9-matematica_2_volume_02

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257Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
B) TeTraedro
Pirâmide de base triangular.
C) TeTraedro regular
Tetraedro cujas arestas são todas iguais.
Seção TranSverSal de Pirâmide
Interseção da pirâmide com um plano paralelo à sua 
base. É um polígono semelhante à base que divide a pirâmide 
em duas partes. A primeira é uma nova pirâmide de mesmo 
vértice V. 
Dados: 
•	 P	a	pirâmide	original;
•	 P’	a	pirâmide	obtida	pela	seção	transversal,	com	base	de	
área		A’b	(a	área	da	seção)	e	altura	h’;	então:
a) Tronco de pirâmide: é o sólido T obtido removendo da 
pirâmide	P	a	pirâmide	P’.
É um poliedro convexo com uma face que é um polígono 
convexo (a base da pirâmide) e as demais faces são triângulos 
(as faces laterais) ligando a base a um vértice V fora do plano 
da base (o vértice da pirâmide).
elemenToS da Pirâmide Com BaSe de n areSTaS
a) vértice de pirâmide – V
b) n vértices de base
c) n + 1 vértices
d) n arestas de base
e) n arestas laterais
f) 2n arestas
g) altura – distância h entre o vértice V e o plano da base.
h)	 base,	de	área	Ab 
i) n faces laterais – as faces triangulares.
j) n + 1 faces
k)	 superfície	lateral	–	união	das	faces	laterais,	de	área	lateral	A

.
l)	 superfície	total	–	união	da	superfície	lateral	com	a	base,	
de área total At: At = Ab + A
m) volume da pirâmide: 
ClaSSifiCação de PirâmideS
a) Pirâmide regular
Pirâmide cuja base é um polígono regular e cujas faces 
laterais são triângulos isósceles congruentes (a projeção orto-
gonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base). A 
altura de uma face lateral é o apótema da pirâmide.
Pirâmide
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01 De uma pirâmide regular de base quadrada sabe-se que 
a área da base é 32dm2 e que o apótema da pirâmide 
mede 6dm. Calcule:
a)	 a	aresta	da	base	(a);
b)	 o	apótema	da	base	(m);
c)	 a	altura	da	pirâmide;
d)	 a	aresta	lateral	(L);
e) a área lateral (AL);
f) A área total (At).
02 Se a altura de uma pirâmide hexagonal regular tem me-
dida	igual	a	aresta	da	base,	a,	calcule	o	seu	volume.
03 Calcule	o	volume	de	uma	pirâmide	de	12cm	de	altura,	
sendo a base um losango cujas diagonais medem 6cm e 
10cm.
04 O volume de uma pirâmide quadrangular regular é 
144m3 e a altura é o dobro da aresta da base. Calcule a 
altura dessa pirâmide. 
01 (UFG)	 A	 figura	 abaixo	 representa	 uma	 torre,	 na	 forma	
de	uma	pirâmide	regular	de	base	quadrada,	na	qual	foi	
construída	uma	plataforma,	a	60	metros	de	altura,	para-
lela	a	base.	Se	os	lados	da	base	e	da	plataforma	medem,	
respectivamente,	18	e	10	metros,	a	altura	da	torre,	em	
metros,	é:
a) 75
b) 90
c) 120
d) 135
e) 145
02 (ITA) Seja uma pirâmide de base hexagonal e altura 
10m. A que distancia do vértice devemos cortá-la por 
um plano paralelo a base de forma que o volume da pi-
râmide	obtida	seja	1/8	do	volume	da	pirâmide	original?
a) 2 m b) 4 m
c) 5 m d) 6 m
e)	 8	m
03 (UFPE) Qual o volume de um tronco de pirâmide saben-
do que suas bases são quadrados de lados 4cm e 6cm 
situados	em	planos	paralelos	cuja	distância	e	3cm?
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04 (UNIVASF) Uma pirâmide regular de base quadrada tem 
o lado da base medindo o dobro da altura e área lateral 
medindo 144 cm2.	O	volume	dessa	pirâmide,	em	cm3,	é:
a) 72 	 	 	 b)	 288
c) 576 	 	 	 d)	 864
e) 2304
05 (UFPE) Uma pirâmide regular com base quadrada ABCD 
e	vértice	V	têm	o	angulo	AVB	medindo	45º,	segundo	a	
ilustração abaixo. Qual o cosseno do angulo formado pe-
las	arestas	opostas	VA	e	VC?
a) – 1 b) – 1
c) /2 d) /2
e) 1/2
01 (ENEM)	Uma	fábrica	produz	velas	de	parafina	em	forma	
de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura 
e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 
blocos de mesma altura – 3 troncos de pirâmide de ba-
ses	paralelas	e	1	pirâmide	na	parte	superior	–,	espaçados	
de	1	cm	entre	eles,	sendo	que	a	base	superior	de	cada	
bloco	é	 igual	à	base	 inferior	do	bloco	sobreposto,	com	
uma haste de ferro passando pelo centro de cada blo-
co,	unindo-os,	conforme	a	figura.	Se	o	dono	da	fábrica	
resolver	diversificar	o	modelo,	 retirando	a	pirâmide	da	
parte	superior,	que	tem	1,5	cm	de	aresta	na	base,	mas	
mantendo	o	mesmo	molde,	quanto	ele	passará	a	gastar	
com	parafina	para	fabricar	uma	vela?
a) 156 cm3
b)	 189	cm3
c) 192 cm3
d) 216 cm3
e) 540 cm3
02 (ENEM) Um artesão construiu peças de artesanato in-
terceptando uma pirâmide de base quadrada com um 
plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que 
poderia	 obter,	 ele	 concluiu	 que	 uma	 delas	 poderia	 ter	
uma das faces pentagonal.Qual dos argumentos a seguir 
justifica	a	conclusão	do	artesão?
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e 
a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas 
arestas	laterais.	Assim,	esses	pontos	formam	um	polígono	
de 4 lados.
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangula-
res	e,	quando	um	plano	intercepta	essa	pirâmide,	divide	
cada	face	em	um	triângulo	e	um	trapézio.	Logo,	um	dos	
polígonos tem 4 lados.
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interse-
ção de uma face com um plano é um segmento de reta. 
Assim,	se	o	plano	interceptar	todas	as	faces,	o	polígono	
obtido nessa interseção tem 5 lados.
d) O número de lados de qualquer polígono obtido como 
interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao 
número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 
faces,	o	polígono	tem	5	lados.
e) O número de lados de qualquer polígono obtido inter-
ceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao nú-
mero de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide 
tem	4	arestas	laterais,	o	polígono	tem	4	lados.
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03 O	cubo	da	figura	tem	aresta	de	medida	a.	Qual	é	o	volu-
me	da	pirâmide	EABCD?
04 (UFRJ) Em um tanque no formato de um cubo de aresta 
25cm,	contendo	líquido,	foi	posta	uma	pirâmide	P1,	de	
altura	igual	a	6cm,	com	a	base	apoiada	no	fundo	do	tan-
que.	Com	isso,	o	nível	de	líquido	passou	de	18cm	para	
19cm.
a)	 Calcule	o	volume,	em	cm3,	da	pirâmide	P1.
b) A pirâmide P1 foi retirada do tanque e o nível de líquido 
voltou	ao	inicial.	Uma	pirâmide	P2	,	de	30cm	de	altura,	
foi	então	posta	no	tanque,	com	a	base	apoiada	no	fundo,	
o que elevou em 2cm o nível de líquido. Determine o 
volume da pirâmide P2.
01 A base de uma pirâmide tem 
225cm2 de área. Uma secção para-
lela	à	base,	feita	a	3cm	do	vértice,	
tem 36cm² de área. Determine a 
altura da pirâmide.
02 Calcular a medida da altura de um tetraedro regular sa-
bendo que o perímetro da base mede 9cm.
Cilindro
Dados dois círculos congruentes γ e γ’,	 de	 centros	O	 e	
O’,	em	planos	paralelos,	o	cilindro	circular	de	bases	γ e γ’	é	
formado	pelos	segmentos	PP’,	paralelos	e	congruentes	a	OO’,	
ligando as duas bases.
elemenToS do Cilindro
a) bases: de área Ab = pr
2;
b)	 raio:	raio	r	das	bases;
c)	 altura:	distância	h	entre	os	planos	das	bases;
d)	 eixo	do	cilindro:	reta	pelos	centros	das	bases;
e)	 geratriz:	segmentos	PP’,	acima,	ligando	as	duas	circunfe-
rências γ e γ’;
f)	 superfície	lateral:	união	das	geratrizes,	de	área	lateral	A

;
g)	 superfície	total:	união	da	superfície	lateral	com	as	bases,	
de área total At:
At = 2A0 + A = 2pr
2 + A

h) volume do cilindro: 
V = Ab . h = pr
2h
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d. Seção do Cilindro
Interseção do cilindro com um plano.
e) Seção meridiana
Seção contendo um diâmetro de cada base.
f) Cilindro equiláTero
Cilindro reto com h = 2r (a seção meridiana é um qua-
drado de lado 2r).
ClaSSifiCação de CilindroS
a) Cilindro reTo ou Cilindro de
 revolução
Cilindro onde as geratrizes 
são perpendiculares às bases. 
Esse cilindro pode ser obtido gi-
rando um retângulo em torno da 
reta contendo um dos seus lados 
(o eixo do cilindro).
B) Cilindro oBlíquo
Cilindro que não é reto.
C) PlanifiCação do Cilindro reTo
01 A altura de um cilindro reto vale 6cm e o raio da base 
mede 2cm. Determine a área total e o volume do cilindro.02 O volume de um cilindro equilátero vale 54pcm3. Deter-
mine o raio da base e a área total desse cilindro.
03 A secção meridiana de um cilindro equilátero tem perí-
metro	igual	a	16cm.	Determine	a	área	lateral,	a	área	total	
e o volume do cilindro.
04 (UEG)	Uma	caixa	d’água	com	capacidade	para	1.000	litros	
tem a forma de um cilindro circular reto de raio da base 
r e altura h. Aumentando o raio da base em 10% e dimi-
nuindo	a	altura	também	em	10%,	quantos	litros	caberão	
nessa	nova	caixa	d’água?
01 (UERJ) Um recipiente cilíndrico de 60cm de altura e base 
com 20cm de raio está sobre uma superfície plana hori-
zontal	 e	 contém	água	 até	 a	 altura	 de	40cm,	 conforme	
indicado	 na	 figura.	 Imergindo-se	 totalmente	 um	 bloco	
cúbico	no	recipiente,	o	nível	da	água	sobe	25%.	Consi-
derando p	igual	a	3,	a	medida,em	cm,	da	aresta	do	cubo	
colocado na água é igual a:
a) 10 b) 10
c) 10 d) 10
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02 (UFPE)	Na	figura	abaixo	os	pontos	A	e	B	estão	nos	círcu-
los	das	bases	de	um	cilindro	reto,	de	raio	da	base15/p e 
altura 12. Os pontos A e C pertencem a uma geratriz do 
cilindro e o arco BC mede 60 graus. Qual a menor distan-
cia	entre	A	e	B	medida	sobre	a	superfície	do	cilindro?
