ED 7° Semestre TEM

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Estudos Disciplinares ED – Teoria das Estruturas 7° Semestre 
Modulo 1
Exercício 1 
Q= 80 Kn
Ix= 301,3*(10^-6) m^4
Calculo do Momento Estático em A (Mas) – MSa= Y*A
MSa= (0,25*0,02)*0,16
MSa= 8*(10^-4) m^3
Calculo da Tensão Máxima de Cisalhamento (Za) – Za= (Q*MSa)/(b*Ix)
Za= ((80*(10^3))*(8*(10^-4)))/(0,02*(301,3*(10^-6)))
Za= 10,6*(10^6)
Za= 10,6MPa
Calculo do Momento Estático em B e C (MSb=MSc), que são iguais devido aos pontos na figura se encontrarem na mesma posição.
MSb=MSc= A*Y
MSb=MSc= (0,25*0,009)*0,165
MSb=MSc= 371,25*(10^-6) m^3.
Calculo da Tensão Máxima de Cisalhamento (Zb=Zc), que são iguais devido aos pontos na figura se encontrarem na mesma posição.
Zb=Zc= ((80*(10^3))*(371,25*(10^-6)))/(0,02*(301,3*(10^-6)))
Zb=Zc= 4,9*(10^6)
Zb=Zc= 4,9MPa.
Exercício 2
Tensão de Cisalhamento = V*Q/b*I 
V (Cortante) = 80KN 
I = 301,3*10^-6 m^-4 
Q1 = b*y²/2 (com y variando de 0,15 a 0), LOGO: 0,02*(0,15²/2) 
Q1 = 2,25*10^-4 m³ 
Q2 = ʃy dA = b *y²/2 (com y variando d e 0 ,17 a 0,15), LOGO: 
0,25*(0,17²/2 – 0,15²/2) 
Q2 = 8*10^-4 m³ 
Qtotal = Q1 + Q2 = (2,25*10^-4) + (8*10 ^-4) 
Qtotal = 1,025*10^-3 m³ 
Tensão de Cisalhamento = ((80*10^3)*(1,025*10^-3)) / ((0,02)*(301,3*10^-6)) 
Tensão de Cisalhamento = 13,6 MPa.
Exercício 3
V( Cortante) = 80 kn 
I = 301,3*10^-6 m ^4
Q1 = A1*yc1 =(0,25*0,02)*(0,16) 
Q1 = 8*10^-4 [m ^3] 
Q2 = A2*yc2 = (0,02*(0,15 –y))*(y + 0,5(0,15 – y)) 
Q2 = 2,25*10^-4 – 0,01*y^2 m ^3
Qtotal = 1,025*10^-3 – 0,01*y^2 m ^3
Tensão de Cisalhamento = V*Q/b*I 
Tensão de Cisalhamento = ((13,6*10^6) – (132,76*10^6*(y^2) Pa 
INTEGRANDO EM RALAÇÃO A y: 
Vr = 20*10^3*(13,6y – (132,76*y^3)/3) 
Variando de 0,15 á -0,15 
Vr (Cortante Resultante) = 80 Kn
Exercício 4
V( Cortante) = 80 [KN] 
I = 301,3*10^-6 [m ^4] 
Qflange = A*yc 
A = b*x = 0,02*xm^2 ; yc = 0,16m 
Qflange = 0,02x*0,16 
Qflange = 3,2*10^-3x m^3 
Vr (Cortante Resultante) = ʃ τ dA; e 
Tensão de Cisalhamento = V*Q/b*I 
Tensão de Cisalhamento = (80*10^3*3,2*10^-3x)/(0,02*301,3*10^-6) 
Tensão de Cisalhamento = 42,48257x Pa 
Vr (Cortante Resultante) = (42,48257*x^2)/2 
Variando de 0 á 0,115m 
Vr (Cortante Resultante) = 5,63 KN 
Exercício 5
Devido ao valor do Momento Estático ser zero, ocorre que toda a equação tem o resultado igual a 0 (zero).
