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Para algun
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Pesca em área de proteção ambiental no rio Jutaí: usoraciional dos recursos ajuda a preservar espécies
•• Matemática – Probabilidade 
pg. 02
•• Matemática – Geometria de
posição
pg. 04
•• Física – Eletrostática
pg. 06
•• Física – Campo eletrostático ou
campo elétrico
pg. 08
•• Português – Concordância
Nominal II
pg. 10
Probabilidade
A história da teoria das probabilidades teve início
com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse
é o motivo da grande existência de exemplos de
jogos de azar no estudo das probabilidades. A
teoria das probabilidades permite que se calcule
a chance de ocorrência de um número em um
experimento aleatório.
Experimento aleatório
É aquele experimento que quando repetido em
iguais condições, podem fornecer resultados
diferentes, ou seja, são resultados explicados ao
acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades
de ganho na loteria, a abordagem envolve
cálculo de experimento aleatório.
Espaço amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis
de um experimento aleatório. A letra qu e
representa o espaço amostral é S.
Aplicação
Lançando uma moeda e um dado, simultanea-
mente, sendo S o espaço amostral, constituído
pelos 12 elementos:
S={K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1,
R2, R3, R4, R5, R6}
a)Escreva, explicitamente,
os seguintes eventos:
A={caras e m número
par aparece}, B={um
número primo
aparecem}, C={coroas e um número ímpar
aparecem}. 
b) Idem, o evento em que: 
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) somente B ocorre.
c) Quais dos eventos A,B e C são mutuamente
exclusivos? 
Re solução:
1. Para obter A, escolhemos os elementos de S
constituídos de um K e um número par:
A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S
constituídos de números primos:
B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S
constituídos de um R e um número ímpar:
C={R1,R3,R5}.
2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B ∩ C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não
estão em A ou C; 
B ∩ Ac ∩ Cc = {K3,K5,R2}
3. A e C são mutuamente exclusivos, porque
A ∩ C = ∅∅
Conceito de probabilidade
Se num fenômeno aleatório as possibilidades
são igualmente prováveis, então a probabilidade
de ocorrer um evento A é:
n.° de casos favoráveis
P(A) = ––––––––––––––––––––––
n.° de casos possíveis
Aplicação
No lançamento de um dado, um número pode
ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igual-
mente prováveis, portanto, P =
3/6= 1/2 = 50%.
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é
equiprovável quando seus eventos elementares
têm probabilidades iguais de ocorrência.
Propriedades Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares,
então:
P( A ) + P( A’) = 1 
2. A probabilidade de um evento é sempre um
número entre 0(probabilidade de evento
impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).
Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é
necessário que já exista alguma informação
sobre o evento que se deseja observar. Nesse
caso, o espaço amostral modifica-se e o evento
tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.
Fórmula de Probabilidade Condicional:
p(A/B) = p(A∩B)/p(B) ou p(A∩B) = p(A/B).p(B),
em que p(A/B) a probabilidade condicional de
ocorrer A, tendo ocorrido B.
Aplicação
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e
20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma
de cada vez e sem reposição, qual será a
probabilidade de a primeira ser vermelha e a
segunda ser azul?
Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, e
considerarmos os seguintes eventos:
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos
independentes quando a probabilidade de
ocorrer um deles não depende do fato de os
outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade dos eventos
independentes:
P(E1 e E2 e E3 e ...e En
-1 e En) =
P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Aplicação
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e
20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez
e repondo a sorteada na urna, qual será a
probabilidade de a primeira ser vermelha e a
segunda ser azul?
Resolução:
Como os eventos são independentes, a
probabilidade de sair vermelha na primeira
retirada e azul na segunda retirada é igual ao
produto das probabilidades de cada condição,
ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a
probabilidade de sair vermelha na primeira
retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda
retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto,
temos: 10/30.20/30=2/9.
Observe que na segunda retirada foram
consideradas todas as bolas, pois houve
reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato
de sair bola vermelha na primeira retirada não
influenciou a segunda retirada, já que ela foi
reposta na urna.
Probabilidade de ocorrer a união de eventos
Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de
eventos:
2
Além de consolidar sua presença nos
municípios com a implantação de novos
núcleos e aumentar a oferta de vagas para
o interior via vestibular, a Universidade do
Estado do Amazonas avança também na
pós-graduação.
A Coordenação de Aperfeiçoamento de
Pessoal de Nível Superior do Ministério da
Educação (Capes) aprovou a realização de
mais um curso de Doutorado para a UEA: o
de Engenharia Elétrica, com ênfase em
Computação. O curso, no formato Dinter -
Doutorado Interinstitucional, em parceria
com a Universidade Federal de Pernambuco
(UFPE), tem início previsto para o segundo
semestre deste ano.
A UEA já oferece outros dois cursos de
Doutorado: em Doenças Tropicais e Infec-
ciosas – o primeiro na área de Medicina do
Amazonas – e o Doutorado em Clima e
Ambiente, com início no primeiro semestre
deste ano em associação com o Instituto
Nacional de Pesquisas da Amazônia (Inpa) e
integrante do Programa de Pós-Graduação
em Clima e Ambiente, inédito no Brasil. Para
oferecer cursos fora de sede, a UEA estabe-
lece parcerias com instituições consolidadas.
Com menos de seis anos de criação, a
instituição já criou 52 cursos em nível de
Pós-Graduação: além do doutorado em
Doenças Tropicais e Infecciosas e o
Doutorado em Clima e Ambiente, já foram
oferecidos sete mestrados e 44 especializa-
ções. Ainda este ano a Pró-Reitoria de Pós-
Graduação da UEA está aguardando a
aprovação final da Capes para outros nove
doutorados e dez mestrados interinstitu-
cionais, resultado do trabalho em conjunto
com as Unidades Acadêmicas e com o
Centro de Estudos do Trópico Úmido da
UEA.
Entre os mestrados oferecidos estão o de
Doenças Tropicais e Infecciosas; Direito
Ambiental; Biotecnologia e Recursos
Naturais da Amazônia; Ensino de Ciências;
Administração Pública (UEA/FGV); Enge-
nharia Eletétrica/Comunicação (UEA/UFPA)
e Engenharia Elétrica/Automação (UEA/
UFCG).
A turma especial do Doutorado em
Engenharia Elétrica terá 15 vagas. Desse
total, dez serão destinados à formação de
quadros da própria UEA e as outras cinco
vagas, para servidores da Prefeitura
Municipal de Manaus. O objetivo é qualificar,
em médio prazo, mão-de-obra para atuar no
Pólo Industrial de Manaus, pois a partir da
qualificação dos professores da
Universidade já será possível o oferecimento
de novos cursos de mestrados nesta área
do conhecimento.
Capes aprova mais
um curso de
doutorado para a
UEA
Matemática 
Professor CLÍCIO 
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e
E2, estes eventos estarão computados no
cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam consi-
derados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).
Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de
eventos mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2)+ ... + P(En)
Aplicações
01. Se dois dados, azul e branco, forem
lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul
e 3 no branco?
Resolução:
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaço amostral de todos os
possíveis resultados, temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:
P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
02. Se retirarmos aleatoriamente uma carta de
baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de
ser um 8 ou um rei?
Sendo S o espaço amostral de todos os
resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas.
Considere os eventos:
A: sair 8 e P(A) = 4/52
B: sair um rei e P(B) = 4/52
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 =
2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não
pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso
ocorre, dizemos que os eventos A e B são mutua-
mente exclusivos.
02. Uma moeda é viciada, de forma que as caras
são três vezes mais prováveis de aparecer do
que as coroas. Determine a probabilidade de
num lançamento sair coroa.
Solução:
Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enun-
ciado, a probabilidade de sair cara é igual a 3k.
A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1.
Logo, k + 3k = 1 \ k = 1/4.
Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%.
03. Três estudantes A, B e C estão em uma
competição de natação. A e B têm as mesmas
chances de vencer e, cada um, tem duas vezes
mais chances de vencer do que C. 
Pede-se calcular a
probabilidades de
A ou C vencer.
Solução:
Sejam p(A), p(B) e p(C) as probabilidades
individuais de A, B, C vencerem. Pelos dados do
enunciado, temos:
p(A) = p(B) = 2.p(C).
Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2.
Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1.
Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade
de A vencer ou B vencer ou C vencer é igual a
1. (evento certo).
Assim, substituindo, vem:
k + k + k/2 = 1 \ k = 2/5.
Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) =
2/10 = 1/5.
A probabilidade de A ou C vencer será a soma
dessas probabilidades, ou seja, 2/5 + 1/5 = 3/5.
04. Um dado é viciado, de modo que cada
número par tem duas vezes mais chances de
aparecer num lançamento que qualquer número
ímpar. Determine a probabilidade de num
lançamento aparecer um número primo.
