Apostila JULHO - Matemática 1

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MATEMÁTICA 1 
 
MÓDULO 23 
 
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
1) Equação Reduzida da Circunferência: 
 
A circunferência é a curva que reúne todos os pontos que tem exatamente a mesma distância (raio da 
circunferência) em relação a um ponto em comum (centro da circunferência). 
 
 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da figura anterior, teremos: 
 
(x – a)² + (y – b)² = R² 
 
2) Equação Geral da Circunferência: 
 
Essa equação é encontrada quando desenvolvemos a equação anterior. Assim: 
 
x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = R² 
x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – R²) = 0 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) (UEL) Considere os pontos A(0;0), B(2;3) e C(4;1). O segmento BC é um diâmetro da circunferência de equação: 
a) x² + y² + 6x + 4y + 11 = 0 d) x² + y² - 6x - 4y + 9 = 0 
b) x² + y² - 6x - 4y + 11 = 0 e) x² + y² - 4x - 9y + 9 = 0 
c) x² + y² - 4x + 9y + 11 = 0 
 
2) (UDESC) Para que a equação x² + y² - 4x + 8y + k = 0 represente uma circunferência, devemos ter: 
a) K < 20 b) K > 13 c) K < 12 d) K > 12 e) K < 10 
 
3) (PUC/SP) A reta de equação y = 2x - 4 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são os 
extremos de um diâmetro da circunferência α. A equação correspondente a α é: 
a) x² + y² - 2x + 4y - 5 = 0 d) x² + y² + 2x + 2y + 1 = 0 
b) x² + y² - 2x + 4y = 0 e) x² + y2 + 6x + 3y - 4 = 0 
c) 2x² + 4y² + 2x + 4y + 5 = 0 
 
4) (FUVEST) O segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x² +y² = 10y. Se A é o ponto (3,1), então B é o 
ponto: 
a) (-3, 9) b) (3, 9) c) (0, 10) d) (-3, 1) e) (1, 3) 
 
 
 
 
 
2 
 
5) (MACKENZIE) A curva x² + y² - 2x - 2y + 1 = 0 tem um único ponto comum com a reta x + y = k, k ϵ IR. A soma dos 
possíveis valores de k é: 
a) 4 b) -2 c) -4 d) 2 e) 0 
 
6) (UEL) Seja P um ponto do eixo das ordenadas pertencente à reta de equação 2x- 3y- 6= 0. A equação da 
circunferência de centro em P e tangente ao eixo das abcissas é: 
a) x² + y² = 4 d) x² + y² - 4x = 0 
b) x² + y² + 4x = 0 e) x² + y² - 4y = 0 
c) x² + y² +4y = 0 
 
7) (FATEC) Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de equação 
x² + y² - 2x - 4y -4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é: 
a) y = 2x + 1 b) y = 2x -1 c) y = x/2 d) y = 2x e) y = x 
 
8) (FEI) No plano cartesiano, a circunferência com centro no ponto C=(3,4) e raio r=5 intercepta os eixos do sistema em: 
a) nenhum ponto b) 1 ponto c) 2 pontos d) 3 pontos e) 4 pontos 
 
9) (MACKENZIE) A reta que passa pelo centro da circunferência x² + y² + 6x + 4y + 12 = 0 e é paralela à bissetriz dos 
quadrantes pares tem equação: 
a) x + y + 5 = 0 d) x + y - 1 = 0 
b) x + y - 5 =0 e) x + y + 1 = 0 
c) 5x + 5y + 1 = 0 
 
10) (UECE) Se a circunferência de centro no ponto P(- 2, 3) e raio 2cm passa pelos pontos P1(K1, 5) e P2(0, K2), então 
K1³ + K2³ é igual a: 
a) 16 b) 19 c) 26 d) 35 
 
11) (UFRS) O comprimento da corda que a reta r definida pela equação 2x - y = 0 determina no círculo α de centro 
no ponto C(2,0) e raio r = 2 é: 
a) 0 b) 2 c) 5 d) √10/5 e) (4√5)/5 
 
12) (UFRS) A equação x² + y² + 4x - 6y + m = 0 representa um círculo se e semente se: 
a) m > 0 b) m < 0 c) m > 13 d) m > -13 e) m < 13 
 
13) (CESGRANRIO) A equação da circunferência de raio 5, cujo centro é o ponto comum às retas x - y + 1 = 2 e 
x + y - 1 = 2 é: 
a) x² + y² - 4x - 2y - 20 = 0 d) x² + y² - 4x + 2y - 20 = 0 
b) x² + y² - 4x - 2y + 20 = 0 e) x² + y² + 4x - 2y - 20 = 0 
c) x² + y² - 4x + 2y + 20 = 0 
 
14) (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da reta r, de equação x + y=0, com a circunferência α, de equação x² 
+ y² - 4x = 0. O comprimento da corda AB é: 
a) √2 b) 2√2 c) 4 d) 4√2 e) 8 
 
15) (CESGRANRIO) A equação da circunferência cuja representação cartesiana 
está indicada pela figura anterior é: 
a) x² + y² - 3x - 4y = 0 c) x² + y² + 6x - 8y = 0 
b) x² + y² + 6x + 8y = 0 d) x² + y² + 8x - 6y = 0 
e) x² + y² - 8x + 6y = 0 
 
 
 
, 
 
 
 
 
 
3 
 
16) (UNESP) O comprimento da corda que a reta y = x determina na circunferência de equação (x+2)² +(y- 2)² = 16 é: 
a) 4 b) 4√2 c) 2 d) 2√2 e) √2 
 
17) (UNIRIO) A equação x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0 é de uma circunferência cuja soma do raio e das coordenadas do 
centro é igual a: 
a) -2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 15 
 
18) (UNESP) A equação da circunferência com centro no ponto C= (2,1) e que passa pelo ponto P= (0,3) é dada por: 
a) x² + (y - 3)² = 0 d) (x - 2)² + (y - 1)² = 16 
b) (x - 2)² + (y - 1)² = 4 e) x² + (y - 3)² = 8 
c) (x - 2)² + (y - 1)² = 8 
 
19) (UNIFESP) A equação x² + y² + 6x + 4y + 12 = 0, em coordenadas cartesianas, representa uma circunferência de 
raio 1 e centro: 
a) (- 6, 4) b) (6, 4) c) (3, 2) d) (-3, -2) e) (6, -4) 
 
20) (UFV) Considere a equação x² + y² - 6x + 4y + p = 0. O maior valor inteiro p para que a equação anterior represente 
uma circunferência é: 
a) 13 b) 12 c) 14 d) 8 e) 10 
 
21) (UFPI) Se uma circunferência no segundo quadrante, tangente a ambos os eixos, toca o eixo y no ponto (0, 3), 
então o centro dessa circunferência é o ponto: 
a) (-3, 0) b) (-3, 3) c) (3, 3) d) (-4, 3) e) (2, 3) 
 
22) (PUC/PR) A distância do ponto P(1;8) ao centro da circunferência x² +y² - 8x - 8y + 24 = 0 é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 
 
23) (FGV) No plano cartesiano, a reta de equação x = k tangencia a circunferência de equação (x-2)² + (y- 3)² = 1. Os 
valores de k são: 
a) -2 ou 0 b) -1 ou 1 c) 0 ou 2 d) 1 ou 3 e) 2 ou 4 
 
24) (PUC/RS) O raio da circunferência centrada na origem que tangencia a reta de equação y = x -1 é: 
a) 1 b) 1/2 c) √2 d) (√2)/2 e) (√2) – 1 
 
25) (UFES) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere as circunferências dadas pelas equações 
(6x - 25)² + 36y² = 25² 
64x² + (8y - 25)² = 25² 
 
A equação da reta determinada pelos centros dessas circunferências é: 
a) 25x + 25y = 25² d) 8x + 6y = 25 
b) 64x + 36y = 25² e) 6x + 8y = 25 
c) 36x + 64y = 25² 
 
26) (UDESC) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(5,5), B(-3,1) e C(2,-4). Comente as 
etapas durante a resolução da questão. 
 
27) (FUVEST) Um quadrado está inscrito numa circunferência de centro (1,2). Um dos vértices do quadrado é o ponto 
(-3,-1). Determine os outros três vértices do quadrado. 
 
