TMA - função exponencial - aula 2 - 29abr2020

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Profa. Dra. Fabíola Ribeiro
FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
Tópicos de Matemática - TM
▪ Mantenham os microfones e câmeras desligados.
▪ Dúvidas podem ser postadas via chat e serão respondidas durante e ao final da aula.
▪ O material estará disponível em: https://online.unip.br/
▪ A cada semana serão propostos 3 exercícios (por disciplina).
▪ O aluno deve: escolher 1 dos 3 exercícios propostos.
▪ Utilizar folha tamanho A5 (metade da folha de sulfite A4).
▪ Entregar o exercício com enunciado e resolução (manuscrito) no retorno das aulas.
Instruções Gerais
Função exponencial - revisão
A função exponencial de base a é dada por f(x)=ax com a>0 e a≠1.
Se a>1 a função é crescente: 
 Propriedades:
Se 0<a<1 a função é decrescente:
função exponencial de base e: f(x)=ex
Função logarítmica - revisão
A função logarítmica de base a é dada por f(x)=loga(x) com a>0 e a≠1.
O logaritmo é a operação inversa da exponencial, ou seja, se ax=b ↔ loga(b)=x
Se a>1 a função é crescente:
 Propriedades:
Se 0<a<1 a função é decrescente:
O logaritmo neperiano é a função inversa 
 da exponencial de base e:
 y=ex ↔ x=ln(y)
Exercícios propostos (p. 106)
1) Sabendo que logab=3 e logac=3, calcule
a) loga(a.b.c)
Exercícios propostos (p. 106)
1) Sabendo que logab=3 e logac=3, calcule
a) loga(a.b.c)
Da propriedade log(x.y)=log(x)+log(y)
loga(a.b.c)=loga(a)+loga(b)+loga(c)
Mas logx(x)=1, então
loga(a.b.c)=1+3+3=7
Exercícios propostos (p. 106)
1) Sabendo que logab=3 e logac=3, calcule
b)
Exercícios propostos (p. 106)
1) Sabendo que logab=3 e logac=3, calcule
b)
Da propriedade
Da propriedade 
Exercícios propostos (p. 106)
1) Sabendo que logab=3 e logac=3, calcule
c)
Exercícios propostos (p. 106)
1) Sabendo que logab=3 e logac=3, calcule
c)
Podemos escrever raízes como potências fracionárias usando que 
Da propriedade 
Exercícios propostos (p. 106)
1) Sabendo que logab=3 e logac=3, calcule
c)
Da propriedade
Da propriedade 
Exercícios propostos (p. 106)
1) Sabendo que logab=3 e logac=3, calcule
c)
Substituindo os valores, lembrando que 
Exercícios propostos (p. 107)
2) Resolver em ℝ as equações
a) 32x+1=2187
Exercícios propostos (p. 107)
2) Resolver em ℝ as equações
a) 32x+1=2187
Calculando o logaritmo de base 3 em ambos os lados da equação,
log3(3
2x+1)=log3(2187)
Da propriedade 
(2.x+1).log3(3)=log3(2187)
(2.x+1).1=log3(2187)
(2.x+1)=log3(2187)
Exercícios propostos (p. 107)
2) Resolver em ℝ as equações
a) 32x+1=2187
(2.x+1)=log3(2187)
Isolando o x,
2.x=log3(2187)-1
E quanto é log3(2187)?
Exercícios propostos (p. 107)
2) Resolver em ℝ as equações
a) 32x+1=2187
Para calcular log3(2187) precisamos fatorar 2187 como uma potência de 3
2187 | 3 Logo 2187=3⁷
 729 | 3
 243 | 3
 81 | 3
 27 | 3
 9 | 3
 3 | 3
 1
Exercícios propostos (p. 107)
2) Resolver em ℝ as equações
b) 10x+6=0,0001
Exercícios propostos (p. 107)
2) Resolver em ℝ as equações
b) 10x+6=0,0001
Começamos escrevendo 0,0001 como 10-4 (o 1 está na quarta casa decimal)
10x+6=10-4
Calculando o logaritmo de base 10 em ambos os lados
log10(10
x+6)=log10(10
-4)
2) Resolver em ℝ as equações
b) 10x+6=0,0001
log10(10
x+6)=log10(10
-4)
Da propriedade
(x+6).log10(10)=-4.log10(10)
(x+6).1=-4.1
x+6=-4
x=-4-6=-10
Exercícios propostos (p. 107)
Exercícios propostos (p. 107)
2) Resolver em ℝ as equações
c) 3x=10
Exercícios propostos (p. 107)
2) Resolver em ℝ as equações
c) 3x=10
calculando o logaritmo de base 10 em ambos os lados da equação,
log10(3
x)=log10(10)
Da propriedade 
x.log10(3)=log10(10)
x.log10(3)=1
Exercícios propostos (p. 107)
2) Resolver em ℝ as equações
c) 3x=10
x.log10(3)=1
Isolando x
Exercícios propostos (p. 107)
3) Suponha que o número P de unidades produzidas por uma empresa venha decaindo com o tempo t (em 
anos), segundo a função P(t)=C.2k.t, onde C e k representam constantes. Com os dados apresentados no 
gráfico abaixo, determine os valores de C e de k.
