TERMODINAMICA Módulo I Conceitos Fundamentais, Sistemas de Unidades, Energia, Calor e Trabalho

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Módulo I – Conceitos Fundamentais, Sistemas de Unidades, Energia, Calor e 
Trabalho 
 
 
Introdução 
 
A termodinâmica é a ciência que trata da energia. Apesar de facilmente podermos 
entender a energia é difícil defini-la com exatidão. Podemos disse que a energia é a capacidade 
de provocar alterações. 
A termodinâmica se baseia na lei fundamental da natureza que é o princípio de 
conservação de energia. A energia pode ser transformada de uma forma para a outra, mas não 
pode ser criada nem destruída, sendo que seu balanço permanece constante. 
Os princípios que regem a termodinâmica são suas Leis, que surgiram na década de 1850, 
em decorrência dos estudos de Willian Rankine, Rudolph Clausis e Lord Kelvin. Hoje a 
termodinâmica desenvolvida por décadas e que analisa os processos de maneira macroscópica é 
chamada de Termodinâmica Clássica, enquanto que uma abordagem mais elaborada, com base 
no comportamento de partículas individuais é chamada de Termodinâmica Estatística. A 
abordagem estatística da termodinâmica é bem sofisticada e foge do escopo de um curso básico 
de graduação, então iremos nesse estudo nos basear nos conceitos da Termodinâmica Clássica. 
A termodinâmica é encontrada em diversos processos presentes na Engenharia e no dia-a-
dia também. Dentre eles podemos citar o funcionamento de sistemas de aquecimento e 
condicionamento de ar, refrigerador, panela de pressão, chuveiro, automóveis, aviões, coletores 
de energia solar, usinas térmicas, nucleares e até mesmo a transformação de energia de nossas 
células e a transferência de calor para manter o corpo em temperatura constante. 
 
 
Unidade e Dimensões 
 
Para podermos analisar qualquer parâmetro que envolva a transferência de energia ou 
qualquer outra grandeza física é importante caracterizar suas dimensões, sendo que sua 
magnitude é dada pelas unidades. As dimensões são divididas em primárias ou fundamentais 
(comprimento, L; massa, m; tempo t; temperatura, T) e secundárias ou derivadas (velocidade, v; 
energia, E; etc). 
Na ciência atual existem dois conjuntos de unidades em uso: o Sistema Inglês e o Sistema 
Internacional As principais unidades são mostradas na tabela a seguir: 
 
 
Grandeza 
Fundamental 
Sistema Internacional 
 
Sistema Inglês 
Unidade Símbolo Unidade Símbolo 
Comprimento metro m pés ft 
Massa quilograma kg libra-massa lbm 
Tempo segundo s segundo s 
Temperatura kelvin K rankine R 
Força newton N libra-força lbf 
Pressão pascal Pa 
libra-força por 
polegada quadrada 
psi 
Energia joule J British Thermal Unit BTU 
Potência watt W BTU por hora BTU/h 
 
Outra parte fundamental é a utilização de prefixos para as unidade como apresentada na 
tabela a seguir: 
 
 
 
Prefixos padrão em unidades do Sistema 
Internacional 
Múltiplos Prefixo Símbolo 
1012 tera T 
109 giga G 
106 mega M 
103 quilo k 
102 hecto h 
10-2 centi c 
10-3 mili m 
10-6 micro µ 
10-9 nano n 
10-12 pico p 
 
 
Conceitos Fundamentais 
 
Sistema: quantidade de matéria ou região no espaço selecionada para estudo. 
Vizinhança: massa ou região fora do sistema. 
Fronteira: superfície real ou imaginária que separa o sistema da vizinhança. Essa pode ser 
fixa ou móvel. A fronteira não tem massa, nem ocupa volume no espaço. 
 
 
 
Sistema fechado: possui uma quantidade fixa de massa que não pode atravessar a 
fronteira, porém permite a passagem de energia na forma de calor e trabalho. 
Sistema isolado: não permite a passagem de massa nem energia pela fronteira. 
 
 
 
Sistema aberto: também conhecido com Volume de Controle, permite o fluxo de massa e 
de energia pela fronteira, que neste caso recebe o nome de superfície de controle. 
 