Exercício 6
Calculo das áreas A1 e A2 
A1 = 3000 mm
A2 = 5000 mm
Calculo do Momento estático Q
Q = 1025000 m^3
Calculo do fluxo de cisalhamento 
Resulto não corresponde como o fornecido pelo sistema 
Exercício 7
Calculo das áreas A1 e A2 
A1 = 3000 mm
A2 = 5000 mm
Calculo do Momento estático Q
Q = 1025000 m^3
Calculo do fluxo de cisalhamento 
Resulto não corresponde como o fornecido pelo sistema 
Exercício 8
Através do calculo de momento de Inercia chegamos ao valor de:
I= 5,977*10^-5 m^4
Ybarra= (0,001436/0,0104)
Ybarra= 138*10^-3 m^2
Calculo da tensão de Cisalhamento
Z= ((15*10^3)*((5*10^-3*(0,052)))/(0,03*((4,07076*10^-5))
Z= 3,2*10^6
Z= 3,2MPA
Exercício 9
Q= 15 Kn
Ix= 5,977*(10^-5) m^4
MS= 2,15172*(10^-9) m^3
Calculo da Tensao de Cisalhamento (Z) – Z=(Q*IX)/(b*MS)
Z= ((15*(10^3))*(5,977*(10^-5)))/ (0,015*((2,15172*(10^-9)))
Z= 3,6*(10^6)
Z= 3,6MPa.
Modulo 2
Exercício 1
De acordo com a teoria do fluxo de cisalhamento, a direção da tensão de cisalhamento em cada ponto é paralela à parede. É possível observar que para os pontos de uma seção da barra que é um perfil de parede fina, a tensão de cisalhamento máximo, ocorre quando o corte efetuado tiver a direção perpendicular à parede fina. 
Exercício 2
A reação nos apoios verticais imposta pela carga distribuída na viga também é de (5*6) /2=15kN, porém no meio do vão é onde temos V=0 sendo assim não possui um fluxo de tensão no ponto. 
Exercício 3
Em resistência dos materiais, centro de torção, é o ponto em que se aplica uma força que pode provocar flexão, o centro de cisalhamento localiza-se sempre em um eixo de simetria de seção transversal, a localização do centro de cisalhamento é função apenas da geometria da seção transversal e independente da carga aplicada, sendo assim temos que o centro de torção está a 162mm a partir do centro de gravidade da seção.
Exercício 4
Para se determinar a localização do centro de cisalhamento de um elemento de paredes finas no qual o cisalhamento interno esteja na mesma direção do eixo principal do centroide da seção transversal, usamos os seguintes procedimentos:
direção em que o cisalhamento flui através dos segmentos
calculo do momento de inércia
Calculo do Q das abas Q=A.Y’
força F das abas pelo método da integral q da aba x dy
somatória dos momentos: Pxb=Vxe
isolamos “e”
centro de torção= 29mm
Exercício 5
direção em que o cisalhamento flui através dos segmentos
calculo do momento de inércia
Calculo do Q das abas Q=A.Y’
força F das abas pelo método da integral q da aba x dy
somatória dos momentos: Pxb=Vxe
isolamos “e”
centro de torção= 48,8mm
Exercício 6
Calculo do Q das abas Q=A.Y’
Força F das abas pelo método da integral q da aba x dy 
Somatória dos momentos tendo a Pxb=Vxe
Isolando o “e” determinamos qual o centro de torção para figura 
CT= 19,0mm
Exercício 7
As forças resultantes F1 e F2 passam pelo centro de torção e ao deduzirmos uma força cortante que vai passar pelo centro de torção. A força cortante não provocará torção e o centro de torção é o vértice da seção
Exercício 8
Calculo do Q das abas Q=A.Y’
Força F das abas pelo método da integral q da aba x dy
Somatória dos momentos tendo a Pxb=Vxe
Isolando o “e” determinamos o centro de torção para figura
CT= 8,75mm
Modulo 3
Exercício 1
I= b.h^3/12 
I= 240.160^3/12 – 2.(100.80^3/12) 
I= 73386666,67 mm^4 
b= 40 mm 
Q= considerando somente onde a viga é colada. 
