2° Aula CFVV

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CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
DERIVADAS PARCIAIS
Prof. Ms. Márcia Vieira
Prof. Dr. Bruno Honda
Tópicos
 Derivadas parciais;
 Regra da Cadeia;
 Regra do produto;
 Regra do Quociente;
 Exemplos e exercícios.
Derivadas simples (tabela)
 Derivadas diretas:
 Propriedades:
onde ‘f’ e ‘g’ são funções de x, 
e ‘c’ é um número real
Derivadas Parciais - Lembrando
yy
z
x
x
z
yxzI
1
4
ln)
3
4
=


=


+=
y
x
y
z
yx
x
z
yxzII
1
.
ln.4
ln.)
4
3
4
=


=


=
Regra da cadeia
 Regra da cadeia: função composta u=u(x);
 Tabela:
Onde u=u(x) é uma função de x:
Regra da Cadeia - Exemplos
I) Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função: 
𝑧 = sen(2𝑥𝑦)
 Para calcular a derivada parcial em relação à x, vamos considerar que y 
é uma constante. Ou seja, usando a regra da cadeia: 𝑠𝑒𝑛𝑢 ′ = 𝑢′𝑐𝑜𝑠𝑢
 Substituindo na relação temos portanto:
y
x
u
u
xyu
2'
2
=


=
=
)2cos(.2 xyy
x
z
=


Regra da Cadeia - Exemplos
 Para calcular a derivada parcial em relação à y, vamos considerar que x 
é uma constante. Ou seja, usando a regra da cadeia: 𝑠𝑒𝑛𝑢 ′ = 𝑢′𝑐𝑜𝑠𝑢
 Substituindo na relação temos portanto:
x2=
xyu 2=
)2cos(.2 xyx
y
z
=


Regra da Cadeia - Exemplos
II) Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 𝑦2
 Vamos calcular a derivada parcial em relação à x, lembrando da regra da 
cadeia: 𝑢𝑛 ′ = 𝑛𝑢𝑛−1. 𝑢′
 Ou seja,
 Substituindo na relação obtemos portanto:
𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎
𝑚
𝑛
2
1
²)4(²4),( yxyxyxf +=+=
4'
²4
=


=
+=
x
u
u
yxu
²4
2
4.²)4.(
2
1
2
1
yx
yxf x
+
=+=
−
Regra da Cadeia - Exemplos
 Vamos calcular a derivada parcial em relação à y, lembrando da regra da 
cadeia: 𝑢𝑛 ′ = 𝑛𝑢𝑛−1. 𝑢′
 Ou seja,
 Substituindo na relação obtemos portanto:
2
1
²)4(²4),( yxyxyxf +=+=
y
y
u
u
yxu
2'
²4
=


=
+=
²4
2.²)4.(
2
1
2
1
yx
y
yyxf y
+
=+=
−
Regra da Cadeia - Exemplos
III) Considere a função:
 Para calcular a derivada parcial de f em relação à x, o termo ‘ y²’ será 
considerado constante, e a derivada será feita somente em relação à x. 
Observe:
².3 yez x=
².3 yez x=
².3 3 ye
x
z x=


uu eue .)'( =
Regra da Cadeia - Exemplos
 Para calcular a derivada parcial de f em relação à y, o termo será 
considerado constante, e a derivada será feita somente em relação à y. 
Observe:
yeye
y
z xx .22. 33 ==


