Teoria de Conjuntos

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Conjuntos
Prof. Aleksandro de Mello
Descrição
Noção da linguagem básica de conjuntos e das operações entre conjuntos e entre intervalos da reta. A teoria de conjuntos aplicada à resolução de
problemas.
Propósito
Compreender a teoria de conjuntos, trabalhando com vários tipos de conjuntos e de operações entre eles a fim de aplicar esses conhecimentos na
solução de problemas do cotidiano.
Preparação
Tenha em mãos: calculadora, papel, lápis, caneta. Você pode também utilizar um aplicativo de desenho, como a ferramenta Paint, por exemplo.
Objetivos
Módulo 1
Linguagem dos conjuntos
Compreender a linguagem dos conjuntos.
Módulo 2
Operações entre os conjuntos
Identificar as operações realizadas entre conjuntos.
Módulo 3
Operações entre os intervalos da reta
Resolver operações entre intervalos da reta.
Módulo 4
Conjuntos e problemas do cotidiano
Resolver problemas do cotidiano utilizando conjuntos.
Introdução
Conheceremos os conceitos básicos para o entendimento da linguagem de conjuntos. Veremos como relacionar elementos a conjuntos e como
comparar conjuntos. Aprenderemos as principais operações entre conjuntos e como resolver cada uma delas utilizando as representações de
conjuntos e algumas propriedades dessas operações. Também vamos identificar, geometricamente, quais operações foram realizadas.
Outro conteúdo básico e fundamental para a Matemática que trabalharemos neste tema são as operações envolvendo os intervalos da reta real.
Para alguns conjuntos particulares, as representações geométricas na reta real são a melhor maneira de desenvolver as operações. Por isso, vamos
listar os tipos de intervalos que a reta real possui e representá-los nas três principais formas de visualização.
E, por fim, vamos dar sentido a todo esse aprendizado: veremos várias aplicações do conteúdo estudado aqui em problemas do dia a dia e em
questões cobradas em concursos.

1 - Linguagem dos conjuntos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de compreender a linguagem dos conjuntos.
Noções básicas da teoria de conjuntos
Neste módulo e nos demais, você perceberá um padrão na apresentação do conteúdo. Escolhemos esse caminho porque acreditamos ser o mais
eficiente para que você:

Conheça o conceito matemático por meio de de�nições e notações.

Perceba a aplicabilidade do conceito com um ou mais exemplos.
De�nição 1
Dizemos que um elemento x pertence ao conjunto A quando x é um dos componentes do conjunto A. Em outras palavras:
Elemento x perternce ao conjunto A
Quando “está dentro” do conjunto.
Elemento x não pertence ao conjunto A


Quando não “está dentro” do conjunto.
Note que, na teoria de conjuntos, é comum utilizarmos letras maiúsculas para representarmos os conjuntos (exemplo: A, B, C, X, Y,…) e letras
minúsculas para representar os elementos do conjunto (exemplo: a, b, c, x, y,…). Daqui para frente, utilizaremos as seguintes notações básicas de
pertinência:
 (lê-se: pertence a A) quando é um elemento de A.
 (lê-se: não pertence a A) quando não é um elemento de .
Vejamos um exemplo para entendermos a definição e a notação acima.
Exemplo 1
Considerando o conjunto A={−2, 0, 1, 4}, podemos afirmar que:
, pois estes elementos estão no conjunto .
Qualquer outro número diferente dos listados anteriormente não está no conjunto A, por exemplo: -4 A, . Assim, podemos
escrever resumidamente que: se é diferente de -2, 0,1 e 4 , então A.
É importante destacar os principais tipos de representação que podemos ter de um conjunto:
onjunto
Lembre-se:
Conjunto dos números naturais: .
Naturais não nulos: .
Conjunto dos números inteiros: .
Inteiros não nulos: .
Inteiros não negativos: .
Inteiros não positivos: .
Conjunto dos números racionais: e .
Conjunto dos números reais: , (o símbolo U representa "união" de conjuntos, que será explicado no próximo módulo) onde é o conjunto
de todos os números irracionais da reta.