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
03 A razão entre o volume de um cubo e o volume de um 
cilindro circular reto inscrito nesse cubo e igual a:
a) 4/p b) 1/2p
c) 2/p d) 1/4p
e) 1/p
04 (FGV) Inclinando-se em 45º um copo cilíndrico reto de 
altura	15	cm	e	raio	da	base	3,6	cm,	derrama-se	parte	do	
líquido	que	completava	totalmente	o	copo,	conforme	indi-
ca	a	figura.	Admitindo-se	que	o	copo	tenha	sido	inclinado	
com	movimento	suave	em	relação	à	situação	inicial,	a	me-
nor quantidade de líquido derramada corresponde a um 
percentual do líquido contido inicialmente no copo de:
a)	 48%		 	 	 b)	 36%
c)	 28%		 	 	 d)	 24%
e)	 18%
05 (FATEC) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio 
igual	a	10	cm,	quando	cortado	por	um	plano	paralelo	ao	
eixo,	a	uma	distância	de	6	cm	desse	eixo,	apresenta	uma	
secção retangular equivalente à base. O volume desse ci-
lindro,	em	centímetros	cúbicos,	é:
a) 1250p
b) 1250p2
c)	 6,25p2
d) 625p
e) 625p2
01 (ENEM)Em	uma	padaria,	há	dois	tipos	de	forma	de	bolo,	
formas	1	e	2,	como	mostra	a	figura.	Sejam	L	o	 lado	da	
base	da	forma	quadrada,	r	o	raio	da	base	da	forma	redon-
da,	A1 e A2	as	áreas	das	bases	das	formas	1	e	2,	e	V1 e V2 os 
seus	volumes,	respectivamente.	Se	as	formas	têm	a	mesma	
altura	h,	para	que	elas	comportem	a	mesma	quantidade	
de	massa	de	bolo,	qual	é	a	relação	entre	r	e	L?
a) L = r b) L = 2r
c) L = 3r d) L = r
e) L = 
02 (ENEM) Em	uma	praça	pública,	há	uma	 fonte	que	é	
formada	por	dois	cilindros,	um	de	raio	r	e	altura	h1,	e	
outro de raio R e altura h2.	O	cilindro	do	meio	enche	e,	
após	transbordar,	começa	a	encher	o	outro.	Se	R	=	r 
e h2 = h1/3	e,	para	encher	o	cilindro	do	meio,	 foram	
necessários	30	minutos,	então,	para	se	conseguir	encher	
essa	fonte	e	o	segundo	cilindro,	de	modo	que	fique	com-
pletamente	cheio,	serão	necessários:
a) 20 minutos
b) 30 minutos
c) 40 minutos
d) 50 minutos
e) 60 minutos
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01 (PUC) A embalagem de certo produto era uma lata ci-
líndrica de 4cm de altura e 12cm de diâmetro de base. 
O fabricante substituiu essa embalagem por outra lata 
cilíndrica do mesmo material e com o mesmo volume da 
antiga. Se o diâmetro da base da nova embalagem é de 
6cm,	calcule:
a) A sua altura.
b) O percentual de economia de material na fabricação da 
nova embalagem.
02 (UFAL) Na	 figura	 abaixo	 aparecem	 duas	 vistas	 de	 um	
tanque	para	peixes,	construídas	em	uma	praça	pública.	
Suas paredes são duas superfícies cilíndricas com altura 
de	1,2	m	e	raio	da	base	com	medidas	3	m	e	4	m.	Se,	no	
momento,	a	água	no	interior	do	tanque	está	alcançando	
3/4	de	sua	altura,	quantos	litros	de	água	há	no	momento?	
(Use p = 22/7).
 
 
03 (FUVEST)	A	uma	caixa	d’água	de	forma	cúbica	com	1m	
de lado está acoplado um cano cilíndrico com 4cm de 
diâmetro	e	50m	de	 comprimento.	Num	certo	 instante,	
a caixa está cheia de água e o cano vazio. A água é solta 
pelo	cano	até	que	fique	cheio.	Qual	o	valor	aproximado	
de altura da água na caixa no instante em que o cano 
ficou	cheio?
 
04 (UFU-MG) Um “caminhão pipa” transporta álcool em 
um tanque de formato cilíndrico com 2 metros de di-
âmetro e 12 metros de comprimento. Sabendo-se que 
a	 altura	do	nível	 do	 álcool	 é	de	1,5	metros,	 conforme	
esboçado	na	figura	 	determine	o	volume,	em	litros,	do	
álcool existente no tanque. 
Cone
Dado um círculo γ,	de	centro	O	e	raio	r,	e	um	ponto	V	fora	
do plano de γ,	o	cone	circular	de	base	γ e vértice V é formado 
pelos segmentos PV ligando a base ao vértice.
elemenToS do Cone
a) base – de área Ab = pr
2.
b) raio – raio r da base.
c) altura – distância h entre o vértice e o plano da base.
d) eixo do cone: reta pelo centro da base e pelo vértice.
e)	 geratriz:	segmentos	PV,	acima,	ligando	a	circunferência	γ 
ao vértice.
f)	 superfície	lateral:	união	das	geratrizes,	de	área	lateral	A

.
g)	 superfície	total:	união	da	superfície	lateral	com	a	base,	de	
área total At:
At = Ab + A = pr
2 + A

h) volume do cone: 
ClaSSifiCação de ConeS
a) Cone reTo ou Cone de revolução
Cone cujas geratrizes são to-
das	 congruentes,	 de	 mesmo	 com-
primento g (a projeção ortogonal 
do vértice sobre o plano da base é o 
centro da base). Esse cilindro pode 
ser obtido girando um triângulo 
retângulo em torno da reta conten-
do um dos seus catetos (o eixo do 
cone).
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B) PlanifiCação do Cone reTo
C) Cone oBlíquo
Cone que não é reto.
d) Seção do Cone
Interseção do cone com um plano.
e) Seção meridiana
Seção contendo um diâmetro da base e o vértice.
f) Cone equiláTero
Cone reto onde a seção meridiana é um triângulo equi-
látero.
g = 2r e h = r
Seção TranSverSal do Cone
Interseção do cone com um plano paralelo à sua base. É 
um círculo que divide o cone em duas partes. A primeira é um 
novo cone de mesmo vértice V. Dados:
C	o	cone	original;
C’	o	 cone	obtido	pela	 secção	 transversal,	 com	base	de	
raio	r’,	área	A’b	(a	área	da	secção)	e	altura	h’;	então:
a) TronCo de Cone
É	o	sólido	T	obtido	removendo	do	cone	C	o	cone	C’.
01 Calcule a altura do cone circular 
reto cuja geratriz mede 25cm e o 
diâmetro da base mede 14cm.
02 Calcule a área da secção meridiana 
do cone equilátero cuja base tem 
área 24pcm2.
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03 Calcule a área total e o volume de um cone equilátero de 
altura medindo 30cm.
04 (UFRN) Um recipiente cônico foi projetado de acordo 
com	o	desenho	ao	lado,	no	qual	o	tronco	do	cone	foi	ob-
tido	de	um	cone	de	altura	igual	a	18cm.	Qual	o	volume	
desse	recipiente,	em	cm3?	
01 (UFPB) A prefeitura de certo município realizou um pro-
cesso de licitação para a construção de 100 cisternas de 
placas de cimento para famílias da zona rural do muni-
cípio. Esse sistema de armazenamento de água é muito 
simples,	de	baixo	custo	e	não	poluente.	A	empreiteira	ven-
cedora estipulou o preço de 40 reais por m2	construído,	
tomando por base a área externa da cisterna. O modelo 
de cisterna pedido no processo tem a forma de um cilindro 
com	uma	cobertura	em	forma	de	cone,	conforme	a	figura.
 Considerando que a construção da base das cisternas 
deve	estar	 incluída	nos	 custos,	 é	 correto	 afirmar	que	o	
valor,	em	reais,	a	ser	gasto	pela	prefeitura	na	construção	
das	100	cisternas	será	no	máximo,	de:
 (Use: p = 3,14) 
a) 100.960 b) 125.600
c)	 140.880	 	 	 d)	 202.888
e) 213.520 
02 (UNICAMP) Depois de encher de areia um molde cilín-
drico,	uma	criança	virou-o	sobre	uma	superfície	horizon-
tal.	Após	a	retirada	do	molde,	a	areia	escorreu,	formando	
um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da 
base do cilindro. A altura do cone formado pela areia era 
igual a:
 
a) 3/4 da altura do cilindro.b) 1/2 da altura do cilindro.
c)	 2/3	da	altura	do	cilindro;
d) 1/3 da altura do cilindro.
03 (EFOMM) Um cone foi formado a partir de uma chapa 
de	aço,	no	formato	de	um	setor	de	12cm	de	raio	e	ângulo	
central	de	120º.	Então,	a	altura	do	cone	é:
a) 2 b) 4
c) 6 	 	 	 	 d)	 8
e) 12
04 (UERJ)	Um	sólido	com	a	forma	de	um	cone	circular	reto,	
constituído	de	material	homogêneo,	flutua	em	um	líquido,	
conforme a ilustração.Se todas as geratrizes desse sólido 
forem	divididas	ao	meio	pelo	nível	do	líquido,	a	razão	en-
tre o volume submerso e o volume do sólido será igual a:
 
a) 1/2
b) 3/4
c) 5/6
d)	 7/8
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05 (ESPM) A terra retirada na escavação de uma piscina se-
micircular	 de	 6m	de	 raio	 e	 1,25m	de	 profundidade	 foi	
amontoada,	na	forma	de	um	cone	circular	reto,	sobre	uma	
superfície horizontal plana. Admita que a geratriz do cone 
faça um ângulo de 60º com a vertical e que a terra retirada 
tenha volume 20% maior do que o volume da piscina. 
Nessas	condições,	a	altura	do	cone,	em	metros,	é	de:
a)	 2,0
b)	 2,8
c)	 3,0
d)	 3,8
e)	 4,0
01 (ENEM) Uma empresa precisa comprar uma tampa para 
o	 seu	 reservatório,	 que	 tem	 a	 forma	 de	 um	 tronco	 de	
cone	circular	reto,	conforme	mostrado	na	figura.	Consi-
dere que a base do reservatório tenha raio r = 2 m e 
que sua lateral faça um ângulo de 60º com o solo. Se a 
altura	do	 reservatório	é	12m,	a	 tampa	a	 ser	comprada	
deverá cobrir uma área de:
a) 12pm2
b)	 108pm2
c) (12 + 2 )2pm2
d) 300pm2
e) (24 + 2 )2pm2
02 Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de 
raio da base 5cm e altura de 30cm está parcialmente 
ocupado por 625pm3 de álcool. Suponha que sobre o 
vasilhame	seja	fixado	um	funil	na	forma	de	um	cone	cir-
cular	reto	de	raio	da	base	de	5cm	e	altura	6cm,	conforme	
ilustra	a	figura	1.	O	conjunto,	como	mostra	a	figura	2,	é	
virado	para	baixo,	sendo	H	a	distância	da	superfície	do	
álcool até o fundo do vasilhame.
 Volume do cone: .
	 Considerando	essas	 informações,	qual	é	o	valor	da	dis-
tância	H?
a) 5cm
b) 7cm
c)	 8cm
d) 12cm
e)	 18cm
01 Camelier colocou uma casquinha de sorvete dentro 
de	uma	 lata	 cilíndrica	de	mesma	base,	mesmo	 raio	R	
e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do 
espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha 
de	sorvete?	
02 Calcular o volume do tronco 
de cone reto de bases parale-
las obtido pela rotação com-
pleta do trapézio retângulo 
ABCD	 da	 figura	 abaixo,	 em	
torno do lado .
03 Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírcu-
lo	de	raio	20cm.	Com	essa	cartolina,	um	menino	constrói	
um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre 
uma	mesa.	Qual	a	distância	do	bico	do	chapéu	à	mesa?	
Dica: com um semicírculo se origina um cone eqüilátero. 
04 (UFRJ) Uma ampola de vidro tem o formato de um cone 
cuja altura mede 5 cm. Quando a ampola é posta so-
bre	uma	superfície	horizontal,	a	altura	do	líquido	em	seu	
interior é de 2 cm (Figura 1). Determine a altura h do 
líquido quando a ampola é virada de cabeça para baixo 
(Figura 2).
267Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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 2A	esfera	de	centro	O	e	raio	r	é	formada	pelos	pontos	P,	
tais que PO = 0.
elemenToS da eSfera
a) raio: segmentos OP com OP = r.
b) diâmetro:	segmentos	PP’	ligando	dois	pontos	da	superfí-
cie da esfera e passando pelo seu centro.
c) área da esfera: At = 4pr
2
d) volume da esfera: 
e) calota esférica: região da superfície esférica determinada 
por uma seção da esfera.
f) grande círculo ou círculo máximo: curva determinada por 
uma seção contendo o centro da esfera.
g) pólos,	equador,	meridiano	e	paralelos.
,
Esfera
01 (UFAL) Uma esfera de raio 10cm é interceptada por um 
plano que dista 6cm de seu centro. Qual o comprimento 
da	circunferência	gerada	pela	interseção?	
02 Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem 
área de 324pcm2.
03 Calcule o volume de uma esfe-
ra inscrita em um cubo de área 
lateral igual a 64m2. 
Obs.: Considere p	=	3,14.
04 (FGV) Um observador colocado no centro de uma esfera 
de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo α	de	72º,	como	
mostra	a	figura.	Calcule	a	área	do	fuso	esférico	determi-
nado por α.