Solução:
Pelo enunciado, podemos escrever:
p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5).
Seja p(2) = k. Poderemos escrever:
p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou
seja: a soma das probabilidades dos eventos
elementares é igual a 1.
Então, substituindo, vem:
k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1 \ k = 2/9.
Assim, temos:
p(2) = p(4) = p(6) = 2/9
p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9.
O evento “sair número primo” corresponde a sair
o 2, ou o 3 ou o 5. Logo, 
p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.
05. Um cartão é retirado aleatoriamente de um
conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50.
Determine a probabilidade do cartão retirado ser
de um número primo.
Solução:
Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto
15 números primos.
Temos, portanto, 15 chances de escolher um
número primo num total de 50 possibilidades.
Portanto a probabilidade pedida será igual a 
p = 15/50 = 3/10.
06. Das 10 alunas de uma classe, 3 têm olhos
azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso,
qual é a probabilidade de ambas terem os olhos
azuis?
Solução:
Existem C10,2 possibilidades de se escolher duas
pessoas entre 10 e, existem C3,2 possibilidades
de escolher duas alunas de olhos azuis entre as
três. Logo, a probabilidade procurada será igual
a:
P = C3,2 / C10,2 = (3.2/2.1)/(10.9/2.1) = 6/90 =
3/45 = 1/15.
Comentários sobre o cálculo de Cn,p.
Como já sabemos da Análise combinatória,
Esta é a forma tradicional de se calcular Cn,p.
Na prática, entretanto, podemos recorrer ao
seguinte expediente: Cn,p possui sempre p
fatores no numerador a partir de n, decrescendo
uma unidade a cada fator e p fatores no
denominador a partir de p, decrescendo uma
unidade a cada fator.
Exemplos:
C10,4 = (10.9.8.7)/(4.3.2.1) = 210.
C8,3 = (8.7.6)/(3.2.1) = 56.
C16,3 = (16.15.14)/(3.2.1) = 560.
C12,4 = (12.11.10.9)/(4.3.2.1) = 495.
C10,5 = (10.9.8.7.6)/(5.4.3.2.1) = 252.
3
01. (Cesgranrio) Uma urna contém 4 bolas
brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas
escolhidas ao acaso são sacadas
dessa urna, sucessivamente e sem
reposição. A probabilidade de que
ambas sejam brancas vale:
a) 1/6 b) 2/9
c) 4/9 d) 16/81 e) 20/81
02. (Fatec) Considere todos os números
de cinco algarismos distintos obtidos
pela permutação dos algarismos 4, 5,
6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses
números, ao acaso, a probabilidade
dele ser um número ímpar é:
a) 1 b) 1/2 c) 2/5 
d) 1/4 e) 1/5
03. (FEI) Uma caixa contém 3 bolas
verdes, 4 bolas amarelas e 2 bolas
pretas. Duas bolas são retiradas ao
acaso e sem reposição. A
probabilidade de ambas serem da
mesma cor é:
a) 13/72 b) 1/18 c) 5/18 
d) 1/9 e) 1/4
04. (Fei) Em uma pesquisa realizada em
uma Faculdade foram feitas duas
perguntas aos alunos. Cento e vinte
responderam “sim” a ambas; 300
responderam “sim” à primeira; 250
responderam “sim” à segunda e 200
responderam “não” a ambas. Se um
aluno for escolhido ao acaso, qual é a
probabilidade de ele ter respondido
“não” à primeira pergunta?
a) 1/7 b) 1/2 c) 3/8 
d) 11/21 e) 4/25
05. (Fuvest) Escolhem-se ao acaso três
vértices distintos de um cubo. A
probabilidade de que estes vértices
pertençam a uma mesma face é:
a) 3/14 b) 2/7 c) 5/14 
d) 3/7 e) 13/18
06. (Fuvest–GV) No jogo da sena seis
números distintos são sorteados
dentre os números 1, 2,....., 50. A
probabilidade de que, numa extração,
os seis números sorteados sejam
ímpares vale aproximadamente:
a) 50% b) 1% c) 25%
d) 10% e) 5%
07. (Mackenzie) Num grupo de 12 profes-
sores, somente 5 são de matemática.
Escolhidos ao acaso 3 professores do
grupo, a probabilidade de no máximo
um deles ser de matemática é:
a) 3/11. b) 5/11. c) 7/11.
d) 8/11. e) 9/11.
08. (Puccamp) O número de fichas de
certa urna é igual ao número de
anagramas da palavra VESTIBULAR.
Se em cada ficha escrevermos apenas
um dos anagramas, a probabilidade
de sortearmos uma ficha dessa urna e
no anagrama marcado as vogais
estarem juntas é
a) 1/5040 b) 1/1260 c) 1/60
d) 1/30 e) 1/15
Desafio
Matemático
Geometria de posição
A Geometria espacial (euclidiana) funciona como
uma ampliação da Geometria plana (euclidiana)
e trata dos métodos apropriados para o estudo
de objetos espaciais assim como a relação entre
esses elementos. Os objetos primitivos do ponto
de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos
de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies.
Os principais tipos de cálculos que podemos
realizar são: comprimentos de curvas, áreas de
superfícies e volumes de regiões sólidas.
Tomaremos ponto e reta como conceitos
primitivos, os quais serão aceitos sem definição.
Conceitos primitivos
São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos
sem definição) na Geometria espacial os
conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente,
usamos a seguinte notação:
a)pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto.
• A
b)retas: letras minúsculas do nosso alfabeto. 
c) planos: letras minúsculas do alfabeto grego. 
Observação: Espaço é o conjunto de todos os
pontos.
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:
P ∈ r
Q ∈ s ∩ r
s ⊂ α e r ⊂ a
Axiomas
Axiomas ou postulados (P) são proposições
aceitas como verdadeiras sem demonstração e
que servem de base para o desenvolvimento de
uma teoria.
Temos como axioma fundamental: existem
infinitos pontos, retas e planos.
Postulados sobre pontos e retas
P1. A reta é infinita, ou seja, contém infinitos
pontos.
P2. Por um ponto podem sertraçadas infinitas
retas.
Observe que os eixos se
encontram no centro da roda
gigante, dando a idéia de feixe
de retas.
P3. Por dois pontos distintos passa uma única
reta.
P4. Um ponto qualquer de uma reta divide-a em
duas semi-retas.
Observe que as faixas
de uma rodovia dão a
idéia de uma reta
Plano
Um plano é um subconjunto do espaço R3 de
tal modo que quaisquer dois pontos desse
conjunto podem ser ligados por um segmento
de reta inteiramente contido no conjunto. 
Um plano no espaço R3 pode ser determinado
por qualquer uma das situações: 
a)Três pontos não colineares (não pertencentes
à mesma reta). 
b)Um ponto e uma reta que não contém o
ponto. 
c) Um ponto e um segmento de reta que não
contém o ponto. 
d)Duas retas paralelas que não se sobrepõem; 
e)Dois segmentos de reta paralelos que não se
sobrepõe. 
f) Duas retas concorrentes. 
g)Dois segmentos de reta concorrentes.
Planos e retas
Um plano é um subconjunto do espaço R3 de
tal modo que quaisquer dois pontos desse
conjunto podem ser ligados por um segmento
de reta inteiramente contido no conjunto.
Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3
podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.
Retas paralelas: Duas retas são paralelas se
elas não possuem interseção e estão em um
mesmo plano.
Retas concorrentes: duas retas são
concorrentes se elas têm um ponto em comum.
As retas perpendiculares são retas concorrentes
que formam entre si um ângulo reto.
Retas reversas: duas retas são ditas reversas
quando uma não há interseção entre elas: não
são paralelas. Isto significa que elas estão em
planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta r
desenhada no chão de uma casa e uma reta s,
não paralela a r, desenhada no teto dessa
mesma casa
Reta paralela a um plano: Uma reta r é paralela
a um plano no espaço R3 se existe uma reta s
inteiramente contida no plano que é paralela à
reta dada.
4
Desafio
Matemático
01. (ITA) – Consideremos um plano a e
uma reta r que encontra esse plano
num ponto P, e que não é
perpendicular a a. Assinale qual das
afirmações é a verdadeira.
a) Existem infinitas retas de a
perpendiculares a r pelo ponto P. 
b) Existe uma e somente uma reta de a
perpendicular a r por P .
c) Não existe reta de a, perpendicular a r,
por P .
d) Existem duas retas de a perpendiculares
a r passando por P .
e) Nenhuma das afirmações acima é
verdadeira .
02. (EESCUSP) – O lugar geométrico dos
pontos médios dos segmentos que
unem pontos de duas retas reversas é:
a) uma elipse; 
b) uma hipérbole; 
c) uma esfera; 
d) uma reta; 
e) um plano.