Representação por extensão
Nesse tipo de representação, listamos todos os elementos do conjunto explicitamente, como fizemos no exemplo 1. Tal representação também
descreve conjuntos infinitos, como o dos números naturais: .
x ∈ A x x
x ∉ A x x A
−2 ∈ A, 0 ∈ A, 1 ∈ A, 4 ∈ A A
∉ −1 ∉ A, 2 ∉ A
x x ∉
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
N
∗ = {1, 2, 3, 4, 5,…} = N − {0}
Z = {…− 2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
Z ∗ = {…,−2,−1, 1, 2, 3, 4, 5,…} = Z − {0}
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
Z− = {…,−3,−2,−1, 0}
Q = {x = a/b ∣ a, b ∈ Z b ≠ 0}
R = Q ∪ I I
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
Representação por compreensão
Neste tipo de representação, os elementos do conjunto são determinados por uma propriedade específica do conjunto.
Exemplo 2
Observe os seguintes conjuntos:
. Lê-se: A é o conjunto dos números que são naturais e menores do que 4 . Logo, o conjunto A pode ser representado
explicitamente por:
A = {0, 1, 2, 3}.
Rotacione a tela. 
. Lê-se: B é o conjunto dos números que são inteiros e menores do que 4. Fique atento ao conjunto como um todo, pois
apesar de o conjunto B possuir a mesma propriedade do conjunto , (que é: ), no conjunto estamos considerando , e não apenas
 (como no conjunto ). Logo, o conjunto B pode ser representado explicitamente por:
B = {…,−2, −1, 0, 1, 2, 3}.
Rotacione a tela. 
Representação por �guras
Neste caso, representamos os conjuntos através de figuras como mostra a imagem a seguir.
A figura anterior é uma representação gráfica do conjunto A = {−1, 1, 3, 5}.
Curiosidade
A representação de conjuntos através de figuras é chamada de diagrama de Venn, em homenagem a John Venn, que criou esse diagrama para
facilitar o entendimento das operações entre conjuntos, conforme veremos no próximo módulo.
De�nição 2: Igualdade de conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Dizemos que os conjuntos A e B são iguais se eles possuem exatamente os mesmos elementos. Nesse caso,
escreveremos:
A = B.
A = {x ∈ N ∣ x < 4} x
B = {x ∈ Z ∣ x < 4} x
A x < 4 B x ∈ Z
x ∈ N A
Rotacione a tela. 
No caso em que não vale a igualdade, escreveremos:
A ≠ B,
Rotacione a tela. 
Isso significa que algum desses conjuntos possui um elemento que não pertence ao outro conjunto.
De�nição 3: Subconjuntos
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Dizemos que A é um subconjunto de B, (ou que A está contido em B) se todo elemento de A também é um
elemento de B, ou seja:
Rotacione a tela. 
O símbolo na matemática é lido como: somente se.
Logo, escreveremos:
Rotacione a tela. 
Caso contrário, ou seja, se existe algum elemento de A que não está em B, dizemos que A não está contido em B e representamos por:
Rotacione a tela. 
A notação de subconjunto também pode ser expressa da seguinte maneira:
Rotacione a tela. 
Quando , podemos também escrever essa expressão da forma:
Rotacione a tela. 
Utilizando o diagrama de Venn, podemos visualizar (o mesmo que ): como mostra a figura:
x ∈ A ⇒ x ∈ B
⇒
A ⊂ B.
A ⊄ B.
A ⊂ B
B ⊃ A( Lê-se: B contém A). 
A ⊄ B
B ⊅ A( Lê-se: B não contém A). 
A ⊂ B B ⊃ A
Vejamos os exemplos a seguir para entender esses conceitos.
Exemplo 3
Observe os conjuntos A = {1, 3, 4, 7} e B = {7, 1, 3,4}.
Esses conjuntos são iguais, A = B, pois não importa a disposição dos elementos no conjunto para a análise de igualdade.
Além disso, também podemos perceber que valem as duas inclusões:
 e , pois todo elemento de está em e vice-versa. Essas inclusões poderiam ser reescritas como:
Rotacione a tela. 
Observe que combinando as definições 2 e 3, podemos destacar uma das propriedades dos conjuntos que é:
Rotacione a tela. 
Exemplo 4
Agora observe os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {…, −2, −1, 0, 1, 2, 3} vistos no exemplo 2.
Note que , pois B possui elementos que não estão em , por exemplo, , mas .
