tipos de apoio

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NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (NEAD) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIVRO DIDÁTICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equipe de produção NEAD 
Curso: Física 
Coordenador: Elvio Machado Martins Junior 
Disciplina: Mecânica dos Sólidos 
Prof. Conteudista: Reniene Maria dos Santos Bandeira 
Designer Instrucional: Roberta Prevedello 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Capítulo 8. Reações de Apoio 
 
 
Para início de conversa… 
 
Olá 
 
Nesta Unidade de Aprendizagem iremos trabalhar com o conceito de reações nos 
apoios. Para isso é preciso ter o conhecimento de corpos rígidos em equilíbrio. 
Lembrando que para um corpo estar em equilíbrio significa que todas as resultantes 
das forças que atuam sobre ele são nulas e a soma dos momentos são nulos. Estes 
requisitos são condições suficientes e necessárias para haver equilíbrio. 
 
O diagrama de corpo livre é a etapa mais importante para a solução de problemas de 
cálculo de reações nos apoios. É necessário representar claramente e 
completamente todas as cargas atuantes no corpo rígido. Há um detalhe importante 
como, a omissão de uma carga ou a inclusão de qualquer carga não existente no 
corpo isolado em questão, acarretará em resultados errados. 
 
Aqui estudaremos uma questão suficiente que está na característica dos vínculos. 
Vínculos significa o impedimento de movimento. Esse movimento impedido é 
representado pelas cargas reativas. Essas serão determinadas com a utilização das 
equações de equilíbrio. 
 
Dado o exposto, ficará claro determinar por exemplo quantas reações existem em 
apoios ou vínculos tipo rolete, ou articulação, ou fixo. Além de ser possível definir o 
valor escalar dessas reações nos apoios, direção e sentido. 
 
Então, vamos começar? 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivos de Aprendizagem 
 
 
- Aplicar os conhecimentos construídos em análise de estruturas, determinando as 
reações de apoio. 
 
 
 
 
 
1. Definição e classificação 
 
A principal função dos apoios é restringir o grau de liberdade da estrutura por meio 
das reações de apoios. Existem três graus de liberdade, tais como: 
 Translação no eixo X; 
 Translação no eixo Y; 
 Rotação. 
 
Por conseguinte, se um apoio impede a translação de um determinado corpo em uma 
direção, logo uma força é desenvolvida no corpo nessa direção. E se a rotação é 
restringida, um momento de binário é exercido sobre o corpo. 
 
Os apoios simples de primeiro gênero são aqueles com objetivo de restringir os 
esforços em relação a uma direção, ou melhor, em um só eixo X ou Y (Figura 1 e 3). 
Dessa forma, permite a translação no outro eixo assim como a rotação. Sendo assim, 
tem-se apenas uma reação de apoio (Figura 2 e 4). Este apoio é conhecido, por 
exemplo, como rolo ou balancim. 
 
 
 
 
 
Figura 1: Simbologia do apoio simples de 1° gênero vertical. Fonte: autora. 
 
 
 
 
Figura 2: Representação das reações no apoio de 1° gênero vertical. Fonte: autora. 
 
 
 
 
 
Figura 3: Simbologia do apoio simples de 1° gênero horizontal. Fonte: autora. 
 
 
 
 
Figura 4: Representação das reações no apoio de 1° gênero horizontal. Fonte: autora. 
 
 
Os apoios de segundo gênero são aqueles com objetivo de restringir os esforços em 
relação a duas direções, ou melhor, ao eixo X ou Y (Figura 5 e 7). Dessa forma, não 
permite a translação em nenhum eixo, porém permite a rotação. Sendo assim, tem-
se agora duas reações de apoio (Figura 6 e 8). Este apoio é conhecido, por exemplo, 
como apoio de articulação ou pino. 
 
 
 
 
Figura 5: Simbologia do apoio de 2° gênero vertical. Fonte: autora. 
 
 
 
Figura 6: Representação das reações no apoio de 2° gênero vertical. Fonte: autora. 
 
 
 
 
 
Figura 7: Simbologia do apoio de 2° gênero horizontal. Fonte: autora. 
 
 
 
 
Figura 8: Representação das reações no apoio de 2° gênero horizontal. Fonte: autora. 
 
Os apoios terceiro gênero são aqueles com objetivo de restringir os esforços em 
relação a duas direções, ou melhor, ao eixo X ou Y e também permitem a rotação. 
(Figura 9). Sendo assim, tem-se agora três reações de apoio (Figura 10). Este apoio 
é conhecido, por exemplo, como engaste ou apoio fixo. 
 
