Exercícios de Planicidade Diferencial em Sistemas Lineares

Prévia do material em texto

Aula 02 - Exercícios
Planicidade Diferencial aplicada
à Sistemas Lineares (SISO/MIMO)
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho
joseoniram@ieee.org
29 de Janeiro de 2020
mailto:joseoniram@ieee.org
Exercício 01
Exercício 02
Caso SISO
Sumário
1 Exercício 01
Caso SISO
2 Exercício 02
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 02 - Exercícios 2
Exercício 01
Exercício 02
Caso SISO
Sistema Linear SISO: Pêndulo Invertido no Carro
Considere o sistema mecânico mostrado na Figura 1.
Figura 1: Pêndulo Invertido preso a um carro com movimento em X.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 02 - Exercícios 3
Exercício 01
Exercício 02
Caso SISO
Sistema Linear SISO: Pêndulo Invertido no Carro
Uma possível representação em espaço de estados do
sistema anterior é dada por:
ẋ1
ẋ2
ẋ3
ẋ4
 =

0 0 1 0
0 0 0 1
0 −mg/M 0 0
0 (M + m)/ML 0 0


x1
x2
x3
x4
 +

0
0
1/M
−1/ML
 U
y = x2
onde [x1 x2 x3 x4] = [x θ ẋ θ̇]
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 02 - Exercícios 4
Exercício 01
Exercício 02
Caso SISO
Sistema Linear SISO: Pêndulo Invertido no Carro
Os Objetivos do Exercício 01 são:
1 Obter a saída plana do sistema do Pêndulo Invertido no
Carro.
2 Obter a parametrização de todas as variáveis em função
da saída plana e de suas derivadas temporais.
3 Obter a expressão final do controlador que estabilize o
sistema na origem.
4 Implementação em ambiente Matlab/Simulink assumindo
uma condição inicial diferente da origem. (Sugestão: Usar
M = 0.5 kg, m = 0.2 kg, L = 0.3 m e g = 9.81 m/s2)
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 02 - Exercícios 5
Exercício 01
Exercício 02
Caso SISO
Sistema Linear SISO: Pêndulo Invertido no Carro
Os Objetivos do Exercício 01 são:
1 Obter a saída plana do sistema do Pêndulo Invertido no
Carro.
2 Obter a parametrização de todas as variáveis em função
da saída plana e de suas derivadas temporais.
3 Obter a expressão final do controlador que estabilize o
sistema na origem.
4 Implementação em ambiente Matlab/Simulink assumindo
uma condição inicial diferente da origem. (Sugestão: Usar
M = 0.5 kg, m = 0.2 kg, L = 0.3 m e g = 9.81 m/s2)
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 02 - Exercícios 5
Exercício 01
Exercício 02
Caso SISO
Sistema Linear SISO: Pêndulo Invertido no Carro
Os Objetivos do Exercício 01 são:
1 Obter a saída plana do sistema do Pêndulo Invertido no
Carro.
2 Obter a parametrização de todas as variáveis em função
da saída plana e de suas derivadas temporais.
3 Obter a expressão final do controlador que estabilize o
sistema na origem.
4 Implementação em ambiente Matlab/Simulink assumindo
uma condição inicial diferente da origem. (Sugestão: Usar
M = 0.5 kg, m = 0.2 kg, L = 0.3 m e g = 9.81 m/s2)
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 02 - Exercícios 5
Exercício 01
Exercício 02
Caso SISO
Sistema Linear SISO: Pêndulo Invertido no Carro
Os Objetivos do Exercício 01 são:
1 Obter a saída plana do sistema do Pêndulo Invertido no
Carro.
2 Obter a parametrização de todas as variáveis em função
da saída plana e de suas derivadas temporais.
3 Obter a expressão final do controlador que estabilize o
sistema na origem.
4 Implementação em ambiente Matlab/Simulink assumindo
uma condição inicial diferente da origem. (Sugestão: Usar
M = 0.5 kg, m = 0.2 kg, L = 0.3 m e g = 9.81 m/s2)
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 02 - Exercícios 5
Exercício 01
Exercício 02
Caso MIMO
Sumário
1 Exercício 01
2 Exercício 02
Caso MIMO
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 02 - Exercícios 6
Exercício 01
Exercício 02
Caso MIMO
Sistema Linear MIMO
Seja o seguinte sistema linear invariante no tempo:
ẋ = Ax + Bu
A =