03. (EEUM)– Se a e b são dois planos
perpendiculares, r a sua interseção e s
uma reta paralela a a, então:
a) a reta s é paralela ao plano b;
b) a reta s é perpendicular ao plano b;
c) a reta s é paralela à reta r;
d) a reta s intercepta o plano b;
e) nada se pode concluir.
04. (EESCUSP)– Uma só das seguintes
afirmações é exata. Qual?
a) Um plano paralelo a uma reta de um
outro plano é paralelo a este;
b) Um plano perpendicular a uma reta de
um plano é perpendicular a este plano;
c) Um plano paralelo a duas retas de um
plano é paralelo ao plano;
d) Dois planos paralelos à mesma reta são
paralelos;
e) Um plano paralelo à três retas de um
mesmo plano é paralelo a este plano.
05. (UFBA) Sendo α e β dois planos e r1 e
r2 duas retas, tais que α // β , r1 ⊥ α e
r2 // β , então r1 e r2 podem ser:
a) Paralelas a α.
b) Perpendiculares a β.
c) Coincidentes.
d) Oblíquas.
e) Ortogonais.
06. (UF–PE) Assinale a alternativa correta,
considerando r, s e t como sendo retas
no espaço .
a) Se r e s são ambas perpendiculares a t,
então r e s são paralelas.
b) Se r é perpendicular a s e s é perpendi-
cular a t, então r é perpendicular a t.
c) Se r é perpendicular a s e s é perpendi-
cular a t, então r e t são paralelas.
d) Se r é perpendicular a s e β é um plano
que contém s, então r é perpendicular a β
e) Se r e t são perpendiculares a s no
mesmo ponto, então existe um plano que
contém r e t e é perpendicular a s.
Matemática 
Professor CLÍCIO 
Reta perpendicular a um plano: uma reta é
perpendicular a um plano no espaço R3, se ela
intersecta o plano em um ponto P e todo
segmento de reta contido no plano que tem P
como uma de suas extremidades é
perpendicular à reta.
Posições entre planos
1. Planos concorrentes no espaço R3 são planos
cuja interseção é uma reta.
2. Planos paralelos no espaço R3 são planos
que não têm interseção.
3. Diedro: Quando dois planos são
concorrentes, dizemos que tais planos
formam um diedro.
4. Ângulo diedral: É ângulo formado por dois
planos concorrentes. Para obter o ângulo
diedral, basta tomar o ângulo formado por
quaisquer duas retas perpendiculares aos
planos concorrentes.
5. Planos normais são aqueles cujo ângulo
diedral é um ângulo reto (90 graus).
Poliedros
São sólidos do espaço de 3 dimensões cuja
fronteira é a reunião de partes de planos.
Relação de Euler
Em qualquer poliedro convexo, é válida a
relação:
V – A + F = 2
V = n.° de vértices;
A = n.° de arestas;
F = n.° de faces.
Soma dos ângulos das faces: S
S = (V – 2). 360
Poliedros de Platão
De um poliedro de Platão, exige-se que: 
a) Todas as faces sejam polígonos, regulares ou
não, mas com o mesmos número de lados; 
b)Todos os bicos sejam formados com o
mesmo número de arestas. 
Quantos são os poliedros de Platão? 
Só existem cinco tipos de poliedros de Platão,
regulares ou não, que são:
1. Tetraedro 
4. Hexaedro
2. Octaedro 
5. Dodecaedro
3. Icosaedro
Observação – Na tentativa de construir
poliedros regulares, verificamos, na prática, que
não é possível fazê-lo nem com hexágonos,
nem com polígonos que tenham mais do que
seis lados. 
Resumo:
Aplicações
01. O número de faces de um poliedro convexo
de 20 arestas é igual ao número de vértices.
Determine o número de faces do poliedro.
Solução:
Sabemos que sendo dado um poliedro de V
vértices, F faces e A arestas, vale a célebre
relação de Euler:
V + F = A + 2
É dado que A = 20 e V = F. Logo, substituindo,
fica:
F + F = 20 + 2 ; logo, 2F = 22 e daí conclui-se
que F = 11. Portanto o poliedro possui 11 faces.
02. Um poliedro convexo possui 10 faces, sendo
algumas quadrangulares e outras triangulares.
Ache o número de faces de cada tipo, sabendo
que a soma dos ângulos das suas faces é 2520°.
Solução:
Sendo x faces quadrangulares e y faces
triangulares, teremos:
x + y = 10
Sabemos que a soma dos ângulos internos de
todas as faces de um poliedro convexo é dada
por:
S = (V – 2) . 360°, onde V é o número de
vértices. Logo,
2520° = (V – 2) .360° ⇒ V – 2 = 7 ⇒ V = 9
Sabemos também pelo Teorema de Euler, que:
V + F = A + 2
onde V é o número de vértices, A o número de
arestas e F o número de faces.
Teremos então: 
9 + 10 = A + 2, então A = 17 
Outra relação conhecida para os poliedros é: n .
F= 2 . A, onde n é o número de arestas em cada
face. 
No presente caso, n . F = 4x + 3y já que são 4
faces quadrangulares e 3 faces triangulares.
Logo, 4x + 3y = 2 . A = 2.17 = 34
Já sabemos que a soma dos ângulos internos de
um triângulo vale 180° e a soma dos ângulos
internos de um quadrilátero vale 360°. Logo,
como são x quadriláteros e y triângulos, vem:
x . 360 + y . 180 = 2520
Simplificando, vem: 
Resolvendo o
sistema acima, vem:
y = 14 – 2x
4 x + 3 (14 – 2x) = 34
4x + 42 – 6x= 34
–2x= –8
Daí tiramos x = 4 e, portanto y = 6.
São então 4 faces quadrangulares e 6 faces
triangulares.
5
Desafio
Matemático
01. (UFPA) Assinalar a única proposição
errada entre as seguintes:
a) duas retas do espaço, paralelas a uma
terceira, são paralelas entre si;
b) um plano perpendicular a dois planos
incidentes é perpendicular à reta
interseção deles;
c) uma reta ortogonal a duas retas de um
plano é ortogonal ao plano;
d) um plano perpendicular a uma reta de
um outro planoé perpendicular a este
plano;
e) dois planos perpendiculares à mesma
reta são paralelos.
02. (UEA) Se um ponto é eqüidistante de
três outros, então:
a) os quatro são coplanares;
b) estão sobre uma circunferência;
c) estão sobre uma esfera;
d) são vértices de um tetraedro;
e) nenhuma das afirmações anteriores é
verdadeira.
03. (IME) A única proposição certa é:
a) Se três retas tem um ponto comum, elas
são coplanares.
b) Dois planos perpendiculares a um
terceiro plano, são paralelos entre si.
c) Se dois planos são paralelos a uma
mesma reta, então são paralelos entre si.
d) Um plano perpendicular a um de dois
planos que se interceptam, deve inter-
ceptar o outro.
e) A interseção de dois planos perpendicu-
lares a um terceiro plano é uma reta
perpendicular a este ou o conjunto vazio.
04. (FGV) Duas retas no espaço, perpendi-
culares a uma terceira:
a) são paralelas;
b) são perpendiculares;
c) podem ser perpendiculares;
d) são coplanares;
e) são reversas.
05. (U.MACK) Considere as afirmações:
I. Se uma reta é paralela a dois planos,
então estes planos são paralelos.
II. se dois planos são paralelos, toda
reta de um é paralela a uma reta do
outro.
III. Se duas retas são reversas, então
existe uma única perpendicular
comum a elas.
Então:
a) Todas são verdadeiras.
b) Somente a II é verdadeira.
c) Somente a III é verdadeira.
d) Somente a I é verdadeira
e) Somente II e III são verdadeiras.
06. (U.MACK) Um poliedro convexo tem 15
faces. De dois de seus vértices partem
5 arestas, de quatro outros partem 4
arestas e dos restantes partem 3
arestas. O número de arestas do
poliedro é:
a) 75 b) 53 c) 31
d) 45 e) 25
Eletrostática
Nesta aula, discutiremos os efeitos produzidos
por cargas elétricas em repouso, em
determinado referencial.
Carga Elétrica
No estudo da Dinâmica, vimos que a propriedade
física denominada massa faz que dois corpos
troquem forças de campo gravitacional e que tais
forças são sempre de atração.
Na Eletrostática, apresentaremos um outro tipo
de força de interação entre os corpos, derivada
de uma propriedade física denominada carga
elétrica. É a força de campo eletrostático ou,
simplesmente, força de campo elétrico. Essa
força pode ser de atração ou de repulsão, o que
implica a existência de duas espécies de cargas
elétricas: uma positiva outra negativa. Ambas são
manifestações contrárias da mesma propriedade
física.
