Estudos Disciplinares ED 7 semestre 000

Prévia do material em texto

Estudos Disciplinares ED – Teoria das Estruturas 7° Semestre 
GABARITO NO FINAL DA FOLHA
Modulo 1 
Ex.1-A 
Q= 80 Kn 
Ix= 301,3*(10^-6) m^4 
Calculo do Momento Estático em A (Mas) – MSa= Y*A 
MSa= (0,25*0,02)*0,16 
MSa= 8*(10^-4) m^3 
Calculo da Tensão Máxima de Cisalhamento (Za) – Za= (Q*MSa)/(b*Ix) 
Za= ((80*(10^3))*(8*(10^-4)))/(0,02*(301,3*(10^-6))) 
Za= 10,6*(10^6) 
Za= 10,6MPa 
Calculo do Momento Estático em B e C (MSb=MSc), que são iguais devido aos pontos na 
figura se encontrarem na mesma posição. 
MSb=MSc= A*Y 
MSb=MSc= (0,25*0,009)*0,165 
MSb=MSc= 371,25*(10^-6) m^3. 
Calculo da Tensão Máxima de Cisalhamento (Zb=Zc), que são iguais devido aos pontos na 
figura se encontrarem na mesma posição. 
Zb=Zc= ((80*(10^3))*(371,25*(10^-6)))/(0,02*(301,3*(10^-6))) 
Zb=Zc= 4,9*(10^6) 
Zb=Zc= 4,9MPa.
 
Ex.2-D 
Tensão de Cisalhamento = V*Q/b*I 
V (Cortante) = 80KN 
I = 301,3*10^-6 m^-4 
Q1 = b*y²/2 (com y variando de 0,15 a 0), LOGO: 0,02*(0,15²/2) 
Q1 = 2,25*10^-4 m³ 
Q2 = ʃy dA = b *y²/2 (com y variando d e 0 ,17 a 0,15), LOGO: 
0,25*(0,17²/2 – 0,15²/2) 
Q2 = 8*10^-4 m³ 
Qtotal = Q1 + Q2 = (2,25*10^-4) + (8*10 ^-4) 
Qtotal = 1,025*10^-3 m³ 
Tensão de Cisalhamento = ((80*10^3)*(1,025*10^-3)) / ((0,02)*(301,3*10^-6)) 
Tensão de Cisalhamento = 13,6 MPa. 
Ex.3-E
V( Cortante) = 80 kn 
I = 301,3*10^-6 m ^4 
Q1 = A1*yc1 =(0,25*0,02)*(0,16) 
Q1 = 8*10^-4 [m ^3] 
Q2 = A2*yc2 = (0,02*(0,15 –y))*(y + 0,5(0,15 – y)) 
Q2 = 2,25*10^-4 – 0,01*y^2 m ^3 
Qtotal = 1,025*10^-3 – 0,01*y^2 m ^3 
Tensão de Cisalhamento = V*Q/b*I 
Tensão de Cisalhamento = ((13,6*10^6) – (132,76*10^6*(y^2) Pa 
INTEGRANDO EM RALAÇÃO A y: 
Vr = 20*10^3*(13,6y – (132,76*y^3)/3) 
Variando de 0,15 á -0,15 
Vr (Cortante Resultante) = 80 KN
Ex.4-D 
V( Cortante) = 80 [KN] 
I = 301,3*10^-6 [m ^4] 
Qflange = A*yc 
A = b*x = 0,02*xm^2 ; yc = 0,16m 
Qflange = 0,02x*0,16 
Qflange = 3,2*10^-3x m^3 
Vr (Cortante Resultante) = ʃ τ dA; e 
Tensão de Cisalhamento = V*Q/b*I 
Tensão de Cisalhamento = (80*10^3*3,2*10^-3x)/(0,02*301,3*10^-6) 
Tensão de Cisalhamento = 42,48257x Pa 
Vr (Cortante Resultante) = (42,48257*x^2)/2 
Variando de 0 á 0,115m 
Vr (Cortante Resultante) = 5,63 KN 
 
