Exemplos de Grupos e Grupos Abelianos

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
 MATEMÁTICA
#ATIVIDADE - 2
DISCIPLINA: ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
PROFESSOR: Wilson Espindola Passos					 ANO:	2020
OBS: Deve ser entregue a memória de cálulo de todos os exercícios 
PROFESSOR: Wilson Espindola Passos
QUESTÕES SOBRE TEORIA DE GRUPOS
Dê 5 exemplos de grupos.
2- Seja a definição:
Dê 5 exemplos de grupos abelianos.
Exemplo 1
G = {a0, a1 } com a operação definida por ai*aj =ai+j se i + j < 2 e ai*aj =a i + j−2 se i + j> 2. Esta operação pode ser simplificada pela tabela:
	*
	a0
	a1
	a0
	a0
	a1
	a1
	a1
	a0
Pela tabela segue que, para quaisquer ai, ajG, temos que ai * ajG, assim, a operação * é fechada em G.
Existe um elemento neutro a0G tal que para todo ajG vale a igualdade aj*a0=aj.
(G,*) é comutativo, pois para quaisquer ai, ajG, segue que ai * aj = aj *ai. Realmente:
	a0*a0
	=
	a0
	=
	a0*a0
	a0*a1
	=
	a1
	=
	a1*a0
	a1*a1
	=
	a0
	=
	a1*a1
Também, (G,*) é comutativo pois a tabela das operações é simétrica com relação à diagonal principal.
(G,*) é associativo, pois para quaisquer ai, ajG, temos que
	a0*(a0*a0) = a0*a0 = a0 = a0*a0 = (a0*a0)*a0
	a0*(a0*a1) = a0*a1 = a1 = a0*a1 = (a0*a0)*a1
	a0*(a1*a0) = a0*a1 = a1 = a1*a0 = (a0*a1)*a0
	a0*(a1*a1) = a0*a0 = a0 = a1*a1 = (a0*a1)*a1
	a1*(a0*a0) = a1*a0 = a1 = a1*a0 = (a1*a0)*a0
	a1*(a0*a1) = a1*a1 = a0 = a1*a1 = (a1*a0)*a1
	a1*(a1*a0) = a1*a1 = a0 = a0*a0 = (a1*a1)*a0
	a1*(a1*a1) = a1*a0 = a1 = a0*a1 = (a1*a1)*a1
Cada ai G possui um inverso aj ta que aj = ai, isto é, cada elemento é o inverso dele mesmo.
(G,*) é uma estrutura de grupo abeliano (comutativo).
Exemplo 2
G = {a0, a1, a2} com a operação definida por ai * aj = a[i+j]mod(3) sendo que a expressão [i + j] mod (3) é o resto da divisão inteira de i + j por 3. Esta operação pode ser posta na tabela:
	*
	a0
	a1
	a2
	a0
	a0
	a1
	a2
	a1
	a1
	a2
	a0
	a2
	a2
	a0
	a1
Pela tabela segue que, para quaisquer ai, aj G, temos que ai * aj G, assim, a operação * é fechada em G.
Existe um elemento neutro a0 G tal que para todo aj G vale a igualdade aj*a0=aj.
(G,*) é comutativo, pois para quaisquer ai, ajG, segue que ai*aj=aj*ai, isto é:
ai*aj=a[i+j]mod(3)=a[j+i]mod(3)=aj*ai
Este fato também pode ser observado na tabela das operações, pois esta é simétrica com relação à diagonal principal.
(G,*) é associativo, pois para quaisquer ai, aj, ak G, temos que
	ai*(aj*ak)
	=
	ai ** a[j+k]mod(3) = a[i+(j+k)]mod(3)
	 
	=
	a[i+j+k]mod(3) = a[(i+j)+k]mod(3)
	 
	=
	a[i+j]mod(3)*ak = (ai*aj)*ak
Cada ai G possui um inverso aj G tal que aj = ai, isto é, cada elemento é o inverso dele mesmo.
(G, * ) é uma estrutura de grupo abeliano (comutativo).
Exemplo 3
Consideremos o conjunto R com a operação ⊕ definida por x ⊕ y = x + y − 5 para quaisquer x, y ∈ R. Demonstre que G = (R,⊕) é um grupo abeliano.
Solução: Inicialmente, vamos mostrar que a operação ⊕ é associativa, tem elemento neutro e todo elemento de G tem inverso.
• Para quaisquer x, y, z ∈ G, temos:
◦ x ⊕ (y ⊕ z) = x ⊕ (y + z − 5) = x + (y + z − 5) − 5 = x + y + z −10
◦ (x ⊕ y) ⊕ z = (x + y − 5) ⊕ z = (x + y − 5) + z − 5 = x + y + z − 10
Logo, x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z.
