Matemática - Pré-Vestibular Impacto - Matrizes - Operações e Propriedades I

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MA120208
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES E PROPRIEDADE DE MATRIZES
FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
 
PROFº: PIMENTEL 
Fa
le
 c
on
os
co
 w
w
w
.p
or
ta
lim
pa
ct
o.
co
m
.b
r 
VE
ST
IB
UL
AR
 –
 2
00
9 
 
 
CONTEÚDO 
A Certeza de Vencer 
01
1 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
1 - Adição: 
 
A NOKIA fabricante de aparelhos celulares, pesquisou 
dois modelos vendidos nos três primeiros meses do ano, 
pela Amazônia Celular e Vivo, os resultados obtidos foram 
os seguintes: 
 
A = 
3x2503545
402030
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 e B = 
3x2483540
451535
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
 
• A matriz A descreve o desempenho da Amazônia 
Celular onde cada elemento aij é o número de 
unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês. 
 
• A matriz B, mostra o desempenho da Vivo, sendo bij o 
número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o 
mês. 
 
O desempenho de vendas das duas lojas pode ser 
representado por uma matriz C2x3, no qual cada elemento 
cij é igual a soma de seus elementos correspondentes. 
 
C = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
503545
402030
+ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
483540
451535
 
C = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+++
+++
987085
853565
485035354045
454015203530
 
 
Definição: Dada uma matriz A = (aij)n x m e B = 
(bij)n x m, chama-se soma de A + B, a matriz C = (cij)n x m, 
tal que: cij = aij + bij . 
 
Exemplo: 
1. Dada as matrizes 
 A = 
2x3
12
40
12
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
 e B = 
2x3
01
24
13
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− , 
 
determine a matriz C, tal que C = A + B. 
 
C = 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− 12
40
12
 + 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
01
24
13
 = 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
++−
+−
++
0112
2440
1132
 
 
C = 
2x3
11
64
25
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
− 
 
 
 
2. Uma empresa é formada pelas lojas A e B, 
concessionárias de automóveis. 
 
Realizado um 
estudo sobre a 
aceitação de dois 
novos modelos 
de veículos nos 
quatros primeiros 
dias de fevereiro, 
foram obtidos os 
seguintes 
resultados: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
3521
5132
A e ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
5424
3203
B sendo que: 
) A matriz A descreve o desempenho da loja A, de 
modo que cada elemento aij é o número de 
unidades vendidas do modelo i no dia j. 
) A matriz B descreve o desempenho da loja B, de 
modo que cada elemento bij é o número de 
unidades vendidas do modelo i no dia j. 
 
a) Quantas unidades do modelo 2 foram vendidas no dia 
3 de fevereiro pela loja A? 
 
b) Quantas unidades do modelo 1 foram vendidas no dia 
2 de fevereiro pela loja B? 
 
c) No período considerado, construa uma matriz que 
descreva, dia a dia, as vendas de cada modelo nas 
duas lojas juntas. 
 
No período considerado, construa uma matriz que 
compare o desempenho da loja A em relação à loja B, nas 
vendas diárias de cada modelo. 
 
 
3. Uma concessionária de veículos vende três modelos 
diferentes, A, B e C, em que cada modelo possui a sua 
disposição motores a álcool ou a gasolina. As duas 
tabelas abaixo registram as quantidades vendidas durante 
os meses de janeiro e fevereiro, separados por modelo e 
por tipo de motor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine a tabela que registra os totais das vendas de 
cada modelo no bimestre indicado ? 
 
 
 FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!!
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 c
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20
09
 
 
 
1.1. Propriedades da adição da Matriz: 
 
Considere as matrizes A, B e C de mesma ordem, 
então são válidas as propriedades a seguir: 
 
1.1.1. Comutativa: A + B = B + A 
 
1.1.2. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
 
1.1.3. Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A, onde 0 é a 
matriz nula do mesmo tipo da matriz A. 
 
1.1.4. Elemento Oposto: para toda matriz A existe a 
matriz A' tal que A + A' = A' + A = 0, onde 0 é a 
matriz nula do mesmo tipo de A e A'. 
 
Obs.: a oposta de A, indicaremos por (-A), tal que A' = 
(-A). 
 
A = 
3x33x3
354
130
412
A
354
130
412
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−−
=−⇒
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
 
 
2 - Subtração 
 
Para analisar a subtração de matrizes, basta tomarmos 
como exemplo, as matrizes que utilizamos como exemplo 
na adição. 
A = 
3x2503545
402030
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
e B = 
3x2483540
451535
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
. 
 
A – B = A + (–B), onde (–B) → oposta de B. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos observar que a marca 1 o melhor 
desempenho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor 
desempenho foi da Amazônia Celular. 
 
Definição: A diferença entre duas matrizes de mesma 
ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da 
segunda, ou seja, A - B = A + (-B). 
 
Exemplo: 
Dadas as matrizes A = 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− 42
23
12
 e B = 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
24
30
12
, 
determine A – B. 
3 - Multiplicação de um número por uma Matriz. 
 
A multiplicação de um número k por uma matriz A = 
(aij)m x n é uma matriz B = k . A e bij = k . aij. 
 
Exemplo: 
1. dada a matriz A = 
3x3
412
054
312
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
, determine a matriz B 
= 3 . A. 
 
B = 3 . 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
412
054
312
 = 
3x3
1236
01512
936
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
 
 
2. Dadas as matrizes A = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
43
12
 e B = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
23
54
 
determine as matrizes X e Y abaixo. 
a) 
⎩⎨
⎧
=−
=+
BYX
AYX 
 
4 - Multiplicação de Matrizes 
 
Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o 
número de colunas da primeira seja igual ao número de 
linhas da segunda. A ordem da matriz resultante é dada 
pelo número de linhas da primeira e o número de colunas 
da segunda. 
 
A = (aij)m x k 
 ⇒ C = A . B ⇒ C = (cij)m x n 
B = (bij)k x n 
 
Exemplo: 
1. Dada as matrizes A = 
3x2124
312
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ e B = 
2x3
40
51
32
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
 
determine: 
 
a) C = A x B b) D = B x A 
 
 
2. Determine a matriz X tal que ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
106
84
X.
32
14
. 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−−
−−−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=−
483540
451535
503545
402030
BA
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−−
−−−=−
205
555
485035354045
454015203530
BA