Ex.5-A
Devido ao valor do Momento Estático ser zero, ocorre que toda a equação tem o resultado igual 
a 0 (zero). 
Ex.6-D
V( Cortante) = 80 [KN] 
I = 301,3*10^-6 [m ^4] 
Qflange = A*yc 
A = b*x = 0,02*xm^2 ; yc = 0,16m 
Qflange = 0,02x*0,16 
Qflange = 3,2*10^-3x m^3 
Vr (Cortante Resultante) = ʃ τ dA; e 
Tensão de Cisalhamento = V*Q/b*I 
Tensão de Cisalhamento = (80*10^3*3,2*10^-3x)/(0,02*301,3*10^-6) 
Tensão de Cisalhamento = 42,48257x Pa 
Vr (Cortante Resultante) = (42,48257*x^2)/2 
Variando de 0 á 0,115m 
Vr (Cortante Resultante) = 5,63 KN 
Resulto não corresponde como o fornecido pelo sistema
Ex.7-D 
V( Cortante) = 80 [KN] 
I = 301,3*10^-6 [m ^4] 
Qflange = A*yc 
A = b*x = 0,02*xm^2 ; yc = 0,16m 
Qflange = 0,02x*0,16 
Qflange = 3,2*10^-3x m^3 
Vr (Cortante Resultante) = ʃ τ dA; e 
Tensão de Cisalhamento = V*Q/b*I 
Tensão de Cisalhamento = (80*10^3*3,2*10^-3x)/(0,02*301,3*10^-6) 
Tensão de Cisalhamento = 42,48257x Pa 
Vr (Cortante Resultante) = (42,48257*x^2)/2 
Variando de 0 á 0,115m 
Vr (Cortante Resultante) = 5,63 KN 
Ex.8-B 
Através do calculo de momento de Inercia chegamos ao valor de: 
I= 5,977*10^-5 m^4 
Ybarra= (0,001436/0,0104) 
Ybarra= 138*10^-3 m^2 
Calculo da tensão de Cisalhamento 
Z= ((15*10^3)*((5*10^-3*(0,052)))/(0,03*((4,07076*10^-5)) 
Z= 3,2*10^6 
Z= 3,2MPA 
Ex.9-A 
Q= 15 Kn 
Ix= 5,977*(10^-5) m^4 
MS= 2,15172*(10^-9) m^3 
Calculo da Tensao de Cisalhamento (Z) – Z=(Q*IX)/(b*MS) 
Z= ((15*(10^3))*(5,977*(10^-5)))/ (0,015*((2,15172*(10^-9))) 
Z= 3,6*(10^6) 
Z= 3,6MPa.
 
 
Modulo 2 
Ex1-A
De acordo com a teoria do fluxo de cisalhamento, a direção da tensão de cisalhamento 
em cada ponto é paralela à parede. É possível observar que para os pontos de uma seção 
da barra que é um perfil de parede fina, a tensão de cisalhamento máximo, ocorre 
quando o corte efetuado tiver a direção perpendicular à parede fina. 
 
Ex.2-E 
A reação nos apoios verticais imposta pela carga distribuída na viga também é de (5*6) 
/2=15kN, porém no meio do vão é onde temos V=0 sendo assim não possui um fluxo de 
tensão no ponto. 
 
Ex.3-A 
Em resistência dos materiais, centro de torção, é o ponto em que se aplica uma força que 
pode provocar flexão, o centro de cisalhamento localiza-se sempre em um eixo de 
simetria de seção transversal, a localização do centro de cisalhamento é função apenas 
da geometria da seção transversal e independente da carga aplicada, sendo assim temos 
que o centro de torção está a 162mm a partir do centro de gravidade da seção. 
Ex.4-B
Para se determinar a localização do centro de cisalhamento de um elemento de 
paredes finas no qual o cisalhamento in terno esteja na mesma direção do eixo principal 
do centroide da seção transversal, usamos os seguintes procedimentos: 
direção em que o cisalhamento flui através dos segmentos 
calculo do momento de inércia 
Calculo do Q das abas Q =A.Y’ 
força F das abas pelo método da integral q da aba x dy 
somatória dos momentos: P xb=Vxe 
isolamos “e” 
centro de torção= 29mm 
Ex.5-C 
direção em que o cisalhamento flui através dos segmentos 
calculo do momento de inércia 
Calculo do Q das abas Q =A.Y’ 
força F das abas pelo método da inte gral q da aba x dy 
somatória dos momentos: P xb=Vxe 
isolamos “e” 
centro de torção= 48,8mm 
Ex.6-D 
Calculo do Q das abas Q= A.Y’ 
Força F das abas pelo método da integra l q da aba x dy 
Somatória dos momentos tendo a Pxb=Vxe 
Isolando o “e” determinamos qual o centro de torção para figura 
CT= 19,0mm 
Ex.7-E 
As forças resultantes F1 e F2 passam pelo centro de torção e ao deduzirmos uma força cortante 
que vai passar pelo centro de torção. A força cortante não provocará torção e o centro de torção 
é o vértice da seção 
zero
Ex.8-D 
Calculo do Q das abas Q =A.Y’ 
Força F das abas pelo método da integra l q da aba x dy 
Somatória dos momentos tendo a Pxb=Vxe 
Isolando o “e” determinamos o centro de torção para figura 
CT= 8,75mm 
 