28) (UNIRIO) Sabendo-se que os pontos A (1,3) e B (3,7) pertencem a uma mesma circunferência e que a reta que 
contém esses pontos passa pelo seu centro, determine a equação dessa circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
29) (UFF) A circunferência C1, de raio 1, é tangente aos eixos coordenados, conforme representação abaixo. 
 
 
 
Determine a equação da circunferência C2, tangente simultaneamente aos eixos coordenados e à C1. 
 
30) (UERJ) Um dado triângulo é formado pelas retas (r), (s) e (t), abaixo descritas. 
 
(r): 2x - 3y + 21 = 0 
(s): 3x - 2y - 6 = 0 
(t): 2x + 3y + 9 = 0 
 
Calcule, em relação a esse triângulo: 
a) sua área; 
b) a equação da circunferência circunscrita a ele. 
 
31) (UFV) Determine os valores de R para que o gráfico da equação x² + y² + 4x + 6y + R = 0 seja: 
a) um círculo. 
b) um ponto. 
 
32) (UNESP) Considere a circunferência α, de equação (x-3)² + y² = 5. 
a) Determine o ponto P = (x, y) pertencente a α, tal que y=2 e x>3. 
b) Se r é a reta que passa pelo centro de α e por P, dê a equação e o coeficiente angular de r. 
 
33) (UFRJ) A reta y = x + k , k fixo, intercepta a circunferência x² + y² = 1 em dois pontos 
distintos, P1 e P2, como mostra a figura a seguir. 
 
a) Determine os possíveis valores de k. 
b) Determine o comprimento do segmento P1P2 em função de k. 
 
 
 
34) (FEI) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1). 
 
35) (VUNESP) Considereo quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e circunscrito à circunferência de 
equação x² + y² - 6x - 4y + 12 = 0. Determine as equações das retas que contêm as diagonais desse quadrado. 
 
36) (UNICAMP) Os ciclistas A e B partem do ponto P(21, 1) no mesmo instante e com velocidades de módulos 
constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela equação 4y - 3x - 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita 
pela equação x² + y² - 6x - 8y = 0. As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de medida de comprimento 
é o quilômetro. Pergunta-se: 
a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde haverá cruzamento das duas trajetórias? 
b) Se a velocidade do ciclista A for 20 km/h, qual deverá ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no 
mesmo instante ao ponto Q? 
 
37) (FGV/SP) No plano cartesiano, considere a circunferência de equação x² + y² - 4x = 0 e o ponto P (3,√3). Verificar 
se P é interior, exterior ou pertencente à circunferência. 
 
 
 
 
5 
 
38) (UNICAMP) Identifique as circunferências de equações x² + y² = x e x² + y² = y, calculando o raio e o centro delas. 
 
39) (UFSC) Determine o raio da circunferência C1, cujo centro é o ponto de intersecção da reta r de equação 
x - y - 1 = 0 com a reta s de equação 2x - y + 1 = 0, sabendo que C1 é tangente exteriormente à circunferência C2 
de equação x² + y² - 12x - 6y - 4 = 0. 
 
40) (UFPEL) Determinar a equação geral da circunferência concêntrica à circunferência x² + y² + 6x - 8y = 0 e tangente 
ao eixo das ordenadas. 
 
 
GABARITO 
 
1) B 2) A 3) B 4) A 5) A 6) C 7) D 8) D 9) A 10) B 
11) E 12) E 13) A 14) B 15) C 16) B 17) B 18) C 19) D 20) B 
21) B 22) D 23) D 24) D 25) E 
26) x² + y² - 4x - 2y - 20 = 0 
27) (5, 5), (4, -2) e (-2, 6) 
28) (x - 2)² + (y - 5)² = 5 
29) [x-(2-√2)/(2+√2)]² + [y-(2-√2)/(2+√2)]² = [(2-√2)/(2+√2)]² 
30) 
a) 97,5 
b) [x - (9/4)]² + [y - (17/2)]² = 2197/16 
31) 
a) R < 13 
b) R = 13 
32) 
a) P(4;2) 
b) y = 2x - 6 e mr = 2 
33) 
a) |k| < √2 
b) �2(2 − 𝑘𝑘2) 
34) (x - 2)² + (y - 1)² = 1 
35) x - y - 1 = 0 e x + y - 5 = 0 
36) 
a) (7,7) 
b) 10πKm/h 
37) Pertencente 
38) Na primeira, o raio mede 0,5 u.c. e o centro é o ponto (1/2,0); na segunda, o raio mede 0,5 u.c. e o centro é o 
ponto (0,1/2). 
39) r1 = 3 u.c. 
40) (x + 3)² + (y – 4)² = 9 
 
 
 
 
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MÓDULO 24 
 
CÔNICAS 
 
1) Definição: 
 
As seções cônicas são curvas planas obtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. São elas: a 
parábola, a elipse e a hipérbole. A circunferência não é considerada uma cônica, apesar de poder ser obtida também 
por uma seção de um cone. Observe a figura: 
 
 
2) Elipse: 
 
É uma curva que reúne todos os pontos que, conectados aos focos dessa curva, produzem dois segmentos cuja soma 
é constante. Observe a figura: 
 
2a: eixo maior da elipse 2b: eixo menor da elipse 
2c: distância focal Relação Fundamental: a² = b² + c² 
Excentricidade: e = c/a 
 
2.1) Equações da Elipse: 
 
Centro na origem e focos sobre o eixo x: 
𝐱𝐱²
𝐚𝐚²
+ 𝐲𝐲²
𝐛𝐛²
= 𝟏𝟏 
 
Centro na origem e focos sobre o eixo y: 
𝐱𝐱²
𝐛𝐛²
+ 𝐲𝐲²
𝐚𝐚²
= 𝟏𝟏 
 
Eixo maior paralelo ao eixo x e centro C=(xo, y0): 
(𝐱𝐱−𝐱𝐱𝟎𝟎)²
𝐚𝐚²
+ (𝐲𝐲− 𝐲𝐲𝟎𝟎)²
𝐛𝐛²
= 𝟏𝟏 
 
Eixo maior paralelo ao eixo y e centro C=(xo, y0): (𝐱𝐱−𝐱𝐱𝟎𝟎)²𝐛𝐛² + 
(𝐲𝐲− 𝐲𝐲𝟎𝟎)²
𝐚𝐚²
= 𝟏𝟏 
 
 
 
 
 
 
 
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3) Hipérbole: 
 
É uma associação de curvas que reúnem todos os pontos que, quando conectados aos respectivos focos, produzem 
dois segmentos cujo o módulo da diferença é constante. Observe a figura abaixo. 
 
 
 
2a: eixo maior 2b: eixo menor 2c: distância focal 
Relação fundamental: c² = a² + b² Excentricidade: e = c/a 
 
3.1) Equações da Hipérbole: 
 
Centro na origem e focos sobre o eixo x: 
𝐱𝐱²
𝐚𝐚²
− 𝐲𝐲²
𝐛𝐛²
= 𝟏𝟏 
 
Centro na origem e focos sobre o eixo y: − 𝐱𝐱
𝟐𝟐
𝐛𝐛𝟐𝟐
+ 𝐲𝐲²
𝐚𝐚²
= 𝟏𝟏 
 
Eixo maior paralelo ao eixo x e centro C=(xo, y0): 
(𝐱𝐱−𝐱𝐱𝟎𝟎)²
𝐚𝐚²
− (𝐲𝐲− 𝐲𝐲𝟎𝟎)²
𝐛𝐛²
= 𝟏𝟏 
 
Eixo maior paralelo ao eixo y e centro C=(xo, y0): − (𝐱𝐱−𝐱𝐱𝟎𝟎)²𝐛𝐛² + 
(𝐲𝐲− 𝐲𝐲𝟎𝟎)²
𝐚𝐚²
= 𝟏𝟏 
 
4) Parábola: 
 
É a curva que reúne todos os pontos equidistantes ao foco dessa curva e à reta diretriz, referente a essa curva. 
 