268 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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01 (UFU-MG) Bóias de sina-
lização marítima são cons-
truídas de acordo com a 
figura	abaixo,	em	que	um	
cone de raio da base e al-
tura r é sobreposto a um 
hemisfério de raio r. Au-
mentando-se	r	em	50%,	o	
volume	da	bóia	fica	multi-
plicado	por	que	fração?	
a) 9/2
b)	 8/3
c) 7/4
d) 6/5
e)	 27/8
 
02 (UFPE)	Um	triângulo	equilátero	tem	lado	18 cm e é a 
base	de	um	prisma	reto	de	altura	48	cm.	Calcule	o	raio	
da maior esfera contida neste prisma.
a)	 9cm	 	 	 	 b)	 8cm
c) 7cm d) 6cm
e) 5cm
03 (UERJ)	Na	 fotografia	 abaixo,	 observam-se	duas	bolhas	
de sabão unidas.
	 Quando	duas	bolhas	unidas	possuem	o	mesmo	tamanho,	
a	parede	de	contato	entre	elas	é	plana,	conforme	ilustra	
o esquema:
 
	 Considere	duas	bolhas	de	sabão	esféricas,	de	mesmo	raio	
R,	unidas	de	tal	modo	que	a	distância	entre	seus	centros	
A e B é igual ao raio R. A parede de contato dessas bolhas 
é um círculo cuja área tem a seguinte medida:
a) b) 
c) d) 
04 (ESPM) A superfície de uma esfera pode ser calculada 
através da fórmula 4.p.R2,	 onde	 R	 é	 o	 raio	 da	 esfera.	
Sabe-se que 3/4 da superfície do Planeta Terra são cober-
tos por água e 1/3 da superfície restante é coberto por 
desertos.	Considere	o	Planeta	Terra	esférico,	com	seu	raio	
de 6400 km e use p	igual	a	3.	A	área	dos	desertos,	em	
milhões	de	quilômetros	quadrados,	é	igual	a:
a)	 122,88
b)	 81,92
c)	 61,44
d)	 40,96
e)	 20,86
05 (EFOMM) Constrói-se	um	depósito,	na	forma	de	um	só-
lido	V,	dentro	de	uma	semiesfera	de	raio	4m.	O	depósito	
é formado por uma semiesfera de raio 1m sobreposta a 
um	cilindro	circular,	dispostos	conforme	a	figura.
	 Então	a	área	da	superfície	total	de	V,	em	m2,	é	igual	a:
a) (20 + 14 )p
b) (17 + 4 )p
c)	 (8	+	4 )p
d) (21 + 7 )p
e) (15 + 6 )p
01 (ENEM) Uma	empresa	que	fabrica	esferas	de	aço,	de	6	
cm	de	 raio,	utiliza	caixas	de	madeira,	na	 forma	de	um	
cubo,	para	transportá-las.	Sabendo	que	a	capacidade	da	
caixa	é	de	13.824	cm3,	então	o	número	máximo	de	esfe-
ras que podem ser transportadas em uma caixa é igual a:
a) 4
b)	 8
c) 16
d) 24
e) 32
269Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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02 (ENEM) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se 
próximas à linha do equador e em pontos diametralmen-
te opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Ter-
ra	igual	a	6370	km,	pode-se	afirmar	que	um	avião	saindo	
de	Quito,	voando	em	média	800	km/h,	descontando	as	
paradas	de	 escala,	 chega	 a	Cingapura	 em	aproximada-
mente:
a) 16 horas
b) 20 horas
c) 25 horas
d) 32 horas
e) 36 horas
01 (UEG) Dona Maria fez um único “brigadeirão” em forma 
de	 esfera	 para	 seus	 8	 netos.	 Para	 que	 cada	 um	ficasse	
com	a	mesma	quantidade	de	doce,	resolveu	fazer	a	divi-
são	em	8	brigadeiros	pequenos,	todos	também	em	forma	
de esferas. Que fração do raio do “brigadeirão” deverá 
ser	o	raio	da	esfera	de	cada	um	dos	8	brigadeiros?	
02 Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um ci-
lindro	circular	reto	com	altura	4r,	raio	da	base	r	e	espessu-
ra desprezível. Calcule a razão entre o volume do cilindro 
não ocupado pelas esferas e o volume das esferas. 
03 (UFRJ) Um cubo de aresta 10 cm tem os quatro vértices 
A,	B,	C	e	D	de	uma	de	suas	faces,	F,	sobre	a	superfície	de	
uma esfera S de raio r. Sabendo que a face oposta a F é 
tangente	à	esfera	S	no	ponto	P,	calcule	o	raio	r.
04 (UFRJ)	 Considere	 um	 retângulo,	 de	 altura	 y	 e	 base	 x,	
com	x	>	y,	e	dois	semicírculos	com	centros	nos	lados	do	
retângulo,	como	na	figura	abaixo.	Calcule	o	volume	do	
sólido obtido pela rotação da região sombreada em tor-
no de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos.
Teoria dos Conjuntos
reSumo da Teoria
ConjunTo
Qualquer coleção de objetos sem levar em conta a ordem 
ou cópias de um mesmo objeto. Cadaobjeto é chamado de 
um elemento do conjunto. Dizemos que os elementos perten-
cem ao conjunto e que o conjunto contém os elementos.
Notação: a ∈	A,
 a ∉	A	significa	que	a não é elemento de A.
Ex.:	 	 A	=	{0,	1},
 0 ∈ A e 1 ∈	A,	mas	2	∉ A 
	 	 B	=	{1,	2,	D,	31}
	 	 1,	2,	D,	31	∈ B 
ConjunTo vazio
O conjunto que não contém nenhum elemento.
Notação:	 {}	ou	∅
ConjunTo uniTário
Todo conjunto formado por apenas um elemento.
Ex.: A	=	{0},	B	=	{D}
ConjunTo Binário
Todo conjunto formado por apenas dois elementos.
Ex.:	 A	=	{0,	1},	B	=	{D,	 }
270 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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SuBConjunTo
Um conjunto A formado por elementos de outro con-
junto B.
Notação:
 A ⊂ B. Dizemos que A é subconjunto de B ou que A está 
contido em B.
Ex.:	 Se	A	=	{0,	1}	e	B	=	{0,	1,	2}	então	A	⊂ B.
Observação:
O	 conjunto	 vazio	 é	 subconjunto	 de	 todo	 conjunto,	 ou	
seja,	∅ ⊂ A para todo conjunto A.
diagrama de venn
Forma	gráfica	de	representar	conjuntos.
igualdade de ConjunToS
Dois conjuntos são iguais quando são formados pelos 
mesmos elementos.
Notação: A = B 
Ex.:	 	 Se	A	=	{0,	1}	e	B	=	{1,	0}	então	A	=	B.
ProPriedade da igualdade de ConjunToS
A = B se e somente se A ⊂ B e B ⊂ A.
união de ConjunToS
A união de dois conjuntos é o conjunto formado com os 
elementos de cada um dos dois conjuntos.
Notação: A ∪ B
Temos A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈	B}.
Ex.:	 Se	A	=	{0,	1}	e	B	=	{1,	2}	então	A	∪	B	=	{0,	1,	2}.
inTerSeção de ConjunToS
A interseção de dois conjuntos é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos.
Notação: A ∩ B
Temos A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈	B}.
Ex.:	 Se	A	=	{0,	1}	e	B	=	{1,	2}	então	A	∩	B	=	{1}.
ConjunToS diSjunToS
Dois conjuntos que têm interseção vazia.
diferença de ConjunToS
A diferença de dois conjuntos é o conjunto formado pe-
los elementos que pertencem ao primeiro conjunto mas que 
não pertencem ao segundo.
Notação:	 A	−	B
Temos A – B = {x | x ∈ A e x ∉	B}.
Ex.:	 Se	A	=	{0,	1}	e	B	=	{1,	2}	então	A	–	B	=	{0}.
Observação:
A	diferença	A	−	B	também	é	chamada	de	complementar	
de B em A e também é denotada por .
ConjunTo univerSo
É o conjunto do qual se pressupõe que são subconjuntos 
todos os demais conjuntos em discussão.
Notação: o conjunto universo geralmente é denotado por U.
271Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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ConjunTo ComPlemenTar
É a diferença entre o conjunto universo e o conjunto em 
questão.
Notação: . Temos = U – A. 
 = U – A
ProPriedadeS daS oPeraçõeS Com ConjunToS
a) A ∪ B = B ∪	A;	A	∩ B = B ∩ A
b) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 
 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 
c) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) 
 (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) 
d) A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) 
 A – (B ∩ C) = (A – B) ∩ (A – C) 
e) 
f) A ∪ ∅	=	A;	A	∩ ∅ = ∅
g) 
Par ordenado de oBjeToS a e b: (a, b)
(a,	b)	=	(c,	d)	⇔ a = c e b = d
ProduTo CarTeSiano:
A	x	B	=	{(a,	b)	|	a	∈ A e b ∈	B}
Ex.:	 Se	A	=	{0,	1}	e	B	=	{D,	 },	então
	 A	×	B	=	{(0,	D),	(0,	 ),	(1,	D),	(1,	 )}.
Observação:
Se	 A	 e	 B	 são	 conjuntos	 numéricos,	 ou	 seja,	 A,	 B	⊂	 R,	
então	temos	uma	representação	gráfica	de	A	x	B	⊂ R x R = R2.
Cardinalidade de ConjunTo
É	o	número	de	elementos	do	conjunto,	denotado	por	|A|.
Propriedade:
a) |A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|
b) |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| – |A ∩ B| – |A ∩ C| 
– |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
c) |A x B| = |A| . |B|
ConjunTo daS ParTeS
O conjunto das partes de um conjunto A é formado por 
todos os subconjuntos de A.
Notação: ℘(A).
Ex.: A = ∅,	℘(A) = {∅}
	 	 A	=	{0},	℘(A) = {∅,	{0}}
	 	 A	=	{0,	1},	℘(A) = {∅,	{0},	{1},	{0,	1}}
Propriedade:
a) Seja A um conjunto com n elementos.
 Então |℘(A)| = 2n.
b) A possui subconjuntos com k elementos.
 Observação:
PrinCíPio da CaSa doS PomBoS
Se	n	+	1	objetos	são	distribuídos,	no	máximo,	em	n	ca-
sas,	então	alguma	casa	recebe	pelo	menos	dois	objetos.
01 Dados	os	conjuntos	A	=	{1,	2,	{1}},	B	=	{1,	3,	∅}	e	
C	=	{3,	4,	{3,	4},	{∅}},	assinale	verdadeiro	(V)	ou	falso	
(F)	nas	afirmativas	abaixo:
( ) 1 ⊂ A ( ) 1 ∈ A
(				)	 {1}	⊂	A	 	 	 (				)	 {1}	∈ A
(				)	 {1,2}	∈	A	 	 	 (				)	 {1,2}	⊂ A
(				)	 {1,3}	∈	B	 	 	 (				)	 {1,3}	⊂ B
(				)	 {3,4}	⊂ C ( ) ∅ ∈ B
(				)	 {3,4}	∈ C ( ) ∅ ⊂ B
( ) O Conjunto das Partes de C tem 16 elementos.
(				)	 B	tem	8	subconjuntos.
02 Após	um	jantar,	foram	servidas	as	sobremesas	X	e	Y.	Sa-
be-se	que	das	10	pessoas	presentes,	5	comeram	a	sobre-
mesa	X,	7	comeram	a	sobremesa	Y	e	3	comeram	as	duas.	
Quantas	não	comeram	nenhuma	das	sobremesas?
03 Considere	três	conjuntos	A,	B	e	C,	tais	que:	n(A)	=	28,	
n(B)	=	21,	n(C)	=	20,	n(A	∩	B)	=	8,	n(B	∩	C)	=	9,	
n(A ∩ C) = 4 e n(A ∩ B ∩	C)	=	3.	Assim	sendo,	determi-
ne o valor de n((A U B) ∩ C).
04 Dos	 30	 candidatos	 a	 vagas	 em	 certa	 empresa,	 sabe-se	
que	18	são	do	sexo	masculino,	13	são	fumantes	e	7	são	
mulheres que não fumam. Quantos candidatos masculi-
nos	não	fumam?