 
Modulo 3 
Ex.1- 
I= b.h^3/12 
I= 240.160^3/12 – 2.(100.80^3/12) 
I= 73386666,67 mm^4 
b= 40 mm 
Q= considerando somente onde a viga é colada. 
Q= (100 + 100 + 40). (40). (60) 
Q= 576000 mm^3 
V (Cortante) = b.I.τ/Q 
V (Cortante) = (40. 73386666,67. 0,35)/576000 
V (Cortante) = 1,783 kN 
Exercício 2 
Cálculo do centroide 
Y = (0.15*0.1*0.25) + (0.15*0.25*0.10 / (0.1*0.25) + (0.25*0.1) 
Y = 0.15 m 
Momento de Inercia 
I = (0.1*(0.25^3)/12) + 0.1*0.25 + (0.15*0.15)^2 = 0.02563 m^4 
Momento Estático 
MS = 0.1*(0.25*0.1) = 2,5^-3 
Fluxo de cisalhamento 
q= V*MS / I 
q= 60*(2,5^-3)/ 0,02563 = 5,85 KN/m
Exercício 3 
Q = 250 * 10^-3 * 20 * 10^-3 * 160 * 10^-3 
Q = 8 * 10^-4 m^3 
I = (250 * 10-3 * (240 * 10-3)3 / 12) – 2 * (115 * 10-3 * (300 * 10-3)3 / 12) 
I = 3,013 * 10-4 m^4 
Vmax (Cortante máxima) 
= 10 kN 
F = ((Vmax (Cortante máxima) * Qchapa))/ I 
F = 10 * 8 * 10^-4 / 3,013 * 10^-4 
F = 26,55 kN/m 
Número de Cordões = 4 / (150 * 10^3) 
Número de Cordões = 26,67 
F (força) = F * L / (2 *Número de Cordões) 
F (força) = 26,55 * 4 / (2 * 26,67) 
F (força) = 2 Kn 
Tensao de Cisalhamento = 105 Kn/m^2 
Tensao de Cisalhamento = F (força) / A (área) 
105 = 2 / (15 * 10^-3 * L) 
L = 2 / (105 * 15 * 10^-3) 
L = 1,33 * 10^-3 m 
L = 1,33 mm 
*O resultado do exercício não corresponde com as alternativas acima, sendo assim 
considerado como correto o resultado do mesmo. 
Exercício 4 
Ichapa = b * h^3 / 12 
Ichapa = 260 * 15^3 / 12 
Ichapa = 96817500 mm^2 
I = 2 * (Iu + Ichapa) 
I = 2 * (78259700 + 96817500) 
I = 350154400 mm^4 
I = 350,15 * 10^-6 m^4 
Qchapa = 0,26 * 15 * 10^-3 * 157,5 * 10^-3 
Qchapa = 6,1425 * 10^-4 m3 
Vmáx 
= 62,5 kN 
F = (Vmáx * Qchapa) / I 
F = 62,5 * 6,1425 * 10^-4 / 350,15 * 10^-6 
F = 109,64 kN/m 
F (força total) = F * 2,5 
F (força total) = 109,64 * 2,5 
F (força total) = 274,1 Kn 
n = F (força total) / (2* 47) 
n = 274,1 / (2 * 47) 
n = 2,92 
d = 2,5 / 2,92 
d = 0,85 m 
d = 850 mm 
*O resultado do exercício não corresponde com as alternativas acima, sendo assim 
considerado como correto o resultado do mesmo. 
]
Exercício 5 
Primeiro passo é calcular a força qu e é execida sobre o parafuso , tensão = F/A , entã o F= tensão x á rea 
do parafuso = 60x10 6 x 0,0 7²xpi = 9,23k n / 2 pois a força e stá sendo influenciad a pela 02 lad os do 
parafuso = 4,61 kn , depois calcula -se o I BxH²/12 – b xh³/12 = 3,846x1 0-6 
Sabendo q a formu la S = FxI/VMS, isoland o o V = FxI/M SxS , substituindo os valor V= 4 ,50kn 
Exercício 6 
Ms= (25x203)x41,5 Ms= 210.612,5 mm3 V=5x ;V=5.6=30KN I=37.10^6 mm4 I= 2 x 
37.10^6 It= 74.10^6 mm4 f= Ms x V / It f= 210,6.10^3 x 30.10^3 / 74.10^6 f= 85,4 
N/mm 
T=F/A ; F=TxA F = 40 x (3,14 x 7,5^2) F =7,06.10^3 N S=2xF / f S= 2 x 7,06.10^3 / 
85,4 = 165mm
Através do diâmetro fornecido e a tensão de ruptura fornecida , verificamos que a força 
cortante não vai cisalhar os rebites, sendo assim seu espaçamento pode ser qualquer 
lugar. 
Ex. 7 
P=18 kN 
 I=(b*(h^3))/12 
Q=A’*Y’ 
fluxo de cisalhamento q’ =(V.Q/I) 
qadm= F/s 
d= raiz quadrada (4*F/Q*P I) 
d=7,5 mm. 
Ex.8-D 	
LN= 0,14m 
Momento de inercia MI TOTAL= MI da área maior – M I da parte vazada 
Momento de inercia MI TOTAL= 264*(10^6) m^ 4 
Momento Estático Q=A’y’ 
Momento Estático Q=A’y’ = 0,864*(10^-6) m^3 
Fluxo de Cisalhamento q’ = (V*Q/MI TOTAL) 
Fluxo de Cisalhamento q’ = (V*Q/MI TOTAL) = 34,36 kN/m 
2 parafusos 
s=2*F/q’ 
s= 47mm 
Modulo 4
 