O mesmo argumento também garante que , ou seja, não está contido em . Outra forma de escrever seria: , ou seja, não contém
.
Mas, como pode ser visto facilmente, todo elemento de A está em B, ou seja, A é um subconjunto de B: A B. Outra forma de escrever essa
inclusão seria: .
De�nição4
Seja A um conjunto. Dizemos que A é:
Um conjunto unitário se A possui um único elemento.
Um conjunto vazio se A não possui nenhum elemento.
A ⊂ B B ⊂ A A B
B ⊃ A ∈ A ⊃ B
A = B se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A. 
A ≠ B A −2 ∈ B −2 ∉ A
B ⊄ A B A A ⊅ B A
B
⊂
B ⊃ A
Portanto, representamos A = { } ou A = Ø.
Exemplo 5
Considere os seguintes conjuntos: e 
Note que A é um conjunto vazio, , pois não existe tal que .
Já o conjunto é um conjunto unitário.
Atenção!
Dado qualquer conjunto , sempre vale que .
Conceitos matemáticos
Neste vídeo o professor Sandro Davison apresentará outros exemplos desses conceitos matemáticos. Vamos assistir!
Neste módulo, você aprendeu quatro definições básicas da Matemática acerca dos conjuntos, especificamente a linguagem dos conjuntos. Sem
esse conhecimento, não seria possível avançarmos para o conteúdo que nos aguarda nos módulos seguintes.
A = {x ∈ N ∣ x < −2} B = {x ∈ Z ∣ −6 < x < −4}
A = ∅ x ∈ N x < −2
B = {x ∈ Z ∣ −6 < x < −4} = {−5}
A ∅ ⊂ A

Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere os conjuntos e 
Avaliar as seguintes afirmativas:
I) A=B
II) 
III) B é um conjunto vazio
A = {x ∈ Z ∣ 5x + 4 < 3x + 8}, B = {x ∈ N ∣ 2x − 5 < x − 4} C = {x ∈ Z ∣ −2 ≤ x < 2}.
C ⊅ B
A I e II corretas.
B Somente I correta.
C II e III corretas.
D Somente III correta.
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVamos%20escrever%20os%20conjuntos%20de%20maneira%20expl%C3%ADcita%20para%20podermos%20avaliar%20as%20alternativa
paragraph'%3EPara%20x%20ser%20um%20elemento%20de%20A%2C%20ele%20deve%20satisfazer%20as%20seguintes%20condi%C3%A7%C3%B5es
paragraph%20c-table%20color-neutral-
70'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cli%3E%5C(x%20%5Cin%20Z%3D%5C%7B%5Cldots
2%2C-
1%2C0%2C1%2C2%2C3%2C4%2C5%2C%20%5Cldots%5C%7D%5C)%3C%2Fli%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
3%20x%20%3C%208-
4%20%5CRightarrow%202%20x%20%3C%204%20%5CRightarrow%20x%20%3C%202%5C)%3C%2Fli%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph'%3EPara%20x%20ser%20um%20elemento%20de%20B%2C%20ele%20deve%20satisfazer%20as%20seguintes%20condi%C3%A7%C3%B5es
paragraph%20c-table%20color-neutral-
70'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cli%3E%5C(x%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%
5%20%3C%20x-4%20%5CRightarrow%202%20x-x%20%3C%20-
4%2B5%20%5CRightarrow%20x%20%3C%201%5C)%3C%2Fli%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20c-
table'%3EE%20o%20conjunto%20%5C(%5Cmathrm%7BC%7D%3D%5C%7B%5Cmathrm%7Bx%7D%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Cmid-
2%20%5Cleq%20%5Cmathrm%7Bx%7D%20%3C%202%5C%7D%3D%5C%7B-2%2C-
1%2C0%2C1%5C%7D.%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Col%20class%3D'c-
paragraph%20c-table%20color-neutral-
70'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cli%3EComo%20podemos%20ver%2C%20%5C(C%3
2%2C-1%2C0%2C1%5C%7D%20%5Csubset%20A%3D%5C%7B%5Cldots%2C-
1%2C0%2C1%2C2%5C%7D.%5C)%20Logo%2C%20%5C(C%20%5Csubset%20A%5C)%20%C3%A9%20o%20mesmo%20que%20%5C(A%20%5Csupset%2
1%2C0%2C1%2C2%5C%7D.%5C)%3C%2Fli%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cli%3ENote%
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Questão 2
Sejam A, B, C e D conjuntos não vazios. Analise o diagrama a seguir:
Podemos afirmar que:
E I e III corretas.
