concluir que a 
seqüência converge. 
 
b) 






+
−
45
13
n
n
 resposta: Mesmo raciocínio do item a). 
 
6) Dê o termo de ordem n das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As 
convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem (n+1). 
a) (1, 4, 7, 10, ...) resposta 23 −= nan 
b) 
1 3 7
1 , 1 , 1 , ...
2 4 8
 + + +  
 resposta 
n
n
na
2
12
1
−
+= , converge 
c) 
1 1 1
1, , , , ...
1 3 1 3 5 1 3 5 7
 
 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
 resposta:
( )
( )
12 1 !1
1.3.5...(2 1) 2 1 !
n n
an
n n
− −
= =
− −
, converge 
d) 
1 1 1 1
1, , , , , ...
2 3 4 5
 − −  
 resposta 
( )
n
a
n
n
11 +−= , converge 
e) 




 L,
7
9
,
6
7
,
5
5
,
4
3
,
3
1
 resposta 
2
12
+
−
=
n
n
an , converge 
f) ( )1 , 1 3 , 1 3 5 , 1 3 5 7 , ...+ + + + + + resposta 2nan = 
g) 







⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
L,
54321
2
,
4321
2
,
321
2
,
21
2
,1
5432
 resposta 
!
2
n
a
n
n = , converge 
h) 




 L,
7
10
,
6
8
,
5
6
,
4
4
,
3
2
 resposta 
2
2
+
=
n
n
an , converge 
 
7) Verifique se converge ou diverge cada seqüência cujo termo geral é dado abaixo. Calcule os limites 
das convergentes. Existe limite 
n
n
n a
a
lim 1+
∞→
 nos casos a), b), c), h) ? 
a) 
n
n
an
1+= resposta { }na é convergente e 1→na com 11 →+
n
n
a
a
 
b) ( )
1
1
+
−=
n
n
a nn resposta { }na é divergente com 11 −→+
n
n
a
a
 
c) 
12 +
=
n
n
an resposta { }na é convergente e 1→na com 11 →+
n
n
a
a
 
e) 
n
sennan
1= resposta { }na é convergente e 1→na 
g) nna 3= resposta { }na é convergente e 1→na 
h) 
nn
n
a
3
= resposta { }na é convergente e 0→na e 3
11 →+
n
n
a
a
 
8) Dê exemplo de uma seqüência que seja convergente ( logo limitada ), porém não-monótona. 
 
9) Seja a seqüência { }na definida por 21 =a e 1,21 ≥+=+ naa nn . 
 
a) Ela é monótona? Justifique. resposta 
b) Ela é limitada? Justifique. resposta 
c) Ela é convergente? Justifique. Resposta 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Seja a seqüência { }na definida por 21 =a e ( ) 1,42
1
1 ≥+=+ naa nn . 
a) Determine os cincos primeiros termos da seqüência e também o 101o termo. 
resposta 





−= ...,
2
1
4,...,
8
31
,
4
15
,
2
7
,3,2
99101
a 
b) A seqüência é monótona? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA. resposta: monótona crescente 
c) Determine se esta seqüência é convergente ou não. JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA. 
 Resposta: Aplique o Teorema da Convergência Monótona 
 
11) Prove que 
a) 1,
1
1......1
2
242 <
−
=+++++ x
x
xxx n 
b) 1,
1
......
2
1253 <
−
=+++++ + x
x
x
xxxx n 
c) 1,
1
1...)1(...1 32 <
+
=+−++−+− x
x
xxxx nn 
d) 1,
1
1...)1(...1
2
2642 <
+
=+−++−+− x
x
xxxx nn 
e) 
2
1,
41
1...4...1641
2
242 <
−
=+++++ x
x
xxx nn 
12) Prove que ( ) 11
1
1
=
+∑
∞+
=k kk
 
13) Prove que ( )( ) 2
1
1212
1
1
=
+−∑
∞+
=k kk
 
14) Prove que ( )( ) 4
1
21
1
1
=
++∑
∞+
=k kkk
 
15) Prove que 1
3
12
1
=
−∑
∞+
=k
k
k
 Sugestão: ( )1312 +−=− kkk ⇒
kkk
kkk
3
1
33
12
1
+−=− − 
16) Prove que ∑ 