Ex.1-C 
I1 = ((d^4)*PI)/32 
I1 = ((10^4)*PI)/32 
I1 = 981,74 mm^4 
I2 = ((d^4)*PI)/32 
I2 = ((16^4)*PI/32 
I2 = 6433,98 mm^4 
N1 = ((PI^2)*E*I1)/(L^2) 
N1 = ((PI^2)*((206*(10^3))*981,74)/(600^2) 
N1 = 5544,48 N 
N2 = ((PI^2)*E*I2)/(L^2) 
N2 ((PI^2)*((206*(10^3))*6433,98)/(995^2) 
N2 = 13212,97 N 
Somatória das forças em Y=( – P – (N2*SEN 67,56°)= 0 
P = – 0,92*N2 
P = – 0,92*13212,97 
P = – 12155,93 N (barra 2 sofre compressão) 
Somatória das forças em X = (– N1 + (N2*COS 67,56°)) = 0 
N1 = 0,38*N2 
P = – N1/0,41 
P = – 5544,48/0,41 
P = – 13523,12 N (barra 1 sofre compressão) 
Segurança 3 
P = 12155,93/3 
P = 4051,97 N 
P = 4,0 kN 
A resposta não corresponde com as fornecidas pelo sistema, sendo então considerado a resposta 
acima. 
 I1 = ((d^4)*PI)/32 
I1 = ((10^4)*PI)/32 
I1 = 981,74 mm^4 
I2 = ((d^4)*PI)/32 
I2 = ((16^4)*PI/32 
I2 = 6433,98 mm^4 
N1 = ((PI^2)*E*I1)/(L^2) 
N1 = ((PI^2)*((206*(10^3))*981,74)/(600^2) 
N1 = 5544,48 N 
N2 = ((PI^2)*E*I2)/(L^2) 
N2 ((PI^2)*((206*(10^3))*6433,98)/(995^2) 
N2 = 13212,97 N 
Somatória das forças em Y=( – P – (N2*SEN 67,56°)= 0 
P = – 0,92*N2 
P = – 0,92*13212,97 
P = – 12155,93 N (barra 2 sofre compressão) 
Somatória das forças em X = (– N1 + (N2*COS 67,56°)) = 0 
N1 = 0,38*N2 
P = – N1/0,41 
P = – 5544,48/0,41 
P = – 13523,12 N (barra 1 sofre compressão) 
Segurança 3 
P = 12155,93/3 
P = 4051,97 N 
P = 4,0 kN 
A resposta não corresponde com as fornecidas pelo sistema, sendo então considerado a resposta 
acima. 
 
Ex2- A 
L= RAIZ² ( 0,46²+0,46²) = 0,65M 
I = (PI x d4)/64 = (PI X 0,016 ^4)/64 = 3,2169 X 10-9 
PCR = PI² X E X I/L² = P I²X 206 X 10 9 X 3,2169 X 10 -9 / 0,65² = 15,48 kN , MAIS 
DEVIDO AO FATOR DE SEGURANÇA = 3 = 15,48/3 = 5,16 KN 
Ex.3-D
Somatório das forças em X e Y 
Momento de Inercia 
Carga critica aplicada 
 