Unidade de carga elétrica
No SI, a unidade de medida da carga elétrica é
o coulomb, cujo símbolo é C.
Carga elétrica elementar
Experiências revelaram que a carga elétrica
apresenta-se na natureza com valores múltiplos
inteiros de uma carga denominada carga
elétrica elementar, simbolizada por e, cujo valor
é: e = 1,6 . 10–19C
Toda partícula dotada de carga elétrica é um
portador de carga elétrica. É o caso do elétron
(carga negativa) e do próton (carga positiva).
Por convenção:
qelétron = – e = –1,6 . 10
–19C
qpróton = + e = +1,6 . 10
–19C
O nêutron é uma partícula não-dotada de carga
elétrica, ou seja:
qnêutron = 0
Além do próton e do elétron, existem partículas
elementares dotadas de carga elétrica, como o
pósitron e o píon, por exemplo, que têm carga +e.
Qualquer átomo é um corpo eletricamente
neutro. Perdendo ou ganhando elétrons, ele se
torna um corpo eletrizado denominado íon
(positivo ou negativo).
Carga elétrica de um corpo eletrizado e
quantização da carga elétrica
Quando a soma das cargas elétrica de todos os
portadores de carga existentes num corpo é
igual a zero, dizemos que ele está eletricamente
neutro. Eletrizar esse corpo significa tornar essa
soma diferente de zero.
Quando eletrizamos um corpo, alteramos a sua
quantidade de elétrons, mas não a de prótons
(os núcleos atômicos, onde estão os prótons, só
podem ser alterados em situações especiais,
como, por exemplo, ao serem bombardeados
por partículas dotadas de altas energias em
aceleradores de partículas).
Para eletrizar um corpo negativamente devem-
se fornecer elétrons a ele; nesse caso, ele ficará
com excesso de elétrons. Para eletrizá-lo
positivamente, devem-se retirar elétrons dele, o
que o deixará com elétrons em falta. Esse déficit
de elétrons equivale a um excesso de prótons.
Em qualquer caso, a carga elétrica Q adquirida
pelo corpo é sempre um múltiplo inteiro da
carga elementar e:
Q = n . e (n = 1, 2, 3, ...)
Pelo fato de Q ser um múltiplo inteiro de e,
dizemos que a carga elétrica é quantizada.
Aplicação
Um átomo tem o número de prótons igual ao
número de elétrons. Um íon de alumínio Al3+ é um
átomo de alumínio que perdeu três elétrons. Qual
é a carga elétrica Q desse íon? (e=1,6.10-19C)
Solução:
Se o átomo perdeu 3 elétrons, ficou eletrizado
positivamente, com carga equivalente a um
excesso de 3 prótons (n = 3):
Q = n . e = +3 . 1,6 . 10-19
Q = 4,8 . 10-19C
Atração e Repulsão
Verifica-se experimentalmente que:
– Corpos eletrizados com cargas de mesmo
sinal se repelem.
– Corpos eletrizados com cargas de sinais
opostos se atraem.
Condutores e Isolantes
Condutor elétrico é um corpo que possui
grande quantidade de portadores de carga
elétrica facilmente movimentáveis, como:
– elétrons livres (nos metais e na grafite);
– íons positivos e negativos (nas soluções
eletrolíticas);
íons e elétrons livres (nos gases ionizados).
Isolante elétrico é um corpo que, ao contrário do
condutor, não possui quantidade significativa de
portadores de carga elétrica facilmente
movimentáveis (vidro, plásticos, mica,
porcelana, seda, etc.).
Condutores eletrizados em equilíbrio
eletrostático
Quando se eletriza um condutor, os portadores
móveis de carga se distribuem através dele,
buscando a situação mais estável possível, que,
uma vez atingida, interrompe o fluxo de
portadores de uma região para outra. Dizemos
então que o condutor atingiu o equilíbrio
eletrostático.
Sistema eletricamente isolado
É um conjunto de corpos que podem trocar
cargas entre si, mas não com outros corpos
externos ao sistema.
Princípio da Conservação da Cargas Elétricas
Num sistema físico eletricamente isolado, a
soma algébrica das cargas elétricas de todos os
corpos é sempre constante.
Processos de Eletrização
1. Eletrização por atrito de materiais diferentes
Os corpos atritados eletrizam-se com cargas de
mesmo valor absoluto e sinais opostos. Isso
ocorre porque um corpo captura elétrons do
outro. A seda, por exemplo, tem maior afinidade
por elétrons que o vidro. Assim, quando se atrita
um tecido de seda num bastão de vidro, ambos
inicialmente neutros, a seda fica negativa e o
vidro positivo.
2. Eletrização por contato de condutores
Se A estiver eletrizado positivamente, uma certa
quantidade de elétrons livres de B passará para
A, diminuindo o excesso de carga positiva de A
e eletrizando B positivamente.
Se A estiver eletrizado negativamente, uma certa
quantidade de elétrons livres de A passará para
B. com isso, A ficará menos negativo e B será
eletrizado negativamente.
De acordo com o Princípio da Conservação da
Carga Elétrica, as cargas finais (Q’A e Q’B) e
iniciais (QA e QB) dos condutores são tais que:
Q’A + Q’B = QA + QB = QA
No caso de condutores geometricamente
idênticos, temos, por simetria:
Q’A = Q’B → Q’A = Q’B = QA/2
3. Eletrização por indução
Consideremos um bastão eletrizado
positivamente, que cria, nos pontos A e B,
potenciais diferentes: em A maior do que em B.
Se um objeto metálico neutro e isolado ocupar a
6
Física
Professor CARLOS Jennings
01. (UFRJ) Três pequenas esferas metálicas
idênticas, A, B e C, estão suspensas,
por fios isolantes, a três suportes. Para
testar se elas estão carregadas,
realizam-se três experimentos durante
os quais se verifica com elas interagem
eletricamente, duas a duas:
Experimento 1: As esferas A e C, ao
serem aproximadas, atraem-se
eletricamente, como ilustra a figura 1:
Experimento2: As esferas B e C, ao
serem aproximadas, também se atraem
eletricamente, como ilustra a figura 2:
Experimento 3: As esferas A e B, ao
serem aproximadas, também se atraem
eletricamente, como ilustra a figura 3:
Formulam-se três hipóteses:
I. As três esferas estão carregadas.
II. Apenas duas esferas estão
carregadas com cargas de mesmo
sinal.
III Apenas duas esferas estão
carregadas, mas com cargas de
sinais contrários.
Analisando o resultados dos três
experimentos, indique a hipótese correta. 
02. (Unesp) Considere uma ampla região
do espaço onde exista um campo
elétrico uniforme e constante. Em
quaisquer pontos desse espaço, como
os pontos I e II, o valor desse campo é→
E (Figura 1). Em seguida uma pequena
esfera de material isolante e sem carga
é introduzida nessa região, ficando o
ponto II no centro da esfera e o ponto I
à sua esquerda. O campo elétrico
induzirá cargas na superfície da esfera
(Figura 2).
a) O que ocorrerá com a intensidade do
campo elétrico nos pontos I e II? 
b) Justifique sua resposta. 
03. (Cesgranrio) Uma pequena esfera de
isopor, aluminizada, suspensa por um
fio de nylon, é atraída por um pente
plástico negativamente carregado.
Pode-se afirmar que a carga elétrica da
esfera é:
a) apenas negativa; 
b) apenas nula;
c) apenas positiva; 
d) negativa, ou então nula;
e) positiva, ou então nula. 
Desafio
Físico
região entre A e B, elétrons livres do metal
passarão a se deslocar para a esquerda.
À medida que se acumulam elétrons na
extremidade esquerda do condutor, o potencial
elétrico em A vai diminuindo. Ao mesmo tempo
vai-se acumulando carga positiva na
extremidade direita do condutor e, assim, o
potencial em B vai aumentando. Quando os
potenciais em A e B se igualam, o condutor
atinge o equilíbrio eletrostático.
Se, em seguida, qualquer ponto do condutor for
ligado à Terra (potencial nulo), elétrons livres
marcharão da Terra até ele, porque cargas
negativas buscam potenciais mais altos. Essa
marcha de elétrons cessará quando o potencial
do condutor reduzir-se a zero, igualando-se ao
da Terra.
Desse modo, o condutor que estava neutro,
eletriza-se negativamente graças à indução
eletrostática do bastão. Mantida a ligação à
Terra, se o bastão for afastado do condutor, este
voltará à neutralidade elétrica. Porém, se a
ligação a Terra for cortada antes de se afastar o
bastão, o condutor permanecerá eletrizado
negativamente.
Se o bastão estivesse eletrizado negativamente,
o condutor, antes de ser ligado à Terra, estaria
num potencial negativo, menor, portanto, que o
da Terra. Se qualquer ponto do condutor fosse
ligado à Terra, elétrons dele marchariam para a
Terra e ele ficaria eletrizado positivamente por
indução.