xe3
².3 yez x=
Exercício 1 – Regra da Cadeia
Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função: 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 7𝑦)
A derivada parcial em relação à variável x: 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 2𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 7𝑦)
A derivada parcial em relação à variável y: 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 7𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 7𝑦)
Lembrete: 𝑠𝑒𝑛𝑢 ′ = 𝑢′𝑐𝑜𝑠𝑢
u=2.x+7y
ux=2
uy=7 
Exercício 2
Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑦
A derivada parcial em relação à variável x: 𝑓𝑥 = 𝑦𝑒
𝑥𝑦
A derivada parcial em relação à variável y: 𝑓𝑦 = 𝑥𝑒
𝑥𝑦
Lembrete: 𝑒𝑢 ′ = 𝑢′𝑒𝑢
u=x.y
ux=y
uy=x 
Regra do Produto - Exemplo
I) Encontre as derivadas parciais da função:
 Vamos calcular a derivada parcial em relação à x: neste exemplo temos 
uma função de x multiplicando outra função de x, logo usaremos a regra 
do produto: 𝑢. 𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ para a derivada parcial em relação a x.
 Substituindo:
Regra do Produto - Exemplo
Ainda neste exemplo temos uma função de y multiplicando outra função de y, logo 
usaremos a regra do produto: 𝑢. 𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ para a derivada parcial em 
relação a y.
 Substituindo:
Regra do Quociente - Exemplo
I) Calcule as derivadas parciais da função:
 Vamos calcular a derivada parcial em relação à x: neste exemplo temos 
uma função de x dividindo outra função de x, logo usaremos a regra do 
quociente:
 Substituindo:
Regra do Quociente - Exemplo
 Substituindo:
Ainda neste exemplo temos uma função de y multiplicando outra função de y, logo 
usaremos a regra do quociente para a derivada parcial em relação a y.
Regra do Produto - Exercício
1) Encontre as derivadas parciais da função: 𝑧 = 2𝑥2𝑦. ln(𝑥2 + 𝑦2)
Neste exemplo temos uma função de x multiplicando outra função de x, logo usaremos a 
regra do produto: 𝑢. 𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ para a derivada parcial em relação a x.
 Substituindo na relação, temos:
yxu ²2=
²²
2
.²2²)²ln(.4
yx
x
yxyxxy
x
z
+
++=


xy
x
u
u 4=


=
²)²ln( yxv +=
²
2
2 yx
x
x
v
v
+
=


=
²²
³4
²)²ln(.4
yx
yx
yxxy
x
z
+
++=


Lembrete: 𝑙𝑛𝑢 ′ =
𝑢′
𝑢
Regra do Produto - Exercício
𝑧 = 2𝑥2𝑦. ln(𝑥2 + 𝑦2)
Ainda neste exemplo temos uma função de y multiplicando outra função de y, logo 
usaremos a regra do produto: 𝑢. 𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ para a derivada parcial em relação a y.
Substituindo na relação, temos:
yxu ²2=
²²
2
.²2²)²ln(².2
yx
y
yxyxx
y
z
+
++=


²2x
y
u
u =


=
²)²ln( yxv +=
²
2
2 yx
y
y
v
v
+
=


=
²²
²²4
²)²ln(².2
yx
yx
yxx
y
z
+
++=


Lembrete: 𝑙𝑛𝑢 ′ =
𝑢′
𝑢
Derivadas Parciais de Funções de Três Variáveis
Suponha que a temperatura T em um ponto (x, y, z) do espaço seja dada 
por T(x, y, z)= 4x³+2y²+6z, sendo T medida em graus Celsius e as 
variáveis x, y, e z medidas em metros. 
 A variação da temperatura em relação ao eixo x é: 
 A variação da temperatura em relação ao eixo y é: 
 A variação da temperatura em relação ao eixo z é: 
)/(²12 mCx
x
T
=


)/(4 mCy
y
T
=


)/(6 mC
z
T
=


Derivadas Parciais – Três Variáveis - Exercício
1) Encontrar as derivadas parciais da função:
Resposta:
4223 234),,( zzyxzyxf −+=
212x
x
f
=

 26yz
y
f
=

 32 86 zzy
z
f
−=


 Não se esqueça de repetir os exemplos e exercícios sozinho (os slides 
serão disponibilizados em www.unip.br – Conteúdo on line);
 Aproveito o tempo ocioso para ler e se atualizar;
 Seja responsável e siga os protocolos de saúde!
 Até a próxima!!
http://www.unip.br/