 
Fase: Matéria que tem a mesma composição química em toda sua extensão. 
Propriedade: Qualquer grandeza que descreve um sistema. 
Estado: condição em que se encontra o sistema, caracterizada pelo conjunto de 
propriedades do mesmo. 
Sistema simples: Aquele cujo estado é definido por apenas duas propriedades. 
Processo: mudança de um estado para outro, isto é, quando qualquer uma das 
propriedades de um sistema se altere. Porém, se nenhuma propriedade se altera com o tempo 
dizemos que o sistema está em regime permanente. 
Propriedade extensiva: Valor depende da quantidade de matéria do sistema, é uma 
propriedade aditiva. (massa, volume, energia, etc). 
Propriedade intensiva: Valor independe da quantidade de matéria. Pode variar ponto a 
ponto, isto é, podem ser função da posição é do tempo (volume específico, pressão, temperatura, 
etc). 
Estado de Equilíbrio: condição em que o sistema não sofre mudanças espontâneas, 
mesmo submetidas a pequenas perturbações. 
Processo quase estático ou de quase equilíbrio: é quando um sistema 
infinitesimalmente próximo a um estado de equilíbrio em todos os momentos, isto é, o processo é 
suficientemente lento que permite ao sistema ajustar-se internamente para que as propriedades 
de uma parte do sistema não mudem mais rapidamente do que as propriedades das outras 
partes. 
Contínuo: apesar de a matéria ser formada por moléculas, e consequentemente, 
apresentar espaços vazios entre os átomos é conveniente para o estudo de a termodinâmica 
clássica considerar a matéria como um contínuo. 
Massa específica: é a massa por unidade de volume. Ela depende da temperatura e da 
pressão para os gases, sendo proporcional a pressão e inversamente proporcional a temperatura. 
Para os sólidos e líquidos, substâncias incompressíveis, a variação com a pressão é praticamente 
desprezível, dependendo apenas da temperatura. 
 
𝜌 =
𝑚
𝜗
 (𝑘𝑔/𝑚3) 
 
Volume específico: é o inverso da massa específica. 
 
𝑣 =
𝜗
𝑚
=
1
𝜌
 (𝑚3/𝑘𝑔) 
 
Densidade ou densidade relativa: é a razão entre a massa específica de uma substância 
e a massa específica de um padrão conhecido como a água ou o ar. Este valor é adimensional. 
 
𝑑 =
𝜌
𝜌𝑎𝑟
 
 
 
 
Peso específico: é o peso de uma unidade de volume de uma substância. 
 
𝛾 = 𝜌𝑔 (𝑁/𝑚3) 
onde g é a aceleração da gravidade 
 
Processo isotérmico: processo que ocorre a temperatura constante. 
Processo isobárico: processo que ocorre a pressão constante. 
Processo isométrico ou isocórico: processo que ocorre a volume constante. 
Ciclo termodinâmico: sucessão de processos por meio dos quais o sistema retorna ao 
estado inicial. 
 
 
Lei Zero da Termodinâmica 
 
A Lei Zero da Termodinâmica foi formulada por R.H. Fowler em 1931 e declara: 
“Se dois corpos estão em equilíbrio térmico com um terceiro corpo, eles também está em 
equilíbrio térmico entre si”. 
 
 
Temperatura e suas Escalas de Medida 
 
As escalas de temperatura usadas no sistema internacional são o Celsius (°C) em 
homenagem ao astrônomo sueco A. Celsius (1702-1744) e o Kelvin (K) em homenagem ao Lord 
Kelvin (1824-1907). Já no sistema inglês as escalas usadas são o Fahrenheit (°F) em 
homenagem ao fabricante de instrumentos alemão G. Fahrenheit (1686-1736) e o Rankine (R) 
em homenagem a William Rankine (1820-1872). 
As escalas Celsius e Fahrenheit foram medidas para a água e, portanto dependem de suas 
propriedades. Já para a termodinâmica é interessante utilizar as escalas Kelvin e Rankine porque 
as mesmas independem das propriedades da substância que está sendo medida. 
É possível relacionar as diferentes escalas pelas equações a seguir. 
 