272 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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c) 
d) 
03 (UFF) Os	conjuntos	não-vazios	M,	N	e	P	estão,	isolada-
mente,	representados	abaixo.
	 Considere	a	seguinte	figura	que	estes	conjuntos	formam:
 A região hachurada pode ser representada por:
a) M ∪ (N ∩ P) 
b) M – (N ∪ P) 
c) M ∪ (N – P)
d) N – (M ∪ P)
e) N ∪ (P ∩ M)
01 (UFF)	Os	conjuntos	S,	T	e	P	são	tais	que	todo	elemento	
de S é elemento de T ou P. O diagrama que pode repre-
sentar esses conjuntos é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
02 (UFRN) As	 figuras	 a	 seguir	 representam	 diagramas	 de	
Venn	dos	conjuntos	X,	Y	e	Z.	Marque	a	opção	em	que	a	
região	hachurada	representa	o	conjunto	Y	∩	(Z	–	X).
a) 
273Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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04 (UFF) Os muçulmanos sequer se limitam aos países de etnia 
árabe, como muitos imaginam. Por exemplo, a maior con-
centração de muçulmanos do mundo encontra-se na Indoné-
sia, que não é um país de etnia árabe.
Adaptado de Superinteressante. Ed. 169 – out. 2001.
	 Considere	T	o	conjunto	de	todas	as	pessoas	do	mundo;	
M o conjunto de todas aquelas que são muçulmanas e 
A o conjunto de todas aquelas que são árabes. Sabendo 
que	nem	toda	pessoa	que	é	muçulmana	é	árabe,	pode-se	
representar o conjunto de pessoas do mundo que não 
são muçulmanas nem árabes por:
a) T – (A ∪ M)
b) T – A
c) T – (A ∩ M)
d) (A – M) ∪ (M – A)
e) M – A
05 Num	homicídio	praticado	na	Rua	X,	a	polícia	fez	as	se-
guintes	 anotações,	 no	 boletim	 de	 ocorrência,	 sobre	 as	
pessoas encontradas no local do crime:
I.	 Havia	5	mulheres.
II. 5 pessoas usavam óculos.
III. 4 homens não usavam óculos.
IV. 2 mulheres usavam óculos.
 Considerando que todas as pessoas encontradas no local 
do	crime	são	suspeitas,	então	quantos	são	os	suspeitos?
a)	 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
01 (ENEM) Uma pesquisa foi realizada para tentar desco-
brir,	do	ponto	de	vista	das	mulheres,	qual	é	o	perfil	da	
parceira	ideal	procurada	pelo	homem	do	séc.	XXI.	Alguns	
resultados estão apresentados no quadro abaixo. Se a 
pesquisa	foi	realizada	com	300	mulheres,	então	a	quan-
tidade delas que acredita que os homens odeiam ir ao 
shopping e pensa que eles preferem que elas façam todas 
as tarefas da casa é:
a)	 inferior	a	80.
b)	 superior	a	80	e	inferior	100.
c) superior a 100 e inferior 120.
d) superior a 120 e inferior a 140.
e) superior a 140.
02 (ENEM) Numa	prova	de	matemática	de	duas	questões,	
35	alunos	acertaram	somente	uma	questão,	31	acerta-
ram	a	primeira,	8	acertaram	as	duas	e	40	erraram	a	se-
gunda	questão.	Então,	o	número	de	alunos	que	fizeram	
essa prova foi:
a) 43
b)	 48
c) 52
d) 56
e) 60
01 (UFRJ) Numa caixa roxa há 365 bolinhas roxas e numa 
caixa amarela há 412 bolinhas amarelas. Trezentas e 
onze (311) bolinhas são retiradas da caixa roxa e postas 
na	caixa	amarela,	bem	misturadas	com	as	amarelas.	Em	
seguida,	sem	olhar,	311	bolinhas	são	retiradas	da	caixa	
amarela (que agora contém bolinhas das duas cores) e 
colocadas	na	caixa	roxa.	Ao	final,	sejam	R	o	número	de	
bolinhas roxas na caixa amarela e A o número de boli-
nhas	amarelas	na	caixa	roxa.Indiquese	R	<	A,	R	=	A,	R	
>	A	ou	se	os	dados		são	insuficientes	para	uma	conclu-
são.	Justifique	sua	resposta.
02 (UFRJ) Numa	pesquisa,	feita	com	todos	os	moradores	de	
um	prédio,	constatou-se	que	mais	de	45%	são	homens	e	
que mais de 60% pintam o cabelo. Explique por que se 
pode	concluir	que,	nesse	prédio,	há	homens	que	pintam	
o cabelo.
03 (UERJ) Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar 
o	Museu	de	Ciência	 e	 o	Museu	de	História	 da	 cidade.	
Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um des-
ses museus. 20% dos que foram ao de Ciência visitaram 
o	de	História	e	25%	dos	que	foram	ao	de	História	visita-
ram também o de Ciência.
 Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus.
04 (UFRJ) Um clube oferece a seus associados aulas de três 
modalidades	de	esporte:	natação,	tênis	e	futebol.	Nenhum	
associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e fu-
tebol,	pois,	por	problemas	administrativos,	as	aulas	destes	
dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as 
inscrições,	verificou-se	que:	dos	85	inscritos	em	natação,	50	
só	farão	natação;	o	total	de	inscritos	para	as	aulas	de	tênis	
foi	de	17	e,	para	futebol,	de	38;	o	número	de	inscritos	só	
para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscri-
tos só para as de tênis. Quantos associados se inscreveram 
simultaneamente	para	aulas	de	futebol	e	natação?
274 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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reSumo da Teoria
ConjunTo doS númeroS inTeiroS
	=	{...,	–3,	–2,	–1,	0,	1,	2,	3,	...}	
ConjunTo doS númeroS naTuraiS
IN	=	{0,	1,	2,	3,	...}
diviSor (diviSão exaTa)
Dados	a,	b	∈	Z,	a	é	divisor	de	b	se	existe	k	∈	Z	tal	que	
b = ka.
Notação:
a | b (leia “a divide b”). Também dizemos que b é divisí-
vel por a e que b é múltiplo de a.
Ex.:	 3	|	6,	pois	6	=	2	.	3
7	|	35,	pois	35	=	5	.	7
Observação:
a)	 1	é	divisor	de	todo	número	b,	pois	b	=	b	.	1.
b)	 Todo	número	a	é	divisor	de	0,	pois	0	=	0	.	a.
ConjunTo doS diviSoreS
D(b)	=	{divisores	de	b}	e	D+(b)	=	{divisores	positivos	de	b}.
Ex.: D(0)	=	Z	
	 D(1)	=	{–1,	1}
	 D(2)	=	{–2,	–1,	1,	2}		 	 	 D+(2)	=	{1,	2}
	 D(3)	=	{–3,	–1,	1,	3}		 	 	 D+(3)	=	{1,	3}
	 D(4)	=	{–4,	–2,	–1,	1,	2,	4}	 	 D+(4)	=	{1,	2,	4}
	 D(5)	=	{–5,	–1,	1,	5}		 	 	 D+(5)	=	{1,	5}
	 D(6)	=	{–6,	–3,	–2,	–1,	1,	2,	3,	6}	 D+(6)	=	{1,	2,	3,	6}
ProPriedadeS doS diviSoreS
a)	 Se	a	|	b	e	b	|	c,	então	a	|	c.
b)	 Se	a	|	b,	então	a	|	bc.
c)	 Se	a	|	b	e	a	|	c,	então	a	|	(b	±	c).
d)	 Se	a	|	b	e	a	|	c,	então	a	|	(mb	+	nc).
número Primo
O	inteiro	p	>	1	é	primo,	se	seus	únicos	divisores	positivos	
são 1 e p.
Ex.:	 2,	3,	5,	7,	11,	13,	17,	19,	23	são	os	primos	iniciais.
Observação:
 Se n > 1 não é primo então n é chamado de número 
composto.
Primeira ProPriedade doS númeroS PrimoS
Todo inteiro n > 1 admite algum fator primo.
Teorema de euClideS
Existem	infinitos	números	primos.
Segunda ProPriedade doS númeroS PrimoS
Se	n	>	1	não	é	primo,	então	n	tem	divisor	primo	p	com	
p < . 
Ou	seja,	n	é	primo	caso	não	tenha	divisor	primo	menor	
ou igual a .
TerCeira ProPriedade doS númeroS PrimoS
Se p é primo e p | ab então p | a ou p | b.
faToração
Uma fatoração de a é qualquer decomposição da forma:
a = b1b2 ... bn
Os números b1,	b2,	...	,	bn são chamados de fatores.
Ex.: 36 = 2 · 3 · 6
Teorema fundamenTal da ariTméTiCa 
Dado	a	>	1,	existe	uma	única	escolha	de	primos	distintos,	
p1,	p2,	...	,	pn,	a	menos	da	ordem,	e	de	potências,	e1,	e2,	...	,	en,	
tal que:
Esta fatoração é a decomposição primária do número a.
Aplicação: O número de divisores positivos de a é dado 
por: |D+(a)| = (e1 + 1)(e2 + 1) ... (en + 1).
Ex.: 36 = 22 . 32,	D+(36)	=	{1,	2,	3,	4,	6,	9,	12,	18,	36}
 |D+(36)| = (2 + 1)(2 + 1) = 9
ProPriedade da diviSão
Dados	a,	b	∈	Z,	com	b	>	0,	existem	valores	únicos	q,	
r ∈	Z	tais	que:
a	=	qb	+	r	com	0	≤	e	<	b
A	propriedade	acima	define	a	divisão	de	a	por	b.	Chama-
mos	a	de	dividendo,	b	de	divisor,	q	de	quociente	e	r	de	resto.
a b
r q
Ex.:	 Se	a	=	37	e	b	=	5,	então	37	=	7	.	5	+	2,	q	=	7	e	r	=	2.
máximo diviSor Comum (m.d.c.)
O m.d.c. de um conjunto de números é o maior divisor 
comum de todos eles.
Notação:	 mdc(a,	b)	=	m.d.c.	de	a	e	b.
Ex.:	 	 mdc(42,	30)	=	6
	 	 mdc(320,	300)	=	20
Conjuntos Numéricos
Teoria dos Números
275Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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 2
Primeira ProPriedade do mdC
Existem	inteiros	m	e	n	tais	que	mdc(a,	b)	=	ma	+	nb.
Segunda ProPriedade do mdC:
Se	a	=	qb	+	r	então	mdc(a,	b)	=	mdc	(b,	r).
mínimo múlTiPlo Comum (m.m.c.)
O m.m.c. de um conjunto de números é o menor múlti-
plo comum positivo de todos eles.
Notação:	 mmc(a,	b)	=	m.m.c.	de	a	e	b.
Ex.:	 	 mmc(8,	6)	=	24
algoriTmo de euClideS Para CálCulo do m.d.C.
Dados	a	≥	b	>	0,	sejam	a0 = a e b0 = b. Pela Proprie-
dade	da	Divisão,	temos:
a0 = q0b0 + r0
a1 = b0;	b1 = r0;	a1 = q1b1 + r1,
e,	de	um	modo	geral,
an = bn–1;	bn = rn–1;	an = qnbn + rn.
Se rn	é	o	último	resto	positivo,	então:
mdc(a,	b)	=	rn
Ex.:	 Dados	a	=	370	e	b	=	330,
370 330 330 40 40 10
40 1 10 8 0 4
Logo,	mdc(370,	330)	=	10.
númeroS PrimoS enTre Si
Números	a	e	b	tais	que	mdc(a,	b)	=	1.
Ex.:	 14	e	15	são	primos	entre	si,	pois	mdc(14,	15)	=	1.
ProPriedadeS de númeroS PrimoS enTre Si
a)	 Se		a	|	bc		e		mdc(a,	b)	=	1,	então	a	|	c.
b)	 Se		a	|	c,		b	|	c		e	mdc(a,	b)	=	1,	então	ab	|	c.
ConjunTo doS númeroS raCionaiS
Q	=	(a	/	b	|	a,	b	∈	Z,	b	≠	o}
Ex.:	 2/5,	3/7,	5
ConjunTo doS númeroS irraCionaiS
I = R – Q
Ex.: ,	 ,	p,	e.