 
F: foco da parábola 
V: vértice da parábola 
d: reta diretriz 
p: parâmetro (distância entre o foco e a reta diretriz) 
 
 
 
 
 
 
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4.1) Equações da Parábola: 
 
Parábola de eixo horizontal e vértice na origem: y² = 2px 
Parábola de eixo vertical e vértice na origem: x² = 2py 
Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0,y0): (y – y0)² = 2p(x – x0) 
Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0,y0): (x – x0)² = 2p(y – y0) 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) (UFF) Na parede retangular de um palácio renascentista, há um vitral circular e, acima dele, na mesma parede, 
uma estreita faixa reta, conforme a figura: 
 
 
Essa parede foi ornamentada com um elemento decorativo em forma de uma curva que tem a seguinte 
característica: cada ponto da curva está situado a igual distância do centro do vitral e da faixa. Pode-se afirmar 
que o elemento decorativo tem a forma de um arco: 
a) de elipse b) de hipérbole c) de parábola 
d) de circunferência e) de senóide 
 
2) (UFPE) Considere dois pontos distintos A e B de um plano. O lugar geométrico dos pontos P deste plano tal que 
a soma das distâncias de P aos pontos A e B é constante, é uma curva denominada: 
a) circunferência b) parábola c) hipérbole 
d) elipse e) reta 
 
3) (ENEM) A figura representa a vista superior de uma bola de futebol americano, cuja forma é um elipsoide obtido 
pela rotação de uma elipse em torno do eixo das abscissas. Os valores a e b são, respectivamente, a metade do 
seu comprimento horizontal e a metade do seu comprimento vertical. Para essa bola, a diferença entre os 
comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento vertical. 
 
Considere que o volume aproximado dessa bola é dado por V = 4ab². O volume dessa bola, em função apenas de 
b, é dado por: 
a) 8b³ b) 6b³ c) 5b³ d) 4b³ e) 2b³ 
 
4) (UFF) As equações y - 2x = 0, y + x² = 0 e y² - x² + 1 = 0 representam no plano, respectivamente: 
a) uma reta, uma hipérbole e uma parábola b) uma parábola, uma hipérbole e uma reta 
c) uma reta, uma parábola e uma elipse d) uma elipse, uma parábola e uma hipérbole 
e) uma reta, uma parábola e uma hipérbole 
 
 
 
 
 
9 
 
5) (UNIRIO) As equações x² - 9y² - 6x - 18y – 9 = 0, x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0 e x² - 4x - 4y + 8 = 0 representam, 
respectivamente, uma: 
a) hipérbole, uma elipse e uma parábola d) elipse, uma circunferência e uma parábola 
b) hipérbole, uma circunferência e uma reta e) elipse, uma circunferência e uma reta 
c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola 
 
6) (CESGRANRIO) O gráfico que melhor representa a curva de equação x² + 16y² = 16 é: 
 
 
7) (MACKENZIE) A reta de menor coeficiente angular, que passa por um dos focos da elipse 5x² + 4y² = 20 e pelo 
centro da circunferência x² + y² - 4x - 6y = 3, tem equação: 
a) 3x - y - 3 = 0 b) 2x - y - 1 = 0 c) x - 3y - 7 = 0 
d) x - 2y - 4 = 0 e) x - y + 1 = 0 
 
8) (UNIRIO) A área do triângulo PF1F2, onde P(2,-8) e F1 e F2 são os focos da elipse de equação x²/25 + y²/9 = 1, é 
igual a: 
a) 8 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64 
 
9) (CESGRANRIO) A equação 9x² + 4y² - 18x - 27 = 0 representa, no plano cartesiano, uma curva fechada. A área do 
retângulo circunscrito a essa curva, em unidades apropriadas, vale: 
a) 36 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12 
 
10) (UECE) A área do quadrilátero cujos vértices são as interseções da elipse 9x²+25y²=225 com os eixos coordenados 
é igual, em unidades de área, a: 
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 
 
11) (FUVEST) A elipse x² + (y²/2) = 9/4 e a reta y = 2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-
se, pois, afirmar queo ponto médio do segmento AB é: 
a) (-2/3, -1/3) b) (2/3, -7/3) c) (1/3, -5/3) 
d) (-1/3, 1/3) e) (-1/4, 1/2) 
 
12) (UFPI) O gráfico da equação x² - y² = 4 representa uma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são: 
a) (1/2, 0) e (-1/2, 0) b) (2, 0) e (-2, 0) c) (2√2, 0) e (-2√2, 0) 
d) (0, √2) e (0, -√2) e) (0, 1/2) e (0, -1/2) 
 
13) (UFRS) O produto de duas variáveis reais, x e y, e uma constante. Portanto, dentre os gráficos abaixo, o único 
que pode representar essa relação é: 
 
 
14) (PUC/RJ) As parábolas dadas pelas equações y=x² e x=y²: 
a) nunca se encontram 
b) se encontra apenas na origem 
c) se encontram em exatamente dois pontos 
d) se encontram em três pontos 
e) se encontram em quatro pontos 
 
 
 
 
10 
 
15) (UFC) O número de pontos de interseção das curvas x² + y² = 4 e (x²/15) + (y²/2) = 1 é igual a: 
a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
16) (UFRN) O conjunto dos pontos P = (x,y), que estão a uma mesma distância do ponto F = (0,2) e do eixo ox, no 
plano cartesiano xy é: 
a) a parábola de equação y = (x²/2) + 4 
b) a parábola de equação y = (x²/4) + 1 
c) a parábola de equação y = 4x² +1 
d) a parábola de equação y = 2x² +1 
 
17) (PUC/MG) O gráfico da curva de equação (x²/4) - (y²/9) = 1 é uma: 
a) circunferência b) elipse 
c) hipérbole d) parábola 
 
18) (UNESP) A figura representa uma elipse. 
 
A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é: 
a) (x²/5) + (y²/7) = 1 
b) [(x+5)²/9] + [(y-7)²/16] = 1 
c) (x-5)² + (y-7)² = 1 
d) [(x-5)²/9] + [(y+7)²/16] = 1 
e) [(x+3)²/5] + [(y-4)²/7] = 1 
 
19) (PUC/MG) A parábola de equação y = x£ corta a circunferência de centro (0, 0) e raio √2 nos pontos A e B. O 
ponto médio do segmento AB é: 
a) (2,0) b) (1,1) c) (0,1) d) (0,2) 
 
20) (UERJ) Um holofote situado na posição (-5,0) ilumina uma região elíptica de contorno x² + 4y² = 5, projetando 
sua sombra numa parede representada pela reta x = 3, conforme ilustra a figura abaixo. 
 
Considerando o metro a unidade dos eixos, o comprimento da sombra projetada é de: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 
 
21) (ITA) A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa pelos pontos (1, 0) e (0, -2) 
são, respectivamente: 
a) √3 e 1/2 b) 1/2 e √3 c) (√3)/2 e 1/2 
d) √3 e (√3)/2 e) 2√3 e (√3)/2 
 
22) (VUNESP) A equação da elipse de focos F1 = (- 2, 0), F2 = (2, 0) e eixo maior igual a 6 é dada por: 
a) 𝑥𝑥²
10
+ 𝑦𝑦²
20
= 1 b) 𝑥𝑥²
9
+ 𝑦𝑦²
5
= 1 c) 𝑥𝑥²
9
+ 𝑦𝑦²
15
= 1 
d) 𝑥𝑥²
6
+ 𝑦𝑦²
15
= 1 e) 𝑥𝑥²
4
+ 𝑦𝑦²
25
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
23) (UNIFESP) 
 
A área sombreada na figura, limitada pela elipse e pela reta indicadas, é: 
a) π b) 2π c) 3π d) 4π e) 6π 
 
24) (PUC/RJ) A equação 16x2 + 9y2 – 144 = 0 representa uma elipse, cujo comprimento do eixo maior é: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 
 
25) (FATEC/SP) Na figura, tem-se a elipse de equação x²/12 + y²/3 = 1 inscrita no retângulo ABCD. 
 
 
O perímetro do retângulo é: 
a) 24 b) 18 c) 12√3 d) 6√3 e) 3√3 
 
26) (UFRJ) Considere os pontos P1 (0, 0), P2 (1, 1) e P3 (2, 6). 
a) Determine a equação da parábola que passa por P1, P2 e P3 e tem eixo de simetria paralelo ao eixo Y das 
ordenadas; 
b) Determine outra parábola que passe pelos pontos P1, P2 e P3. 
 
27) (CESGRANRIO) Determine o comprimento do segmento cujos extremos são os pontos de intersecção do círculo 
x² + y² = 2 com a parábola y = x². 
 
28) (UNESP) Considere a elipse de equação (x²/25)+(y²/9)=1. 
a) Mostre que o ponto P=(3,12/5) pertence à elipse e calcule a distância de P ao eixo das abscissas. 
b) Determine os vértices Q e R da elipse que pertencem ao eixo das abscissas e calcule a área do triângulo PQR, 
onde P=(3,12/5). 
 