LEI DE COULOMB
Consideremos duas partículas em repouso,
eletrizadas com cargas Q e q e separadas por
uma distância d.
Essas partículas interagem com forças
eletrostáticas (ou elétricas) que formam um par
ação-reação. Sendo K uma constante de
proporcionalidade que depende do meio em
que as partículas estão imersas, a Lei de
Coulomb é expressa por:
K.|Q|.|q|
Fe = ––––––––––d2
No vácuo, a constante eletrostática do meio
vale:
K0 = 9,0 . 10
9N.m2/C2.
Aplicações
1. Em cada vértice de um triângulo eqüilátero foi
fixada uma partícula eletrizada com a carga
positiva q. Sendo K a constante eletrostática do
meio, determine a intensidade R da força
eletrostática resultante em cada partícula.
Solução:
2. Duas bolinhas, A e B, eletrizadas com cargas
positivas Q e 4Q, respectivamente, estão fixas
dentro de uma canaleta isolante e lisa, e separa-
das uma da outra por uma distância l = 120cm,
como mostra a figura:
Uma terceira bolinha C, eletrizada com carga q,
encontra-se em equilíbrio dentro da canaleta, a
uma distância x da bolinha A. Calcule a
distância x.
Solução:
a) Como a bolinha C está em equilíbrio, a
resultante entre FAC e FBC é nula:
Então:
120 – x
––––––– = 2 ⇒ x = 40cm ou
x
120 – x
––––––– = –2 ⇒ x = –120cm
x
Exercícios
01. (FEI) Qual das afirmativas está correta?
a) Somente corpos carregados
positivamente atraem corpos neutros.
b) Somente corpos carregados
negativamente atraem corpos neutros.
c) Um corpo carregado pode atrair ou
repelir um corpo neutro.
d) Se um corpo A eletrizado positivamente
atrai um outro corpo B, podemos afirmar
que B está carregado negativamente.
e) Um corpo neutro pode ser atraído por
um corpo eletrizado. 
02. (Fuvest 90) Uma esfera condutora A,
de peso P, eletrizada positivamente, é
presa por um fio isolante que passa
por uma roldana. A esfera A se
aproxima, com velocidade constante,
de uma esfera B, idêntica à anterior,
mas neutra e isolada. A esfera A toca
em B e, em seguida, é puxada para
cima, com velocidade também
constante. Quando A passa pelo ponto
M a atração no fio é T1 na descida e
T2 na subida. Podemos afirmar que:
a) T1 < T2 < P
b) T1 < P < T2
c) T2 < T1 < P
d) T2 < P < T1
e) P < T1 < T2
7
01. (Unicamp) Cada uma das figuras a
seguir representa duas bolas metálicas
de massas iguais, em repouso, suspen-
sas por fios isolantes. As bolas podem
estar carregadas eletricamente. O sinal
da carga está indicado em cada uma
delas. A ausência de sinal indica que a
bola está descarregada. O ângulo do
fio com a vertical depende do peso da
bola e da força elétrica devido à bola
vizinha. Indique em cada caso se a
figura está certa ou errada. 
02. (Unirio) Três esferas metálicas iguais
estão carregadas eletricamente e
localizadas no vácuo. Inicialmente, as
esferas A e B possuem, cada uma
delas, carga +Q, enquanto a esfera C
tem carga –Q. Considerando as
situações ilustradas, determine:
a) a carga final da esfera C, admitindo
que as três esferas são colocadas
simultaneamente em contato e a
seguir afastadas;
b) o módulo da força elétrica entre as
esferas A e C, sabendo que
primeiramente essas duas esferas
são encostadas, como mostra a
figura I, e, em seguida, elas são
afastadas por uma distância D,
conforme a figura II.
03. (Cesgranrio) Na figura a seguir, um
bastão carregado positivamente é
aproximado de uma pequena esfera
metálica (M) que pende na extremi-
dade de um fio de seda. Observa-se
que a esfera se afasta do bastão.
Nesta situação, pode-se afirmar que a
esfera possui uma carga elétrica total:
a) negativa. b) positiva. c) nula.
d) positiva ou nula. e) negativa ou nula. 
Desafio
Físico
Campo eletrostático ou
campo elétrico 
Vetor Campo Elétrico
Em Dinâmica, vimos que um corpo, por ter
massa, cria no espaço uma região de
influências denominada campo gravitacional,
que lhe permite trocar forças de campo
gravitacional com outras massas.
Considere, agora, um corpo em repouso,
eletrizado com carga Q. Por ter carga elétrica,
esse corpo também cria no espaço uma região
de influências, denominada campo eletrostático
ou campo elétrico, que lhe possibilita trocar
forças com outras cargas.
Esse campo será representado, em cada ponto
do espaço, pelo vetor campo elétrico 
→
E . No SI,
o vetor 
→
E, num ponto qualquer, informa a
direção, o sentido e a intensidade, em newtons,
da força elétrica atuante numa carga de +1C,
hipoteticamente colocada nesse ponto, sendo o
N/C a sua unidade. Conseqüentemente, o vetor
→
E criado por uma carga Q positiva tem sentido
“saindo” dela, e o vetor 
→
E criado por uma carga
Q negativa tem sentido “chegando” a ela.
Se uma carga q for colocada num ponto
qualquer do campo criado por Q, ela ficará
submetida a uma força eletrostática dada por:
→
Fe = q . 
→
E
Se q > 0 →
→
Fe tem a mesma direção e o
mesmo sentido de 
→
E.
Se q < 0 →
→
Fe tem a mesma direção, mas
sentido oposto ao de 
→
E.
Campo elétrico criado por vários corpos
eletrizados
Considere vários corpos eletrizados com cargas
Q1, Q2, Q3, ... , Qn criando, num ponto P, os
vetores E1, E2, E3, ...,Em, respectivamente. O
vetor campo elétrico total no ponto P (
→
Ep) é
dado pela adição vetorial:
→
Ep = 
→
E1 + 
→
E2 + 
→
E3 + ... + 
→
En
Aplicação
Uma partícula de massa m e carga q é
abandonada numa região, submetendo-se
exclusivamente a dois campos: o gravitacional e
o elétrico. Sendo g = 10N/kg e E = 10000N/C,
determine o módulo da aceleração da partícula,
nos seguintes casos:
Solução:
Em todos os casos, atua na partícula um peso
de intensidade P dado por:
P = m.g = 2 . 10-3 . 10 = 2 . 10-2N
a) Como q > 0, atua na partícula uma força
elétrica no mesmo sentido do campo elétrico:
→
Fe = |q|.
→
E = 2.10–7.10000 = 2.10–3N
Como R = m . a, temos:
P – Fe = m . a
2 . 10 –2 – 2 .10-3 = 2 . 10-3 . a
a = 9m/s2
b) Como q > 0, 
→
Fe tem o sentido de 
→
E:
→
Fe = |q|.
→
E = 2.10–6.10000 = 2.10–2N 
Como P = 2 . 10-2N, a força resultante é nula e a
partícula fica em equilíbrio:
a = 0
c) Como q < 0, 
→
Fe tem sentido oposto ao de 
→
E :
→
Fe = |q|.
→
E = 2.10–6.10000 = 2.10–2N
Novamente, a partícula fica em equilíbrio:
a = 0
Campo elétrico criado por uma partícula
eletrizada
A figura mostra o vetor 
→
E criado por uma
partícula eletrizada com carga Q, num ponto P
situado a uma distância d da partícula.
Em relação à carga de prova q colocada em P,
a intensidade de 
→
E vale:
Fe = |q|.E
K.|Q|.|q|
––––––––– = |q|.E
d2
K.|Q|
E = ––––––
d2
Linhas de força de um campo elétrico
Em cada ponto de uma linha de força, o vetor
campo elétrico tem direção tangente à linha e o
sentido dela.
A intensidade de 
→
E é tanto maior quanto mais
concentradas estão as linhas de força. A partir
da figura acima, temos: EA > EB.
1. Campo de uma carga puntiforme
8
01. (Desafio) Duas bolinhas metálicas
idênticas estão no vácuo, suspensas
por fios isolantes de seda, em
equilíbrio, como mostra a figura. Cada
bolinha está eletrizada com carga Q =
24 . 10-8C. Sendo l = 20cm o
comprimento de cada fio, e de 37° o
ângulo formado por eles com a
vertical, calcule o peso de cada
bolinha.
Dados: K=9,0.109 (Sl); sen37°=0,60;
cos37°=0,80.