Q= (100 + 100 + 40). (40). (60) 
Q= 576000 mm^3 
V (Cortante) = b.I.τ/Q 
V (Cortante) = (40. 73386666,67. 0,35)/576000 
V (Cortante) = 1,783 kN
Exercício 2
Cálculo do centroide 
Y = (0.15*0.1*0.25) + (0.15*0.25*0.10 / (0.1*0.25) + (0.25*0.1) 
Y = 0.15 m
Momento de Inercia
I = (0.1*(0.25^3)/12) + 0.1*0.25 + (0.15*0.15)^2 = 0.02563 m^4
Momento Estático
MS = 0.1*(0.25*0.1) = 2,5^-3
Fluxo de cisalhamento 
q= V*MS / I 
q= 60*(2,5^-3)/ 0,02563 = 5,85 KN/m
Exercício 3
Q = 250 * 10^-3 * 20 * 10^-3 * 160 * 10^-3 
Q = 8 * 10^-4 m^3 
I = (250 * 10-3 * (240 * 10-3)3 / 12) – 2 * (115 * 10-3 * (300 * 10-3)3 / 12) 
I = 3,013 * 10-4 m^4 
Vmax (Cortante máxima) 
= 10 kN 
F = ((Vmax (Cortante máxima) * Qchapa))/ I 
F = 10 * 8 * 10^-4 / 3,013 * 10^-4 
F = 26,55 kN/m 
Número de Cordões = 4 / (150 * 10^3) 
Número de Cordões = 26,67 
F (força) = F * L / (2 *Número de Cordões) 
F (força) = 26,55 * 4 / (2 * 26,67) 
F (força) = 2 Kn
Tensao de Cisalhamento = 105 Kn/m^2 
Tensao de Cisalhamento = F (força) / A (área) 
105 = 2 / (15 * 10^-3 * L) 
L = 2 / (105 * 15 * 10^-3) 
L = 1,33 * 10^-3 m 
L = 1,33 mm 
*O resultado do exercício não corresponde com as alternativas acima, sendo assim considerado como correto o resultado do mesmo. 
Exercício 4
Ichapa = b * h^3 / 12 
Ichapa = 260 * 15^3 / 12 
Ichapa = 96817500 mm^2 
I = 2 * (Iu + Ichapa) 
I = 2 * (78259700 + 96817500) 
I = 350154400 mm^4 
I = 350,15 * 10^-6 m^4 
Qchapa = 0,26 * 15 * 10^-3 * 157,5 * 10^-3 
Qchapa = 6,1425 * 10^-4 m3 
Vmáx
= 62,5 kN 
F = (Vmáx * Qchapa) / I 
F = 62,5 * 6,1425 * 10^-4 / 350,15 * 10^-6
F = 109,64 kN/m 
F (força total) = F * 2,5 
F (força total) = 109,64 * 2,5 
F (força total) = 274,1 Kn 
n = F (força total) / (2 * 47) 
n = 274,1 / (2 * 47) 
n = 2,92 
d = 2,5 / 2,92 
d = 0,85 m 
d = 850 mm 
*O resultado do exercício não corresponde com as alternativas acima, sendo assim considerado como correto o resultado do mesmo. 