29) (UNIRIO) Determine a equação da elipse cujo centro é C(1,-2), a qual passa pelos pontos A(2,-2) e B(1,-4), 
possuindo os seus eixos paralelos aos eixos cartesianos. 
 
30) (UFRJ) Uma elipse cuja distância focal mede 1cm está inscrita em um retângulo (de lados paralelos aos eixos 
principais da elipse) de área igual a √2cm². Determine as medidas dos lados do retângulo. 
 
31) (UERJ) Uma porta colonial é formada por um retângulo de 100cm×200cm e uma semi-elipse. Observe as figuras: 
 
Na semi-elipse o eixo maior mede 100cm e o semieixo menor, 30cm. Calcule a medida da corda PQ, paralela ao 
eixo maior, que representa a largura da porta a 224cm de altura. 
 
 
 
 
12 
 
32) (UFPE) Qual a inclinação da reta que passa pelo ponto P = (2,4) e que intercepta a parábola y = x² em um único 
ponto? 
 
33) (UFRJ) Determine o comprimento do segmento cujas extremidades são os pontos de interseção da reta y = x + 1 
com a parábola y = x². 
 
34) (UNICAMP) Dada uma elipse de semieixos a e b, calcule, em termos destes parâmetros, a área do quadrado nela 
inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse. 
 
35) (CESCEA) Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 9x² + 25y² = 225. 
 
36) (FUVEST) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (0,0) e é tangente à parábola de equação y = x² + 4. 
 
37) (UERJ) O logotipo de uma empresa é formado por duas circunferências concêntricas 
tangentes a uma elipse, como mostra a figura ao lado. 
 
A elipse tem excentricidade 0,6 e seu eixo menor mede 8 unidades. A área da região 
por ela limitada é dada por a.b.π em que a e b são medidas dos semieixos. 
Calcule a área da região sombreada. 
 
38) (ITA) Sabe-se que uma elipse de equação (x²/a²) + (y²/b²) = 1 tangencia internamente a circunferência de equação 
x² + y² = 5 e que a reta de equação 3 x+ 2y = 6 é tangente à elipse no ponto P. Determine as coordenadas de P. 
 
39) (FUVEST) Determine as equações das retas do plano que passam pela origem do sistema de coordenadas e que 
não interceptam a curva do plano dada pela equação x2/4 – y2/9 = 1. 
 
40) (UNICAMP) Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola y=x£ com a circunferência de centro na origem e 
raio √2. 
a) Quais as coordenadas dos pontos A e B? 
b) Se C é um ponto da circunferência diferente de A e de B, calcule as medidas possíveis para os ângulos ACB. 
 
 
GABARITO 
 
1) C 2) D 3) B 4) E 5) C 6) C 7) E 8) D 9) B 10) A 
11) D 12) C 13) C 14) C 15) C 16) B 17) C 18) B 19) C 20) C 
21) E 22) B 23) C 24) E 25) D 
26) a) y = 2x² - x b) x = -2y²/15 + 17y/15 
27) 2 
28) a) d = 12/5 b) Q(-5, 0), R(5,0) e A = 12 
29) (x – 1)² + (y + 2)²/4 = 1 
30) 1 e √2 
31) 60 cm 
32) m = 4 
33) √10 
34) 4a²b²/(a² + b²) 
35) (-4,0) e (4,0) 
36) y = 4x e y = -4x 
37) Área = 21π u.a. 
38) P = (8/9, 5/3) 
39) y = mx, |m| ≥ 3/2 ou x = 0 
40) a) A (1; 1) e B (-1; 1) b) 45° ou 135° 
 
 
 
 
13 
 
MÓDULO 25 
 
ESTATÍSTICA 
 
1) Conceitos Importantes 
 
População: Universo que é estudado quanto a uma variável. Já que pode ser grandiosa, faz-se necessário coletar 
informações sobre a mesma de maneira eficiente e rápida, consultando apenas uma parte da mesma. 
Amostra: É uma parte fidedigna no universo ou da população. Em outras palavras é uma parcela do universo que 
representa fielmente as convicções da população frente às variáveis estudadas. Dessa forma, os resultados 
encontrados são representativos, podendo ser levados em consideração. 
Variável: É o objeto do estudo e, como o próprio nome diz, varia de um indivíduo para outro. Como exemplos, 
temos: opinião de pessoas acerca de um questionamento, resultado em um exame, característica de um ser, etc. 
 
2) Medidas de Posição 
 
São aquelas que usamos para posicionar um elemento da população em relação ao restante da mesma. As mais 
importantes são: 
 
2.1) Média Aritmética: Medida de posição que é utilizada em uma amostra numérica, é encontrada somando todos 
os termos da amostra e dividindo tal soma pelo número de termos dessa amostra. 
 
Média = 𝐱𝐱𝟏𝟏+ 𝐱𝐱𝟐𝟐+ 𝐱𝐱𝟑𝟑+⋯+ 𝐱𝐱𝐧𝐧
𝐧𝐧
 
 
2.2) Mediana: Outra medida de posição que é utilizada em uma amostra numérica. Para encontrá-la, devemos pensar 
na amostra em ordem crescente e escolhero termo central da mesma. Lembre-se que se a quantidade de termos da 
amostra for ímpar, teremos apenas um termo central, que será automaticamente a mediana; se a quantidade de 
termos da amostra for par, teremos dois termos centrais, sendo que a mediana será a média aritmética entre esses 
dois termos centrais. Novamente, frisamos que devemos, antes de tudo, posicionar a amostra em ordem crescente. 
 
Mediana = � 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 𝐜𝐜𝐭𝐭𝐧𝐧𝐭𝐭𝐭𝐭𝐜𝐜𝐜𝐜, 𝐬𝐬𝐭𝐭 𝐭𝐭 𝐧𝐧ú𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 𝐝𝐝𝐭𝐭 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐬𝐬 é í𝐭𝐭𝐦𝐦𝐜𝐜𝐭𝐭𝐭𝐭é𝐝𝐝𝐝𝐝𝐜𝐜 𝐭𝐭𝐧𝐧𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 𝐝𝐝𝐭𝐭𝐝𝐝𝐬𝐬 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐬𝐬 𝐜𝐜𝐭𝐭𝐧𝐧𝐭𝐭𝐭𝐭𝐜𝐜𝐝𝐝𝐬𝐬, 𝐬𝐬𝐭𝐭 𝐭𝐭 𝐧𝐧ú𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 𝐝𝐝𝐭𝐭 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐬𝐬 é 𝐦𝐦𝐜𝐜𝐭𝐭 
 
2.3) Moda: Essa medida de posição pode ser encontrada em amostras não numéricas. Para determiná-la, indicamos 
o resultado que tem a maior frequência. Uma amostra pode ser amodal (não possui moda, visto que nenhum termo 
se destaca frente aos outros) e bimodal (amostra com duas modas, visto que dois termos se destacam frente aos 
outros. 
Moda = termo com a maior frequência 
 
3) Medidas de Variação 
 
São aquelas que utilizamos para medir o grau de variação de uma amostra, ou seja, se a mesma é muito homogênea 
ou muito heterogênea. 
3.1) Variância: Primeira medida de variação, é muito importante, visto que a próxima medida de variação depende 
dela. 
Variância = V = (𝐱𝐱− 𝐱𝐱𝟏𝟏)
𝟐𝟐+(𝐱𝐱− 𝐱𝐱𝟐𝟐)𝟐𝟐+(𝐱𝐱− 𝐱𝐱𝟑𝟑)𝟐𝟐+⋯+(𝐱𝐱− 𝐱𝐱𝐧𝐧)²
𝐧𝐧
 
 
3.2) Desvio-Padrão: É uma consequência da variância, sendo encontrada por meio da raiz quadrada da primeira 
medida de variação. 
Desvio-Padrão = √𝐕𝐕𝐜𝐜𝐭𝐭𝐝𝐝â𝐧𝐧𝐜𝐜𝐝𝐝𝐜𝐜 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) (ENEM) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada 
equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana 
das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe 
Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou 
na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 
10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. 
 
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe: 
a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0 
b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10 
c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8 
d) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno 
e) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9 
 
2) (ENEM) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em 
Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008. 
 