Propriedade:
Se	p	é	primo,	então	 é irracional.
dízima PeriódiCa
Dado	o	seguinte	número	a	em	notação	decimal,
a	=	0,a1a2a1a2a1a2... = 
onde a1,	a2 ∈	{0,	1,	2,	...,	9},	então:
De	um	modo	geral,	se	
então:
onde no denominador há n noves.
Ex.: 
 
 
módulo de um número
ProPriedadeS do módulo
a) a2 = b2 ⇔ |a| = |b|
b) |a| = |b| ⇔	a	=	±b
raiz quadrada
Dado	 a	>	0,	 denotamos	 por	 a solução positiva da 
equação x2 = a. Temos:
x2	=	a	com	a	≥	0	⇔ x = + 
Ex.: As soluções de x2 = 2 são x = + ,	mas	 > 0.
Obs: = 0
ProPriedade da raiz quadrada
	=	|a|,	a	∈ R
Exercícios
01 Calcule valor das expressões:
a) b) 
276 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
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teM
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02 O número do Castelo de Merlin é a soma dos algarismos 
do número1094	–	94.	Que	número	é	esse?
03 (UFRJ)	Um	número	natural	deixa	resto	3,	quando	dividi-
do	por	7,	e	resto	5,	quando	dividido	por	6.	Qual	o	resto	
da	divisão	desse	número	por	42?
04 (UFF-Adaptada) Com o desenvolvimento da tecno-
logia,	 novos	 dispositivos	 eletrônicos	 vêm	 substituindo	
velhos tabuleiros ou mesa de jogos. Um desses disposi-
tivos conhecido como “dado eletrônico” é um circuito 
elétrico	que,	de	forma	lógica,	executa	o	seguinte	proce-
dimento:	partindo	de	um	número	natural	N,	transforma
-o em um número natural R que corresponde ao resto 
da	divisão	de	N	por	sete;	a	seguir,	apresenta	no	visor	o	
número R como sendo o número sorteado.Ao apertar 
o	 botão	 do	 “dado	 eletrônico”,	 uma	 pessoa	 gerou	 um	
pulso correspondente ao número natural N formado 
por	 2002	 algarismos,	 todos	 iguais	 a	 1.	D	 etermine,	 o	
número R que aparecerá no visor.
01 O número 26 . 3k . 54 tem 175 divisores naturais. Qual é 
o	valor	de	k?
a) 5 b) 4
c) 3 d) 2
e) 1
02 (PUCCAMP) No esquema seguinte têm-se indicadas as 
operações	 que	 devem	 ser	 sucessivamente	 efetuadas,	 a	
partir	de	um	número	x,	a	fim	de	obter-se	como	resultado	
final	o	número	12.
 É verdade que o número x é:
a) primo. b) par.
c) divisível por 3. d) múltiplo de 7.
e) quadrado perfeito.
03	 Os	anos	bissextos	têm	366	dias,	um	a	mais	do	que	aque-
les que não são bissextos. Esse dia a mais é colocado sem-
pre	no	final	do	mês	de	fevereiro,	que,	nesses	casos,	passa	
a terminar no dia 29. Um certo ano bissexto terminou em 
uma sexta-feira. O primeiro dia do ano que o antecedeu 
caiu em uma:
a) segunda-feira. b) terça-feira.
c) quarta-feira. d) quinta-feira.
e) sexta-feira.
04 A	figura	ilustra	um	bloco	retangular	de	madeira	com	di-
mensões	12cm,	20cm	e	24cm.
 
 Queremos cortá-lo segundo planos paralelos às suas fa-
ces,	de	modo	a	obtermos	cubos	iguais,	sem	haversobra	
de material. Se os cubos obtidos devem ter as arestas 
com	a	maior	medida	possível,	quantos	cubos	obteremos	
com	esses	cortes?
a)	 48	 	 	 	 b)	 60
c)	 72	 	 	 	 d)	 86
e) 90
05 Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e 
Lua	B;	o	planeta	gira	em	torno	do	sol	e	os	satélites	em	
torno	do	planeta,	de	forma	que	os	alinhamentos:
	 Sol	–	planeta	–	Lua	A	ocorre	a	cada	18	anos	e
	 Sol	–	planeta	–	Lua	B	ocorre	a	cada	48	anos.
	 Se	hoje	ocorrer	o	alinhamento	Sol	–	planeta	–	Lua	A	–	Lua	B,	
então o fenômeno se repetirá daqui á:
a)	 48	anos	 	 	 b)	 66	anos
c) 96 anos d) 144 anos
e)	 860	anos
06	 No	sistema	de	numeração	na	base	5,	só	são	utilizados	os	
algarismos	0,	1,	2,	3	e	4.	Os	números	naturais,	normal-
mente	representados	na	base	decimal,	podem	ser	 tam-
bém escritos nessa base como mostrado:
Decimal Base 5
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 10
6 11
7 12
8 13
9 14
10 20
11 21
	 De	 acordo	 com	 esse	 padrão	 lógico,	 o	 número	 151	 na	
base	decimal,	ao	ser	representado	na	base	cinco,	corres-
ponderá a:
a) 111
b) 1011
c) 1101
d) 1110
e) 1111
277Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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07 Sejam	a	e	b	números	irracionais	quaisquer.	Das	afirmações:
I.	 a	.	b	é	um	número	irracional;
II.	 a	+	b	é	um	número	irracional;
III. (a – b) pode ser um número racional.
 Pode-se concluir que:
a) as três são falsas.
b) as três são verdadeiras.
c) somente (I) e (III) são verdadeiras.
d) somente (I) é verdadeira.
e) somente (I) e (II) são falsas.
01 (ENEM)	Para	cada	indivíduo,	a	sua	inscrição	no	Cadastro	
de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 
9	algarismos	e	outro	número	de	2	algarismos,	na	forma	
d1d2,	em	que	os	dígitos	d1	e	d2	são	denominados	dígi-
tos	verificadores.	Os	dígitos	verificadores	são	calculados,	
a	partir	da	esquerda,	da	seguinte	maneira:	os	9	primeiros	
algarismos	são	multiplicados	pela	sequencia	10,	9,	8,	7,	
6,	5,	4,	3,	2	(o	primeiro	por	10,	o	segundo	por	9,	e	assim	
sucessivamente);	em	seguida,	calcula-se	o	resto	r	da	di-
visão	da	soma	dos	resultados	das	multiplicações	por	11,	
e	se	esse	resto	r	for	0	ou	1,	d1	é	zero,	caso	contrário	d1	
=	(11	–	r).	O	dígito	d2	é	calculado	pela	mesma	regra,	na	
qual os números a serem multiplicados pela sequencia 
dada	são	contados	a	partir	do	segundo	algarismo,	sendo	
d1	o	último	algarismo,	isto	é,	d2	é	zero	se	o	resto	s	da	
divisão	por	11	das	somas	das	multiplicações	for	0	ou	1,	
caso	contrário,	d2	=	(11	–	s).
	 Suponha	que	 João	 tenha	perdido	seus	documentos,	 in-
clusive	 o	 cartão	 de	 CPF	 e,	 ao	 dar	 queixa	 da	 perda	 na	
delegacia,	não	conseguisse	lembrar	quais	eram	os	dígitos	
verificadores,	recordando-se	apenas	que	os	nove	primei-
ros	algarismos	eram	123.456.789.	Neste	caso,	os	dígitos	
verificadores	d1	e	d2	esquecidos	são,	respectivamente:
a) 0 e 9 b) 1 e 4
c) 1 e 7 d) 9 e 1
e) 0 e 1
02 (ENEM) A música e a ma-
temática se encontram na 
representação dos tempos 
das	notas	musicais,	confor-
me	 a	 figura	 seguinte.	 Um	
compasso é uma unidade 
musical composta por de-
terminada quantidade de 
notas musicais em que a 
soma das durações coinci-
de com a fração indicada 
como fórmula do compas-
so.	 Por	 exemplo,	 se	 a	 fór-
mula	 de	 compasso	 for	 	 ,	
poderia ter um compasso 
ou com duas semínimas 
ou uma mínima ou quatro 
colcheias,	sendo	possível	a	combinação	de	diferentes	fi-
guras.
	 Um	trecho	musical	de	oito	compassos,	cuja	fórmula	é		,	
poderia ser preenchido com:
a) 24 fusas.
b) 3 semínimas.
c)	 8	semínimas.
d) 24 colcheias e 12 semínimas.
e)	 16	semínimas	e	8	semicolcheias.
01 Seja a expressão 1200 . x onde x é um número natural 
não	nulo.	Qual	o	menor	valor	de	x,	de	modo	que	essa	
expressão	seja	um	cubo	perfeito	é?
02 (UENF) João	contou	os	coelhos,	os	patos	e	os	bois	que	
havia	na	sua	fazenda,	obtendo	um	total	de	340	animais.	
A	seguir,	verificou	que	o	número	de	coelhos	era	o	triplo	
do de patos e que o número de bois excedia em 20 uni-
dades o total de coelhos e patos.
a) Determine o número de patos que há na fazenda.
b)	 Suponha	que,	após	contar	os	340	animais,	João	escreva	
todos	os	números,	de	1	a	340,	lado	a	lado,	conforme	a	
representação abaixo.
123456789101112...339340.
	 Após	escrever	o	número	340,	calcule	o	total	de	algaris-
mos que ele terá escrito.
03 (UFRJ)	n	e	m	são	números	naturais,	n	=	100!	+	18	e	
m	=	50!	+	37.
a)	 Calcule	o	resto	da	divisão	de	n	por	18;
b)	 m	é	um	número	primo?	Justifique	sua	resposta.
04 (UFF)	Um	dos	textos	chineses	mais	antigos	é	o	“I-King”,	
ou livro das permutações. Nele aparece um diagrama nu-
mérico	“Io-shu”,	conhecido	como	“quadrado	mágico”.	A	
soma	dos	elementos	de	cada	linha,	de	cada	coluna	e	de	
cada diagonal é a mesma.
 Considere o quadrado mágico representado abaixo:
4 3x z
x 5 7y
4z y 6
	 Calcule	os	valores	de	x,	y	e	z.
278 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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reSumo da Teoria
valoreS lógiCoS
Verdadeiro (V ou 1) e Falso (F ou 0).
ProPoSição
Sentença	afirmativa	que	assume	um	e	apenas	um	dos	va-
lores lógicos.
 Exemplos:
a) Brasília é a capital do Brasil. (V)
b)	 O	Brasil	ganhou	a	Copa	do	Mundo	de	1998.	(F)
c) 1 + 1 = 2 (V)
d) Existe um número real x tal que x2 = 1. (F)
e) x + 1 = 2 →	Não	é	proposição,	pois	depende	da	variá-
vel x. É o que chamaremos de uma sentença aberta.
f) Cássia tem olhos castanhos. →	Também	não	é	proposição,	
é	outra	sentença	aberta,	pois	depende	da	variável	Cássia.
g)		 O	Brasil	 já	ganhou	alguma	Copa	do	Mundo?	→ Não é 
proposição,	é	uma	sentença	interrogativa.
variável ProPoSiCional
Variável que assume valores lógicos.