I= (pi(d^4))/64 
Pad= Pcr/K =185 KN 
Ex. 4-A 
Dados: 
P=20 KN 
E=200GPa 
L=2m 
N=4 
Sabendo que nível de segurança é igual a 4, temos que a força: 
P=20*4 
P=80KN 
Conhecendo a formula de “P”, temos: 
P=(PI^2)*E*I/L^2 
I=P*(L^2)/E*(PI^2) 
Ficando: 
I=80000*(2^2)/(200*10^9)*(PI^2) 
I=1,6211389*10^-7 m^4 
I=162113,89 mm^4 
Momento de Inercia para carregamento de 20 KN com modulo de segurança igual a 4. 
Valor mais próximo foi utilizando as dimensões 51 x 51 x 9,5: 
I = (IX1 + A1Y1) +(IX2+ A2Y2) 
I = (51 * 9,5^3) /12 + (484,5*(11,44^2)) + (9,5 * (41,5^3)) / 12 + (394,25* (9,31^2)) 
I = 157807,24 mm^4 
Ex.5-E
I = 2 * (I1 + I2) 
I = 2 * (121765,4 + 32020,7) *(10^-12) 
I = 3,076 * (10^-7) m^4 
P = (Pi^2) *E*I/ L^2 
P = (Pi^2) *(206*10^6) *(3,076*10^-7) / (2,75^2) 
P = 82,7 kN 
coeficiente de segurança é 2, temos: 
P = 82,7 / 2 
P = 41,35 Kn 
Ex.6- A 
I = I1 
I = 1,217654 *(10^-7) 
P = π2 * E * I / L2 
P = (pi^2)*(206*10^-6)*(1,217654*10^-7)/ (2,75^2) 
P = 32,74 kN 
Como o coeficiente de segurança é 2, temos: 
P = 32,74 / 2 
P = 16,37 kN 
Ex.7-A 
141KN
Ex8- D
De = 76 mm
Di = 70 mm 
L = 10 m 
E = 200GPa = 200.10³ MPa 
I = π/4 (re^4 – ri^4) = π/4 (38^4 – 35^4) = 459073,87 mm4 
Pcr = (C² x 200.10³ x 459073,87) / (10.10³)² 
Pcr = 9 KN
Modulo 5 
Ex.1-B 
σcr = Pcr / A = 300 MPA 
D = 50 mm .: r = 25 m m 
A = πr² = πr² = π.25² = 19 63,49 mm² 
Assim, 300 Mpa = Pcr / 1 963,49 mm² => Pc r = 589048,62 N 
E = 206 GPa = 206.10³ MPa 
I = π/4 (r^4) = π/4 (25 ^4) = 306796,16 mm4 
L² = (π² x 200.10³ x 306796,16) / 58904 8,62 
L² ≈ 1000 mm 
Ex.2-C 
Tfl= ((Pi^2)*E) / (k*(( l/i)^2)) 
i=ÖI/A 
Icirculo= (PI*(d^4))/64 
Icirculo =(3,14159*25^4 )/4 
Icirculo =306796 mm^4 
A= (PI*(d^2))/64 
A=(3.14*50^2)/4 
A=1963.5 mm^2 
i=ÖI/A 
i=Ö*(306796/1963.5) 
i= 12.5 
Tfl= ((3,1416^2)*(206.1 0^9)/(1000^2) 
Tfl=600 KN 
Ex.3- C
Pcrítico x= ((pi^2)*E*Ix) /(KL)x^2 
Pcrítico x= (3,14^2*70*10^9*61,3*10^( -6))/(2*5)^2 
Pcrítico x= 423,5KN 
Pcrítico y= (pi^2*E*Iy)/(K L)y^2 = 
Pcrítico y= (3,14^2*70*10^9*23,2* 10^(-6))/(0, 7*5)^2 
Pcrítico y= 1,31MN P 
Adm= Pcrítico x/FS 
Adm= (423,5*10^3)/3 
Adm= 141,17KN 
Tensão crítica = Pcrítico x/A = (423,5*10^3)/(7500*10^ (-6)) 
Tensão crítica = Pcrítico x/ A = 56,47MPa 
Ex.4- B 
I = (PI / 64) * (D^4– d^4) 
I = (PI / 64) * (0,1^4– 0,084^4)
I = 2,5*(10^-6) m^4 
E = 70*10^6 
N = 4,3 
Pcr = ((PI^2)*E*I) / ((L^2)*N) 
 
BARRA AB: 
L = 3 
Pcr= ((PI^2)*E*I) / ((L^2)* N) 
Pcr = ((PI^2)*(70*10^6*(2,5*10^-6 / ((3^2)*4,3) 
Pcr = 45 kN 
 
BARRA BC: 
Pcr= ((PI^2)*E*I) / ((L^2)* N) 
Pc r= ((PI^2)*(70*10^6*(2,5*10^-6 / ((4^2)*4,3) 
Pcr= 25 kN 
 
A carga com 90 kN, ao invés de 9 kN. 
PcrBC = ((SENalfa)*(0,5)*(P))/ COSalfa 
Alfa = (TAN^-1) (PcrBC/ (0,5 * P)) 
Alfa = (TAN^-1) (25 / (0,5 * 90)) 
Alfa = 29° 
h = CO / TANalfa 
h = 2 / TAN 29° 
h = 3,6 m 
Ex.5- A
diâmetro da barra=30mm 
E= 200 GPA 
 
tensão do limite de escoamento = 240 MPA 
Tensão do limite de ruptura= 200 MPA 
Alfa= 1,1*(10^-5) (c^-1 ) 
 