 
 
De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a: 
a) R$ 73,10 b) R$ 81,50 c) R$ 82,00 d) R$ 83,00 e) R$ 85,30 
 
3) (ENEM PPL) Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais 
se aproxima do tempo fornecido pelos organizadores em cada etapa. Um campeonato foi organizado em 5 etapas, 
e o tempo médio de prova indicado pelos organizadores foi de 45 minutos por prova. No quadro, estão 
representados os dados estatísticos das cinco equipes mais bem classificadas 
 
Dados estatísticos das cinco equipes mais bem classificadas (em minutos) 
 
 
 
Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a equipe: 
a) I b) II c) III d) IV e) V 
 
4) (ENEM) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa 
de 1930 até a de 2006. 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Quantidades de Gols dos Artilheiros das Copas do Mundo 
 
 
 
(Disponível em: http://www.suapesquisa.com. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado). ) 
 
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do 
Mundo? 
a) 6 gols b) 6,5 gols c) 7 gols d) 7,3 gols e) 8,5 gols 
 
5) (ENEM) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso, o candidato deveria 
obter aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor 
da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, 
Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos. 
 
Dados dos candidatos no concurso 
 
 
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso é: 
a) Marco, pois a média e a mediana são iguais 
b) Marco, pois obteve menor desvio padrão 
c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português 
d) Paulo, pois obteve maior mediana 
e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão 
 
6) (ENEM) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da 
esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou 
aquele número de gols. 
 
 
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então: 
a) X = Y < Z b) Z < X = Y c) Y < Z < X d) Z < X < Y e) Z < Y < X 
 
 
 
 
 
16 
 
7) (ENEM) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, 
sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de 
procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação das 
tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro: 
 
 
 
Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a: 
a) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C b) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C c) 17 °C, 13,5 °C e 18 °C 
d) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C e) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C 
 
8) (ENEM) A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) 
aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 
2005 a 2009. 
 
 
(Disponível em: http://www.obmep.org.br. Acesso em: abr. 2010. Adaptado). 
 
Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de medalhistas de ouro da região 
Nordeste? 
a) 14,6% b) 18,2% c) 18,4% d) 19,0% e) 21,0% 
 
9) (ENEM) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as 
entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas 
disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é 
mostrada a seguir. 
 
 
 
 
 
17 
 
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por: 
 
10) (ENEM) A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas 
(ME) que se encontram à venda. 
 
 
 
Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta 
anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual. As empresas 
que este investidor escolhe comprar são: 
a) Balas W e Pizzaria Y b) Chocolates X e Tecelagem Z 
c) Pizzaria Y e Alfinetes V d) Pizzaria Y e Chocolates X 
e) Tecelagem Z e Alfinetes V 
 
11) (FUVEST) A distribuição das idades dos alunos de uma classe é dada pelo seguinte gráfico: 
 
 
Qual das alternativas representa melhor a média de idades dos alunos? 
a) 16 anos e 10 meses b) 17 anos e 1 mês 
c) 17 anos e 5 meses d) 18 anos e 6 meses 
e) 19 anos e 2 meses 
 
12) (FGV/SP) A média das alturas dos 6 jogadores em quadra de um time de vôleié 1,92m. Após substituir 3 
jogadores por outros, a média das alturas do time passou para 1,90m. Nessas condições, a média, em metros, 
das alturas dos jogadores que saíram supera a dos que entraram em: 
a) 0,03 b) 0,04 c) 0,06 d) 0,09 e) 0,12 
 
13) (MACKENZIE) A média das notas de todos os alunos de uma turma é 5,8. Se a média dos rapazes é 6,3 e a das 
moças é 4,3, a porcentagem de rapazes na turma é: 
a) 60% b) 65% c) 70% d) 75% e) 80% 
 
 
 
 
18 
 
14) (UFMG) A média das notas na prova de Matemática de uma turma com 30 alunos foi de 70 pontos. Nenhum dos 
alunos obteve nota inferior a 60 pontos. O número máximo de alunos que podem ter obtido nota igual a 90 
pontos é: 
a) 13 b) 10 c) 23 d) 16 
 
15) (UFC) A média aritmética das notas dos alunos de uma turma formada por 25 meninas e 5 meninos é igual a 7. 
Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a: 
a) 6,5 b) 7,2 c) 7,4 d) 7,8 e) 8,0 
 
16) (PUC/SP) A média aritmética de 100 números é igual a 40,19. Retirando-se um desses números, a média 
aritmética dos 99 números restantes passará a ser 40,5. O número retirado equivale a: 
a) 9,5% b) 75% c) 95% d) 750% e) 950% 
 
17) (IBMEC) Chama-se mediana de um conjunto de 50 dados ordenados em ordem crescente o número x dado pela 
média aritmética entre os 25º- e o 26º- dado. Observe no gráfico a seguir uma representação para as notas de 
50 alunos do primeiro semestre de Ciências Econômicas numa determinada prova. 
 
A mediana das notas dos 50 alunos de Ciências Econômicas nesta prova é igual a: 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
18) (VUNESP) Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela 
apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos 
estabelecidos pelo professor para cada prova. 
 
 
 
Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota obtida por 
esse aluno na prova IV foi: 
a) 9,0 b) 8,5 c) 8,3 d) 8,0 e) 7,5 
 
19) (MACKENZIE) Em um concurso, foi aplicada uma prova a 1000 candidatos, distribuídos em cinco grupos, A, B, C, 
D e E, conforme tabela abaixo. 
 
A média aritmética final das notas da prova é: 
a) 4,8 b) 5,2 c) 3,6 d) 3,2 e) 2,9 
 
 
 
 
19 
 
20) (FAAP) Nas eleições realizadas em 1o turno em todo o país no dia 3 de outubro de 1996, inaugurou-se o voto 
eletrônico. Numa determinada secção eleitoral, cinco eleitores demoraram para votar, respectivamente: 
1min04s, 1min32s, 1min12s, 1min52s e 1min40s. A média aritmética do tempo de votação (em minutos e 
segundos) desses eleitores é: 
a) 1min28s b) 1min58s c) 1min d) 1min4s e) 2min4s 
 
21) (VUNESP) Em um concurso vestibular para dois cursos, A e B, compareceram 500 candidatos para o curso A e 
100 candidatos para o curso B. Na prova de matemática, a média aritmética geral, considerando os dois cursos, 
foi 4,0. Mas, considerando-se apenas os candidatos ao curso A, a média cai para 3,8. A média dos candidatos ao 
curso B, na prova de matemática, foi: 
a) 4,2 b) 5,0 c) 5,2 d) 6,0 e) 6,2 
 
22) (COVEST) Numa turma, com igual número de moças e rapazes, foi aplicada uma prova de matemática. A média 
aritmética das notas das moças foi 9,2 e a dos rapazes foi 8,8. Qual a média aritmética de toda a turma nesta 
prova? 
a) 7 b) 8,9 c) 9 d) 9,1 e) 9,2 
 
23) (UNIFESP) Para ser aprovado num curso, um estudante precisa submeter-se a três provas parciais durante o 
período letivo e a uma prova final, com pesos 1, 1, 2 e 3, respectivamente, e obter média no mínimo igual a 7. 
Se um estudante obteve nas provas parciais as notas 5, 7 e 5, respectivamente, a nota mínima que necessita 
obter na prova final para ser aprovado é: 
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 
 
24) (FUVEST) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 16. O maior 
valor que um desses inteiros pode assumir é: 
a) 16 b) 20 c) 50 d) 70 e) 100 
 
25) (PUC/CAMPINAS) Sabe-se que os números x e y fazem parte de um conjunto de 100 números, cuja média 
aritmética é 9,83. Retirando-se x e y desse conjunto, a média aritmética dos números restantes será 8,5. Se 3x -
2y = 125, então: 
a) x = 95 b) y = 65 c) x = 80 d) y = 55 e) x = 75 
 
26) (FGV) Um conjunto de dados numéricos tem variância igual a zero. Podemos concluir que: 
a) a média também vale zero b) a mediana também vale zero. 
c) a moda também vale zero d) o desvio padrão também vale zero 
e) todos os valores desse conjunto são iguais a zero 
 
27) (FUVEST) Um nadador, disputando a prova dos 400 metros, nado livre, completou os primeiros 300 metros em 
3 minutos e 51 segundos. Se esse nadador mantiver a mesma velocidade média nos últimos 100 metros, 
completará a prova em: 
a) 4 minutos e 51 segundos b) 5 minutos e 8 segundos 
c) 5 minutos e 28 segundos d) 5 minutos e 49 segundos 
e) 6 minutos e 3 segundos 
 