 
 
 
Figura 9: Simbologia do apoio de 2° gênero horizontal. Fonte: autora. 
 
 
 
 
Figura 10: Representação das reações no apoio de 2° gênero vertical. Fonte: autora. 
 
A Tabela 1 ilustra alguns tipos de apoios para corpos submetidos a sistemas de forças 
coplanares, sendo que em todos os casos o ângulo θ é conhecido. Aqui é apresentado 
todos os símbolos utilizados para representar esses apoios e os tipos de reações que 
ocorrem devido ao contato. 
 
 
Tabela 1: Apoios para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças bidimensionais. 
Fonte: Hibbeler, 2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Identificação dos tipos de apoio na estrutura 
 
Neste tópico é ilustrado algumas imagens reais de apoios em estruturas 
representando algumas conexões apresentadas na Tabela 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2: Exemplos de apoios em estruturas. 
Estrutura Tipo de conexão 
 
 
 
 
O cabo exerce uma força 
sobre o apoio na direção 
do cabo. 
 
 
Conexão 1 
 
 
 
Ponte da 14th Street 
sobre o Rio Potomac em 
Washington. Esta sobre 
um apoio de rolo. 
 
Conexão 3 
 
 
 
 
Viga-mestra sobre um 
apoio oscilante, neste 
caso tem-se um 
movimento horizontal de 
forma que a ponte possa 
se expandir e contrair de 
acordo com as variações 
de temperatura. 
 
 
 
Conexão 5 
 
 
 
Viga-mestra apoiada 
sobre uma base que 
deve agir como uma 
superfície de contato lisa. 
 
 
 
Conexão 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estrutura Tipo de conexão 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga apoiada no apoio 
de pino. 
 
 
 
 
 
Conexão 8 
 
 
 
 
Dobradiça conectando 
portas. 
 
 
Conexão 8 
 
 
 
 
Estas vigas de uma 
construção são de piso e 
elas são soldadas 
formando engastamento. 
 
 
 
Conexão 10 
 
 
 
3. Cálculo das reações de apoio 
 
Para realizar o cálculo de reações de apoio em corpos rígidos com forças coplanares 
e momentos binários atuantes devemos seguir os procedimentos abaixo: 
 
Procedimento 1: 
Desenho diagrama de corpo livre do corpo rígido, ou seja: 
 Estabeleça os eixos coordenados x e y; 
 Desenhe de uma forma esquemática o corpo rígido em análise; 
 Represente todas as forças e momentos binários que atuam sobre o corpo; 
 Rotule todas as cargas e especifique suas direções em relação aos eixos; 
Observação: o sentido de uma força reativa e momento binário reativo de 
intensidade desconhecida, mas com uma linha de ação conhecida deve ser 
assumida. 
 Indique as dimensões do corpo que são necessárias para o cálculo de 
momento de forças. 
 
Procedimento 2: 
 Aplique as equações necessárias e suficientes para o equilíbrio do corpo 
rígido, tais como: 
 
�𝐅𝐅𝐱𝐱 = 𝟎𝟎 
�𝐅𝐅𝐲𝐲 = 𝟎𝟎 
�𝐌𝐌𝐎𝐎 = 𝟎𝟎 
 
 Comece com a equação de equilíbrio de momento em relação a um 
determinado ponto, ∑𝐌𝐌𝐎𝐎 = 𝟎𝟎. Assim é possível determinar uma força reativa 
que é especificada como incógnita. 
 
 Aplique as equações de equilíbrio de força em relação ao eixo y (∑𝐅𝐅𝐲𝐲 = 𝟎𝟎) e 
em relação ao eixo x (∑𝐅𝐅𝐱𝐱 = 𝟎𝟎). 
 
 Caso a solução das equações de equilíbrio produza uma intensidade de força 
ou momento como um escalar negativo indica que o sentido é oposto ao que 
foi assumido no diagrama de corpo livre. 
 
 
 
 
 
 Exemplo 1: Determine as reações no apoio fixo (ponto A) da viga ilustrada. Despreze 
o peso da viga. 
 
