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Cinemática dos Sólidos Cinemática Escalar da Rotação em Torno de Eixo Fixo Prof. Dr. Fábio Sevegnani Prof. Me. Umberto Ollitta Junior Exemplo de aplicação 1) – rotação em torno de eixo fixo escalar O sistema de engrenagens ilustrado na figura 46 deve suspender o bloco, alçando-o por 6,10 m. A engrenagem A, parte do repouso, e mantendo aceleração angular constante, atinge frequência de 120 rpm em 5 s, mantendo-a constante após atingi-la. Pedem-se: a) o número de rotações da engrenagem A; b) o tempo gasto na operação. Exemplo de aplicação 1) Interpretando o enunciado do exercício, obtemos as seguintes informações: - Operação = elevar o bloco de 6,10 metros a partir do repouso; - “A engrenagem A, parte do repouso...”. Logo ω0 = 0; - “... e mantendo aceleração angular constante, atinge frequência de 120 rpm em 5 s, mantendo-a constante após atingi-la”. Logo: o movimento é uniformemente variado até 5 s e após este instante o movimento passa a ser uniforme. Exemplo de aplicação 1) Note que o corpo girante B é uma engrenagem que tem acoplada em sua estrutura uma polia. O raio da engrenagem é de 457 mm e o da polia é de 381 mm. A frequência de rotação final de 120 rpm nos leva ao cálculo da velocidade angular final da engrenagem A: Exemplo de aplicação 1) Executando a construção do esboço de um gráfico de modo a facilitar o entendimento do exercício, temos: Exemplo de aplicação 1) Desenvolvimento: a) Número de voltas que a engrenagem A deve dar para a realização da operação O movimento linear do bloco está relacionado com o movimento angular da polia/engrenagem B A altura de 6,10 metros que o bloco deve ser elevado representa uma variação na posição angular da polia/engrenagem B ΔS Δθ R = Exemplo de aplicação 1) Desenvolvimento: A engrenagem A deve dar um número de voltas proporcionalmente maior do que a engrenagem B para realizar a operação Como a velocidade nos pontos em contato entre as engrenagens é a mesma para não haver escorregamento temos: VA = VB → SA= SB → Exemplo de aplicação 1) Desenvolvimento: Estudando o movimento da engrenagem A temos que calcular quantas voltas foram desenvolvidas nos 5 primeiros segundos do movimento, ou seja no tempo em que é desenvolvido MUV. Assim: Calculada a aceleração angular da engrenagem A durante o MUV, utiliza-se a equação de Torricelli para o cálculo da variação de coordenada angular da engrenagem A. Assim: Exemplo de aplicação 1) Desenvolvimento: Retomando o raciocínio, sabemos que a engrenagem A deve dar 15,29 voltas para completar a operação. Calculamos que 5 voltas são dadas nos 5 primeiros segundos. Desta forma, ainda restam 10,29 voltas que serão dadas em MU. Assim, é necessário calcular o tempo restante. Exemplo de aplicação 2) – rotação em torno de eixo fixo escalar Nos motores de combustão interna a correia dentada é um componente de vital importância para o funcionamento do motor e muitas vezes é esquecida. Quando ela se parte, os prejuízos são grandes. A correia dentada é responsável por manter o sincronismo entre o virabrequim, que transfere o torque do motor às rodas, e o comando de válvulas, responsável pela entrada e saída de gases no cilindro. Quando a correia se parte, este sincronismo é quebrado e o pistão, comandado pelo virabrequim, atinge a válvula, que geralmente está aberta e com sua cabeça dentro do cilindro. Os danos podem se estender ao próprio comando de válvulas, aos tuchos, que comandam a abertura e o fechamento das válvulas, e podem até danificar as bielas do motor. Na figura é mostrada a correia dentada em funcionamento num motor. Exemplo de aplicação 2) No esquema, a engrenagem do virabrequim possui uma frequência de rotação inicial de 1.200 rpm que aumenta para 4.000 rpm em 2 segundos. Sabendo que a correia está perfeitamente tensionada e que não há possibilidade de escorregamento, determinar para o instante final: a) A velocidade angular da polia do comando de válvulas localizada à esquerda; b) A aceleração angular da mesma polia durante a aceleração; c) A velocidade de um ponto da borda da mesma polia; d) A aceleração de um ponto da borda da mesma polia. Dados: - Raio da engrenagem do virabrequim = 30 mm - Raio das polias dos comandos de válvulas = 75 mm Exemplo de aplicação 2) Interpretando o enunciado do exercício, obtemos as seguintes informações: - “a engrenagem do virabrequim possui uma frequência de rotação inicial de 1.200 rpm...”