T(K) = 273,15 + T(°C) 
T(°F) = 32 + 1,8 T(°C) 
T(°F) = T(R) – 459,67 
T(R) = 1,8 T(K) 
 
 
Pressão 
 
Pressão é a força normal exercida por um fluido (gás ou líquido) por unidade de área e é 
dada pela expressão: 
 
𝑃 =
𝐹
𝑎
 (𝑁/𝑚2) 𝑜𝑢 (𝑃𝑎) 
 
Outras unidades de pressão são o bar, atmosfera e quilograma-força por centímetro 
quadrado. 
 
1 bar = 105 Pa = 0,1MPa = 100 kPa 
1 atm = 101325 Pa = 101,325 kPa = 1,01325 bar 
1 kgf/cm2 = 9,807 N/cm2 = 9,807x104 N/m2 = 9,087x104 Pa = 0,9807 bar = 0,9679 atm 
 
A pressão real é chamada absoluta e é medida a partir do zero absoluto, vácuo. Porém a 
maioria dos medidores de pressão é calibrada para medir a partir da pressão atmosférica, sendo 
essa a pressão manométrica. 
 
Pabs = Pman + Patm 
 
A pressão varia com a profundida, isto é, com a coluna de fluido que está sobre o ponto 
medido. 
 
Pman = ρgh 
Pabs = ρgh + Patm 
 
Energia 
 
A energia pode se manifestar de diversas formas: mecânica, elétrica, térmica, cinética, 
potencial, magnética, química e nuclear. A energia total de um sistema é a soma de todas elas. O 
valor absoluto da energia não tem grande relevância para a termodinâmica, sendo que ela está 
mais interessada na variação da mesma. 
A energia pode ser analisada através de uma forma macroscópica, isto é, que está 
relacionada ao movimento e influência de efeitos externos como a energia cinética e potencial ou 
de uma forma microscópica que está relacionada à estrutura molecular e é chamada de energia 
interna (U). 
Energia cinética (EC) é resultado a um movimento relativo a um referencial e pode ser 
expressa por: 
 
𝐸𝐶 = 𝑚
�⃗� 2
2
 (𝑘𝐽) 𝑜𝑢 𝑒𝑐 =
�⃗� 2
2
 (𝑘𝐽/𝑘𝑔) 
 onde �⃗� é a velocidade em relação a um referencial fixo. 
 
Energia Potencial (EP) é aquela existem em relação à altura em um campo gravitacional e 
sua formulação matemática é dada por: 
 
𝐸𝑃 = 𝑚𝑔𝑧 (𝑘𝐽) 𝑜𝑢 𝑒𝑝 = 𝑔𝑧 (𝑘𝐽/𝑘𝑔) 
 onde g é a aceleração gravitacional e z é a elevação do centro de gravidade do sistema 
com relação a algum nível de referência arbitrário. 
 
Para a termodinâmica iremos considerar apenas essas três formas de energia como o 
valor total presente o sistema. Apesar de haver diversas outras formas de energia seus efeitos 
são significativos apenas em alguns casos específicos. 
 
𝐸 = 𝑈 + 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 = 𝑈 + 𝑚
�⃗� 2
2
+ 𝑚𝑔𝑧 (𝑘𝐽) 
ou 
𝑒 = 𝑢 + 𝑒𝑐 + 𝑒𝑝 = 𝑢 +
�⃗� 2
2
+ 𝑔𝑧 (𝑘𝐽/𝑘𝑔) 
 
Como é de grande importância devemos analisar a energia em relação ao tempo e 
consequentemente por meio de uma taxa. 
 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= �̇� (𝑘𝐽/𝑠 𝑜𝑢 𝑊) 
 
 
Quando estivermos trabalhando com fluxo de energia é conveniente também utilizarmos o 
fluxo de massa ao invés da massa diretamente. 
 
�̇� = 𝜌�̇� = 𝜌𝐴𝑉 (𝑘𝑔/𝑠) 
 onde ρ é a massa específica do fluido, 𝐴 é a área da seção transversal ao escoamento e V 
é a velocidade média do escoamento. 
 