Ex.: A: Janeiro é o primeiro mês do ano. (V)
 B: é número racional. (F)
ConeCTivoS
Operadores	lógicos.	Veremos	cinco	deles:	negação,	disjunção,	
conjunção,	condicional	e	bicondicional.
negação: ¬a (leia “não a”)
A	definição	é	dada	através	de	sua	tabela	verdade:
A ¬A
0
1
1
0
Ex.: A: A Terra gira em torno do Sol. (V)
 ¬A: A Terra não gira em torno do Sol. (F)
 B: A Lua é feita de queijo. (F)
 ¬B: A Lua não é feita de queijo. (V)
diSjunção: a ∨ B (leia “a ou B”)
A	definição	é	dada	através	de	sua	tabela	verdade:
A B A ∨ B
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
Ex.: A: O Sol é feito de mel. (F)
 B: A Lua gira em torno da Terra. (V)
 A ∨ B: O Sol é feito de mel ou a Lua gira em torno da 
Terra. (V)
 P: 1 + 1 = 3 (F)
 Q: 1 x 1 = 2 (F)
 P ∨ Q: 1 + 1 = 3 ou 1 x 1 = 2. (F)
Conjunção: a ∧ B (leia “a e B”)
A	definição	é	dada	através	de	sua	tabela	verdade:
A B A ∧ B
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
Ex.: A: O Sol é feito de mel. (F)
 B: A Lua gira em torno da Terra. (V)
 A ∧ B: O Sol é feito de mel e a Lua gira em torno da Terra. (F)
 P: 1 + 1 = 2 (V)
 Q: 1 x 1 = 1 (V)
 P ∧ Q: 1 + 1 = 2 e 1 x 1 = 1. (V)
CondiCional: a → B (leia “Se a enTão B”)
A	definição	é	dada	através	de	sua	tabela	verdade:
A B A → B
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
0
1
Ex.: A: O Sol é feito de mel. (F)
 B: A Lua é feita de queijo. (F)
 A → B: Se o Sol é feito de mel então a Lua é feita de 
queijo. (V)
 P: não é número racional. (V)
 Q: Existe um número real x tal que x2 = –1. (F)
 P → Q: Se não é número racional então existe um 
número real x tal que x2 = –1. (F)
	 C:	 O	Brasil	ganhou	a	Copa	do	Mundo	de	1998.		(F)
 D: O Fluminense é o campeão brasileiro de 1997. (F)
 C →	D:	Se	o	Brasil	ganhou	a	Copa	do	Mundo	de	1998	
então Fluminense é o campeão brasileiro de 1997. (V)
BiCondiCional: a ↔ B (leia “a Se e SomenTe Se B”)
A	definição	é	dada	através	de	sua	tabela	verdade:
A B A ↔ B
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
1
Ex.: A: O Sol é feito de mel. (F)
 B: A Lua é feita de queijo. (F)
 A ↔ B: O Sol é feito de mel se e somente se a Lua é feita 
de queijo. (V)
 P: não é número racional. (V)
 Q: Existe um número real x tal que x2 = –1. (F)
 P ↔ Q: não é número racional se e somente se existe 
um número real x tal que x2 = 1. (F)
Introdução à Lógica
279Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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fórmula ProPoSiCional ou exPreSSão lógiCa
Fórmulas ou expressões construídas com os conectivos e 
variáveisproposicionais. Seus valores lógicos podem ser calcu-
lados através da tabela verdade.
Ex.: ¬(A ∨ B). Veja a tabela verdade a seguir:
A B A ∨ B ¬(A ∨ B)
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
1
0
0
0
As	 fórmulas	 proposicionais	 podem	 ser	 classificadas	 em	
tautologia,	contradição	ou	contingência.
TauTologia
Fórmula proposicional que só assume valor Verdadeiro 
(só	tem	1’s	na	última	coluna	da	tabela	verdade).
Ex.: a) A ∨ (¬ A) 
A ¬A A ∨ (¬A)
0
1
1
0
1
1
 b) ¬(A ∨ B) ↔ (¬A ∧ ¬B) 
A B A ∨ B ¬(A ∨ B) ¬A ¬B ¬A ∧ ¬B
¬(A ∨ B) ↔ 
(¬A ∧ ¬B)
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0
Exercício:
 Use a tabela verdade para mostrar que as expressões 
abaixo são tautologias.
¬(A ∧ B) ↔ (¬A ∨ ¬B) 
(A → B) ↔ (¬A ∨ B) 
(A → B) ↔ (¬B → ¬A)
ConTradição
Fórmula proposicional que só assume valor Falso (só tem 
0’s	na	última	coluna	da	tabela	verdade).
Ex.: A ∧ (¬A)
ConTingênCia
Fórmula proposicional que assume os valores Verdadeiro 
e	Falso	(tem	0’s	e	1’s	na	última	coluna	da	tabela	verdade).
Ex.: ¬(A ∧ B)
equivalênCia lógiCa: a ⇔ B (leia “a é logiCamenTe equivalenTe B”)
A e B são logicamente equivalentes (A ⇔ B) quando o bi–
condicional A ↔	B	for	tautologia,	i.e.,	for	sempre	Verdadeiro.
Ex.: ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B) 
Observe que na tabela verdade do exemplo “b” de Tau-
tologia,	a	última	coluna,	a	do	bicondicional,	só	apresenta	1’s.
Propriedades:
a) ¬(¬A) ⇔ A 
b) ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B) 
c) ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A ∨ ¬B) 
d) (A → B) ⇔ (¬B → ¬A) 
e) (A → B) ⇔ (¬A ∨ B) 
f) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B ) ∨ (A ∧ C) 
g) A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B ) ∧ (A ∨ C) 
imPliCação lógiCa: a ⇒ B (leia “a imPliCa logiCamenTe em B”)
A implica logicamente em B quando o condicional A → B 
for	tautologia,	i.e.,	for	sempre	Verdadeiro.
Ex.: A ⇒ A ∨ B 
Propriedades:
a) A ∧ B ⇒ A 
b) A ⇒ A ∨ B 
c) (A → B) ∧ A ⇒ B
d) (A → B) ∧ ¬B ⇒ ¬A
e) (A → B) ∧ (B → C) ⇒ (A → C)
SenTença aBerTa
Sentença afirmativa que depende de uma ou mais 
variáveis.
Ex.: A(x): x + 1 = 2 Depende da variável x.
 Cássia tem olhos castanhos. Depende da variável Cássia.
quanTifiCadoreS
Conectivos que transformam sentenças abertas em pro-
posições.
quanTifiCador exiSTenCial: ∃ x a(x) (leia “exiSTe algum valor de x Tal que a(x)”)
∃ x A(x) é Verdadeiro se existe algum valor c do conjunto 
universo U da variável x que torna a expressão A(c) Verdadeira. 
Caso	contrário,	∃ x A(x) é Falso.
Ex.:	 A(x):	x	+	1	=	2,	U	=	R.
 ∃	x	A(x)	é	Verdadeiro,	pois	A(1)	é	Verdadeiro	já	que	
1 + 1 = 2.
 A(x): x2	+	1	=	0,	U	=	R.
 ∃	x	A(x)	é	Falso,	pois	não	existe	nenhum	número	real	x	tal	
que x2	=	−1,	ou	seja,	x2 + 1 = 0.
 A(x): x2	+	1	=	0,	U	=	C.
 ∃	x	A(x)	é	Verdadeiro,	pois	A(i)	é	Verdadeiro	já	que	
i2	=	−1,	ou	seja,	i2 + 1 = 0.
 “Existe uma mulher chamada Cássia que tem olhos cas-
tanhos”.	É	uma	proposição	Verdadeira,	pois	existe	pelo	
menos uma Cássia que tem olhos castanhos.
quanTifiCador univerSal: ∀ x a(x) (leia “Para Todo valor de x, a(x)”)
∀ x A(x) é Verdadeiro quando para todo valor c do con-
junto	universo	U	da	variável	x,	a	expressão	A(c)	é	Verdadeira.	
Caso	contrário,	∀ x A(x) é Falso.
Ex.:	 A(x):	x	+	1	=	2,	U	=	R.
 ∀	x	A(x)	é	Falso,	pois	A(0)	é	Falso	já	que	0	+	1	≠	2.
 A(x): x2	+	1	>	0,	U	=	R.
 ∀	x	A(x)	é	Verdadeiro,	pois	x2 + 1 > 0 para todo número 
real x.
280 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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 “Toda mulher chamada Cássia têm olhos castanhos”. É 
uma	 proposição	 Falsa,	 pois	 nem	 todas	 as	 Cássias	 têm	
olhos castanhos.
negação doS qquanTifiCadoreS
¬(∃ x A(x)) ⇔ ∀ x (¬A(x))
¬(∀ x A(x)) ⇔ ∃ x (¬A(x)) 
Ex.:	 a)	 A(x):	x	+	1	=	2,	U	=	R.
 ¬(∃ x A(x)): ∀	x	(x	+	1	≠	2).
 b) A(x): x2	+	1	>	0,	U	=	C.
 ¬(∀ x A(x)): ∃ x (x2	+	1	≤	0).
 c) A negação de:
 “Existe uma mulher chamada Cássia que tem olhos casta-
nhos” é
 “Toda mulher chamada Cássia não têm olhos castanhos”.
 d) A negação de:
 “Toda mulher chamada Joana têm olhos castanhos” é
 “Existe alguma mulher chamada Joana que não tem 
olhos castanhos”.
01 De	a	negação	das	afirmações:
a) “pelo menos um brasileiro gosta de futebol” 
b) “Todos os caminhos levam a Roma”
02 Numa cidade litorânea é rigorosamente obedecida a se-
guinte	ordem	do	prefeito:	“Se	não	chover,	então	todos	os	
bares à beira-mar deverão ser abertos”. 
	 Dê	a	contrapositiva	dessa	frase.,
03 Talvez	a	mais	famosa	frase	de	Descartes	“Penso,	logo	exis-
to” é logicamente equivalente a:
a) penso e existo.
b)	 nem	penso,	nem	existe.
c) não penso ou existo.
d) penso ou não existo.
e)	 existo,	logo	penso.
04 Qual é o número mínimo de pessoas que devemos ter 
numa festa pata que possamos garantir que 5 pessoas 
irão	fazer	aniversário	no	mesmo	mês?
01 A negação da proposição: “Pedro fala inglês e francês” é: 
a)	 “Pedro	fala	inglês	ou	fala	francês”;	
b)	 “Pedro	não	fala	inglês	e	fala	francês”;	
c)	 “Pedro	não	fala	inglês	ou	fala	francês”;	
d)	 “Pedro	não	fala	inglês	e	não	fala	francês”;	
e) “Pedro não fala inglês ou não fala francês”. 
02 A	negação	de	 “se	 hoje	 é	 segunda-feira,	 então	 amanhã	
não choverá” é: 
a)	 hoje	não	é	segunda-feira	e	amanhã	choverá;	
b)	 hoje	é	segunda-feira	e	amanhã	choverá;	
c) hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá 
d)	 hoje	não	é	segunda-feira	ou	amanhã	choverá;	
e)	 se	hoje	é	segunda-feira,	então	amanhã	choverá.
03 Dizer que “Carlos planta soja ou Ana não planta algodão” 
é logicamente equivalente a dizer:
a)	 Se	Carlos	planta	soja,	então	Ana	não	planta	algodão.
b)	 Se	Carlos	não	planta	soja,	então	Ana	planta	algodão.
c)	 Se	Ana	planta	algodão,	então	Carlos	planta	soja.
d)	 Se	Ana	planta	algodão,	então	Carlos	não	planta	soja.
e) Carlos não planta soja e Ana não planta algodão.
04 Em	uma	roda	de	amigos,	Jorge,	Edson	e	Geraldo	conta-
ram fatos sobre suas namoradas. Sabe-se que o Jorge e 
Edson	mentiram	e	que	Geraldo	falou	a	verdade.	Assinale	
qual das proposições abaixo é verdadeira:
a)	 Se	Geraldo	mentiu	então	Jorge	falou	a	verdade.
b)	 Edson	falou	a	verdade	e	Geraldo	mentiu.
c) Se Edson mentiu então Jorge falou a verdade.
d)	 Jorge	falou	a	verdade	ou	Geraldo	mentiu.
e) Edson mentiu e Jorge falou a verdade.
05 (INEP) A negação de “Todos os caminhos levam a Roma” é:
a) “Todos os caminhos não levam à Roma”.
b) “Nenhum caminho leva à Roma”
c) “Pelo menos um caminho leva à Roma”
d) “Pelo menos um caminho não leva à Roma”.
e) “Não há caminhos para Roma”
06 (Gestor MT) A contra-positiva da proposição “Se beber 
não dirija” é:
a)	 Se	dirigir,	não	beba.	 	 b)	 Se	não	beber,	dirija.
c)	 Se	não	dirigir,	beba.	 	 d)	 Se	beber,	dirija.
e)	 Se	não	dirigir,	não	beba.
01 Na	porta	de	minha	casa	passam	dois	ônibus,	um	A	e	ou-
tro	B.	Um	deles	passa	pelo	Ministério	da	Fazenda;	o	outro	
não.	Na	casa	ao	lado	da	minha,	moram	dois	irmãos.	Um	
só	diz	a	verdade,	outro	só	diz	mentira.	Ao	indagar	sobre	
qual	ônibus	tomar	para	chegar	ao	Ministério	da	Fazenda,	
um	dos	 irmãos	me	disse	“Se	meu	 irmão	estivesse	aqui,	
mandaria você tomar o ônibus A”.
	 Que	ônibus	devo	tomar?