Ex=(240*10^6)/(200*10^9)= 0,0012 
 
portanto: 
 
0,0012=(1,1*10^-5) delta 
 
(delta)t=0,0012 / (1,1*1 0^-5) 
 
(delta)t= 109,1 °C 
 
Ex 6 -c
P = PCR 
P = α . ΔT . E . A 
PCR = (4 π2 . I . E ) / L2 
α . ΔT . E . A = (4 π2 . I . E ) / L2 
ΔT = (4 π2 . I . E ) / L2 . α . E . A 
logo: 
ΔT = (4 π2 . ( π . 204 / 64 )) / ( 1,2102 . 1,1x10-5 . ( π . 202 / 4 )) 
ΔT = 62,3°C 
Ex 7 -b
PCRADM = ( π2 . 70x105 . 368,6 ) / ( 4 . 2002 ) 
PCRADM = 159,16 KN 
PCR = PCRADM x FS 
PCR = 159,16 x 2 
PCR = 318,32 KN
Ex 8 -e
1m
Modulo 6 
Ex.1- C 
y-> Índice de Esbeltez -> 
Carga P na barra P= 10Kn 
Tensão de Flambagem= ((PI^2)*E)/(y^2) 
Tensão de Flambagem= 200 MPA 
(200*10^6)= ((PI^2)*(200*10^9)/(y^2) 
y= 99,34 -> Indice de Elbeltez 
Equação de Tetmajer 
Tensão de Flambagem= Tensão primaria= a-(b*y)+(c*(y^2)) (valores de a,b e c são tabelados) 
Tensão de Flambagem= Tensão primaria= 303-(1,16*99,34)+(0*99,34) 
Tensão de Flambagem= Tensão primaria= 188 MPA. 
Tensão adm= Tensão de Flambagem/coeficiente de segurança 
Tensão adm= 188/2 
Tensão adm= 94 MPA 
Tensão adm= P/A 
10*10^3= 94*((PI*(d^2)/4) 
d= 11,63 mm 
Valor aproximado P= 10 mm. 
Ex2- D 
É necessário realizar o somatório de forças em X e em Y, depois calcular o momento de 
inércia, e no final a carga critica aplicada que não faça flambar deve ser dividida pelo 
coeficiente de segurança. 
I=pid^4/64 
Pad=Pcr/K=181 KN 
 
Ex.3- A 
y-> Indice de Esbeltez -> 
Tensão de Flambagem= ((PI^2)*E)/(y^2) 
Tensão de Flambagem= 200 MPA 
(200*10^6)= ((PI^2)*(200*10^9)/(y^2) 
y= 99,34 -> Indice de Elbeltez 
Equação de Tetmajer 
Tensão de Flambagem= Tensão primaria= a-(b*y)+(c*(y^2)) (valores de a,b e c são tabelados)Tensão de Flambagem= Tensão primaria= 303-(1,16*99,34)+(0*99,34) 
Tensão de Flambagem= Tensão primaria= 188MPA. 
Tensão adm= Tensão de Flambagem/coeficiente de segurança 
Tensão adm= 188/2 
Tensão adm= 94MPA 
Tensão adm= P/A 
P= 94*((PI*(12^2)/4) 
P= 10,63KN 
Valor aproximado P= 12,5 KN 
 
Ex. 4- d
Elástica na barra maior, inelástica na barra menor e elástica na estrutura.
 