28) (FUVEST) Uma prova continha cinco questões, cada uma valendo 2 pontos. Em sua correção, foram atribuídas a 
cada questão apenas as notas 0 ou 2, caso a resposta estivesse, respectivamente, errada ou certa. A soma dos 
pontos obtidos em cada questão forneceu a nota da prova de cada aluno. Ao final da correção, produziu-se a 
seguinte tabela, contendo a porcentagem de acertos em cada questão: 
 
 
 
Logo, a média das notas da prova foi: 
a) 3,8 b) 4,0 c) 4,2 d) 4,4 e) 4,6 
 
 
 
 
20 
 
29) (UFSCAR) Em uma pesquisa, foram consultados 600 consumidores sobre sua satisfação em relação a uma certa 
marca de sabão em pó. Cada consumidor deu uma nota de 0 a 10 para o produto, e a média final das notas foi 
8,5. O número mínimo de consumidores que devem ser consultados, além dos que já foram, para que essa média 
passe para 9, é igual a: 
a) 250 b) 300 c) 350 d) 400 e) 450 
 
30) (CPCAR) O gráfico, a seguir, representa o resultado de uma pesquisa sobre a preferência por conteúdo, na área 
de matemática, dos alunos do CPCAR. 
 
 
 
Sabendo-se que no gráfico o resultado por conteúdo é proporcional à área do setor que a representa, pode-se 
afirmar que o ângulo central do setor do conteúdo MATRIZ é de: 
a) 14o b) 57o 36′ c) 50o 24′ d) 60o 12′ 
 
31) (UFRJ) A altura média de um grupo de quinhentos e três recrutas é de 1,81m. Sabe-se também que nem todos 
os recrutas do grupo têm a mesma altura. Diga se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira, falsa ou se os 
dados são insuficientes para uma conclusão. Em cada caso, justifique sua resposta. 
a) “Há, no grupo em questão, pelo menos um recruta que mede mais de 1,81m e pelo menos um que mede 
menos de 1,81m.” 
b) “Há, no grupo em questão, mais de um recruta que mede mais de 1,81m e mais de um que mede menos de 
1,81m.” 
 
32) (UNICAMP) A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. Se a média aritmética das 
idades das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50 anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no 
grupo? 
 
33) (UFRJ) Na eleição para a prefeitura de certa medida, 30% dos eleitores votaram pela manhã e 70% à tarde. Os 
eleitores de manhã gastaram, em média, 1 minuto e 10 segundos para votar, enquanto que os da tarde 
demoraram, em média, 1 minuto e 20 segundos. Determine o tempo médio gasto por eleitor na votação. 
 
34) (FUVEST) Em uma equipe de basquete, a distribuição de idades dos seus jogadores é a seguinte: 
 
 
 
Será sorteada, aleatoriamente, uma comissão de dois jogadores que representará a equipe junto aos dirigentes. 
a) Quantas possibilidades distintas existem para formar esta comissão? 
b) Qual a probabilidade da média de idade dos dois jogadores da comissão sorteada ser estritamente menor 
que a média de idade de todos os jogadores? 
 
 
 
 
21 
 
 
35) (VUNESP) Num curso de Inglês, a distribuição das idades dos alunos é dada 
pelo gráfico seguinte.Com base nos dados do gráfico, determine: 
 
a) o número total de alunos do curso e o número de alunos com no mínimo 
19 anos. 
b) escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de sua idade ser no 
mínimo 19 anos ou ser exatamente 16 anos. 
 
36) (FUVEST) Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para 
aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das 
notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o 
professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os 
alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8. 
a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos cinco pontos extras. 
b) Com atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para 
aprovação? 
 
37) (FUVEST) Numa certa população 18% das pessoas são gordas, 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres 
são gordas. Qual a porcentagem de homens na população? 
 
38) (FUVEST) Numa classe de um colégio existem estudantes de ambos os sexos. Numa prova, as médias aritméticas 
das notas dos meninos e das meninas foram respectivamente iguais a 6,2 e 7,0. A média aritmética das notas de 
toda a classe foi igual a 6,5. 
a) A maior parte dos estudantes dessa classe é composta de meninos ou meninas? Justifique sua resposta. 
b) Que porcentagem do total de alunos da classe é do sexo masculino? 
 
39) (FGV) Numa pequena ilha, há 100 pessoas que trabalham na única empresa ali existente. Seus salários (em 
moeda local) têm a seguinte distribuição de frequências: 
 
Salário Frequência 
$50 30 
$100 60 
$150 10 
 
a) Qual a média dos salários das 100 pessoas? 
b) Qual a variância dos salários? Qual o desvio padrão dos salários? 
 
40) (MAUÁ) O histograma abaixo refere-se às áreas dos imóveis de um pequeno município: 
 
O prefeito pretende isentar do pagamento do Imposto Predial e Territorial Urbano (IPTU) os proprietários dos 
imóveis de menor área, até o limite de 30% dos imóveis do município. Determine a área máxima de um imóvel 
para que seu proprietário fique isento do pagamento do IPTU. 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
GABARITO 
 
1) D 2) D 3) C 4) B 5) B 6) E 7) B 8) C 9) E 10) D 
11) C 12) B 13) D 14) B 15) B 16) E 17) D 18) B 19) C 20) A 
21) B 22) C 23) A 24) D 25) B 26) E 27) B 28) D 29) B 30) C 
31) 
a) Verdadeira 
b) Dados insuficientes para a concussão 
32) 80 mulheres e 40 homens 
33) 1 minuto e 17 segundos 
34) 
a) 66 
b) 31/66 
35) 
a) 20 alunos, 8 com no mínimo 19 anos 
b) 60% 
36) 
a) 72,2 
b) 3 alunos 
37) 40% da população 
38) 
a) meninos 
b) 62,5% 
39) 
a) $90 
b) a variância é 900 e o desvio padrão é $30 
40) 68 m² 
 
 
 
 
 
 
23 
 
MÓDULO 26 
 
EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA 
 
1) (ENEM) As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era 
composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas 
notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos 
pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela 
banca avaliadora. 
 
 
 
Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao 
professor. A nova média, em relação à média anterior, é: 
a) 0,25 ponto maior b) 1,00 ponto maior c) 1,00 ponto menor 
d) 1,25 ponto maior e) 2,00 pontos menor 
 
2) (ENEM) Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. Um empresário, almejando ampliar os 
seus investimentos, deseja comprar uma dessas empresas. Para escolher qual delas irá comprar, analisa o lucro 
(em milhões de reais) de cada uma delas, em função de seus tempos (em anos) de existência, decidindo comprar 
a empresa que apresente o maior lucro médio anual. O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado 
ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa. 
 
 
 
O empresário decidiu comprar a empresa: 
a) F b) G c) H d) M e) P 
 
3) (ENEM) Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram 
anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a 
quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 
200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas representam 
as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária. 
O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é: 
a) 300,00 b) 345,00 c) 350,00 d) 375,00 e) 400,00 
 
 
 
 
 
24 
 
4) (ENEM) Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma única vaga de emprego em uma empresa e fizeram 
provas de português, matemática, direito e informática. A tabela apresenta as notas obtidas pelos cinco 
candidatos. 
 
 
Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele para o qual a mediana das notas obtidas por ele 
nas quatro disciplinas for a maior. O candidato aprovado será: 
a) K b) L c) M d) N e) P 
 
5) (ENEM) Ao final de uma competição de ciências em uma escola, restaram apenas três candidatos. De acordo com 
as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior média ponderada entre as notas das provas finais nas 
disciplinas química e física, considerando, respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas são sempre números 
inteiros. Por questões médicas, o candidato II ainda não fez a prova de química. No dia em que sua avaliação for 
aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em ambas as disciplinas, já terão sido divulgadas. O quadro 
apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais. 
 
 
 
A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a competição é: 
a) 18 b) 19 c) 22 d) 25 e) 26 
 
6) (ENEM) Uma loja que vende sapatos recebeu diversas reclamações de seus clientes relacionadas à venda de 
sapatos de cor branca ou preta. Os donos da loja anotaram as numerações dos sapatos com defeito e fizeram um 
estudo estatístico com o intuito de reclamar com o fabricante. A tabela contém a média, a mediana e a moda 
desses dados anotados pelos donos. 
 
