aula edo-1-23-03-2020 - equações exatas

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Equações exatas
Prof. Rogério
Proporcionam técnicas de resoluções de EDOs
Pressuposto: 
Seja z= f(x,y), então dz=
∂ f
∂ x
dx+
∂ f
∂ y
dy
se f(x,y) = C, então 
∂ f
∂ x
dx+
∂ f
∂ y
dy=0
Equação Exata vai tomar a forma de 
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 
Critério para a diferencial exata é: 
∂ M
∂ y
=
∂ N
∂ x
Para provar isso é muito simples:
Se M dx + N dy = 
∂ f
∂ x
dx+
∂ f
∂ y
dy=0
então: 
M=
∂ f
∂ x
 N=
∂ f
∂ y
∂ M
∂ y
=
∂
∂ y (
∂ f
∂ x )
∂ N
∂ x
=
∂
∂ x (
∂ f
∂ y )
∂ M
∂ y
=
∂2 f
∂ x∂ y
∂ N
∂ y
=
∂2 f
∂ x∂ y
Logo percebe-se que 
∂ M
∂ y
=
∂ N
∂ x
CRITÉRIO para Diferencial Exata
PASSO A PASSO
i) Dado M(x,y) dx + N(x, y) dy = 0, determine se o teorema é válido;
ii) Se for, então existe f tal que 
∂ f
∂ x
=M (x , y ) ;
iii) f (x , y )=∫ M dx + g ( y )=C ;
iv) Integrar g’(y) e obter g(y)
v) substituir g(y) em (iii)
Obs:
como obter g(y) ? 
Se
∂ f
∂ y
=
∂
∂ y
(∫M dx ) + g' ( y )= N
então: g '( y )= N −
∂
∂ y
(∫M dx)
Exemplo 1: (2xy) dx + (x² – 1) dy = 0
(M) dx + (N) dy = 0
i) Dado M(x,y) dx + N(x, y) dy = 0, determine se o teorema é válido;
∂ M
∂ y
=
∂ N
∂ x
M = 2xy N = x² – 1
d/dy (2xy) = d/dx (x² – 1)
2x = 2x
ii) Se for, então existe f tal que 
∂ f
∂ x
=M (x , y ) ;
M = 2xy
iii) f (x , y )=∫ M dx + g ( y )=C ;
f (x , y )=∫ 2xy dx + g ( y)=C
f(x,y) = x²y + g(y) = C → solução geral da EDO exata
iv) obter g(y);
se 
∂ f
∂ y
=
∂
∂ y
(∫M dx ) + g' ( y )= N
então g '( y )= N −
∂
∂ y
(∫M dx)
se ∂f/∂y = ∂ (x²y)/∂y + g’(y) = N
 
 ∂f/dy = x² + g’(y) = N
então g’(y) = N – x² 
 g’(y) = (x² – 1) – x²
 g’(y) = – 1
 integral de ∂g(y)/∂y ou integral de g’(y) = g(y)
g(y) = - y 
 
v) substituir g(y) em (iii)
f(x,y) = x²y + g(y) = C → solução geral da EDO exata
f(x,y) = x²y – y = C → solução geral da EDO exata
Exercício 2 x
dy
dx
= 2xe x− y + 6 x2