Exercício 5
50*250*2*(125-162,5)+(200-162,5)*250*100=-937500+937500 = 0
Iy=2*(50*250^3/12+(125-162,5)^2*12500)+250*100^3/12 + (200-162,5)^2*25000= 221354167 mm^4
Msa= (50*250)*(125-162,5)=-468750mm^3
F= Msa/I 
F= (468750/221354167)*551250 = 1167,4 q.Nm
Tensão no Parafuso = (11674/0,2)*153,94q menor igual a 3,2Kn/m
Exercício 6
Através do diâmetro fornecido e a tensão de ruptura fornecida, verificamos que a força cortante não vai cisalhar os rebites, sendo assim seu espaçamento pode ser qualquer lugar.
Exercício 7
P=18 kN
 I=(b*(h^3))/12
Q=A’*Y’
fluxo de cisalhamento q’=(V.Q/I)
qadm= F/s
d= raiz quadrada(4*F/Q*PI)
d=7,5 mm.
Exercício 8
LN= 0,14m 
Momento de inercia MI TOTAL= MI da área maior – MI da parte vazada
Momento de inercia MI TOTAL= 264*(10^6) m^4
Momento Estático Q=A’y’
Momento Estático Q=A’y’ = 0,864*(10^-6) m^3
Fluxo de Cisalhamento q’= (V*Q/MI TOTAL)
Fluxo de Cisalhamento q’= (V*Q/MI TOTAL)= 34,36 kN/m
2 parafusos
s=2*F/q’
s= 47mm
Modulo 4
Exercício 1
I1 = ((d^4)*PI)/32
I1 = ((10^4)*PI)/32
I1 = 981,74 mm^4
I2 = ((d^4)*PI)/32
I2 = ((16^4)*PI/32
I2 = 6433,98 mm^4
N1 = ((PI^2)*E*I1)/(L^2)
N1 = ((PI^2)*((206*(10^3))*981,74)/(600^2)
N1 = 5544,48 N
N2 = ((PI^2)*E*I2)/(L^2)
N2 ((PI^2)*((206*(10^3))*6433,98)/(995^2)
N2 = 13212,97 N
Somatória das forças em Y=( – P – (N2*SEN 67,56°)= 0
P = – 0,92*N2
P = – 0,92*13212,97
P = – 12155,93 N (barra 2 sofre compressão)
Somatória das forças em X = (– N1 + (N2*COS 67,56°)) = 0
N1 = 0,38*N2
P = – N1/0,41
P = – 5544,48/0,41
P = – 13523,12 N (barra 1 sofre compressão)
Segurança 3
P = 12155,93/3
P = 4051,97 N
P = 4,0 kN
A resposta não corresponde com as fornecidas pelo sistema, sendo então considerado a resposta acima.
Exercício 3
Somatório das forças em X e Y
Momento de Inercia
Carga critica aplicada 
I= (pi(d^4))/64
Pad= Pcr/K =185 KN
Exercício 4
Dados:
P=20 KN
E=200GPa
L=2m
N=4
Sabendo que nível de segurança é igual a 4, temos que a força:
P=20*4
P=80KN
Conhecendo a formula de “P”, temos:
P=(PI^2)*E*I/L^2
I=P*(L^2)/E*(PI^2)
Ficando:
I=80000*(2^2)/(200*10^9)*(PI^2)
I=1,6211389*10^-7 m^4
I=162113,89 mm^4
Momento de Inercia para carregamento de 20 KN com modulo de segurança igual a 4.