 
 
Figura 11: Viga de apoio engastado e carga concentrada. Fonte: autora 
 
Resolução: 
Procedimento 1: Diagrama de corpo livre 
Neste caso temos um apoio de 3° gênero, ou seja, temos três forças reativas. 
Este apoio pode ser verificado na Tabela 1, apoio de conexão número 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12: Diagrama de corpo livre da viga de apoio engastado. Fonte: autora 
 
Procedimento 2: Aplicação das equaçõesde equilíbrio. 
Escolha é o somatório de momentos em relação ao ponto A. 
↶ +ƩMA = 0 
+400 ∙ 6 − MA = 0 
MA = 2400Nm ↻ 
 
Somando forças em direção y, temos: 
+↑ ƩFy = 0 
+RAy + 400 = 0 
RAy = −400 
RAy = 400N ↓ 
 
 Neste caso a solução da equação de equilíbrio produziu uma intensidade de 
força como um escalar negativo, isso indica que o sentido é oposto ao que foi 
assumido no diagrama de corpo livre. 
 
Somando forças em direção x, temos: 
ƩFx→+ = 0 
+RAx = 0 
 
Exemplo 2: Determine as reações nos apoios de rolo (ponto A e B) da viga ilustrada. 
Despreze o peso da viga. 
 
 
 
Figura 13: Viga em apoio simples móvel e carga concentrada. Fonte: autora 
 
Resolução: 
Procedimento 1: Diagrama de corpo livre 
Neste caso temos dois apoios de 1° gênero, ou seja, temos uma força reativa. 
Estes apoios podem ser verificados na Tabela 1, apoio de conexão número 3. 
 
 
Figura 14: Diagrama de corpo livre de viga em apoio simples móvel. Fonte: autora 
 
Procedimento 2: Aplicação das equações de equilíbrio. 
Escolha é o somatório de momentos em relação ao ponto A. 
↶ +ƩMA = 0 
+RBy ∙ 20 − 400 ∙ 10 = 0 
RBy = 200N ↑ 
Somando forças em direção y, temos: 
+↑ ƩFy = 0 
+RAy − 400 + RBy = 0 
RAy = 200N ↑ 
 
Exemplo 3: Determine as reações nos apoios de rolo (ponto A e B) da viga ilustrada. 
Despreze o peso da viga. 
 
 
Figura 15: Viga em apoio simples móvel e cargas concentradas. Fonte: autora 
 
Resolução: 
Procedimento 1: Diagrama de corpo livre 
 
 
Figura 16: Diagrama de corpo livre de viga em apoio simples móvel. Fonte: autora 
Procedimento 2: Aplicação das equações de equilíbrio. 
Escolha é o somatório de momentos em relação ao ponto A. 
↶ +ƩMA = 0 
+RBy ∙ 40 − 400 ∙ 30 − 400 ∙ 10 = 0 
RBy = 400N ↑ 
Somando forças em direção y, temos: 
+↑ ƩFy = 0 
+RAy − 400 − 400 + RBy = 0 
RAy = 400N ↑ 
 
Exemplo 4: Determine as reações no apoio de pino liso (ponto A) e no apoio de rolo 
(ponto B) da viga ilustrada. Despreze o peso da viga. 
 
 
Figura 17: Viga em apoio simples fixo e carga concentrada inclinada. Fonte: 
autora 
 
Resolução: 
Procedimento 1: Diagrama de corpo livre 
Neste caso temos no ponto A um apoio de 2° gênero, ou seja, temos duas forças 
reativas. Este apoio pode ser verificado na Tabela 1, apoio de conexão número 8. No 
ponto B, de 1° gênero. 
Neste caso, para simplificar, a força de 100N é representada por suas componentes 
x e y. 
 
 
 
Figura 18: Diagrama de corpo livre de viga em apoio simples fixo. Fonte: autora 
 
Procedimento 2: Aplicação das equações de equilíbrio. 
Escolha é o somatório de momentos em relação ao ponto A. 
↶ +ƩMA = 0 
+RBy ∙ 20 − 100 ∙ sen45° ∙ 10 = 0 
RBy = 35,4N ↑ 
Somando forças em direção y, temos: 
+↑ ƩFy = 0 
+RAy − 100 ∙ sen45° + RBy = 0 
RAy = 35,4N ↑ 
 
Somando forças em direção x, temos: 
ƩFx→+ = 0 
+RAx − 100 ∙ cos45° = 0 
RAx = 70,7N → 
 
 
Exemplo 5: Determine as reações no apoio de pino liso (ponto A) e no apoio de rolo 
(ponto B) da viga ilustrada. Despreze o peso da viga. 
 
 
Figura 19: Viga em apoio simples fixo e carregamento distribuído. Fonte: autora 
 
Resolução: 
Procedimento 1: Diagrama de corpo livre 
São os mesmos apoios do exemplo 4. Neste caso, para simplificar, o carregamento 
distribuído é representado como uma única força principal que nada mais é que a 
área da figura geométrica. A localização dessa força principal está no centroide da 
superfície da viga. 
 