Ex5- c 
Pcr = (π^2* E*I) / (L^2 ) * N 
h =1,5*b 
Pcr = 20 kN 
E = 70*10^6 kPa 
I = (b*h^3) / 12 
L = 350mm =0,35m 
N = 2 
Logo: 
20 = (π^2 * 70*10^6 * b*(1,5 *b) ^ 3) / ( 0,35^2 * 2 * 12) 
b = ((0,35^2 * 2 * 12 * 2 0) / ( π^2 * 70 *10^6 * 1,5 ^3)) ^ ( ¼) 
b= 0,0126m= 12,60m m 
h= 1,5 * 12,60 
h= 18,90mm 
Portanto a á rea da seção é: 
A=12,60 * 18,90 
A=238,14mm^2 
Conforme teoria vista em au la utilizamos a fórmula da carga crítica. 
Nenhuma das alternativas corresponde ao valor encontrado.
Ex6- C 
P = PCR 
P = α . ΔT . E . A 
PCR = (4 π2 . I . E ) / L2 
α . ΔT . E . A = (4 π2 . I . E ) / L2 
ΔT = (4 π2 . I . E ) / L2 . α . E . A 
logo: 
ΔT = (4 π2 . ( π . 304 / 64 )) / ( 1,22 . 1,1x10-5 . ( π . 302 / 4 )) 
ΔT = 62°
Ex7- a 
Metodo de aprimoração de Tetmajer 
λ = ( L / r ) = √ ( π . E / σfl ) 
λ = √ (π2 . 200x103 / 240 ) 
λ = 90 
Aproximado de 95.
Ex8- B 
AÇO ST37 
σ = P/A P = σ*A 
σfl = σc – (σc-σpl/λlim²)*λ² λ = KL/R R = ²√I/A I = π*d^4/32 
I = π*12^4/32 I = 2035,75 mm^4 A = π*r^4 
A = π*6^4 A = 113,2 mm² R = ²√2035,75/113,2 
R = 4,24 mm λ = 1*300/4,24 λ = 70,75 Para aço ST37: λlim = 105 σfl = 240 – (240-
200/105²)*70,75² 
σfl = 221,8 MPa σadm = σfl/Fs σadm = 221,8/2 σadm = 110,9 MPa 
P = σ*A P = 110,9*113,1 P = 12400 N ou 12,4 KN
Modulo 7
Ex1-a
 
Para a seção que se encontra no meio do vão da barra, a flecha máxima é determinada 
através de Pa/24EI*(4a²-3L²) 
Ex.2 -C
D=5PL³/16EI
3-B
D=Pa³/EI
Ex4- E 
]O ponto ocorre no meio do vão 
V = 5q . L4 / 384 . E . I 
Ex5- D 
( L3 / 48 . E . I ) . (2P-5P) = ( - 3PL3 / 48EI ) = ( - P L3 / 16EI ) 
Ex.6-E 
5PL³/48EI
Ex.7-C 
54,17KNM²/EI
Ex8- B 
Calculando a área: 
A=π.r² 
A=π.25²=1963,5 mm² 
Calculado o I: 
I = π r4 / 4 
I=306796,15 mm4 
Substituindo na formula: 
σ = PCR / A 
Pcr=589KN 
Substituindo na formula: 
PCR = ( π2 . I . E ) / L2 ---- L= 1029mm ou 1m. 
 
 
Conteudo 10 
Ex.1-D
14,6mm
Ex2- E 4,3KN
Força real 
∫M.Mdx=[(30x3/2 x 2/3 (3 ))]=90 
d_r=(∫M.Mdx)/(E x I) =90 /(E x I) 
 
Força aplicada extre midade livre 
∫M.Mdx=[(((5xF_el x5)/2 x 1 /3 ( -5))]=- 20,8333xF _el 
d_el=(∫M.Mdx)/(E x I) = (-20,8 33xF_el)/(E x I) 
 
Deslocamento igual a zero 
d_el+d_r=0 
(20,833xF_el)/(E x I) =90/(E x I) 
F_el=90/20,833=4,320 k N 
 
Ex3- A 27mm
Deslocamento “u ” Sendo o produto EI constante n a barrra, a expressão do desloca mento será: 
u=(∫M.Mdx)/(E x I) 
Caso barra de carregamento e momento fletor M : 
Vamos definir o esforço un itário ad imensional, que deverá, no caso barra d e carregamento, 
ser aplicado sozinho na estrutura: 
- Queremos o desloca mento da extremidade livr e (extremidad e sem ligação a apoio ou barra) 
aplicamos o esforço u nitário na extremidade l ivre. 
- Queremos a translação vertical da seçã o o esforço unitá rio a ser aplicado na extremidade éuma força 
unitária vertical. 
Novamente, as reações V , V e H A B B , e os mom entos fletores M , fora m obtidos d a maneira 
que vimos no curso de E E. Observamos q ue, sendo o esforço unitário ap licado à estru tura uma 
força adimensional, a s forças de reação t ambém serão ad imensionais, e os momento s fletores 
M terão metro como u nidade, pois serão o re sultado do p roduto de forças adimensionai s por 
braços de alavanca em m etros (adim ensional x metro = m etro). 
∫M.Mdx=[((área1 x valor1) )+((área2 x valor 2) ) ]+ [(área3 x valor3) - (((qxL^3)/12+ (A+B)/2) ) ] 
∫M.Mdx=[(12x3 x 1/2 (-3))+(24x3/2 x 2/3 (-3))]+ [ 36x6/2 x 2 /3 (3)- ((2x6^3 )/12+ (3+0)/2)]= 52,5 
u=(∫M.Mdx)/(E x I) = 52,5/(200x10^9 x 1 0^(-8) ) =0,02625 m ou 27 mm.
Ex. 4- B
12,5KN
Ex.5 -C 15mm
P = ((PI^2)*E*I)/((L^2)*N) 
P = ((PI^2)*E*PI*(d^4))/((L^2)*N*32) 
d = ((P*(L^2)*N*32)/((PI^3)*E))*(1/4) 
d = ((10*(0,5^2)*2* 32)/((PI^3)*(200*(10^6)))*(1/4) 
d = 0,0126 m 
d = 12,6 mm 
O resultado acima não corresponde com as alternativas fornecidas pelo sistema, sendo assim considerada como correta a resolução acima. 
 