Exercícios propostos (p. 107)
3) Suponha que o número P de unidades produzidas por uma empresa venha decaindo com o tempo t (em 
anos), segundo a função P(t)=C.2k.t, onde C e k representam constantes. Com os dados apresentados no 
gráfico abaixo, determine os valores de C e de k.
Vemos a partir do gráfico que temos P=5000 para t=0
P(t)=C.2k.t
5000=C.2k.0
5000=C.20
Mas qualquer número elevado a zero é igual a 1,
5000=C.1
C=5000
P(t)=5000.2k.t
Exercícios propostos (p. 107)
3) Suponha que o número P de unidades produzidas por uma empresa venha decaindo com o tempo t (em 
anos), segundo a função P(t)=C.2k.t, onde C e k representam constantes. Com os dados apresentados no 
gráfico abaixo, determine os valores de C e de k.
P(t)=5000.2k.t
Para determinar k precisamos usar outro ponto do gráfico.
Vemos que para t=6, P=1000, logo
1000=5000.2k.6
Calculando o logaritmo de base 2 em ambos os lados
log2(1000)=log2(5000.2
6k)
Exercícios propostos (p. 107)
3) Suponha que o número P de unidades produzidas por uma empresa venha decaindo com o tempo t (em 
anos), segundo a função P(t)=C.2k.t, onde C e k representam constantes. Com os dados apresentados no 
gráfico abaixo, determine os valores de C e de k.
log2(1000)=log2(5000.2
6k)
Da propriedade
log2(1000)=log2(5000)+log2(2
6k)
Da propriedade
log2(1000)=log2(5000)+6k.log2(2)
log2(1000)=log2(5000)+6k
Isolando k
Exercícios propostos (p. 107)
3) Suponha que o número P de unidades produzidas por uma empresa venha decaindo com o tempo t (em 
anos), segundo a função P(t)=C.2k.t, onde C e k representam constantes. Com os dados apresentados no 
gráfico abaixo, determine os valores de C e de k.
log2(1000)=log2(5000)+6k
Podemos ainda usar
Logo P(t)=5000.2-0,39.t 
Exercícios propostos (p. 107)
5) Uma cultura de bactérias cresce segundo a função N(t)=C.ekt, onde C e k são constantes, N é o 
número de bactérias presentes na cultura e t é tempo em horas. Sabendo que o número de bactérias no 
instante 2 horas é de 2000 e no instante 5 horas é de 10000, determine os valores de C e k.
Exercícios propostos (p. 107)
5) Uma cultura de bactérias cresce segundo a função N(t)=C.ekt, onde C e k são constantes, N é o 
número de bactérias presentes na cultura e t é tempo em horas. Sabendo que o número de bactérias no 
instante 2 horas é de 2000 e no instante 5 horas é de 10000, determine os valores de C e k.
Temos que
t (horas) N
2 2000
5 10000
Substituindo os dois pontos na equação chegamos a um sistema
Isolando C em ambas as equações
Igualando as duas equações
Exercícios propostos (p. 107)
5) Uma cultura de bactérias cresce segundo a função N(t)=C.ekt, onde C e k são constantes, N é o 
número de bactérias presentes na cultura e t é tempo em horas. Sabendo que o número de bactérias no 
instante 2 horas é de 2000 e no instante 5 horas é de 10000, determine os valores de C e k.
Temos que
t (horas) N
2 2000
5 10000
Separando o que depende de k do que não depende,
Mas xa.xb=xa+b, então
Exercícios propostos (p. 107)
5) Uma cultura de bactérias cresce segundo a função N(t)=C.ekt, onde C e k são constantes, N é o 
número de bactérias presentes na cultura e t é tempo em horas. Sabendo que o número de bactérias no 
instante 2 horas é de 2000 e no instante 5 horas é de 10000, determine os valores de C e k.
Temos que
t (horas) N
2 2000
5 10000
Calculando o logaritmo neperiano (base e) em ambos os lados,
Da propriedade
Exercícios propostos (p. 107)
5) Uma cultura de bactérias cresce segundo a função N(t)=C.ekt, onde C e k são constantes, N é o 
número de bactérias presentes na cultura e t é tempo em horas. Sabendo que o número de bactérias no 
instante 2 horas é de 2000 e no instante 5 horas é de 10000, determine os valores de C e k.
Temos que
t (horas) N
2 2000
5 10000
Precisamos ainda encontrar C.
Voltando ao sistema de equações,
Substituindo k=0,54 na primeira equação,
O número de bactérias em função do tempo é N=680,3.e0,54.t.Tarefa
Fazer tarefa 10 - função exponencial e função logarítmica 
(p. 111 a 113)
Indicações bibliográficas
Iezzi, G. et al. Fundamentos de Matemática Elementar. 10. ed. São Paulo: Atual, 
2003. v. 2.
Mariano, M. V.; Lauricella, C. M.; Frugoli, A. D. Tópicos de Matemática Aplicada, 
São Paulo, 2020 (apostila).
Stewart, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. 1.
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