 
Calor 
 
A energia pode cruzar a fronteira de um sistema fechado através de calor ou trabalho. 
Calor segundo o conceito termodinâmico é a transferência de energia térmica durante um 
processo, isto é, é a forma de energia transferida entre dois sistemas (ou entre um sistema e a 
vizinhança) em virtude da diferença de temperatura. Portanto só há transferência de calor se 
houver diferença de temperatura. 
Se durante um processo não houver transferência de calor através da fronteira do sistema 
esse é um processo adiabático. 
O calor tem unidades de energia e a quantidade de calor transferida entre dois estados (1-
2) é indicada como Q12 ou somente por Q, sendo que também pode ser apresentada por unidade 
de massa. 
 
𝑞 =
𝑄
𝑚
 (𝑘𝐽/𝑘𝑔) 
 
Nos cursos e livros de termodinâmica a convenção de sinal assumida na grande parte das 
vezes é positiva para transferência de calor da vizinhança para um sistema e negativa quando a 
transferência de calor ocorre do sistema para a vizinhança. 
 
Q > 0; transferência de calor para o sistema. 
Q < 0; transferência de calor do sistema. 
 
Podemos também analisar a taxa de transferência de calor num determinado intervalo de 
tempo: 
 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= �̇� (𝑘𝐽/𝑠 𝑜𝑢 𝑊) 
 
O calor pode ser transferido por meio de três mecanismos: condução, convecção e 
radiação. A transferência de calor por condução ocorre em sólidos e fluidos, sendo a 
transferência de energia de uma partícula mais energética de uma substância para uma menos 
energética adjacente pela interação entre as partículas. Para uma parede plana, a taxa de 
transferência de calor unidirecional é dada por: 
 
�̇� = −𝑘𝐴 [
∆𝑇
𝐿
] (𝑘𝐽/𝑠 𝑜𝑢 𝑊) 
 onde k é a condutividade térmica específica para cada material e normalmente é tabelado, 
A é a área da secção transversal que ocorre a transferência de calor, ΔT é a diferença de 
temperatura e L é a espessura do material onde ocorre a transferência de calor. 
 
A convecção é a transferência de energia entre uma superfície sólida e um fluido adjacente 
em movimento. Essa taxa de transferência de energia pode ser quantificada pela seguinte 
expressão empírica: 
 
�̇�𝑐 = −ℎ𝐴(𝑇𝑏 − 𝑇𝑓) (𝑘𝐽/𝑠 𝑜𝑢 𝑊) 
 onde h é o coeficiente de transferência de calor, A é a área da superfície sólida em contato 
com o fluido, Tb é a temperatura da superfície sólida e Tf é a temperatura do fluido. 
 
Já a radiação térmica é devido à transferência de energia devido a emissão de ondas 
eletromagnéticas, isto é, mudanças eletrônicas dos átomos. A radiação não necessita de nenhum 
meio para propagar-se, podendo ocorrer no vácuo. A quantificação de seu valor é dada pela lei 
de Stefan-Bolzmann modificada: 
 
�̇�𝑒 = 𝜀𝜎𝐴𝑇𝑏
4 (𝑘𝐽/𝑠 𝑜𝑢 𝑊) 
 onde ε é a emissividade que é propriedade da superfície variando de zero a 1, σ é a 
constante de Stefan-Boltzmann (5,67x10-8 W/m2 K4 ou 0,1714x10-8 Btu/h ft2 R4) 
 
Já a troca de calor por radiação para sua vizinhança é dada por: 
 
�̇�𝑒 = −𝜀𝜎𝐴[𝑇𝑏
4 − 𝑇𝑠
4] (𝑘𝐽/𝑠 𝑜𝑢 𝑊) 
 
 
Trabalho 
 
O trabalho também é uma forma de energia que pode atravessar a fronteira de sistemas 
fechados. Portanto se a energia que cruza a fronteira não for calor, só pode ser trabalho. De 
maneira simplificada trabalho é a transferência de energia associada a uma força que age ao 
longo de uma distância. 
 
𝑊 = ∫ 𝐹𝑑𝑠
𝑠2
𝑠1
 (𝑘𝐽) 
 
Assim como para a energia, o trabalho tem uma convecção de sinal assumido com positivo 
quando o trabalho é realizado pelo sistema sobre a vizinhança e negativo se a vizinhança realiza 
trabalho sobre o sistema. 
 
W > 0; trabalho realizado pelo sistema. 
W < 0; trabalho realizado sobre o sistema. 
 