Valor mais próximo foi utilizando as dimensões 51 x 51 x 9,5:
I = (IX1 + A1Y1) +(IX2+ A2Y2)
I = (51 * 9,5^3) /12 + (484,5*(11,44^2)) + (9,5 * (41,5^3)) / 12 + (394,25* (9,31^2))
I = 157807,24 mm^4
Exercício 5
I = 2 * (I1 + I2)
I = 2 * (121765,4 + 32020,7) *(10^-12)
I = 3,076 * (10^-7) m^4
P = (Pi^2) *E*I/ L^2
P = (Pi^2) *(206*10^6) *(3,076*10^-7) / (2,75^2)
P = 82,7 kN
coeficiente de segurança é 2, temos:
P = 82,7 / 2
P = 41,35 Kn
Exercício 6
I = I1
I = 1,217654 *(10^-7)
P = π2 * E * I / L2
P = (pi^2)*(206*10^-6)*(1,217654*10^-7)/ (2,75^2)
P = 32,74 kN
Como o coeficiente de segurança é 2, temos:
P = 32,74 / 2
P = 16,37 kN
Modulo 5
Exercício 1
Tfl= ((Pi^2)*E)/(k*((l/i)^2))
i=ÖI/A 
Icirculo= (PI*(d^4))/64
 Icirculo =(3,14159*25^4)/4
Icirculo =306796 mm^4
A= (PI*(d^2))/64
A=(3,14*50^2)/4
A=1963.5 mm^2
i=Raiz  I/A 
i=Raiz (306796/1963.5)
i= 12.5
300*(10^6)= ((3,1416^2)*(206*(10^9)) / (1*((/12.5)^2))
L=1029.04mm
Exercício 2
Tfl= ((Pi^2)*E) / (k*((l/i)^2))
i=ÖI/A
Icirculo= (PI*(d^4))/64
Icirculo =(3,14159*25^4)/4
Icirculo =306796 mm^4
A= (PI*(d^2))/64
A=(3.14*50^2)/4
A=1963.5 mm^2
i=ÖI/A
i=Ö*(306796/1963.5)
i= 12.5
Tfl= ((3,1416^2)*(206.10^9)/(1000^2)
Tfl=600 KN
Exercício 3
Pcrítico x= ((pi^2)*E*Ix)/(KL)x^2 
Pcrítico x= (3,14^2*70*10^9*61,3*10^(-6))/(2*5)^2 
Pcrítico x= 423,5KN 
Pcrítico y= (pi^2*E*Iy)/(KL)y^2 = 
Pcrítico y= (3,14^2*70*10^9*23,2*10^(-6))/(0,7*5)^2 
Pcrítico y= 1,31MN P 
Adm= Pcrítico x/FS 
Adm= (423,5*10^3)/3
Adm= 141,17KN 
Tensão crítica = Pcrítico x/A = (423,5*10^3)/(7500*10^(-6))
Tensão crítica = Pcrítico x/A = 56,47MPa
Exercício 4
I = (PI / 64) * (D^4– d^4)
I = (PI / 64) * (0,1^4– 0,084^4)
I = 2,5*(10^-6) m^4
E = 70*10^6
N = 4,3
Pcr = ((PI^2)*E*I) / ((L^2)*N)
BARRA AB:
L = 3
Pcr= ((PI^2)*E*I) / ((L^2)* N)
Pcr = ((PI^2)*(70*10^6*(2,5*10^-6 / ((3^2)*4,3)
Pcr = 45 kN
BARRA BC:
Pcr= ((PI^2)*E*I) / ((L^2)* N)
Pc r= ((PI^2)*(70*10^6*(2,5*10^-6 / ((4^2)*4,3)
Pcr= 25 kN
A carga com 90 kN, ao invés de 9 kN.
PcrBC = ((SENalfa)*(0,5)*(P))/ COSalfa
Alfa = (TAN^-1) (PcrBC/ (0,5 * P))
Alfa = (TAN^-1) (25 / (0,5 * 90))
Alfa = 29°
h = CO / TANalfa
h = 2 / TAN 29°
h = 3,6 m
Exercício 5
diametro da barra=30mm
E= 200 GPA
tensão do limite de escoamento= 240 MPA
Tensão do limite de ruptua= 200 MPA
Alfa= 1,1*(10^-5) (c^-1)
Ex=(240*10^6)/(200*10^9)= 0,0012
portanto:
0,0012=(1,1*10^-5) delta
(delta)t=0,0012 / (1,1*10^-5) 
(delta)t= 109,1 °C
Modulo 6
Exercício 1
y-> Indice de Esbeltez ->
Carga P na barra P= 10Kn
Tensão de Flambagem= ((PI^2)*E)/(y^2)
Tensão de Flambagem= 200 MPA
(200*10^6)= ((PI^2)*(200*10^9)/(y^2)
y= 99,34 -> Indice de Elbeltez
Equação de Tetmajer
Tensão de Flambagem= Tensão primaria= a-(b*y)+(c*(y^2)) (valores de a,b e c são tabelados)
Tensão de Flambagem= Tensão primaria= 303-(1,16*99,34)+(0*99,34)
Tensão de Flambagem= Tensão primaria= 188 MPA.