 
Para quantificar os sapatos pela cor, os donos representam a cor branca pelo número 0 e a cor preta pelo número 
1. Sabe-se que a média da distribuição desses zeros e uns é igual a 0,45. Os donos da loja decidiram que a 
numeração dos sapatos com maior número de reclamações e a cor com maior número de reclamações não serão 
mais vendidas. A loja encaminhou um ofício ao fornecedor dos sapatos, explicando que não serão mais 
encomendados os sapatos de cor: 
a) branca e os de número 38 b) branca e os de número 37 
c) branca e os de número 36 d) preta e os de número 38 
e) preta e os de número 37 
 
7) (ENEM) Um pesquisador está realizando várias séries de experimentos com alguns reagentes para verificar qual 
o mais adequado para a produção de um determinado produto. Cada série consiste em avaliar um dado reagente 
em cinco experimentos diferentes. O pesquisador está especialmente interessado naquele reagente que 
apresentar a maior quantidade dos resultados de seus experimentos acima da média encontrada para aquele 
reagente. Após a realização de cinco séries de experimentos, o pesquisador encontrou os seguintes resultados: 
 
 
 
 
25 
 
 
 
Levando-se em consideração os experimentos feitos, o reagente que atende às expectativas do pesquisador é o: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
8) (ENEM) Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres de natação, numa olimpíada, os atletas, em suas 
respectivas raias, obtiveram os seguintes tempos: 
 
 
 
A mediana dos tempos apresentados no quadro é: 
a) 20,70 b) 20,77 c) 20,80 d) 20,85e) 20,90 
 
9) (ENEM) Um concurso é composto por cinco etapas. Cada etapa vale 100 pontos. A pontuação final de cada 
candidato é a média de suas notas nas cinco etapas. A classificação obedece à ordem decrescente das pontuações 
finais. O critério de desempate baseia-se na pontuação na quinta etapa. 
 
 
 
A ordem de classificação final desse concurso é: 
a) A, B, C, E, D b) B, A, C, E, D c) C, B, E, A, D 
d) C, B, E, D, A e) E, C, D, B, A 
 
10) (ENEM PPL) Uma pessoa, ao fazer uma pesquisa com alguns alunos de um 
curso, coletou as idades dos entrevistados e organizou esses dados em um 
gráfico. 
 
Qual a moda das idades, em anos, dos entrevistados? 
a) 9 b) 12 c) 13 d) 15 e) 21 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
11) (UFSM) O Brasil é o quarto produtor mundial de alimentos, produzindo mais do que o necessário para alimentar 
sua população. Entretanto, grande parte da produção é desperdiçada. O gráfico mostra o percentual do 
desperdício de frutas nas feiras do estado de São Paulo. 
 
 
Considerando os dados do gráfico, a média aritmética, a moda e a mediana são, respectivamente: 
a) 28,625; 25 e 40; 25,5 b) 28,625; 25 e 40; 26 
c) 28,625; 40; 26 d) 20,5; 25 e 40; 25,5 
e) 20,5; 40; 25,5 
 
12) (UEG) Em uma eleição estão concorrendo os candidatos A, B e C. Realizada uma pesquisa de intenção de voto 
com 1.000 eleitores, obteve-se o seguinte resultado, ilustrado no gráfico de setores a seguir. 
 
 
O valor do ângulo x do gráfico de setores é: 
a) 18 graus b) 36 graus c) 60 graus d) 72 graus 
 
13) (UNIFOR) O diretor de um curso de Inglês resolve montar as turmas fazendo uma distribuição por idade dos 
alunos do curso. O gráfico abaixo representa a quantidade de alunos por idade. 
 
Qual a porcentagem de alunos que irá formar uma turma com idade de 16 e 17 anos? 
a) 20% b) 30% c) 45% d) 55% e) 65% 
 
 
 
 
27 
 
14) (UNEB) 
 
 
De acordo com o gráfico, a diferença entre a altura mediana e a média das alturas desses seis jogadores, em cm, 
é aproximadamente igual a: 
a) 0,93 b) 1,01 c) 1,09 d) 1,17 e) 1,25 
 
15) (UFSM) O uso de biodiesel gera uma série de efeitos ambientais, tais como a redução da emissão de gases do 
efeito estufa e a diminuição da poluição atmosférica. O gráfico mostra a produção de biodiesel (em milhões de 
litros) em uma usina, durante o período de um ano. 
 
 
 
De acordo com os dados, a média, a mediana e a moda (em milhões de litros) são, respectivamente, iguais a: 
a) 8,5; 10 e 9 b) 8; 9 e 10 c) 8; 9,5 e 8 d) 8,5; 9 e 10 e) 8,5; 9,5 e 10 
 
16) (UFPR) O gráfico abaixo representa a quantidade aproximada de animais adotados ao longo de cinco anos em 
uma determinada cidade. 
 
 
Qual foi a média anual de animais adotados, ao longo dos cinco anos nessa cidade? 
a) 350 b) 380 c) 390 d) 410 e) 440 
 
 
 
 
 
28 
 
17) (UEG) A professora Maria Paula registrou as notas de sete alunos, obtendo os seguintes valores: 2, 7, 5, 3, 4, 7 e 
8. A mediana e a moda das notas desses alunos são, respectivamente: 
a) 3 e 7 b) 3 e 8 c) 5 e 7 d) 5 e 8 
 
18) (ENEM) O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de 
janeiro de 2010 a outubro de 2010. 
 
 
 
Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é: 
a) 212952 b) 229913 c) 240621 d) 255496 e) 298041 
 
19) (UFU) Um concurso avaliou n candidatos atribuindo-lhes notas de 0 a 100 pontos. Sabe-se que exatamente 20 
deles obtiveram nota máxima e, nesse caso, a média aritmética foi de 80 pontos. Agora, se consideradas apenas 
as notas inferiores a 100 pontos, a média passa a ser de 70 pontos. Nessas condições, pode-se afirmar que n é 
igual a: 
a) 70 b) 60 c) 80 d) 40 
 
20) (UFU) Uma empresa seleciona 16 funcionários fumantes e promove um ciclo de palestras com os mesmos para 
esclarecimentos sobre os efeitos prejudiciais do cigarro à saúde. Após essas palestras, são coletados dados sobre 
a quantidade de cigarros que cada um desses fumantes está consumindo diariamente. Tais dados são expressos 
da seguinte maneira: 
10, 1, 10, 11, 13, 10, 34, 13, 13, 12, 12, 11, 13, 11, 12, 12 
 
Os dados 1 e 34 são chamados discrepantes, pois são dados muito menores ou muito maiores que a maioria dos 
dados obtidos. Segundo esta coleta de dados, pode-se afirmar que: 
a) os cálculos da média, da mediana e da moda não sofrem influência dos dados discrepantes. 
b) o cálculo da mediana sofre influência dos dados discrepantes que surgiram. 
c) o cálculo da moda sofre influência dos dados discrepantes que surgiram. 
d) o cálculo da média sofre influência dos dados discrepantes que surgiram. 
 
21) (BB) Nos quatro primeiros dias úteis de uma semana o gerente de uma agência bancária atendeu 19, 15, 17 e 21 
clientes. No quinto dia útil dessa semana esse gerente atendeu n clientes. Se a média do número diário de 
clientes atendidos por esse gerente nos cinco dias úteis dessa semana foi 19, a mediana foi 
a) 21 b) 19 c) 18 d) 20 e) 23 
 
22) (VUNESP) A média aritmética dos salários de 4 funcionários de uma empresa é R$ 2.500,00. A média aritmética 
dos salários dos dois primeiros é R$ 3.000,00, o quarto ganha R$ 500,00 a mais que o terceiro. Nesse caso, o 
salário do quarto empregado é igual a 
a) R$ 2.350,00 b) R$ 2.750,00 c) R$ 2.520,00 
d) R$ 2.250,00 e) R$ 3.250,00 
 
23) (ESAF) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso 
preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 
 
 
 
 
 
29 
 
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 
35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. 
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27 
b) A moda e a média das idades são iguais a 27 
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08 
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074 
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27 
 
24) (CESPE) Ficou pior para quem bebe: o governo ainda espera a consolidação dos dados do primeiro mês de 
aplicação da Lei Seca para avaliar seu impacto sobre a cassação de CNHs. As primeiras projeções indicam, porém, 
que as apreensões subirão, no mínimo, 10%. 
Antes da vigência da Lei Seca, eram suspensas ou cassadas, em média, aproximadamente 155.000 CNHs por ano. 
Se as previsões estiverem corretas, a média anual deve subir para próximo de 170.000. A tabela a seguir mostra 
esses resultados nos últimos anos. 
(Fonte: DENATRAN ) 
 
 
Para que a média de CNHs suspensas ou cassadas, de 2003 a 2008, atinja o valor previsto de 170.000, será 
necessário que, em 2008, a quantidade de CNHs suspensas ou cassadas seja um número 
a) inferior a 180.000 d) superior a 220.000 e inferior a 240.000 
b) superior a 180.000 e inferior a 200.000 e) superior a 240.000 
c) superior a 200.000 e inferior a 220.000 
 
25) (UFU) O Departamento de Comércio Exterior do Banco Central possui 30 
funcionários com a seguinte distribuição salarial em reais. 
 