• Suponhamos que ⊕ tenha elemento neutro e. Então e ⊕ x = x para todo x ∈ R o que implica em e + x −5 = x de onde obtemos e = 5. 
(Podemos agora comprovar que e = 5 é realmente o elemento neutro dessa operação: e ⊕ x = 5 ⊕ x = 5 + x −5 = x e x ⊕ e = x + 5 −5 = x para todo x ∈ R.)
• Dado x ∈ R, vamos determinar y = x−1. 
Por definição, temos x ⊕ y = e, ou seja, x + y − 5 = 5. 
Daí, obtemos que y = − x + 10, isto é, x −1 = −x + 10.
(Comprovando: x ⊕ x −1 = x ⊕ (− x + 10) = x + (− x + 10) −5 = 5 = e e x ⊕ x = (− x + 10) ⊕ x = (− x +10) + x − 5 = 5 = 5. 
Logo, (− x + 10) é realmente o inverso de x com relação à operação ⊕.)
Agora, vamos mostrar que ⊕ é comutativa:
• x ⊕ y = x + y − 5 = y + x −5 = y ⊕ x para quaisquer x, y ∈ G.
Fica mostrado assim que (G, ⊕) é um grupo abeliano
Exemplo 4
Seja (G, * ) um grupo para o qual ( x*y)2 = x2 * y2, ∀ x, y ∈ G. Mostre que G é abeliano. Observação: Se a ∈ G , então a2 é o mesmo que a * a.
Solução: Para quaisquer x, y ∈ G, a igualdade dada é equivalente a x * y * x * y = x * x * y * y. 
Multiplicando por x−1 à esquerda e por y−1 à direita, obtemos:
x−1 * x * y * x * y * y−1 = x−1 * x * y * x * y * y−1 ⇒
 = e = e = e = e
y * x = x * y
Como x e y são dois elementos genéricos, concluímos que o grupo é abeliano
Exemplo 5
Seja (G, *) um grupo com elemento neutro e para o qual x2 = e, ∀ x ∈ G. Mostre que G é abeliano.
Solução: Sejam x e y dois elementos genéricos de G. 
Por hipótese, neste grupo, todo elemento elevado ao quadrado é igual ao elemento neutro, logo:
 x2 = e, y2 = e 
e ( x * y)2 = e
Como ( x * y)2 = é o mesmo que x * y * x * y = e, multiplicando por x esquerda e por y à a direita, obtemos
 x * x* y * x * y * y = x * e * y ⇒ y * x = x * y
 = e = e
Logo, G é abeliano.
3- Demostre o lema abaixo:
Demonstração: 
Se S é subgrupo, então S ≠ Ø e, dado b ϵ S, temos 1-b Є S, o que decorre da seguinte condição definição de grupo. 
Dados ab Є S, (não necessariamente distintos), temos 1 ab-1 ϵ S. 
Reciprocamente, se S ≠ Ø, então a condição 1 nos diz que existe a Є S. 
Se 1 ϵ G denota o elemento neutro de G então, pela condição 2, 1 = aa S- 1 ϵ S .
 Se b Є S , então b-1 = 1 . b-1 Є S , novamente pela condição 2
	
Finalmente, se a e b pertencem a S, então ab = a (b-1)-1. 
Sendo assim, S é fechado para a operação de G e também para a inversão, isto é, o inverso de um elemento de S está em S. 
Dessa forma, as condições para que S seja um grupo são satisfeitas, logo S é subgrupo de G.
4- Demostre o lema abaixo:
Demonstração: 
Essa função está bem definida, pois, se aS = bS, então a-1b Є S, logo a-1 Є Sb-1 e As-1 = Sb-1. A sobrejetividade dessa função é clara. Quanto à injetividade, se aS e bS têm a mesma imagem, então As-1 = Sb-1, logo a-1 b Є , donde b Є aS e bS = aS
Em particular, se sG é finito, então Gs também é finito e ambos têm o mesmo número de elementos. Esse número de elementos é chamado de índice de S em G e denotado por (G : S). Quando SG (e, consequentemente, SG) é infinito, dizemos que o subgrupo S tem índice infinito em G e denotamos ( G : S ) = ∞ .
Um grupo G pode ser infinito, com um subgrupo S ≤ G também infinito, mas com ( G: S) finito. 
EXEMPLO:
Se G = R*, com o produto de números reais e S = R2 é o subgrupo formado pelos quadrados dos elementos de R*, então ambos são infinitos, mas (R* : R2 ) = 2.