Tensão adm= Tensão de Flambagem/coeficiente de segurança
Tensão adm= 188/2
Tensão adm= 94 MPA
Tensão adm= P/A
10*10^3= 94*((PI*(d^2)/4)
d= 11,63 mm 
Valor aproximado P= 10 mm.
Exercício 3
y-> Indice de Esbeltez ->
Tensão de Flambagem= ((PI^2)*E)/(y^2)
Tensão de Flambagem= 200 MPA
(200*10^6)= ((PI^2)*(200*10^9)/(y^2)
y= 99,34 -> Indice de Elbeltez
Equação de Tetmajer
Tensão de Flambagem= Tensão primaria= a-(b*y)+(c*(y^2)) (valores de a,b e c são tabelados)
Tensão de Flambagem= Tensão primaria= 303-(1,16*99,34)+(0*99,34)
Tensão de Flambagem= Tensão primaria= 188MPA.
Tensão adm= Tensão de Flambagem/coeficiente de segurança
Tensão adm= 188/2
Tensão adm= 94MPA
Tensão adm= P/A
P= 94*((PI*(12^2)/4)
P= 10,63KN 
Valor aproximado P= 12,5 KN
Exercício 8
y-> Indice de Esbeltez ->
Tensão de Flambagem= ((PI^2)*E)/(y^2)
Tensão de Flambagem= 200 MPA
(200*10^6)= ((PI^2)*(200*10^9)/(y^2)
y= 99,34 -> Indice de Elbeltez
Equação de Tetmajer
Tensão de Flambagem= Tensão primaria= a-(b*y)+(c*(y^2)) (valores de a,b e c são tabelados)
Tensão de Flambagem= Tensão primaria= 303-(1,16*99,34)+(0*99,34)
Tensão de Flambagem= Tensão primaria= 188MPA.
Tensão adm= Tensão de Flambagem/coeficiente de segurança
Tensão adm= 188/2
Tensão adm= 94MPA
Tensão adm= P/A
P= 94*((PI*(12^2)/4)
P= 10,63KN 
Valor aproximado P= 12,4 KN
Modulo 7
Exercício 4
Vmax= (q/EL)*( (L/12)*((L/2)^3)) – ((1/24)*((L/2)^4))) -((L^3)/24)*(L/2))
Vmax= q/EL*((L^4)/96)*((L^384)-((L^4)/48))
Vmax= (- 5qL^4)/384*EL
Modulo 8
Exercício 1
D= ((q*(a^3))/(24EI)*(4L-a)
I= (10^7) mm^4 = (10^-5) m^4
D= ((2*10^3)*(3^3))/((24*(260*10^4)*(10^-5))*(4*5^-3)
D= 0,0147 m ou 14,7 mm
Exercício 5
P = ((PI^2)*E*I)/((L^2)*N)
P = ((PI^2)*E*PI*(d^4))/((L^2)*N*32)
d = ((P*(L^2)*N*32)/((PI^3)*E))*(1/4)
d = ((10*(0,5^2)*2* 32)/((PI^3)*(200*(10^6)))*(1/4)
d = 0,0126 m
d = 12,6 mm
O resultado acima não corresponde com as alternativas fornecidas pelo sistema, sendo assim considerada como correta a resolução acima.