O trabalho não é uma propriedade do sistema porque não depende somente dos estados 
final e inicial, mas sim do caminho em que foi realizado. Com isso essa forma de análise do 
trabalho possui uma diferencia inexata. Para termos uma integração exata podemos modelar o 
trabalho de expansão e compressão de um fluido que depende apenas de valores pontuais de 
volume inicial e final. Com isso podemos expressar o trabalho como: 
 
𝑊 = ∫ 𝑃𝑑𝜗
𝜗2
𝜗1
 (𝑘𝐽) 
 
O trabalho pode ser expresso por diversas outras formas. Apesar de termodinamicamente 
ser mais interessante expressá-lo em função da pressão e do volume a seguir serão 
apresentadas outras equações que podem ser utilizadas para calcular o trabalho. 
Trabalho de alongamento de uma barra sólida: 
 
𝑊 = ∫ 𝜎𝐴𝑑𝑥
2
1
 
sendo σ a tensão normal da barra e A a área da seção transversal da barra. 
 
 
 
Trabalho de alongamento de filme líquido: 
𝑊 = ∫ 𝜏𝑑𝐴
2
1
 
sendo 𝜏 a tensão superficial. 
 
Trabalho de eixo: 
 
𝑊 = 2𝜋𝑟𝑛 
sendo r o raio e n é o número de rotações. 
A potência transmitida através do eixo é o trabalho por unidade de tempo expressa 
por: 
 
�̇� = 2𝜋�̇�𝑇 
onde T é o torque aplicado. 
 
Trabalho elétrico: 
 
𝑊 = ∫ 𝑉𝐼𝑑𝑡
2
1
 
onde V diferença de potencial e I é a corrente elétrica. 
 
Trabalho contra uma mola: 
 
𝑊 =
1
2
𝑘(𝑥2
2 − 𝑥1
2) 
sendo k a constante da mola.Exemplo 1) Durante uma viagem para a Disney você apresentou um mal-estar e foi levado para o 
ambulatório do parque. Chegando lá o médico realizou diversas avaliações e lhe informou que 
estava com uma temperatura corporal de 96,8°F. Qual sua temperatura em Celsius? Se você 
estivesse obtendo a temperatura em escalas termodinâmicas quanto seria em Kelvin e Rankine? 
 
Solução: 
T(°F) = 32 + 1,8 T(°C) 
96,8 = 32 + 1,8 T(°C) 
T(°C) = 36°C 
 
T(K) = 273,15 + T(°C) 
T(K) = 273,15 + 36 
T(K) = 309,15K 
 
T(R) = 1,8 T(K) 
T(R) = 1,8 (309,15) 
T(R) = 556,47R 
 
 
 
Exemplo 2) Medidas de pressão através de manômetros de coluna ainda são utilizados em 
diversos processos industriais. Porém, vários aspectos devem ser observados para que essas 
medidas saiam com precisão e exatidão, como a real pressão atmosférica do local. Analise o 
seguinte caso: um tanque fechado é pressurizado a ar e possui um manômetro de colunas 
acoplado ao tanque, que está localizado em uma montanha a uma altitude de 1400 m, onde a 
pressão atmosférica é de 85,6 kPa. Determine a pressão do ar no tanque se h1 = 0,1 m, h2 = 0,2 
m, e h3 = 0,35 m. Dados: ρágua = 1000 kg/m
3; ρóleo = 850 kg/m
3; ρmercúrio = 13600 kg/m
3. 
 
 
Solução: 
𝑃1 + 𝜌á𝑔𝑢𝑎𝑔ℎ1 + 𝜌ó𝑙𝑒𝑜𝑔ℎ2 − 𝜌𝑚𝑒𝑟𝑐ú𝑟𝑖𝑜𝑔ℎ3 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 
𝑃1 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 − 𝜌á𝑔𝑢𝑎𝑔ℎ1 − 𝜌ó𝑙𝑒𝑜𝑔ℎ2 + 𝜌𝑚𝑒𝑟𝑐ú𝑟𝑖𝑜𝑔ℎ3 
𝑃1 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑔(𝜌𝑚𝑒𝑟𝑐ú𝑟𝑖𝑜ℎ3 − 𝜌á𝑔𝑢𝑎ℎ1 − 𝜌ó𝑙𝑒𝑜ℎ2) 
𝑃1 = 85,6 𝑘𝑃𝑎 + 9,81
𝑚
𝑠2
[(13600
kg
𝑚3
𝑥0,35 𝑚) − (1000
kg
𝑚3
𝑥0,1 𝑚) − (850
kg
𝑚3
𝑥0,2 𝑚)] 
𝑃1 = 85,6 𝑘𝑃𝑎 + 44046,9
𝑘𝑔
𝑚𝑠2
 