02. Duas cargas, q1= 6 .10
-6C e q2=4.10
-
6C, estão separadas por uma distância
de 1m, no vácuo. Sendo a constante
eletrostática do vácuo igual a 9 .109N.
m2 /C2, podemos afirmar que o módulo
da força de repulsão entre essas
cargas, em N, é de, aproximadamente:
a) 0,2
b) 0,3
c) 0,4
d) 0,5
e) 0,6
03. Qual é o sentido e a intensidade do
vetor campo elétrico no ponto P devido
à partícula eletrizada com carga Q nos
seguintes casos? (K = 9 . 109N.m2/C2)
04. (Cesgranrio) Três cargas de mesmo
módulo são depositadas em três
vértices diferentes de um quadrado. A
figura indica essa situação.
O vetor campo elétrico resultante no
ponto M, que é vértice livre do
quadrado, é corretamente
representado pela opção:
Física
Professor CARLOS JenningsDesafio
Físico
2. Campo de duas cargas puntiformes de
mesmo módulo e sinais opostos
3. Campo de duas cargas puntiformes de
mesmo módulo e sinais iguais
Importante:
As linhas de força “saem” de um corpo eletrizado
positivamente, e “chegam” a um corpo eletrizado
negativamente.
Linhas de força não se cruzam (se o cruzamento
ocorresse, teríamos nesse ponto duas orientações
distintas para o vetor 
→
E, o que é absurdo).
4. Campo eletrostático uniforme
O vetor 
→
E tem mesma intensidade, mesma
direção e mesmo sentido em todos os pontos.
Assim, suas linhas de força são representadas
por segmentos de reta paralelos entre si,
igualmente espaçados e igualmente orientados.
Este é o tipo de campo existente entre duas
placas planas e paralelas, uniformemente
eletrizadas com cargas de sinais contrários,
desde que não tomemos pontos próximos de
suas extremidades.
Aplicação
Em cada situação esquematizada a seguir,
temos partículas eletrizadas com carga de
módulo Q, e cada uma delas cria no ponto P um
campo de intensidade N/C. Em cada
caso, trace o vetor campo elétrico resultante no
ponto P e determine a sua intensidade.
Solução:
a) 
E2p = E
2 + E2 = 2E2
b)
EP = 10N/C
POTENCIAL ELETROSTÁTICO OU POTENCIAL
ELÉTRICO
É a capacidade que um corpo eletrizado tem de
realizar trabalho, ou seja, de atrair ou repelir
outras cargas elétricas. Para obter o potencial
elétrico de um ponto, coloca-se nele uma carga
de prova q e mede-se a energia potencial
adquirida por ela. Essa energia potencial é
proporcional ao valor de q. Portanto, o
quociente entre a energia potencial e a carga é
constante. Esse quociente chama-se potencial
elétrico do ponto:
EpV = ––––
q
V é o potencial elétrico, Ep a energia potencial e
q a carga. A unidade no S.I. é J/C = V (volt).
Então, quando se fala que o potencial elétrico
de um ponto L é VL = 10V, entende-se que esse
ponto consegue dotar de 10J de energia cada
unidade de carga de 1C. Se a carga elétrica for
3C, por exemplo, ela será dotada de uma
energia de 30J, obedecendo à proporção.
Para calcular o potencial elétrico devido a uma
carga puntiforme usa-se a fórmula:
K.Q
V = ––––
d
No S.I., d em metros , K é a constante dielétrica
do meio, e Q a carga geradora.
Como o potencial é uma quantidade linear, o
potencial gerado por várias cargas é a soma
algébrica (usa-se o sinal) dos potenciais
gerados por cada uma delas como se
estivessem sozinhas:
K.Q1 K.Q2 K.Q3 K.Q4VL = ––––– + ––––– + ––––– + –––––d1 d2 d3 d4
O potencial elétrico tem o sinal da carga que o
gerou:
Q > 0 → V > 0
Q < 0 → V < 0
Aplicação
A figura representa duas partículas eletrizadas
com cargas Q1 = 6µC e Q2 = 2µC e um ponto
P distante d1 = 6m e d2 = 3m das cargas Q1 e
Q2, respectivamente (K = 9 . 10
9 N.m2/C2).
a) Determine o potencial elétrico no ponto P.
b)Calcule a energia potencial elétrica adquirida
por uma carga de prova q = 2µC, colocada
em P.
c) Repita o item anterior considerando q = –2µC.
Solução:
a) Potencial criado pela carga Q1:
K.Q1 9.10
9 . 6.10–6
V1 = ––––– = –––––––––––– ⇒ V1= 9.10
3V
d1 6 
Potencial criado pela carga Q2:
K.Q2 9.10
9 . 6.10–6
V2 = ––––– = –––––––––––– ⇒ V2= 6.10
3V 
d2 3 
Potencial total em P:
V = V1 + V2 = 9.10
3 + 6.103 ⇒ V= 1,5.104V
b) Epe= q.V = 2.10
–6.1,5.104 ⇒ Epe = +3.10
–2 J
c) Epe= q.V = (2.10
–6).1,5.104 ⇒ Epe = –3.10
–2 J
9
01. (UFMS) Na figura, o campo elétrico é
uniforme e tem módulo igual a 20N/C:
Se d = 4,25m, determine a diferença de
potencial, em volts, entre as superfícies
equipotenciais assinaladas.
02. Uma partícula carregada, tendo massa
m e carga q > 0, penetra numa região
entre duas placas metálicas paralelas
com uma velocidade vo, cuja direção é
perpendicular às placas.
Os potenciais das placas de esquerda e
da direita, separadas pela distância d,
são, respectivamente, V > 0 e 0 volt.
Quando a partícula atravessa a região
entre as placas sob a ação exclusiva da
força elétrica, sua energia cinética sofre
uma variação de:
1
a) –––– mv2o2
V
b) +q ––––
d
V
c) – q ––––
d
d) +qV
e) – qV
03. (Unifor-CE) Entre duas placas paralelas
horizontais e uniformemente eletrizadas
com cargas de sinais opostos, existe um
campo elétrico uniforme de intensidade
E = 5,0 . 104 N/C . Uma partícula de
massa m=2,0 . 10–3 kg e carga
q = 2,0 . 10–7 C é abandonada em um
ponto desse campo.
Sendo a aceleração da gravidade no
local igual a g =10 m/s2, a acaleração
que a aprtícula adquire, em m/s2, vale:
a) 2,5 b) 5,0 c) 7,5
d) 10 e) 15
Desafio
Físico
10
Concordância Nominal II
1. ADJETIVO E SUBSTANTIVO
INDICANDO CORES
a) Cor expressa por adjetivo – Quando a
cor é expressa por um adjetivo (verde,
amarelo, azul, vermelho, branco, claro,
escuro, etc.), tem-se a concordância nor-
mal.
Exemplos:
1. Tinha umacoleção de belas gravatas
azuis.
2. Sempre adorei as flores brancas.
3. As roupas vermelhas caem-lhe bem.
b) Cor expressa por substantivo – Quando
a cor é expressa por um substantivo (aba-
cate, anil, canário, cinza, gelo, laranja,
limão, musgo, neve, ocre, ouro, pastel,
rosa, rubi, sangue, violeta, etc.), o
substantivo usado para exprimir cor fica
invariável, (masculino singular) quer em
palavra simples, quer em composta.
Observação – Se o substantivo virar adje-
tivo (cinza = cinzento; rosa = róseo; la-
ranja = alaranjado; carne = encarnado),
a concordância passa a ser normal.
Veja construçoes certas e erradas:
1. Tinha uma coleção de gravatas cinzas.
(errado)
2. Tinha uma coleção de gravatas cinza.
(certo)
3. Tinha uma coleção de gravatas cinzen-
tas. (certo)
4. Em noites de boêmia, só usava cami-
sas rosas. (errado)
5. Em noites de boêmia, só usava cami-
sas rosa. (certo)
6. Em noites de boêmia, só usava cami-
sas róseas. (certo)
7. Compramos três blusas abóboras.
(errado)
8. Compramos três blusas abóbora.
(certo)
9. Compramos três blusas vinho. (certo)
2. ADJETIVOS COMPOSTOS
a) Cor + substantivo = Composto invariá-
vel. Veja uma lista:
amarelo-ouro branco-gelo
amarelo-canário branco-neve
amarelo-ocre vermelho-rubi
verde-cana verde-água
verde-oliva vermelho-sangue
verde-musgo verde-musgo
verde-abacate azul-turquesa
b) Adjetivo + adjetivo = Só a segunda pa-
lavra pode variar. A primeira tem de ficar
no masculino singular. Incluem-se aqui
os adjetivos pátrios. Quando estão justa-
postos, o primeiro fica na sua forma eru-
dita e reduzida. 