A e A ⊂ C D ⊃ B
B e B ⊃ C D ⊄ A
C e C ⊃ D B ⊂ A.
D e D ⊄ A C /B
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ENote%20que%20em%20cada%20alternativa%20temos%20duas%20op%C3%A7%C3%B5es%20para%20analisar.%3C%2Fp%3E%0A%20%
paragraph'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cli%3EPelo%20diagrama%2C%20podemos%
2 - Operações entre os conjuntos
Ao �nal deste tópico, você será capaz de identi�car as operações realizadas entre conjuntos.
Operações entre conjuntos
Vimos, no módulo anterior, as definições que caracterizaram a linguagem dos conjuntos. Agora partiremos para o segundo passo de nosso estudo:
as operações entre conjuntos. Utilizaremos as representações vistas anteriormente para resolver essas operações, identificando algumas de suas
propriedades para reconhecer geometricamente quais operações foram realizadas.
Seguiremos nosso mesmo modelo de apresentação do conteúdo: definição e exemplificação.
De�nição 1
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Definimos:
1. A união dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B, que representamos por:
Rotacione a tela. 
E e D ⊃ B D ⊄ A
A ∪ B = {x ∣ x ∈ A ou x ∈ B}.
2. A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que são comuns a A e a B simultaneamente, ou seja, é o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a B. Esse conjunto é representado por:
Rotacione a tela. 
3. A diferença dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. Esse conjunto é
representado por:
Rotacione a tela. 
No caso particular, onde , a diferença chama-se complementar de em e escrevemos:
Rotacione a tela. 
4. O produto cartesiano A × B é o conjunto formado por todos os pares ordenados da forma (x,y), onde x ∈ A e y ∈ B. Esse conjunto é representado
por:
Rotacione a tela. 
Vejamos alguns exemplos para entendermos tais conceitos.
Exemplo 1
Considere os conjuntos A = {0, 1, 3} e B = {−1, 0, 2, 3}. Vamos calcular:
Rotacione a tela. 
Na união, tomamos todos os elementos que aparecem em cada conjunto. Logo:
 ou 
Rotacione a tela. 
Note que ou .
Como veremos posteriormente, sempre vale .
Na interseção, tomamos apenas os elementos em comum. Portanto:
 e 
Rotacione a tela. 
Note que e 
A ∩ B = {x ∣ x ∈ A ∈ x ∈ B}
A − B = {x ∣ x ∈ A ∈ x ∉ B}
B ⊂ A A − B B A
C BA = A−B = {x ∣ x ∈ A ∈ x ∉ B}.
A × B = {(x, y) ∣ x ∈ A ∈ y ∈ B}.
A ∪ B,A ∩ B,A − B,B − A,A × BeB × A
A ∪ B = {x ∣ x ∈ A x ∈ B} = {−1, 0, 1, 2, 3}
B ∪ A = {x ∣ x ∈ B x ∈ A} = {−1, 0, 1, 2, 3} = A ∪ B
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = {x ∣ x ∈ A x ∈ B} = {0, 3}
B ∩ A = {x ∣ x ∈ B x ∈ A} = {0, 3} = A ∩ B
Como veremos posteriormente, sempre vale .
Na diferença, tomamos apenas os elementos do primeiro conjunto que não estão no segundo conjunto. Assim:
Rotacione a tela. 
Note que , ou seja, nem sempre vale a igualdade.
No produto cartesiano, tomamos todos os pares ordenados, sendo que a primeira coordenada pertence ao primeiro conjunto (conjunto da
esquerda) e a segunda coordenada pertence ao segundo conjunto (conjunto da direta). Veja:
Como A = {0, 1, 3} e B = {−1, 0, 2, 3}, então:
Rotacione a tela. 
Enquanto:
Rotacione a tela. 
Note que , ou seja, nem sempre vale a igualdade.
Veja mais um exemplo envolvendo essas operações com três conjuntos envolvidos.
Exemplo 2
Considere os conjuntos e . Calcule as seguintes operações:
Rotacione a tela. 