02 Numa	escola,	ao	longo	de	um	corredor	comprido,	estão	
enfileirados	100	armários,	numerados	consecutivamente	
de	1	a	100,	 com	suas	portas	 fechadas.	Cem	alunos	da	
escola,	também	numerados	de	1	a	100,	resolvem	fazer	a	
seguinte brincadeira:
 O aluno número 1 passa pelo corredor e abre todos os 
armários;	 em	 seguida	o	 aluno	número	2	passa	 e	 fecha	
281Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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01 Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que 
certas operações aritméticas não eram fechadas dentro 
dos	conjuntos	em	que	eram	realizadas.	Assim,	por	exem-
plo,	o	conjunto	dos	números	inteiros	surgiu	como	exten-
são do conjunto dos números naturais. Embora a adição 
de dois números naturais resulte sempre em um número 
natural (a adição é fechada no conjunto dos números na-
turais),	a	subtração	não	é	(a	subtração	de	dois	números	
naturais nem sempre resulta em um número natural).
	 Assinale	a	afirmação	verdadeira:
a) Os números naturais são fechados em relação à divisão.
b) Os números inteiros são fechados em relação à adição.
c) Os números inteiros são fechados em relação àdivisão.
d) A adição de dois números irracionais sempre resulta em 
um número irracional.
e) A subtração de dois números irracionais sempre resulta 
em um número irracional. 
02 O croqui abaixo mostra um mapa que fornece as indica-
ções para se chegar à chácara nele indicada.
	 Luciana,	 para	 chegar	 à	 chácara,	 após	 fazer	 o	 retorno,	
deve:
a)	 virar	à	direita,	virar	à	esquerda,	entrar	na	rua	3.
b)	 virar	à	direita,	virar	à	esquerda,	entrar	na	rua	4.
c)	 virar	à	esquerda,	virar	à	direita,	entrar	na
d)	 virar	a	esquerda,	virar	a	esquerda,	entrar	na	rua	4
03 As	distancias	entre	as	estrelas,	os	planetas	e	os	satélites	
são muito grandes. Como o quilometro não e uma unida-
de	adequada	para	medir	essas	distancias,	criou-se	a	uni-
dade “ano-luz”. O ano-luz e a distancia que a luz percorre 
em um ano. Considerando que a luz se desloca no vácuo 
a	cerca	de	300	mil	quilômetros	por	segundo,	o	ano-luz	
equivale a aproximadamente 9 trilhões e 500 bilhões de 
quilômetros.
 Usando potências de base 10 podemos escrever: 
a) 1 ano-luz = 95 × 109 km
b) 1 ano-luz = 95 × 1010 km
c) 1 ano-luz = 95 × 1011 km
d) 1 ano-luz = 95 × 1012 km
e) 1 ano-luz = 95 x 108 km
04 No planeta POT o número de horas por dia é igual a 
número	de	dias	por	semana,	que	é	igual	ao	número	de	
semanas	por	mês,	que	é	igual	ao	número	de	meses	por	
ano.	Sabendo	que	em	POT	há	4096	horas	por	ano,	quan-
tas	semanas	há	num	mês?
a)	 8	 	 	 	 b)	 12
c)	 64	 	 	 	 d)	 128
e) 256
05 No	fim	de	1994,	Neto	tinha	a	metade	da	idade	de	sua	
avó.	A	soma	dos	anos	de	nascimento	dos	dois	é	3844.	
Quantos	anos	Neto	completa	em	2006?
a) 55 b) 56
c) 60 d) 62
e)	 108
06 Seis	amigos	planejam	viajar	e	decidem	fazê-lo	em	duplas,	
cada	 uma	 utilizando	 um	meio	 de	 transporte	 diferente,	
dentre	os	seguintes:	avião,	trem	e	carro.	Alexandre	acom-
panha Bento. André viaja de avião. Carlos não acom-
panha Dário nem faz uso do avião. Tomás não anda de 
trem.	Qual	das	afirmações	a	seguir	é	correta?
a) Bento vai de carro e Carlos vai de avião.
b) Dário vai de trem e André vai de carro.
c) Tomás vai de trem e Bento vai de avião.
d) Alexandre vai de trem e Tomás vai de carro.
e) André vai de trem e Alexandre vai de carro.
07 O máximo divisor comum de todos os termos da seqüên-
cia an = n
3	–	n,	n	=	1,	2,	3,	...	é:
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5
e) 6
08 Sobre	uma	mesa	estão	três	caixas	e	três	objetos,	cada	um	
em	uma	caixa	diferente:	uma	moeda,	um	grampo	e	uma	
borracha. Sabe-se que:
•	 A	caixa	verde	está	à	esquerda	da	caixa	azul;
•	 A	moeda	está	à	esquerda	da	borracha;
•	 A	caixa	vermelha	está	à	direita	do	grampo;
•	 A	borracha	está	à	direita	da	caixa	vermelha.
	 Em	que	caixa	está	a	moeda?
a) Na caixa vermelha. 
b) Na caixa verde. 
c) Na caixa azul.
d)	 As	 informações	 fornecidas	 são	 insuficientes	para	 se	dar	
uma resposta.
e) As informações fornecidas são contraditórias.
todos	os	armários	de	número	par;	depois	passa	o	aluno	
número 3 e inverte a posição das portas de todos os ar-
mários	“múltiplos	de	três”	isto	é,	ele	os	fecha	se	estive-
rem	abertos	e	os	abre	se	estiverem	fechados;	depois,	é	
a vez do número 4 que inverte a posição das portas dos 
armários	“múltiplos	de	4”,	e	assim	sucessivamente.	Após	
a	passagem	dos	100	alunos,	qual	será	o	armário	de	maior	
número	que	estará	fechado?
	 Dá	para	ter	uma	ideia	por	onde	começar?
282 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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09 Esmeralda	escreveu	(corretamente!)	todos	os	números	de	
1	a	999,	um	atrás	do	outro:
12345678910111213…	997998999
						Quantas	vezes	aparece	o	agrupamento	“21”,	nesta	ordem?
a) 11
b) 21
c) 31
d) 41
e) 51
10 Uma	certa	máquina	tem	um	visor,	onde	aparece	um	nú-
mero	 inteiro	 x,	 e	 duas	 teclas	A	 e	 B.	Quando	 se	 aperta	
a tecla A o número do visor é substituído por 2x + 1. 
Quando se aperta a tecla B o número do visor é substitu-
ído por 3x – 1.
	 Se	no	visor	está	o	número	5,	apertando	alguma	seqüên-
cia	das	teclas	A	e	B,	o	maior	número	de	dois	algarismos	
que se pode obter é:
a)	 85
b)	 87
c) 92
d) 95
e) 96
11 Considere	a	seqüência	oscilante:	1,	2,	3,	4,	5,	4,	3,	2,	1,	
2,	3,	4,	5,	4,	3,	2,	1,	2,	3,	4,	…
 O 2003o termo desta seqüência é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
12 Imagine uma pilha com cem milhões de folhas de papel 
sulfite,	cada	uma	com	0,1	milímetro	de	espessura.	Assi-
nale a alternativa mais próxima da altura da pilha.
a) a sua altura.
b)	 o	 comprimento	 do	 maior	 animal	 do	 mundo,	 a	 baleia	
azul,	que	é	cerca	de	29	metros.
c)	 a	 altura	 do	 edifício	 mais	 alto	 do	 mundo,	 o	 Petronas	
Tower,	que	tem	88	andares.
d)	 a	altura	do	pico	mais	alto	do	mundo,	o	Monte	Everest,	
que	é	8848	metros.
e)	 a	distância	do	planeta	Terra	à	Lua,	que	é	muito	maior	que	
todas as alternativas anteriores.
13 A diferença entre os quadrados de dois números inteiros 
positivos consecutivos é sempre:
a) um número primo. 
b) um múltiplo de 3. 
c) igual à soma desses números.
d) um número par.
e) um quadrado perfeito.
14 Durante sua viagem ao país das Maravilhas a altura de 
Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da seguinte 
forma: primeiro ela tomou um gole de um líquido que 
estava	numa	garrafa	em	cujo	rótulo	se	lia:	“beba-me	e	fi-
que	25%	mais	alta”.	A	seguir,	comeu	um	pedaço	de	uma	
torta	onde	estava	escrito:	“prove-me	e	fique	10%	mais	
baixa”;	 logo	 após	 tomou	um	gole	 do	 líquido	de	 outra	
garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: “beba-me e 
fique	10%	mais	alta”.	Finalmente,	comeu	um	pedaço	de	
outra	torta	na	qual	estava	escrito:”prove-me	e	fique	20%	
mais	baixa”.	Após	a	viagem	de	Alice,	podemos	afirmar	
que ela:
a)	 ficou	1%	mais	baixa.
b)	 ficou	1%	mais	alta.
c)	 ficou	5%	mais	baixa.
d)	 ficou	5%	mais	alta.
e)	 ficou	10%	mais	alta.
15 Se é a fração irredutível equivalente a o valor 
de p + q é igual a: 
a)	 38
b) 39
c) 40
d) 41
e) 42
16 Representamos	por	n!	o	produto	de	todos	os	inteiros	po-
sitivos	de	1	a	n.	Por	exemplo,	5!	=	1	x	2	x	3	x	4	x	5.	
Calculando	a	soma	1!	+	2!	+	3!	+	...	+	2010!	+	2011!,	
qual	é	o	algarismo	das	unidades	do	resultado	obtido?
a) 1
b) 3
c) 4
d) 7
e) 9
17 O número n = 9999...99 tem 2011 algarismos e todos 
iguais a 9. Quantos algarismos 9 tem o número n2?
a) nenhum
b) 11
c) 2010
d) 2011
e) 4022
18 Na expressão ,	letras	diferentes	represen-
tam dígitos diferentes e letras iguais representam dígitos 
iguais.	Qual	é	o	maior	valor	possível	desta	expressão?	
a)	 38
b) 96
c)	 108
d) 576
e)	 648
19 Para homenagear a Copa do Mundo e as Olimpíadas no 
Brasil,	Esmeralda,	a	prefeita	da	cidade	Gugulândia,	de-
cidiu que seria feriado em sua cidade no dia x do mês 
de	número	y,	onde	x	é	o	último	algarismo	do	número	
20162014	e	y	é	o	 resto	de	20142016 na divisão por 11. 
Assim,	esse	feriado	será	no	dia:
283Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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a)	 8	de	março.
b) 6 de janeiro.
c) 4 de janeiro.
d) 6 de abril.
e) 6 de março.
 Observação:
 O mês de janeiro corresponde ao mês de número 1 e 
assim por diante.
20 Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida 
de	raio	da	base	5	cm,	altura	20	cm	e	contém	água	até	
a altura de 19 cm (despreze a espessura das paredes do 
vaso). Assinale a alternativa na qual consta o maior nú-
mero	de	esferas	de	aço,	de	1	cm	de	raio	cada,	que	pode-
mos	colocar	no	vaso	a	fim	de	que	a	água	não	transborde.
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e)	 18
21 Considere um cone circular reto e um cilindro circu-
lar	reto,	ambos	com	diâmetro	da	base	 igual	a	12	cm	e	
também	uma	esfera	com	diâmetro	de	12	cm,	todos	com	
volumes iguais. A altura do cone e a altura do cilindro 
devem ser respectivamente iguais a:
a) 12 cm e 4 cm
b) 30 cm e 10 cm
c)	 24	cm	e	8	cm
d) 9 cm e 3 cm
e)	 18	cm	e	6	cm
22 Uma esfera maciça de ferro de raio 10 cm será fundida e 
todo o material derretido será usado na confecção de um 
cilindro	 circular	 e	 de	 um	 cone	 circular	 ambos,	maciços	
com raio da base r cm e altura também r cm. Não haven-
do	perda	de	material	durante	o	processo,	r	será	igual	a:
a) 4 cm 
b)	 8	cm
c) 5 cm 
d) 10 cm
23 Derretendo uma peça maciça de ouro de forma esféri-ca,	quantas	peças	da	mesma	forma	se	pode	confeccionar	
com	este	ouro,	se	o	raio	das	novas	peças	é	um	terço	do	
raio	da	anterior?	Admita	que	não	houve	perda	de	ouro	
durante o derretimento.
a) 3
b) 9
c)	 18
d) 21
e) 27
24 (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de 
vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de 
papel retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram 
as	figuras	abaixo).	Unindo	dois	lados	opostos	do	cartão,	
de	duas	maneiras,	a	artesã	forma	cilindros	e,	em	seguida,	
os	preenche	completamente	com	parafina.
