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UNIDADE 2 – Categorização e teoria 
dos conjuntos 
 
AULA 3 – Conjuntos numéricos; Operações com conjuntos; 
Diagramas de VENN e problemas com categorias / conjuntos 
Olá queridos alunos! 
Nosso assunto agora será sobre o 
diagrama de Venn. Bom estudo! 
Os diagramas de Venn que se devem ao filósofo inglês John 
Venn (1834-1883) servem para representar conjuntos de 
maneira gráfica mediante desenhos ou diagramas que podem 
ser círculos, retângulos, triângulos ou qualquer curva fechada. 
 Diagrama de Venn 
Observe: 
O diagrama é habitualmente usado para a solução de 
problemas que envolvem até três conjuntos. Ele ajuda a 
esmiuçar o problema. 
 
Observe os seguintes diagramas: 
 
a) 
Todo o retângulo representa o 
conjunto universo, a região azul 
representa o conjunto 𝐴 e a região 
vermelha representa 𝐴′ 
(complementar de 𝐴 em relação ao 
universo). 
b) 
A região verde representa o conjunto A a região azul 
representa o conjunto B, observe que há uma região que 
pertence aos dois conjuntos esta região é a interseção. 
Exemplo: Em um conjunto A há 56 elementos em um universo 
de 100 elementos, neste universo há mais um outro conjunto B 
e na interseção entre A e B há 16 elementos. 
 
Determine quantos elementos há no conjunto B, sabendo que 
há 10 elementos que não pertencem ao conjuntos A e B: 
Se há 56 elementos no conjunto A então há 44 
elementos no complementar de A. 
Ao inserirmos o conjunto B no 
diagrama podemos observar que 
o conjunto A foi dividido em duas 
regiões: uma dos elementos 
exclusivos de A e dos elementos 
que fazem parte da interseção. 
 Observe que 10 elementos não pertencem aos conjuntos A e B, logo, 
foram representados fora desses conjuntos. 
 
Apenas uma região não está com a sua quantidade de elementos 
representada, a referente aos elementos exclusivos de B. 
 
 No entanto, sabemos que o conjunto universo possui 100 
elementos, e para que tal afirmação seja verdadeira é necessário que 
a quantidade de elementos exclusivas de B seja igual a 34. 
 Logo o conjunto B possui 50 elementos. 
 
c) 
 No caso da união a simultaneidade não é necessária, basta 
que um elemento pertença a A ou a B. 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
Em um universo de 80 elementos, o conjunto A possui 38 
elementos, A interseção B possui exatamente 16 elementos, há 
12 elementos que não pertencem aos conjuntos A e B. 
 
 Quantos elementos fazem parte da união de A com B? E 
quantos elementos são exclusivos de B? 
 Os 38 elementos pertencentes ao 
conjunto A foram organizados em 
duas partes: elementos que só 
pertencem a A (22 elementos); 
elementos pertencentes a A e a B 
simultaneamente (16 elementos). 
Para que o universo totalize 80 elementos é necessário que haja 
42 elementos pertencentes exclusivamente a B. 
 
 Logo, A união B possui 68 elementos. 
d) 
No caso da diferença entre dois conjuntos, se refere 
naquilo que pertence a A e não pertence A (sendo A – B) 
 
 Foi feita uma pesquisa, uma semana antes da eleição, com 500 
eleitores, que deveriam indicar em uma cédula em quem 
votariam. 
 
Os pesquisadores poderiam votar nos dois candidatos se assim 
desejassem, em apenas um deles ou então votar em branco. 
Não era permitido anular o voto. 
 
Exemplo: 
Uma pequena cidade do interior possuía dois 
candidatos a prefeito: Ricardinho, concorrendo 
pelo PD (partido da direita) e André, 
concorrendo pelo PE (partido de esquerda). 
Os resultados foram os seguintes: 
 200 eleitores votaram em branco 
 170 eleitores votaram em PE 
 320 eleitores não votaram em PE 
 Determine o número de eleitores que 
votaram exclusivamente em PE e o número 
de eleitores que votaram em PD e PE 
simultaneamente: 
Observe o diagrama, nosso 
universo é constituído de 500 
eleitores e 200 votaram em branco, 
isso significa que 300 votaram em 
pelo menos um dos candidatos. 
Desses 300 eleitores que votaram 
em pelo menos um dos candidatos, 
170 votaram em PE, logo 130 
votaram exclusivamente em PE. 
 Como 320 eleitores não votaram em PE (região hachurada), 
temos que 120 eleitores votaram exclusivamente em PD e 50 
eleitores votaram simultaneamente em PE e PD. 
Dessa forma, 130 votaram exclusivamente em PE e 50 eleitores 
votaram simultaneamente em PE e PD. 
 