De fato, dado um número real não nulo x, temos x > 0 ou x < 0. No primeiro caso, x Є R2 e no segundo caso - x Є R2. Logo, R2 tem apenas duas classes laterais em R*.
5-
 
A primeira linha da tabela se repete na última linha, a linha que corresponde ao elemento 5. Note que a primeira coluna se repete também na coluna que corresponde ao elemento 5. Isso significa que o e = 5 é o único elemento neutro dessa operação.
A tabela é simétrica com relação á diagonal que inicia na parte superior esquerda e termina na parte inferior direita. Logo, a operação é comutativa.
O elemento neutro e aparece na tábua apenas uma única vez, como resultado da operação 5⋆5 = 5 = e. Isso significa que o 5 é o único elemento invertível e o inverso do 5 é igual a ele mesmo.
6- 
Solução: Alguns exemplos:
3⊙4 = resto da divisão de 12 por 5 = 2
2⊙3 = resto da divisão de 6 por 5 = 1
2⊙3 = resto da divisão de 6 por 5 = 1
4⊕3 = resto da divisão de 7 por 5 = 2, etc.
	⊙
	0
	1
	2
	3
	4
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	 1
	0
	1
	2
	3
	4
	2
	0
	2
	4
	1
	3
	3
	0
	3
	1
	4
	2
	4
	0
	4
	3
	2
	1
	⊕
	0
	1
	2
	3
	4
	0
	0
	1
	2
	3
	4
	1
	1
	2
	3
	4
	0
	2
	2
	3
	4
	0
	1
	3
	3
	4
	0
	1
	2
	4
	4
	0
	1
	2
	3
7-
Solução: Como X só tem 3 elementos, então só podem existir 3 funções constantes definidas de X em X:
: XX, =1
: XX, =2
: XX, =3
Agora, observe que = = =1=; logo, = .
E então obtemos:
	Ο
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Observando a tábua, vemos quea primeira linha da tábua (o cabeçalho) não se repete em lugar algum; logo, a operação não tem elemento neutro á esquerda. Por outro lado, note que a primeira coluna se repete 3 vezes na tábua; isso significa que a operação tem 3 elementos neutros á direita: , e .
Sendo assim, podemos concluir que não tem elemento neutro.
8- 
Solução:
para x,y temos x ⊕ y= y ⊕ x. Tornando a operação comutativa.
Para quaisquer x,y,z temos x ⊕ (y⊕z)= x ⊕= e (x ⊕ y) ⊕ z= ⊕z= = 
Logo, (x⊕y)⊕z = x⊕(y⊕z) o que significa que⊕ ´e associativa.
Supondo que e seja o elemento neutro, temos e ⊕ x = x, ou seja, para todo real não negativo. Elevando a última igualdade ao quadrado, obtemos: += e, então chegamos a =0, ou seja, e=0. Assim, o zero é o elemento neutro da operação. Vejamos: x ⊕ 0= =x para todo x real não negativo.
9-
Solução: 
• Para quaisquer x,y∈ ℝ, temos x∗y = == = y ∗ x. Logo,∗ é comutativa.
0∗(1∗2) = = = 1e(0∗1)∗2 = ∗2 = ∗2 = 1∗2 = = = 4.
Logo, 0 ∗(1∗2) (0∗1)∗2 o que significa que ∗ não é associativa.
Suponhamos que exista um elemento neutro e para essa operação. Então, devemos ter e∗x = x para todo x∈ . Então, temos = x. Escolhendo dois valores distintos para x, por exemplo, x = 1 e x = 2, substituindo na equação anterior, temos: = 1 e = 2 que implicam em e = 0 e 2e = 1 que ´e um absurdo.
Logo, não existe elemento neutro para essa operação.
10-
Solução:
 • = (a + b)·(a + b) (definição de quadrado)
(a+b)·= a +b (distributividade á direita da multiplicação com relação a adição).
a(a + b) + b(a + b) = (a·a + a·b) + (b·a + b·b) (distributividade a esquerda da multiplicação com relação a adição).
(a·a + a·b) + (b·a + b·b) = (+ a·b) + (a·b + ) (definição de quadrado e comutatividade da multiplicação)
 +(ab+)= +ab) (associatividade da adição.
(( + ab) + ab) + = ( + (ab + ab)) + (associatividade da adição)
( + (ab + ab)) + = ( + 2ab) +
( + 2ab) + = + 2ab + (associatividade da adição)
11-
Solução: 
• Para quaisquer (a,b) e (c,d) pertencentes a ℤ x ℤ temos (a,b)∗(c,d) = (ac,ad + bc) = (ca,cb + da) = (c,d)∗(a,b), logo, ∗ é comutativa.