Veja uma lista de adjetivos pátrios redu-
zidos:
Portugal luso-brasileiro
Japão nipo-brasileiro
China sino-brasileiro
Alemanha teuto-brasileiro
França franco-brasileiro
Itália ítalo-brasileiro
Península Ibérica ibero-americano
África afro-brasileiro
Espanha hispano-americano
Índia indo-europeu
Itália ítalo-brasileiro
c) Compostos especiais – Os adjetivos com-
postos seguintes são invariáveis: 
Azul-marinho, azul-celeste, cor-de-rosa,
furta-cor.
Veja construçoes certas e erradas:
1. Na reunião, debateram-se pesquisas
paraguaias-brasileiras. (errado)
2. Na reunião, debateram-se pesquisas
paraguaio-brasileiras. (certo)
3. As relações lusas-brasileiras ficaram
estremecidas após a Indepedência.
(errado)
4. As relações luso-brasileiras ficaram
estremecidas após a Indepedência.
(certo)
5. Questionamos aqui os conteúdos lin-
güísticos-sociológicos. (errado)
6. Questionamos aqui os conteúdos lin-
güístico-sociológicos. (certo)
7. Firmaram vários acordos nipo-brasi-
leiros de proteção ambiental. (certo)
8. As blusas cores-de-rosa são meio fe-
mininas. (errado) 
3. TAL QUAL
a) Tal – É pronome; significa semelhante,
análogo, este, aquele. Deve sempre con-
cordar com o substantivo a que se refere.
Plural: tais.
b) Tal qual – A expressão tal qual, quando
estabelece comparação entre dois seres,
tem dupla concordância: o vocábulo tal
concorda com o substantivo anterior, e
qual concorda com o substantivo poste-
rior.
b) Tal e qual – Quando o sentido é de “exata-
mente o mesmo”, pode-se usar, indiferen-
temente, “tal qual” ou “tal e qual”.
Veja construçoes certas e erradas:
1. O filho era tal qual o pai. (certo)
2. O filho era tal quais os pais. (certo)
3. Os filhos eram tais quais os pais.
(certo)
4. Os filhos eram tal qual os pais.
(errado)
5. Na família, predominava o lema: tal pai,
tais filhos. (certo)
4. POSSÍVEL
a) O mais, o menos... – Possível fica inva-
riável quando faz parte de expressão su-
perlativa com a partícula o: o mais, o me-
nos, o maior, o menor, o melhor, o pior.
b) Quanto possível – A expressão quanto
possível é invariável.
Veja construçoes certas e erradas:
1. Gosto de roupas as mais exóticas pos-
síveis. (certo)
2. Gosto de roupas o mais exóticas pos-
sível. (certo)
3. Traga cervejas tão geladas quanto pos-
síveis. (errado)
4. Traga cervejas tão geladas quanto
possível. (certo)
5. As informações obtidas sobre a moça
são as melhores possível. (errado)
Português
Professor João BATISTA Gomes
ADJETIVOS ADVERBIALIZADOS
Adjetivos adverbializados – São adjetivos usa-
dos no lugar de advérbios. Nesse caso, não po-
dem variar. Na análise sintática, exercem a fun-
ção de adjuntos adverbiais.
Advérbio em “-mente” – Geralmente, equivalem
a um advérbio em “-mente”. 
Veja a relação dos principais adjetivos que se
transformam em advérbios (derivação imprópria).
Alto Ninguém pode dormir porque eles 
riem alto a noite inteira.
Áspero Quando interrogados, responderam 
áspero. 
Baixo No hospital, a ordem é para que to-
dos falem baixo.
Barato Em Manaus, carros importados cus-
tavam barato.
Bonito Todos gostaram da apresentação; 
vocês fizeram bonito.
Caro Estão vendendo caro estes lotes.
Certo Vocês decidiram certo; estão de pa-
rabéns.
Claro Para mim, não há dúvidas. Vocês 
deixaram tudo muito claro.
Confuso Eles redigem tudo muito confuso.
Demasiado Elas comem demasiado.
Diferente Todos aqui são esquisitos, fazem as 
coisas diferente. 
Difícil Falando assim, eles acham que fa-
lam difícil.
Direito Eles são honestos; agem direito.
Disparado Eles ganharam disparado. 
Doce Aqui, vocês falam tudo doce, meio 
cantado.
Duro Devemos agir duro com esses pre-
sos.
Errado Escreveram errado estas palavras.
Escondido Agiram escondido, mas o crime veio
à tona.
Fácil Eles ganham dinheiro no jogo, por 
isso gastam fácil.
Falso As testemunhas juraram falso.
Feio Eles constroem feio, sem senso de 
perfeição.
Fino Eles falam fino, parecem afemina-
dos.
Forte Elas batem forte, mas os filhos nem
choram.
Frio Diante disso, todos suaram frio.
Fundo Essas injustiças falaram fundo den-
tro de mim.
Gostoso Falam tudo que lhes vem à mente e 
riem gostoso.
Grosso Os patrões falaram grosso, e os âni-
mos esfriaram.
Igual Tratava igual a todos os filhos. 
Leve Tocaram leve o rosto da moça, sem
intenção de agredir.
Ligeiro Agiram ligeiro, e o incêndio foi con-
trolado.
Macio Na família, todos falam macio por 
influência do avô.
Dificuldades 
da língua
6. As informações obtidas sobre a moça
são as melhores possíveis. (certo)
7. Aqui trabalhamos com pessoas o mais
capacitadas possíveis. (errado)
8. Aqui trabalhamos com pessoas o mais
capacitadas possível. (certo)
5. MONSTRO
a) Substantivo – O vocábulo monstro, usado
como substantivo (aspecto espantoso, que
causa pasmo ou assombro) é variável: o
monstro, os monstros. 
b) Adjetivo – Quando usado como adjetivo
(monstro = enorme, muito grande), é in-
variável; constitui derivação imprópria: co-
mícios monstro, manifestação monstro.
c) Monstrengo ou mostrengo? – Para nome-
ar “pessoa disforme, malproporcionada
e/ou muito feia”, a norma culta aconselha
mostrengo.
Veja construçoes certas e erradas:
1. Houve uma passeata monstra na Ave-
nida Eduardo Ribeiro. (errado)
2. Houve uma passeata monstro na Ave-
nida Eduardo Ribeiro. (certo)
3. Na época das “Diretas já”, os estudan-
tes fizeram manifestações monstras
em todo o Brasil. (errado)
4. Na época das “Diretas já”, os estudan-
tes fizeram manifestações monstro em
todo o Brasil. (certo)
5. Comícios monstros marcaram a elei-
ção de Tancredo Neves para a Presi-
dência da República. (errado)
6. Comícios monstro marcaram a elei-
ção de Tancredo Neves para a Presi-
dência da República. (certo)
7. Pelas crueldades praticadas contra os
judeus, muitos alemães foram conside-
rados monstros. (certo)
8. Com essa fantasia, você parece um
monstrengo. (errado)
9. Com essa fantasia, você parece um
mostrengo. (certo)
6. PSEUDO
Pseudo significa falso; é um radical grego
(pseudés) que entra na formação de inúme-
ras palavras de nossa língua. É palavra inva-
riável e provoca hífen diante de vogais, h, r
e s.
Vejaconstruçoes certas e erradas:
1. Com o advento do Modernismo, muitos
autores tentaram impingir ao público uma
pseuda-arte. (errado)
2. Com o advento do Modernismo, muitos
autores tentaram impingir ao público uma
pseudo-arte. (certo)
3. As pseudas-revoluções atrasam qualquer
país. (errado)
4. As pseudo-revoluções atrasam qualquer
país. (certo)
5. Na sociedade moderna, muitos têm a
pseudamania de riqueza. (errado)
6. Na sociedade moderna, muitos têm a
pseudomania de riqueza. (certo)
7. NACIONALIDADE
É comum, no preenchimento de fichas ou
formulários, deparar-se com a dúvida diante
da palavra nacionalidade: brasileira ou bra-
sileiro?
Concordância com o sexo – Pessoa do sexo
masculino deve anotar brasileiro; do sexo
feminino, brasileira. O argumento é simples:
não se pode fazer a concordância com o ter-
mo nacionalidade, mas, sim, com o sexo da
pessoa que está preenchendo a ficha ou o
formulário.
8. É BOM, É PROIBIDO, É NECESSÁRIO
a) Sujeito determinado por adjunto adno-
minal – Se o núcleo do sujeito vier deter-
minado por um adjunto adnominal (artigo,
pronome, numeral), o adjetivo predicativo
(bom, necessário, permitido, proibido)
concorda com o núcleo do sujeito (normal-
mente feminino; quando masculino, não
oferece dificuldade de concordãncia).
b) Sujeito sem determinação – Se o núcleo
do sujeito vier sem determinação, ou seja,
sem adjunto adnominal, o adjetivo predi-
cativo (bom, necessário, permitido, proi-
bido) fica no masculino.