Observe que o objetivo da questão é determinar a interseção 
entre os dois conjuntos. E inicialmente já podemos afirmar que 
todos os elementos pertencem a pelo menos um conjunto, já 
que todos os alunos praticam pelo menos uma das modalidades. 
Exemplo: 
Uma sala de aula tem 40 alunos, 25 
praticam natação e 30 futebol. Quantos 
alunos praticam natação e futebol, 
sabendo que todos os alunos praticam 
pelo menos uma das modalidades? 
Dessa forma, x é a interseção (o 
que desejamos definir). Ao 
somarmos cada região definida 
encontramos o número de 
elementos do conjunto universo. 
Assim: 
25 – 𝑥 + 𝑥 + 30 – 𝑥 = 40 
55 – 𝑥 = 40 
55 – 40 = 𝑥 
15 = 𝑥 
𝑥 = 15 
Logo, 15 alunos praticam natação e futebol. 
 Exemplo que envolve três conjuntos: 
 
Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. 
Feita uma pesquisa do mercado, colheram-se os resultados 
tabelados abaixo: 
Marca A B C A e B B e C A e C A, B e C Nenhuma delas 
Consumidores 100 200 150 40 30 50 10 20 
 
Pede-se: 
a) Número de pessoas consultadas 
b) Número de pessoas que só consomem a mesma marca 
c) Número de pessoas que não consomem as marcas A e não 
consomem a marca C 
d) Número de pessoas que consomem ao menos duas marcas 
Para podermos responder às questões, 
vamos montar um diagrama com três 
conjuntos A, B e C. Observe que o cada 
conjunto é composto por quatro regiões (O 
conjunto A está destacado para tal 
observação). 
Logo, para a organização do diagrama iniciaremos pela interseção 
entre os três conjuntos, já que esta determina uma única região, 
assim como o número de elementos que não pertencem a 
nenhum conjunto. 
Observe a seguinte informação A e C 
equivale a 50 consumidores. A região 
destacada a seguir ilustra esta informação, 
portanto temos que 40 indivíduos 
consomem A e C e não consomem B. 
Levando esta ideia para cada interseção dois a dois, temos: 
O próximo passo está ligado a 
quantidade total de 
consumidores de cada marca, 
o total de cada conjunto. 
 
 O conjunto A deve totalizar 
100 elementos 
(consumidores), o conjunto B, 
200 e o conjunto C, 100. 
 
Exclusivo de A => 100 -30 -10 – 40 = 20 
Exclusivo de B => 200 -30 -10 – 20 = 140 
Exclusivo de C => 150 -20 -10 – 40 = 80 
Para que tais afirmações sejam verdadeiras, temos que: 
Agora que temos o diagrama montado, podemos determinar o que 
foi solicitado: 
 
 
 Número de pessoas consultadas 
20 + 30 + 10 + 40 + 140 +20 + 80 + 20 = 360 
 
 
 Número de pessoas que só consomem a mesma marca 
20 + 140 + 80 = 240 
 
 
 Número de pessoas que consomem ao menos duas marcas 
10 + 40 + 20 + 30 = 100 
 Número de pessoas que não consomem as marcas A e não 
consomem a marca C 
 140 + 20 = 160 
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Para complementar seu aprendizado, não esqueça de ler os 
textos disponíveis no nosso AVA (Ambiente Virtual de 
Aprendizagem) 
Você está indo muito bem! Parabéns! 
Terminamos a unidade 2. Isso quer dizer que a primeira 
avaliação está chegando, então não deixe de dar uma 
revisada nas aulas para que você possa fazer uma boa AV1, 
ok!