 
 
Figura 20: Diagrama de corpo livre de viga em apoio simples fixo. Fonte: autora 
 
Procedimento 2: Aplicação das equações de equilíbrio. 
Escolha é o somatório de momentos em relação ao ponto A. 
↶ +ƩMA = 0 
+RBy ∙ 10 − 80 ∙ 5 = 0 
RBy = 40kN ↑ 
Somando forças em direção y, temos: 
+↑ ƩFy = 0 
+RAy − 80+ RBy = 0 
RAy = 40kN ↑ 
 
Somando forças em direção x, temos: 
ƩFx→+ = 0 
+RAx = 0 
 
Exemplo 6: Determine as reações no apoio de pino liso (ponto A) e no apoio de rolo 
(ponto B) da viga ilustrada. Despreze o peso da viga. 
 
 
Figura 21: Viga em apoio simples fixo e carregamento distribuído. Fonte: autora 
 
Resolução: 
Procedimento 1: Diagrama de corpo livre 
São os mesmos apoios do exemplo 5. Neste caso, é necessário também determinar 
as forças principais que representam os carregamentos, assim como, as suas 
localizações. 
 
 
Figura 22: Diagrama de corpo livre de viga em apoio simples fixo. Fonte: autora 
 
Procedimento 2: Aplicação das equações de equilíbrio. 
Escolha é o somatório de momentos em relação ao ponto A. 
↶ +ƩMA = 0 
+RBy ∙ 20 − 20 ∙ 15 − 40 ∙ 5 = 0 
RBy = 25kN ↑ 
Somando forças em direção y, temos: 
+↑ ƩFy = 0 
+RAy − 40 − 20+ RBy = 0 
RAy = 35kN ↑ 
 
Somando forças em direção x, temos: 
ƩFx→+ = 0 
+RAx = 0 
 
 
Exemplo 7: Determine as reações no apoio de pino liso (ponto A) e no apoio de rolo 
(ponto B) da viga ilustrada. Despreze o peso da viga. 
 
 
 
Figura 23: Viga em apoio simples fixo com carregamento distribuído e carga 
concentrada. Fonte: autora 
 
 
 
Resolução: 
Procedimento 1: Diagrama de corpo livre 
 
 
 
Figura 24: Diagrama de corpo livre de viga em apoio simples fixo. Fonte: autora 
 
Procedimento 2: Aplicação das equações de equilíbrio. 
Escolha é o somatório de momentos em relação ao ponto A. 
↶ +ƩMA = 0 
+RBy ∙ 20 − 40 ∙ 5 = 0 
RBy = 10kN ↑ 
Somando forças em direção y, temos: 
+↑ ƩFy = 0 
+RAy − 40+ RBy = 0 
RAy = 30kN ↑ 
 
Somando forças em direção x, temos: 
ƩFx→+ = 0 
+RAx − 2 = 0 
RAx = 2kN → 
 
 
 
Para resolver problemas de equilíbrio de corpo rígido antes de qualquer coisa é 
necessário desenhar o diagrama de corpo livre considerando todas as forças e 
momentos de binários que atuam sobre o corpo. 
 
É importante ressaltar que se um apoio impede a translação de um corpo em uma 
determinada direção logo o apoio exerce uma força sobre o corpo nessa direção. 
Também é válido lembrar que se a rotação é restringida então o apoio exerce um 
momento de binário sobre o corpo. 
 
Para o cálculo de reações de apoio é necessário, após o diagrama de corpo livre, 
aplicar as equações de equilíbrio de momento em relação a um determinado ponto e 
após aplicar as equações de equilíbrio de forças em relação aos eixos x e y. Não se 
esquecendo de que se a solução produzir um escalar negativo indica que o sentido é 
oposto ao assumido no diagrama de corpo livre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
BEER, F.P.; JOHNSTON, R.E.; MAZUREK, D. F.; EISENBERG, E.R. Mecânica 
vetorial para engenheiros: Estática. Porto Alegre: Bookman, 1994-2012. v.1. (Minha 
Biblioteca) 
 
HIBBELER, R. C. Estática – Mecânica para Engenharia. 12°edição. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall. 2011. (Minha Biblioteca) 
 
HIBBELER, R. C. Estática – Mecânica para Engenharia; tradução Daniel Vieira. 
14°edição. São Paulo: Pearson Education do Brasil. 2017. (Biblioteca Virtual) 
 
MERIAM, J. L; KRAIGE, L. G. – Engineering Mechanics Statics. Volume 1. 15° edição. 
John Wiley & Sons, 2002.