Veja construçoes certas e erradas:
1. Não é permitido a permanência de me-
nores aqui. (errado)
2. Não é permitida a permanência de me-
nores aqui. (certo)
3. Não é permitido permanência de me-
nores aqui. (certo)
4. Nenhuma cerveja é bom para o fígado.
(errado)
5. Nenhuma cerveja é boa para o fígado.
(certo)
6. É necessário, para trabalhar com al-
coólatras, muita paciência. (errado)
7. É necessária, para trabalhar com al-
coólatras, muita paciência. (certo)
8. Toda entrada de menor, neste carna-
val, será proibida. (certo)
9. PROVA DOS NOVES
O nome dos números, quando substantiva-
dos, variam normalmente. Por isso, a expres-
são correta é “prova dos noves”. 
Veja construções certas e erradas:
1. Havia, no bloco de notas fiscais, dois onze.
(errado)
2. Havia, no bloco de notas fiscais, dois on-
zes. (certo)
3. Faça três quatro aí, que eu quero ver!
(errado)
4. Dos dois dezoitos que você desenhou, só
um foi aproveitado. (certo)
5. Este é o procedimento correto para se tirar
a prova dos noves. (certo)
10. HAJA VISTA
a) Vista – A construção correta em qualquer
situação é “haja vista” (nunca “haja visto”).
Significa “vejam-se”, “veja” ou “olhe-se
para”.
b) Hajam – A palavra vista é invariável; o ha-
ja pode ir para o plural (facultativo), desde
que a expressão que venha depois esteja
no plural.
Veja construçoes certas e erradas:
1. As aulas podem ser adiadas, haja visto
os problemas de reforma. (errado)
2. As aulas podem ser adiadas, haja vista
os problemas de reforma. (certo)
3. As aulas podem ser adiadas, hajam
vista os problemas de reforma.
(certo)
11
Caiu no vestibular
01. (FGV) Assinale a alternativa em que
NÃO ocorra erro de concordância ver-
bal ou nominal.
a) Elas mesmo decidiram resolver o pro-
blema que afligia a todos.
b) Quando ela disse “obrigado”, todos
aplaudiram.
c) Os coordenadores do projeto decidiram
ficar só.
d) Ganharam bastantes elogios da direto-
ria.
e) Havia pedido emprestado cinco pares
de meia.
02. (FGV) O primeiro elemento do adjetivo
composto não corresponde ao nome
entre parênteses em:
a) anglo-germânico (Inglaterra).
b) hispano-americano (Espanha).
c) franco-marroquino (França).
d) sino-napolitano (Sião).
e) nipo-brasileiro (Japão).
03. (FGV) A alternativa correta quanto à
concordância nominal é:
a) A empregada mesmo viu tudo.
b) Já fiz isso bastante vezes.
c) Passado a crise, voltaram.
d) As frutas chegaram meio estragadas.
e) Eles têm argumentos bastantes para
não aderir à greve.
04. (FGV) Assinale a alternativa cuja con-
cordância NÃO está de acordo com
os padrões cultos:
a) Ela está meio cansada.
b) Eles estão meio cansados.
c) Eles estão meios cansados.
d) Ele está meio cansado.
e) Ele chegou ao meio dia e meia.
05. (FGV) A concordância deixa de seguir
a norma padrão, na frase:
a) Registram-se, hoje, nas famílias mais
pobres, taxas de natalidade maiores
que a média brasileira.
b) O número de pobres cresce mais do
que as possibilidades de geração de
riqueza.
c) As condições de pobreza são perpetua-
das, num ciclo vicioso, pois não existem
postos de trabalho suficientes.
d) Muitos empregados foram beneficiados
com as mudanças nas relações traba-
lhistas, melhorando as condições de
vida.
e) Com isso, cresceu as diferenças regio-
nais entre o Sudeste e o Nordeste, re-
gião sujeita a um clima inóspito.
Desafio 
gramatical
ALVARENGA, Beatriz et al. Curso de
Física. São Paulo: Harbra, 1979, 3v.
ÁLVARES, Beatriz A. et al. Curso de
Física. São Paulo: Scipicione, 1999, vol. 3. 
BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA,
Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo:
Moderna, 1996. 
BONJORNO, José et al. Física 3: de olho
no vestibular. São Paulo: FTD, 1993.
CARRON, Wilson et al. As Faces da
Física. São Paulo: Moderna, 2002.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática:
contexto e aplicações. São Paulo: Ática,
2000. 
GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática.
São Paulo: FTD, 1995.
Grupo de Reelaboração do Ensino de
Física (GREF). Física 3: eletromagne-
tismo. 2.a ed. São Paulo: Edusp, 1998. 
PARANÁ, Djalma Nunes. Física. Série
Novo Ensino Médio. 4.a ed. São Paulo:
Ática, 2002. 
RAMALHO Jr., Francisco et alii. Os
Fundamentos da Física. 8.a ed. São
Paulo: Moderna, 2003.
TIPLER, Paul A. A Física. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Científicos, 2000, 3v.
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 3)
01. D; 
02. B; 
03. D;
04. C;
05. E;
06. D;
07. D;
08. C;
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 4)
01. C; 
02. E; 
03. B;
04. E;
05. D;
06. E;
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 5)
01. A; 
02. A; 
03. B;
04. B;
05. B;
06. C;
07. A;
DESAFIO FÍSICO (p. 6)
01. C; 
02. C; 
03. D;
04. A;
05. D;
06. B;
07. B;
DESAFIO FÍSICO (p. 7)
01. A;
02. B;
03. B;
04. A;
DESAFIO FÍSICO (p. 8)
01. C;
02. D; 
03. 995Hz;
04. C;
05. B;
DESAFIO FÍSICO (p. 9)
01. a) 100dB; 200Hz a 10000Hz;
b) 10–7W/m2
02. D; 
DESAFIO LITERÁRIO (p. 10)
01. C;
02. C;
03. B;
04. A;
Governador
Eduardo Braga
Vice-Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-Reitor
Carlos Eduardo Gonçalves
Pró-Reitor de Planejamento e Administração 
Antônio Dias Couto
Pró-Reitor de Extensão e 
Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Walmir Albuquerque
Coordenadora Geral
Munira Zacarias
Coordenador de Professores
João Batista Gomes
Coordenador de Ensino
Carlos Jennings
Coordenadora de Comunicação
Liliane Maia
Coordenador de Logística e Distribuição
Raymundo Wanderley Lasmar
Produção
Aline Susana Canto Pantoja
Renato Moraes
Projeto Gráfico – Jobast
Alberto Ribeiro
Antônio Carlos 
Aurelino Bentes
Heimar de Oliveira
Mateus Borja
Paulo Alexandre
Rafael Degelo
Tony Otani
Editoração Eletrônica
Horácio Martins
Encarte referente ao curso pré-vestibular
Aprovar da Universidade do Estado do
Amazonas. Não pode ser vendido.
Este material didático, que será distribuído nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, é
base para as aulas transmitidas diariamente (horário de Manaus), de segunda a sábado, nos seguintes meios de comunicação:
• TV Cultura (7h às 7h30); sábados: reprise às 23h Postos de distribuição:
• Amazon Sat (21h30 às 22h)
• RBN (13h às 13h30) reprise: 5h30 e 7h (satélite) • PAC São José –Alameda Cosme Ferreira – Shopping São José 
• Rádio Rio Mar (19h às 19h30) • PAC Cidade Nova – Rua Noel Nutles, 1350 – Cidade Nova I
• Rádio Seis Irmãos do São Raimundo • PAC Compensa – Av. Brasil, 1325 – Compensa
(8h às 9h e reprise de 16h às 16h30) • PAC Porto – Rua Marquês de Santa Cruz, s/n.° 
• Rádio Panorama de Itacoatiara (11h às 11h30) armazém 10 do Porto de Manaus – Centro
• Rádio Difusora de Itacoatiara (8h às 8h30) • PAC Alvorada – Rua desembargador João
• Rádio Comunitária Pedra Pintada de Itacoatiara Machado, 4922 – Planalto
(10h às 10h30) • PAC Educandos – Av. Beira Mar, s/nº – Educandos
• Rádio Santo Antônio de Borba (18h30 às 19h)
• Rádio Estação Rural de Tefé (19h às 19h30) – horário local
• Rádio Independência de Maués (6h às 6h30)
• Rádio Cultura (6h às 6h30 e reprise de 12h às 12h30)
• Centros e Núcleos da UEA (12h às 12h30)
www.uea.edu.br e www.linguativa.com.br
Endereço para correspondência: Projeto Aprovar - Reitoria da UEA - Av. Djalma Batista, 
3578 - Flores. CEP 69050-010. Manaus-AM