Ex.6- E
 20 mm
Ex.7- B
Nas questões está o valor de 2,85 mm letra B como correto, sendo que a resposta é 57 mm
Ex.8- D
11mm
GABARITO ED 7º SEMESTRE (TEM)
• CONTEÚDO 3
1. RESOSTA (A) = 10,6MPa; 4,9Mpa; 4,9MPa
2. RESPOSTA (D) = 13,6MPa no centro de gravidade da seção
3. RESPOSTA (E) = 80KN
4. RESPOSTA (D) = 5,63Kn
5. RESPOSTA (A) = 0KN
6. RESPOSTA (D) = 5,63KN
7. RESPOSTA (D) = 5,63KN
8. RESPOSTA (B) = 3,2MPa
9. RESPOSTA (A) = 3,6Mpa
• CONTEÚDO 4
1. RESPOSTA (B) = 5,3KN
2. RESPOSTA (D) =5,6KN/m
3. RESPOSTA (E) = 188mm
4. RESPOSTA (C) =807mm
5. RESPOSTA (A) = 4,5KN/m
6. RESPOSTA (D) = Qualquer
7. RESPOSTA (A) = 7,5mm
8. RESPOSTA (D) = 47mm
• CONTEÚDO 5
1. RESPOSTA (A) = Pois existe fluxo de cisalhamento entre as duas figuras (Ambas se equilibram)
2. RESPOSTA (E) = Não existe fluxo de cisalhamento entre as duas figuras. (A figura 1 ela demonstra equilíbrio no centro e já a figura 2 ela não se equilibra no centro).
3. RESPOSTA (A) = Na parte superior do eixo de simetria 162mm, pois se junta os dois eixos na mesma gravidade de deslocamento.
4. 4- RESPOSTA (B) = 29mm
5. 5- RESPOSTA (C) = 48,8mm
6. 6- RESPOSTA (D) = 19mm
7. 7- RESPOSTA (E) = Zero
8. 8- RESPOSTA (D) = 8,75mm
• CONTEÚDO 6
1. RESPOSTA (C) = 2KN
2. RESPOSTA (A) = 5KN
3. RESPOSTA (D) =185KN
4. RESPOSTA (A) = 51x51x9,5
5. RESPOSTA (E) =41,4KN
6. RESPOSTA (A) = 16,8KN
7. RESPOSTA (A) = 141KN
8. RESPOSTA (D) = 3,0KM
• CONTEÚDO 7
1. RESPOSTA (B) =1000mm
2. RESPOSTA (C) = 600KN
3. RESPOSTA (C) = 141KN
4. RESPOSTA (B) = 3,56m
5. RESPOSTA (A) = 100ºC
6. RESPOSTA (C) = 62C
7. RESPOSTA (B) = 319KN
8. RESPOSTA (E) = 1m
• CONTEÚDO 8
1. RESPOSTA (C) =10mm
2. RESPOSTA (D) =181KN
3. RESPOSTA (A) =12,5KN
4. RESPOSTA (D) = Elástica na barra maior, inelástica na barra menor e elástica na estrutura.
5. RESPOSTA (C) = 384mm
6. RESPOSTA (C) =62C
7. RESPOSTA (A) = 95C
8. RESPOSTA (B) = 12,4KN
• CONTEÚDO 9
1. RESPOSTA (A) =Pa/24EI(3L²-4a²
2. RESPOSTA (C) = 5PL³/16EI
3. RESPOSTA (B) =Pa³/EI
4. RESPOSTA (E) = 5qL4/38EI
5. RESPOSTA (D) =PL³/16EI
6. RESPOSTA (E) =5PL³/48EI
7. RESPOSTA (C) = 54,17KNM²/EI
8. RESPOSTA (B) =-2,14mm 13,4mm
• CONTEÚDO 10
1. RESPOSTA (D) =14,6mm
2. RESPOSTA (E) =4,3KN
3. RESPOSTA (A) =27mm
4. RESPOSTA (B) =12,5KN
5. RESPOSTA (C) =15mm
6. RESPOSTA (E) = 20mm
7. RESPOSTA (C) = 57mm
8. RESPOSTA (D) =11mm