Primeiramente, vamos explicitar os conjuntos para facilitar nossas operações:
A ∩ B = B ∩ A
(A − B) = {x ∣ x ∈ A e x ∉ B} = {1}
(B − A) = {x ∣ x ∈ B e x ∉ A} = {−1, 2}
A − B ≠ B − A
A × B = {(x, y) ∣ x ∈ A e y ∈ B} =
= {(0,−1), (0, 0), (0, 2), (0, 3),
(1,−1), (1, 0), (1, 2), (1, 3), (3,−1),
(3, 0), (3, 2), (3, 3)}.
B × A = {(x, y) ∣ x ∈ B e y ∈ A} =
= {(−1, 0), (−1, 1), (−1, 3), (0, 0),
(0, 1), (0, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 3),
(3, 0), (3, 1), (3, 3)}.
A × B ≠ B × A
A = {x ∈ Z ∣ x ≤ 4},B = {x ∈ Z ∣ x > −2} C = {x ∈ N ∣ x < 7}
A − (B ∩ C), (A ∩ B) − C, (A ∪ C) ∩ B, (B − A) ∪ C
Rotacione a tela. 
Agora vamos realizar as operações desejadas.
Para solucionar - , primeiro resolvemos a parte entre parênteses separadamente, ou seja:
 e após .
Rotacione a tela. 
Observando os conjuntos dados, temos que:
 Note que 
Rotacione a tela. 
Logo:
Rotacione atela. 
Para solucionar , primeiro resolvemos a parte entre parênteses separadamente, ou seja:
Rotacione a tela. 
Observando os conjuntos dados, temos que:
Rotacione a tela. 
Logo:
Rotacione a tela. 
Para solucionar , primeiro resolvemos a parte entre parênteses separadamente, ou seja:
Rotacione a tela. 
Observando os conjuntos dados, temos que:
Rotacione a tela. 
A = {x ∈ Z ∣ x ≤ 4} = {…− 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4}
B = {x ∈ Z ∣ x > −2} = {−1, 0, 1, 2,…}
C = {x ∈ N ∣ x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A (B ∩ C)
B ∩ C A − (B ∩ C)
B ∩ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} = C. ( C ⊂ B)
A − (B ∩ C) = {…,−3,−2,−1}
(A ∩ B) − C
A ∩ B e após (A ∩ B) − C. 
A ∩ B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4}
(A ∩ B) − C = {−1}
(A ∪ C) ∩ B
A ∪ C e após (A ∪ C) ∩ B.
A ∪ C = {…,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Logo:
Rotacione a tela. 
Para solucionar , primeiro resolvemos a parte entre parênteses separadamente, ou seja:
Rotacione a tela. 
Observando os conjuntos dados, temos que:
Rotacione a tela. 
Logo:
Rotacione a tela. 
Note que as operações anteriores foram realizadas utilizando a forma explícita dos elementos de cada conjunto envolvido. Mas, dependendo dos
conjuntos envolvidos, essa representação pode não ser conveniente.
Assim, vamos analisar agora outra forma de trabalhar com esses conjuntos, utilizando figuras no diagrama de Venn.
Observe que, geometricamente, dados dois conjuntos A e B, podemos representar a união, a interseção e a diferença pelos diagramas abaixo:
No caso particular em que , a diferença é representada por:
Quando temos três ou mais conjuntos envolvidos, nossa representação geométrica fica similar ao que realizaremos no exemplo a seguir.
Exemplo de representação geométrica
(A ∪ C) ∩ B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(B − A) ∪ C
B - A e após (B − A) ∪ C. 
B − A = {5, 6, 7,…}
(B − A) ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…}
B ⊂ A A − B = C AB

Assista ao exemplo no vídeo:
Nos exemplos, desenvolvemos várias operações entre os conjuntos, mas existem muitas outras que podem ser realizadas, conforme veremos
posteriormente. Agora, vamos listar algumas das principais propriedades que envolvem as operações entre conjuntos.
Propriedades dos conjuntos
Propriedades da união
Dados os conjuntos A, B, C e D, temos:
1. .
2. .
3. , ou seja, a operação união é comutativa.
4. , ou seja, a operação união é associativa.
5. e .
�. .
Propriedades da interseção
Dados os conjuntos A, B, C e D, temos:
1. .