+ k
k5
1
 é divergente. 
17) Prove que 
a) 
4
11
15
53
0
=
+∑
∞+
=k
k
kk
 
c) 
4
3
15
53
1
=
+∑
∞+
=k
k
kk
 
e) 
8
5...
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
65432
=++++++ 
b) 11
1 2
=
+
−+∑
∞+
=k kk
kk
 
d)
2
1
2
1
2
=∑
∞+
=k
k
f) 
( ) 

=
−<>+
=+
+
+
+
+
00
201
...
11 2 rse
rourser
r
r
r
r
r 
g) 901...
2
1
2
1
2
1
2
1
500
2
1
400
2
1
2
1
2
1
8765432
=++++++++++ 
 
 
 
18) Prove que são divergentes as séries 
a) ∑ nnln 
b) ∑ n n
1
 
c) ∑ +
+
2
12
n
n
 
d) ∑ !n 
e) ∑ n 3
1
 
f) ∑ nsen
 
19) Verifique as condições do teste da integral e utiliza-o para mostrar que: 
a) A série-p , ∑
∞+
=1
1
n
pn
 , converge se 1>p e diverge se 1≤p . 
Obs.: A série harmônica ( 1=p ) é um caso particular. 
b) A série 
( )∑
∞+
=2 ln
1
n
pnn
 converge se 1>p e diverge se 1≤p . 
 
20) Verifique se são convergentes ou divergentes as séries 
a) ∑
6
1
n
 Resposta: convergente 
b) ∑
+3 2 3
1
n
 Resposta: diverge 
c) 
3
1
2 3n +
∑ Resposta: convergente 
d) ∑ n6
1
 Resposta: convergente 
e) ∑ n10
1
 Resposta: diverge 
f) 5
1
n π+∑ Resposta: convergente 
g) ∑
n
n
ln
 Resposta: diverge 
h) ∑
n
nln
 Resposta: diverge 
i) ∑ ncos Resposta: diverge 
j) n
n
e∑ 
k) ( )∑ +
−− −
210
131 1
n
nn 
l) 
( )∑ +
− −
5
1 1
n
nn
 
m) ∑
n
π2sen Resposta: convergente 
n) ∑
++ nn21
1
 Resposta: diverge 
o) ∑
nnn lnlnln
1
 Resposta: diverge 
p) 
[ ]2
1
ln lnlnn n n
∑ Resposta: convergente 
q) ∑ +2
1
n
n
 Resposta: diverge 
r) 
( )∑ −+ n
n
3
13
 Resposta: convergente 
s) ∑ nn2
1
 Resposta: convergente 
t) 
( )
∑
∞+
=2 2
1
ln
1
n nn
 Resposta: converge 
 
21) Dê exemplode duas seqüências { }na e { }nb tais que lim 0nn a→∞ = e { }n na b seja divergente. 
22) Falso ou Verdadeiro, justificando sua resposta. No caso de ser falsa, dê um contra exemplo. 
a) ( ) toda sequência convergente é limitada; 
b) ( ) toda sequência limitada é convergente; 
c) ( ) toda sequência limitada é monótona; 
d) ( ) toda sequência monótona é limitada; 
e) ( ) toda sequência divergente é não monótona; 
f) ( ) toda sequência divergente é não limitada; 
g) ( ) a sequência { }na definida por 1 11 e 1
n
n
na
a a
n+
= =
+
 é convergente; 
h) ( ) se { }, , n n na b n a≤ ∀ crescente e { }nb convergente, então { }na convergente; 
i) ( ) se a sequência { } na converge, então { }na também converge; 
j) ( )Se 
1
n
n
a
∞
=
∑ converge e 0, na n≥ ∀ , então 
1
n
n
a
∞
=
∑ converge; 
k) ( ) Se 
1
n
n
a
∞
=
∑ diverge, então 2
1
n
n
a
∞
=
∑ diverge; 
l) ( ) Se 
1
n
n
a
∞
=
∑ e 
1
n
n
c
∞
=
∑ divergem, então ( )
1
n n
n
a b
∞
=
+∑ diverge; 
m) ( ) Se 
1
n
n
a
∞
=
∑ converge, então 
100
n
n
a
∞
=
∑ converge; 
n) ( ) Se 
1
n
n
a
∞
=
∑ e 
1
n
n
b
∞
=
∑ são convergentes, então 
100
n n
n
a b
∞
=
∑ é convergente; 
o) ( ) Se 
1
n
n
a
∞
=
∑ e 
1
n
n
b
∞
=
∑ são divergentes, então 
100
n n
n
a b
∞
=
∑ é divergente;