Exercícios de Álgebra Linear

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UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CURSOS: ENGENHARIAS: QUÍMICA, CIVIL, ELÉTRICA, FLORESTAL e PRODUÇÃO.
DISCIPLINA: ALGA I
3ª Lista de Exercícios
1. Consideremos a transformação linear:
T : 
Â
3
®
 EMBED Equation.3 Â
4
T (x,y,z) = (x + 2y, -2z, x+y, -3z)
Para u= (2,-1,3), v= (1,1,2) e w= (4,-1,3) Efetue:
a) T (4u + 3v - w)
b) 4T (u) + 3T (v) - T (w)
2. Consideremos a transformação linear:
T : 
Â
2 
®
 EMBED Equation.3 Â
3
T (x,y) = (x - 5y, x+y, x - y)
Para u= (3,-4), v= (1,6) e w= (1,-1) Efetue:
a) T (5u - 4v + 3w)
b) 5T (u) - 4T (v) + 3T (w)
3. Dada a transformação linear T : M2x1(R) 
®
 R2
T
ú
û
ù
ê
ë
é
b
a
 = ( a + 2b, a + b)
Para u = 
ú
û
ù
ê
ë
é
-
1
2
 e v = 
ú
û
ù
ê
ë
é
1
1
Efetue:
a) T ( 3u + 5v) =
b) 3T (u) + 5T (v) =
4.Verifique quais das seguintes funções são transformações lineares:
a) T : R2
®
 R2
T (x,y) = (x + y, x - 2y)
b) T : R2 
®
 R
T (x,y) = x - y
c) T: R
®
R2
T (x) = (x,2)
d) T : P2
®
 P3
T (ax2 + bx + c) = ax3 + bx2 + cx
e) T: M2x2( R ) 
®
R
T 
ú
û
ù
ê
ë
é
d
c
b
a
 = det 
ú
û
ù
ê
ë
é
d
c
b
a
f) T: R3 
®
R3
T (x,y,z) = (x+y, -3z, 0)
g) T: R3
®
R4
T(x,y,z) = (x+y, y+z, 0,0)
h) T: R2
®
R4
T(x,y) = (y,x,y,x)
i) T: R2
®
R
T (x,y) = x.y
5. Ache a transformação linear T: R2 
®
 R tal que T(1, -1) = -5 e T(1,2) = 6.
6. Ache a transformação linear T: R3
®
R2 tal que T(1, 0,0) = (1,1), T(0, 1,0) = (2,0) e T(0, 0,1) = (1,3).
7. Qual é a transformação linear T: R2
®
R3 tal que T(1,1) = (3, 2,1) e T(0, -2) = (0 1,0)?
8. Determine a transformação linear T: (3 ( (3 tal que T (1, 1, -1) = (0, 2, 0), T (1, 2, 0) = (-1, 2, 2) e
T (0, 1, -1) = (1, 0, 0).
9. Dadas as transformações lineares, abaixo: a) Determine NCT). T é injetora?
 b) Determine ImCT). T é sobrejetora?
a) T: R2
®
R2
T(x,y) = (3x - y, -3x + y)
b) T: R2 
®
R2
T(x,y) = (x+y, 5x + 3y)
c) T: R2
®
 R3
T(x,y) = (x+y, x, 2y)
d) T: R3
®
R2
T(x,y,z) = (x+2y-z, 2x – y + z)
e) T: R2
®
 R3
T(x,y) = (x-y,-2y,0)
f) T: R2
®
 R3
T(x,y) = (x - 3y, x – z, z - x)
g) T: P1 
®
 R3
T(at + b) = (a, 2a, a - b)
h) T: M2X2 (R) 
®
 R2
T
ú
û
ù
ê
ë
é
d
c
b
a
 = (a - b, a + b)
10. Consideremos a transformação linear T: R3
®
R2. T (x,y,z) = (2x + y – z, x + 2y)
( = {(1,0,0), (2,-1,0), (0,1,1)} base do R3
(’ = {(-1, 1), (0, 1)} base do R2
Determinar 
[
]
b
b
'
T
11. Sejam as transformações lineares do 
Â
2
®
 EMBED Equation.3 Â
2. 
 S(x, y) = (x + 2y, x – 3y) e T(x, y) = (-2x +y, x +4y)
 Efetue:
a) 3S – 4T
b) SoS
c) SoT
d) ToT
e) ToS
12. Sejam as transformações lineares S: R3 
®
 R3: S(x, y, z) = (x - 3y, -x + 4z, x – 2y + z) e T: R3 
®
 R3: T(x, y, z) = (2x, -z, x +3y)
Efetue:
a) 4S – 5T
b) SoS
c) ToT
d) ToS
e) SoT
13. Consideremos a transformação linear T: R2 
®
 R3 , T (x,y) = (x + y, -3x + 8y, 11x - 15y).
b
 = {(1,1) (1,0)} base do R2
 
b
¢
 = {(1,2,0) (1,0,-1) (1,-1,3)} base do R3
Determine: 
[
]
b
b
'
T
14. Consideremos a transformação linear T: R3 
®
 R2 
T(x, y, z) = (-2y + z, -x +y)
b
 = {(0,1,1) (1,0,0) (1,0,1)} base do R3
 
b
¢
= {(-1,0) (0,-1)} base do R2
Determine: 
[
]
b
b
'
T
15. Seja a transformação linear T: R2 
®
 R3 
T(x, y) = (2x – y, x + 3y, -2y) e 
 
b
 = {(-1,1) (0,1)}base do R2
b
¢
 = {(0, 0,1) (0, 1, -1) (1, 1,0)} base do R3
Determinar: 
[
]
b
b
'
T
16. Sejam as transformações lineares
 S: R2
®
 R3
S(x, y) = (x +y, -2y, -x)
T: R3 
®
 R4
T(x, y, z) = (2x, x + y, x – y, 3z)
Efetue: ToS
17. Ache os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
a) T: R2
®
 R2
 T(x, y) = (2y, x)
b) T: R2 
®
R2
T(x, y) = (x +y, 2x + y)
c) T: R2 
®
 R2
T(x, y) = (4x + 5y, 2x + y)
d) T: R3
®
R3
T(x, y, z) = (x +y, x – y + 2z, 2x + y – z)
e) T: R4
®
R4
T(x, y, z, w) = (x, x + y, x +y +z, x +y +z +w)
18. Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
a) A = 
ú
û
ù
ê
ë
é
-
1
0
2
1
 b) A = 
ú
û
ù
ê
ë
é
1
1
1
1
c) A = 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
1
0
0
2
1
0
3
2
1
 d) A = 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
1
0
0
5
3
0
4
3
3
_1020077708.unknown
_1065327915.unknown
_1082813380.unknown
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