2. 
3. , ou seja, a operação união é comutativa.
4. , ou seja, a operação união é associativa.
5. e .
�. .
Na linguagem matemática significa: se, somente se.
A ∪ ∅ = A
A ∪ A = A
A ∪ B = B ∪ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ⊂ B C ⊂ D ⇒ (A ∪ C) ⊂ (B ∪ D)
A ∪ B = A ⇔ B ⊂ A
A ∩ ∅ = A
A ∩ A = A
A ∩ B = B ∩ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A ⊂ B C ⊂ D ⇒ (A ∩ C) ⊂ (B ∩ D)
A ∩ B = A ⇔ B ⊂ A
⇔
Propriedades da diferença
Considere os conjuntos e tais que . Temos:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
�. .
7. .
Você deve se lembrar que essas propriedades, como tantas outras afirmações no campo da Matemática, não são meras determinações de algum
cientista matemático. Todas as propriedades podem ser provadas algebricamente.
No entanto, por conta do objetivo de nosso módulo, mostraremos geometricamente a validade de algumas das propriedades apresentadas.
Vejamos a propriedade 5 da união e a propriedade 5 da interseção: em ambas, temos que A e C . Isso pode ser representado
geometricamente na seguinte figura:
Assim, temos que:
Isso nos mostra que .
E o diagrama a seguir nos mostra que .
A,B X A,B ⊂ X
A − ∅ = A
A − A = ∅
A − B = ∅ ⇔ A ⊂ B
A − B = A − (A ∩ B)
A ⊂ B ⇔ C BX ⊂ C
A
X
C A∪BX = C
A
X ∩ C
B
X
C A∩BX = C
A
X ∪ C
B
X
⊂ B ⊂ D
(A ∪ C) ⊂ (B ∪ D)
(A ∩ C) ⊂ (B ∩ D)
A propriedade 4 da diferença pode ser vista da seguinte maneira: representando os conjuntos A e B pelo diagrama, podemos observar que:
Para a propriedade 5 da diferença, temos que e que . Isso pode ser representado por:
Assim, temos que:
Logo, nos mostra que .
Com essas propriedades, podemos explorar outros conceitos envolvendo conjuntos, como, por exemplo, a quantidade de elementos que um
conjunto possui.
Saiba mais
Se você quiser ver as demonstrações dessas propriedades, confira o capítulo 1 do livro Curso de Análise v.1 (2007), de Elon Lages Lima.
De�nição 2
Seja A um conjunto finito qualquer (ou seja, um conjunto que possui uma quantidade finita de elementos), a quantidade de elementos que o conjunto
A possui é denotada por:
Rotacione a tela. 
A,B ⊂ X A ⊂ B
C BX ⊂ C
A
X
n(A).
Em algumas bibliografias, o número de elementos de um conjunto A é denotado por #A.
Antes de vermos o exemplo que nos ajudará a compreender esse conceito, queremos levantar dois questionamentos, os quais serão respondidos
mais à frente:
Dados dois conjuntos A, B quaisquer:
1. Será que vale ?
2. Será que vale ?
Vejamos agora um exemplo para nos ajudar a entender o conceito de n(A) e a responder nosso questionamento.
Exemplo 3
Considere os conjuntos A = {−2, 1, 3, 4} e B = {−1,1, 3}. Calcule:
Rotacione a tela. 
Note que:
n(A) = 4, pois o conjunto A possui 4 elementos.
n(B) = 3, pois o conjunto B possui 3 elementos.
Para responder aos demais questionamentos, vamos, primeiramente, determinar o que são os conjuntos:
Rotacione a tela. 
Sendo A = {−2, 1, 3, 4} e B = {−1, 1, 3}, então:
Então, você já pode responder aos nossos questionamentos?
Relembrando:
Dados dois conjuntos A, B quaisquer:
Será que vale n(A ∪ B) = n(A) + n(B)?
Será que vale n(A − B) = n(A) − n(B)?