 Supondo-se que o custo da vela seja diretamente propor-
cional	ao	volume	de	parafina	empregado,	o	custo	da	vela	
do	tipo	I,	em	relação	ao	custo	da	vela	do	tipo	II,	será:
a) o triplo.
b) o dobro.
c) igual.
d) a metade.
e) a terça parte.
25 (ENEM) Antes	de	uma	eleição	para	prefeito,	 certo	 ins-
tituto realizou uma pesquisa em que foi consultado um 
número	significativo	de	eleitores,	dos	quais	36%	respon-
deram	que	iriam	votar	no	candidato	X;	33%,	no	candida-
to	Y	e	31%,	no	candidato	Z.	A	margem	de	erro	estimada	
para cada um desses valores é de 3% para mais ou para 
menos.	Os	técnicos	do	instituto	concluíram	que,	se	con-
firmado	o	resultado	da	pesquisa:
a)	 apenas	o	candidato	X	poderia	vencer	e,	nesse	caso,	teria	
39% do total de votos.
b)	 apenas	os	candidatos	X	e	Y	teriam	chances	de	vencer.
c)	 o	candidato	Y	poderia	vencer	com	uma	diferença	de	até	
5%	sobre	X.
d)	 o	candidato	Z	poderia	vencer	com	uma	diferença	de,	no	
máximo,	1%	sobre	X.
e)	 o	candidato	Z	poderia	vencer	com	uma	diferença	de	até	
5%	sobre	o	candidato	Y.
26 Uma	metalúrgica	recebeu	uma	encomenda	para	fabricar,	
em	grande	quantidade,	uma	peça	com	o	formato	de	um	
prisma	reto	com	base	triangular,	cujas	dimensões	da	base	
são	6	cm,	8	cm	e	10	cm	e	cuja	altura	e	10	cm.	Tal	peça	
deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na for-
ma de um cilindro circular reto seja tangente as suas faces 
laterais,	conforme	mostra	a	figura.	O	raio	da	perfuração	
da peça e igual a:
a) 1 cm. 
b) 2 cm. 
c) 3 cm.
d) 4 cm. 
e) 5 cm.
284 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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27 Em	um	casamento,	os	donos	da	festa	serviam	champa-
nhe aos seus convidados em taças com formato de um 
hemisfério	 (Figura	 1),	 porém	 um	 acidente	 na	 cozinha	
culminou na quebra de grande parte desses recipientes. 
Para	substituir	as	taças	quebradas,	utilizou-se	outro	tipo	
com	formato	de	cone	(Figura	2).	No	entanto,	os	noivos	
solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos 
de taças fosse igual.
 Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e servi-
da	completamente	cheia,	a	altura	do	volume	de	champa-
nhe	que	deve	ser	colocado	na	outra	taça,	em	centímetros,	
é de:
a)	 1,33.	
b)	 6,00.
c)	 12,00.
d)	 56,52.
e)	 113,04.
28 Um	artista	plástico	construiu,	certa	quantidade	de	massa	
modeladora,	um	cilindro	circular	 reto	cujo	diâmetro	da	
base mede 24cm e cuja altura mede 15cm. Antes que a 
massa	 secasse,	 ele	 resolveu	 transformar	 aquele	 cilindro	
em uma esfera. Volume da esfera = . Analisando 
as	características	das	figuras	geométricas	envolvidas,	con-
clui-se que o raio R da esfera assim construída é igual a:
a) 15 b) 12
c) 24 d) 3
e) 6
29 Simplificando	a	expressão:
 Mostre que esse numero é natural.
30 Os números de 1 a 99 são escritos lado a lado: 
123456789101112...9899.	Então	aplicamos	a	seguinte	
operação: apagamos os algarismos que aparecem nas 
posições	pares,	obtendo	13579012...89.	Repetindo	essa	
operação	mais	4	vezes,	quantos	algarismos	irão	sobrar?
31 Uma caixa cúbica foi dividida em duas partes por um 
plano que contém duas diagonais de faces opostas da 
caixa.	Uma	das	partes	acomoda,	sem	folga,	uma	lata	com	
a	 forma	 de	 um	 cilindro	 circular	 reto,	 conforme	 ilustra-
do. Desprezando as espessuras dos materiais utilizados 
na	 lata,	na	caixa	e	na	divisória,	calcule	a	razão	entre	o	
volume do cilindro e o da caixa.
32 Um	artesão	 retirou,	de	uma	pedra	 com	a	 forma	 inicial	
de	um	prisma	triangular	reto	de	base	EBD,	um	tetraedro	
regular	VABC.	Observe	a	figura	abaixo:
 Considere os seguintes dados:
•	 os	vértices	A	e	V	pertencem	a	duas	faces	laterais	do	prisma;
•	 BD	=	BE	=	BC	=	1	m.
 Determine o volume inicial da pedra.
33 Uma	cuba	de	superfície	semi-esférica,	com	diâmetro	de	
8	cm,	está	fixada	sobre	uma	mesa	plana.	Uma	bola	de	
gude	de	forma	esférica,	com	raio	igual	a	1	cm,	encontra-
se sob essa cuba. Desprezando a espessura do material 
usado	para	fabricar	a	cuba,	determine:
a)	 a	maior	área,	em	cm2,	pela	qual	a	bola	de	gude	poderá	
se	deslocar	na	superfície	da	mesa;
b)	 o	volume,	em	cm3,	da	maior	esfera	que	poderia	ser	co-
locada embaixo dessa cuba.
34 Um	cilindro	circular	reto	é	inscrito	em	um	cone,	de	modo	
que	os	eixos	desses	dois	sólidos	sejam	colineares,	confor-
me representado na ilustração abaixo. A altura do cone e 
o	diâmetro	da	sua	base	medem,	cada	um,	12cm.	Admita	
que	as	medidas,	em	centímetros,	da	altura	e	do	raio	do	
cilindro	variem	no	intervalo	]0,	12[	de	modo	que	ele	per-
maneça inscrito nesse cone.
285Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
te
M
á
ti
ca
 2
 Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para 
que sua área lateral seja máxima.
35 (FUVEST) Um cálice com a 
forma de cone contém V cm3 
de uma bebida. Uma cereja de 
forma esférica com diâmetro 
de 2cm é colocada dentro do 
cálice. Supondo-se que a cere-
ja repousa apoiada nas laterais 
do cálice e o líquido recobre 
exatamente a cereja a uma al-
tura de 4cm a partir do vértice 
do	 cone,	 determinar	 o	 valor	
de V.
36 O	número	1000…02	tem	20	zeros.	Qual	é	a	soma	dos	
algarismos do número que obtemos como quociente 
quando	dividimos	esse	número	por	3?	
37
 Três	amigas	foram	para	uma	festa	com	vestidos	azul,	pre-
to	e	branco,	respectivamente.	Seus	pares	de	sapato	apre-
sentavam	essas	mesmas	três	cores,	mas	somente	Ana	usa-
va vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem 
os sapatos de Júlia eram brancos. Marisa usava sapatos 
azuis. Descreva a cor do vestido de cada uma das moças.
38 Qual	é	a	soma	dos	algarismos	do	número	a	seguir?
39 (UNICAMP)	Dado	um	cubo	de	aresta	L,	qual	é	o	volume	
do octaedro cujos vértices são os centros das faces do 
cubo?
40 (FUVEST) Na	figura	abaixo,	ABCD	é	um	tetraedro	regular	
de	 lado	a.	Sejam	E	e	F	os	pontos	médios	de	AB	e	CD,	
respectivamente.	Então,	o	valor	de	EF	é:
41 (VUNESP) A	figura	representa	uma	pirâmide	com	vértice	
num ponto E. A base é um retângulo ABCD e a face EAB 
é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. 
A pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo à 
base,	na	altura	H.	Esse	plano	divide	a	pirâmide	em	dois	
sólidos:	uma	pirâmide	EA’B’C’D’	e	um	tronco	de	pirâmi-
de	de	altura	H.	Sabendo-se	que	H	=	4cm,	AB	=	6cm,	
BC	=	3cm	e	a	altura	h	=	AE	=	6cm,	determine:
a)	 o	volume	da	pirâmide	EA’B’C’D’;
b) o volume do tronco de pirâmide.
módulo 09
exerCíCioS de fixação
01 a) b) 
 c) d) 
 e) f) 
02 03 120cm3
04 h = 12cm
queSTõeS oBjeTivaS
01 Letra A.
02 Letra C.
03 76cm3
04 Letra B.
05 Letra A.
queSTõeS enem
01 Letra B.
02 Letra C.
286 Volume 02 • 3ª Série • Pré-Vestibular
M
a
teM
á
tica 2
queSTõeS diSCurSivaS
01	 7,5cm		 	 	 02 
03 a3/3
04 a) 625cm3 b)	16875/13	cm3
módulo 10
exerCíCioS de fixação
01 24pcm3
02	 R	=	3cm;	AT = 54pcm
2
03 Al = 16pcm
2,	AT = 24pcm
2,	V	-=	16pcm3
04	 1089	litros
queSTõeS oBjeTivaS
01 Letra C. 02 Letra D.
03 Letra A. 04 Letra D.
05 Letra E.
queSTõeS enem
01 Letra D. 02 Letra C.
queSTõeS diSCurSivaS
01 a) 16cm b) 5%
02	 19800	litros
03 Aproximadamente 94 cm.0
04	 (8000p + 3000 ) litros
módulo 11
exerCíCioS de fixação
01 24cm 02 24 cm2
03 AT = 900pcm
2,	V	=	3000pcm3
04	 208pcm3
queSTõeS oBjeTivaS
01 Letra E. 02 Letra A.
03 Letra D. 04 Letra D.
05 Letra C.
queSTõeS enem
01 Letra B. 02 Letra B.
queSTõeS diSCurSivaS
01 02 52p
03 10 cm 04 
módulo 12
exerCíCioS de fixação
01	 50,24cm	 	 	 02 972pcm3
03	 33,5m3 04 20pm2
queSTõeS oBjeTivaS
01 Letra E. 02 Letra A.
03 Letra C. 04 Letra D.
05 LetraE.
queSTõeS enem
01 Letra D. 02 Letra C.
queSTõeS diSCurSivaS
01 r = R/2 02 1/2
03	 r	=	7,5cm	 	 	 04 
módulo 13
exerCíCioS de fixação
01 (V)(V)(V)(V)(F)(V)(F)(V)(V)(V)(V)(V)
02 1 03 10
04 10
queSTõeS oBjeTivaS
01 Letra D. 02 Letra C.
03 Letra B. 04 Letra A.
05 Letra E.
queSTõeS enem
01 Letra C. 02 Letra E.
queSTõeS diSCurSivaS
01 R = A 02	 0,05x
03 6 04 23
módulo 15
exerCíCioS de fixação
01 a) b) 99/430
02	 834	 	 	 	 03 17
04 5
queSTõeS oBjeTivaS
01 Letra B. 02 Letra E.
03 Letra C. 04 Letra E.
05 Letra D. 06 Letra C.
07 Letra A.
queSTõeS enem
01 Letra A. 02 Letra D.
queSTõeS diSCurSivaS
01 
02 a) 40 b) 912
03 a) zero b) não
04	 x	=	3,	y	=	1,	z	=	2
exerCíCioS ComPlemenTareS
01 Letra B.
02 Letra B.
03 Letra C.
04 Letra A.
05 Letra C.
06 Letra D.
07 Letra E.
08 Letra A.
09 Letra C.
10 Letra D.
11 Letra C.
12 Letra D.
13 Letra C.
14 Letra A.
15 Letra E.
16 Letra B.
17 Letra C.
18 Letra C.
19 Letra B.
24 Letra B.
25 Letra D.
26 Letra B.
27 Letra B.
28 Letra D.
29 1
30 6 algarismos.
31 
32 
33	 a)	8pcm2 b) 
34 6cm
35 4p/3 cm3
36 64
37	 Ana	 com	 vestido	branco,	 Júlia	 com	 veztido	 azul	 e	Marisa	 com	 vestido	
preto.
38	 48
39 L3/6
40 a /2
41 a) 4/3 cm3 b) 104/3 cm3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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