. Logo: f0 = 1.200rpm ; - “...que aumenta para 4.000 rpm em 2 segundos...”. Logo, o rotor está acelerando em movimento uniformemente variado (M.U.V.) e f = 4.000rpm em 2 segundos. Nomeando os corpos girantes para maior facilidade temos: Exemplo de aplicação 2) A frequência de rotação inicial de 1.200 rpm e a final de 4.000 rpm nos leva ao cálculo das velocidades angulares inicial e final da polia do virabrequim: Exemplo de aplicação 2) Desenvolvendo um esboço de um gráfico para facilitar o entendimento do exercício, temos: 2 Exemplo de aplicação 2) Desenvolvimento: Como não há escorregamento entre os corpos girantes e a correia dentada, temos que as velocidades dos pontos periféricos dos corpos girantes é a mesma. Assim: O item a pede a velocidade angular final da polia do comando de válvula localizada à esquerda, corpo A. Assim: Exemplo de aplicação 2) Desenvolvimento: O item b pede a aceleração angular da polia do comando de válvula localizada à esquerda, corpo A. Assim: Exemplo de aplicação 2) Desenvolvimento: O item c pede a velocidade de um ponto periférico da polia do comando de válvula localizada à esquerda, corpo A. Assim: Exemplo de aplicação 2) Desenvolvimento: O item d pede a aceleração de um ponto periférico da polia do comando de válvula localizada à esquerda, corpo A. Calculamos a aceleração tangencial do ponto A (atA) e a aceleração normal do ponto A (anA) separadamente. Assim: Exemplo de aplicação 3) – rotação em torno de eixo fixo escalar O conjunto ilustrado é constituído por um disco horizontal soldado a um eixo fixo vertical, e gira no sentido anti-horário, a partir do repouso, com aceleração angular constante α = 1 rad/s2 . Um bloco apoia-se no disco a 0,35m do eixo, e não escorregará em relação ao mesmo até que sua aceleração total atinja 6,5 m/s². Pedem-se: a) A aceleração total do bloco 1,0s após o inicio do movimento; b) O instante em que o bloco deslizará. Exemplo de aplicação 3) Interpretando o enunciado do exercício, obtemos as seguintes informações: - O disco parte do repouso, ou seja possui velocidade angular inicial igual a zero; - “... Com aceleração angular constante. Logo temos um movimento uniformemente variado MUV - “... Um bloco apoia-se no disco a 0,35m do eixo. Logo o raio = 0,35m - “... E não escorregará até a aceleração total atingir 6,50 m/s² Exemplo de aplicação 3) Desenvolvimento: a) A aceleração total do bloco 1s após o inicio do movimento Sabemos que a aceleração total ou aceleração de um ponto é a soma vetorial da aceleração tangencial com a aceleração normal ou centrípeta. Aqui devemos desenvolver a soma algébrica. Logo: Exemplo de aplicação 3) Desenvolvimento: b) O instante em que o bloco deslizará Sabemos que o bloco não escorregará até que a sua aceleração total atinja um valor de 6,50 m/s². Sendo assim, podemos afirmar que o bloco estará na iminência de escorregar quando sua aceleração total atingir 6,50 m/s². Logo Exemplo de aplicação 3) Desenvolvimento: b) O instante em que o bloco deslizará Tendo encontrado a aceleração normal ou centrípeta que deixa o bloco na iminência de escorregar, podemos encontrar a velocidade angular que deixará o bloco na iminência de escorregar Exemplo de aplicação 3) Desenvolvimento: b) O instante em que o bloco deslizará Tendo encontrado a velocidade angular que deixa o bloco na iminência de escorregar, podemos calcular o tempo necessário para que o bloco fique na iminência de escorregar Exemplo de aplicação 3) Desenvolvimento: Aceleração total ou aceleração do ponto no instante 1s de forma vetorialk j i
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