Suponhamos que a operação tenha elemento neutro e = (,). Então, se x = (a,b) for um elemento genérico de ℤ x ℤ, temos que e∗ x = x, isto é, (,)∗(a,b) = (a,b)⇒(a,b+a) = (a,b)⇒a = a,b+a = b. Em particular, escolhendo (a,b) = (1,1), temos = 1, + = 1 o que implica em = 0. Logo, e = (1,0) é um “candidato” a elemento neutro da operação. Vejamos: e∗ x = (1,0)∗(a,b) = (1·a,1·b + 0·a) = (a,b). Logo, (1,0) é realmente o elemento neutro da operação.
Dado (a,b) ∈ ℤ x ℤ, se (x,y) for o elemento inverso de (a,b), então devemos ter (a,b) ∗ (x,y) = (1,0) = elemento neutro ⇒ (ax, ay + bx) = (1,0) ⇒ ax = 1,ay + bx = 0. Como a e x são inteiros, então ax = 1 implica a = 1,x = 1 ou a = −1,x = −1.
(1° caso:) Se a = 1 e x = 1, então 1·y + b.1 = 0 ⇒ y = −b. Logo, o inverso de (1, b) é o elemento (1,−b).
(2° caso:) Se a = −1e x = −1,então−1·y+b·(−1) = 0⇒y = −b. Assim, o inverso de (−1,b) é o elemento (−1,−b).
Sendo assim, os elementos invertíveis são da forma (1,b) ou (−1,b), com b ∈ ℤ e seus inversos são dados por: (= (1,−b) e = (−1,−b).
12-
Solução: Se f for um homomorfismo, devemos mostrar que f(x∗y) = f(x)∆f(y), ∀x, y ∈ G. Se f nao for homomorfismo, devemos mostrar um contra-exemplo, ou seja, escolher valores particulares de a, b ∈ G tais que f(a ∗ b) , f(a)∆f(b). Aqui, ∗ representa a operação de G e ∆ e a operação ao de J.
a) Para quaisquer x,y ∈ ℤ, temos: f(x + y) = 7(x + y) = 7x + 7y = f(x) + f(y). Logo, f é um homomorfismo de ℤ em ℤ.
b) Neste caso, temos, por exemplo, que f(1) = 8, f(2) = 15, f(1+2) = f(3) = 22e f(1)+ f(2) = 23. Logo, f(1+2) f(1)+ f(2). Logo, f não é homomorfismo.
c) Por exemplo, f(1) = 7, f(3) = 63, f(1 + 3) = f(4) = 112 e f(1) + f(3) = 70. Logo, f(1+3)f(1)+ f(3) e então temos que, f não é homomorfismo de grupos.
d) Por exemplo, f(−2) = 2, f(2) = 2, f(−2+2) = f(0) = 0, f(−2)+ f(2) = 2+2 = 4. Logo, f(−2 + 2) f(−2) + f(2)⇒ f não é homomorfismo.
e) Para quaisquer x,y ∈ ℝ, temos f(x·y) = |x·y| = |x|·|y| = f(x)· f(y). Logo, f é um homomofismo de G em J.
f) Sejam x,y ∈ ℝ. Temos que: f(x+y) = (2(x+y), 3(x+y)) = (2x+2y, 3x+3y). Por outro lado, f(x) + f(y) = (2x, 3x) + (2y, 3y) = (2x + 2y, 3x + 3y). Logo, f(x+y) = f(x)+f(y) sendo assim, f é um homomorfismo de grupos.
g) Sejam (a,b) e (c,d) dois elementos genéricos de ℝ × ℝ. Temos: f(a,b) + f(c,d) = (4a − 5b) + (4c − 5d) = 4a + 4c − 5b − 5d. Por outro lado, f((a,b)+(c,d)) = f(a+c,b+d) = 4(a+c)−5(b+d) = 4a+4c−5b−5d. Logo, f((a,b) + (c,d)) = f(a,b) + f(c,d)⇒ f é homomorfismo de G em J.
h) Para quaisquer x = G e y= G, temos: X + Y= e f(X)+ f(Y) = tr(X)+tr(Y) = (a+d) + (r+u) = a + d + r + u. Por outro lado, f(X + Y) = tr(X + Y) = (a + r) + (d + u) = a + r + d + u. Logo, f(X+Y) = f(X)+ f(Y)⇒ f é um homomorfismo de grupos.