−1 0 −1 0
0 −1 0 −1
0 0 −1 0
0 0 0 −1
 , B =

γ1 0
0 γ2
0 (1 − γ2)
(1 − γ1) 0

y1 = x1y2 = x2
onde x = [x1 x2 x3 x4]T e u = [u1 u2]T
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 02 - Exercícios 7
Exercício 01
Exercício 02
Caso MIMO
Sistema Linear MIMO
Assumindo que γ1 e γ2 são constantes, os Objetivos do
Exercício 02 são:
1 Obter as saídas planas do sistema. (Dica: Igual o número
de entradas)
2 Obter a parametrização de todas as variáveis do sistema a
partir das saídas planas e de suas derivadas temporais.
3 Obter as expressões dos controladores de tal forma que
y∗1 (t) = 5 e y
∗
2 (t) = 5 partindo de uma condição inicial
qualquer.
4 Implementação em ambiente Matlab/Simulink. (Sugestão:
Assuma γ1 = γ2 = 0,25)
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 02 - Exercícios 8
Exercício 01
Exercício 02
Caso MIMO
Sistema Linear MIMO
Assumindo que γ1 e γ2 são constantes, os Objetivos do
Exercício 02 são:
1 Obter as saídas planas do sistema. (Dica: Igual o número
de entradas)
2 Obter a parametrização de todas as variáveis do sistema a
partir das saídas planas e de suas derivadas temporais.
3 Obter as expressões dos controladores de tal forma que
y∗1 (t) = 5 e y
∗
2 (t) = 5 partindo de uma condição inicial
qualquer.
4 Implementação em ambiente Matlab/Simulink. (Sugestão:
Assuma γ1 = γ2 = 0,25)
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 02 - Exercícios 8
Exercício 01
Exercício 02
Caso MIMO
Sistema Linear MIMO
Assumindo que γ1 e γ2 são constantes, os Objetivos do
Exercício 02 são:
1 Obter as saídas planas do sistema. (Dica: Igual o número
de entradas)
2 Obter a parametrização de todas as variáveis do sistema a
partir das saídas planas e de suas derivadas temporais.
3 Obter as expressões dos controladores de tal forma que
y∗1 (t) = 5 e y
∗
2 (t) = 5 partindo de uma condição inicial
qualquer.
4 Implementação em ambiente Matlab/Simulink. (Sugestão:
Assuma γ1 = γ2 = 0,25)
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 02 - Exercícios 8
Exercício 01
Exercício 02
Caso MIMO
Sistema Linear MIMO
Assumindo que γ1 e γ2 são constantes, os Objetivos do
Exercício 02 são:
1 Obter as saídas planas do sistema. (Dica: Igual o número
de entradas)
2 Obter a parametrização de todas as variáveis do sistema a
partir das saídas planas e de suas derivadas temporais.
3 Obter as expressões dos controladores de tal forma que
y∗1 (t) = 5 e y
∗
2 (t) = 5 partindo de uma condição inicial
qualquer.
4 Implementação em ambiente Matlab/Simulink. (Sugestão:
Assuma γ1 = γ2 = 0,25)
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 02 - Exercícios 8
Exercício 01
Exercício 02
Caso MIMO
Obrigado!
Até a próxima Aula.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 02 - Exercícios 9
	Exercício 01
	Caso SISO
	Exercício 02
	Caso MIMO