Quantos funcionários que recebem R$3.600,00 devem ser demitidos para 
que a mediana desta distribuição de salários seja de R$2.800,00? 
a) 8 b) 11 c) 9 d) 10 e) 7 
 
 
 
26) (UFSCAR) Num curso de iniciação à informática, a distribuição das idades dos alunos, segundo o sexo, é dada 
pelo gráfico seguinte. Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar que: 
a) o número de meninas com, no máximo, 16 anos é maior que o número de meninos nesse mesmo intervalo 
de idades. 
b) o número total de alunos é 19. 
c) a média de idade das meninas é 15 anos. 
d) o número de meninos é igual ao número de meninas. 
e) o número de meninos com idade maior que15 anos é maior que o número de meninas nesse mesmo intervalo 
de idades. 
 
 
 
 
30 
 
27) (UFT) Foi aplicado um teste contendo três questões para um grupo de 80 alunos. O gráfico abaixo representa a 
porcentagem de acerto dos alunos por questão. 
 
 
 
Suponha que 52 alunos acertarampelo menos duas questões e 8 alunos não acertaram nenhuma. O número de 
alunos que acertaram as três questões é: 
a) 44 b) 40 c) 12 d) 20 e) 30 
 
28) (UFPE) O diagrama a seguir representa o número de participantes em uma 
convenção, separados de acordo com os Estados (Pernambuco, Paraíba, Rio 
Grande do Norte, Alagoas, Piauí) onde moram. 
 
O ângulo central do setor que corresponde a cada Estado é proporcional ao número 
de participantes do Estado. Se o número total de participantes era 540, quantos 
eram de Pernambuco? 
a) 150 b) 175 c) 200 d) 225 e) 250 
 
 
29) (UFRO) Euclides da Cunha, autor de Os Sertões, escreveu um livro de versos, Ondas, quando tinha 14 anos. Desse 
livro, é apresentada a terceira estrofe de um soneto. 
 
“Acabo de estudar e pálido, cansado, 
Dumas dez equações os véus hei arrancado, 
Estou cheio de spleen, cheio de tédio e giz.” 
 
O histograma de frequência das letras A, E e O, acentuadas ou não, dessa estrofe se assemelha ao gráfico: 
 
 
30) (UEAP) Para um candidato ser classificado em um curso de informática, é necessário que ele obtenha 
classificações parciais em três áreas. Certo candidato obteve na área A 18 pontos; na área B 26 pontos e na área 
C, 10 pontos. Sabendo-se que os pesos são 5 para a área A, 2 para a área B e 3 para a área C, esse candidato 
obteve classificação final igual a: 
a) 17,2 pontos b) 18,3 pontos c) 18,6 pontos d) 19,1 pontos e) 19,3 pontos 
 
31) (ETEC) A tabela apresenta a receita mensal, dos primeiros cinco meses de 2010, de uma loja de acessórios de informática. 
 
Mês Receita (R$) 
Janeiro 22.000 
Fevereiro 18.000 
Março 38.000 
Abril 44.000 
Maio V 
 
 
 
 
31 
 
Sabendo que a receita média mensal dessa loja, de janeiro a maio, foi de R$ 30400,00, e a receita do mês de 
maio foi de V reais, então V corresponde a: 
a) 30000 b) 40000 c) 42000 d) 46000 e) 50000 
 
32) (UFPE) A tabela a seguir ilustra a distribuição do número de filhos por família das 100 famílias de uma localidade. 
Qual o número médio de filhos por família nesta localidade? 
 
Número de filhos 0 1 2 3 4 5 6 7 
Número de filhas 4 35 28 20 6 3 2 2 
 
a) 2,14 b) 2,15 c) 2,16 d) 2,17 e) 2,18 
 
33) (UNIFOR) Em um curso de inglês, as turmas são montadas por meio da distribuição das idades dos alunos. O 
gráfico representa a quantidade de alunos por suas idades. 
 
 
 
A porcentagem de alunos com que será formada uma turma com idade maior ou igual a 18 anos é: 
a) 11% b) 20% c) 45% d) 55% e) 65% 
 
34) (FGV) O gráfico abaixo apresenta os lucros anuais (em milhões de reais) em 2008 e 2009 de três empresas A, B e 
C de um mesmo setor. 
 
 
A média aritmética dos crescimentos percentuais dos lucros entre 2008 e 2009 das três empresas foi de 
aproximadamente: 
a) 8,1% b) 8,5% c) 8,9% d) 9,3% e) 9,7% 
 
35) (UNIRIO) Um dado foi lançado 50 vezes. A tabela a seguir mostra os seis resultados possíveis e as suas respectivas 
frequências de ocorrências. A frequência de aparecimento de um resultado ímpar foi de: 
a) 2/5 b) 11/25 c) 12/25 d) 1/2 e) 13/25 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
36) (FUVEST) A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela a seguir. 
 
 
 
a) Qual é a média e qual é a mediana dos salários dessa empresa? 
b) Suponha que sejam contratados dois funcionários com salários de CR$ 2.000.000,00 cada. A variância da nova 
distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior? 
 
37) (CFO) A tabela que segue é demonstrativa do levantamento realizado por determinado batalhão de Polícia 
Militar, no que se refere às idades dos policiais integrantes do grupo especial desse batalhão: 
 
Idade Nº de Policiais 
25 12 
28 15 
30 25 
33 15 
35 10 
40 8 
 
A moda, média e mediana dessa distribuição são, respectivamente, iguais a... 
 
38) (UNICAMP) Para um conjunto X = {X1, X2, X3, X4} a média aritmética de X é definida por 
4
4321 XXXXX
+++
= e a 
variância de X é definida por ( ) ( ) 


 −++−=
2
1
2
1 ...4
1
XXXXV . Dado o conjunto X = {2, 5, 8, 9}, pede-se: 
a) Calcular a média aritmética de X. 
b) Calcular a variância de X. 
c) Quais elementos de X pertencem ao intervalo [ ]VXVX +− ; ? 
 
39) (UFCG) Em uma sala de aula do primeiro ano do Ensino Fundamental, tem-se 1 aluno com idade de 5 anos, m 
alunos com 7 anos e n alunos com 8 anos. Se a média de idade dos alunos é de 7 anos e a variância das idades é 
igual a 3/2, determine a quantidade de alunos com idade de 7 anos e a quantidade de alunos com 8 anos. 
 
40) (UERJ) Observe os gráficos a seguir, que representam, em 
reais, as vendas e os lucros anuais de uma empresa no período 
de 1990 a 1995. 
 
De acordo com os gráficos, calcule: 
a) a média, em milhões de reais, das vendas dessa empresa 
no período considerado; 
b) a razão entre o lucro e a venda em 1992. 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
GABARITO 
 
1) B 2) B 3) C 4) D 5) A 6) A 7) B 8) D 9) B 10) A 
11) A 12) D 13) C 14) D 15) D 16) D 17) C 18) B 19) B 20) D 
21) B 22) D 23) E 24) D 25) D 26) D 27) C 28) D 29) E 30) A 
31) A 32) C 33) D 34) A 35) C 
36) 
a) CR$2.000,000,00 
b) Diminui. 
37) 30, 31 e 30 
38) 
a) 6 
b) 7,5 
c) 5 e 8 
39) 1 aluno de 7 anos e 2 alunos de 8 anos 
40) 
a) 3 milhões 
b) 1/10 
	mat 1 - aula 23
	mat 1 - aula 24
	mat 1 - aula 25
	mat 1 - aula 26