1 kPa = 1000 N/m2 e 1 N = 1 kg m/s2 
Portanto 1 kPa = 1000 kg/ms2 
𝑃1 = 85,6 𝑘𝑃𝑎 + 44046,9
𝑘𝑔
𝑚𝑠2
 (
1 𝑘𝑃𝑎
1000
𝑘𝑔
𝑚𝑠2
) 
𝑃1 = 129,65 𝑘𝑃𝑎 
 
 
 
Exemplo 3) O desenvolvimento de energias renováveis é de grande interesse para a sociedade e 
fazem parte do desafio do século XXI. Entretanto, a viabilidade de algumas delas ainda é 
pequena devido ao desenvolvimento tecnológico atual. Um local avaliado para uma estação 
eólica tem ventos estáveis de 8,5 m/s. Determine a energia do vento: 
a) Por unidade de massa. 
b) Para uma massa de 10 kg de ar. 
c) Para um fluxo de massa de 1154 kg/s de ar. 
 
Resolução: 
a) 
𝑒 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑜 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 =
�⃗� 2
2
 
𝑒 =
8,52
2
= 36,1 [𝑚
2
𝑠2⁄ ] = 36,1 𝐽/𝑘𝑔 
 
b) 
𝐸 = 𝑚𝑒 = 10(36,1) = 361 𝐽 
 
c) 
�̇� = �̇�𝑒 = 1154(36,1) = 41,7 𝑘𝑊 
 
 
Exemplo 4) Processos contendo cilindro-pistão são muito encontrados nos componentes 
mecânicos e seguem os princípios da termodinâmica clássica, como por exemplo o motor de 
automóveis. Um conjunto cilindro-pistão passa por um processo de expansão, cuja relação entre 
a pressão e o volume é dada por pϑn = constante. A pressão inicial é de 300 kPa, o volume inicial 
é de 0,1 m3 e o volume final é de 0,2 m3. Determine o trabalho para o processo, em kJ, no caso 
de: 
a) n = 1,5 
b) n = 1,0 
c) n = 0 
 
Resolução: 
a) 
𝑊 = ∫ 𝑃𝑑𝜗
𝜗2
𝜗1
 
𝑝𝜗𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝑝 =
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝜗𝑛
 
𝑊 = ∫
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝜗𝑛
𝑑𝜗
𝜗2
𝜗1
=
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝜗2
1−𝑛 − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝜗1
1−𝑛
1 − 𝑛
 
𝑊 =
(𝑝2𝜗2
𝑛) 𝜗2
1−𝑛 − (𝑝1𝜗1
𝑛) 𝜗1
1−𝑛
1 − 𝑛
=
𝑝2𝜗2 − 𝑝1𝜗1
1 − 𝑛
 
𝑝1𝜗1
𝑛 = 𝑝2𝜗2
𝑛 → 300𝑥0,11,5 = 𝑝2𝑥0,2
1,5 → 𝑝2 = 106,07 𝑘𝑃𝑎 = 
𝑊 =
106,07𝑥0,2 − 300𝑥0,1
1 − 1,5
 
𝑊 = 17,572 𝑘𝐽 
 
b) 
𝑊 = ∫ 𝑃𝑑𝜗
𝜗2
𝜗1
 
𝑝𝜗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝑝 =
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝜗
 
𝑊 = ∫
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝜗
𝑑𝜗
𝜗2
𝜗1
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ln
𝜗2
𝜗1
= 𝑝1𝜗1 ln
𝜗2
𝜗1
 
𝑊 = 300𝑥0,1 ln
0,2
0,1
 
𝑊 = 20,79 𝑘𝐽 
 
c) 
𝑊 = ∫ 𝑃𝑑𝜗
𝜗2
𝜗1
 
𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝑊 = 𝑝(𝜗2 − 𝜗1) = 300𝑥(0,2 − 0,1) 
𝑊 = 30 𝑘𝐽