Utilizando o exemplo 3, podemos perceber que:
 e 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
n(A − B) = n(A) − n(B)
n(A),n(B),n(A ∪ B),n(A ∩ B),n(A − B) e n(B − A)
A ∪ B,A ∩ B,A − B ∈ B − A
A ∪ B = {−2,−1, 1, 3, 4}, logo,n(A ∪ B) = 5
A ∩ B = {1, 3}, logo,n(A ∩ B) = 2
A − B = {−2, 4}, logo,n(A − B) = 2
B − A = {−1}, logo,n(B − A) = 1
n(A ∪ B) ≠ n(A) + n(B) n(A − B) ≠ n(A) − n(B)
Rotacione a tela. 
Portanto, as perguntas 1 e 2 realizadas anteriormente têm resposta negativa, ou seja, nem sempre valem as igualdades apresentadas nos
questionamentos.
Propriedades de n(A)
Utilizando as propriedades das operações vistas anteriormente, vamos apresentar algumas das principais propriedades para a quantidade de
elementos de um conjunto.
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Então, valem as seguintes propriedades:
1. .
2. .
3. 
4. Se então .
Observe que, para entendermos essas propriedades, vamos relembrar os diagramas vistos anteriormente que representam as operações entre os
conjuntos A e B:
A propriedade decorre do fato que, quando fazemos quantidade de elementos
 da interseção é contada duas vezes (uma vez em e outra em .
A propriedade decore da propriedade 4 da diferença de conjuntos, pois .
A propriedade também decore da propriedade 4 da diferença de conjuntos, pois .
A propriedade 4 é dada por: se , então .
E pode ser interpretada pelo seguinte diagrama:
Exemplo de propriedades de n(A)
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)
n(B − A) = n(B) − n(A ∩ B)
B ⊂ A1 n(C
B
A ) = n(A − B) = n(A) − n(B)
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) n(A) + n(B), a
n(A ∩ B) n(A) n(B)
n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B) A B = A − (A ∩ B)
n(B − A) = n(B) − n(A ∩ B) B − A = B − (A ∩ B)
B ⊂ A n(C BA ) = n(A − B) = n(A) − n(B)

Veja agora alguns exemplos envolvendo essas propriedades.
Observe que a operação de produto cartesiano tem mais aplicabilidade geométrica quando trabalhamos com produto cartesiano entre intervalos da
reta. Isso será visto com mais detalhes no próximo módulo.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(UFSM-RS) Dados os conjuntos e produto dos
elementos que formam o conjunto é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EInicialmente%2C%20vamos%20colocar%20os%20conjuntos%20de%20maneira%20expl%C3%ADcita%20para%20podermos%20manuse
los%20mais%20facilmente%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cul%20class%3D'c-paragraph%20c-table%20color-neutral-
70'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cli%3E%5C(A%3D%5C%7Bx%20%5Cin%20N%20%5Cmid%20
2%20%3C%20x%20%5Cleq%209%5C%7D%3D%5C%7B-
1%2C0%2C1%2C2%2C%20%5Cldots%2C%209%5C%7D.%5C)%3C%2Fli%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph'%3EPara%20descobrir%20%5C((A%20%5Ccap%20B)%5C)%20-
%20C%2C%20primeiro%20resolvemos%20os%20par%C3%AAnteses%2C%20ou%20seja%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph'%3E%24%24%20A%20%5Ccap%20B%3D%5C%7B1%2C3%2C5%2C7%2C9%5C%7D%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%
paragraph'%3EAgora%20fazemos%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-table'%3E%5C((A%20%5Ccap%20B)-C%3D%5C%7B1%2C3%2C5%2C7%2C9%5C%7D-
%5C%7B5%2C6%2C7%2C8%2C%20%5Cldots%5C%7D%3D%5C%7B1%2C3%5C%7D.%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph'%3EPortanto%2C%20o%20produto%20dos%20elementos%20de%20%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph%20c-table'%3E%5C((A%20%5Ccap%20B)-
C%3D%5C%7B1%2C3%5C%7D%5C)%20%C3%A9%20%5C(1%20%5Ctimes%203%3D%5Cmathbf%7B3%7D.%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20
Questão 2
Dados os conjuntos A, B e C não vazios, considere o diagrama:
A = {x ∈ N ∣ x é ímpar}, B = {x ∈ Z ∣ −2 < x ≤ 9} C = {x ∈ Z ∣ x ≥ 5}, 0
(A ∩ B) − C
A 1
B 3
C 15
D 35
E 0
A parte hachurada pode ser representada por:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20que%20o%20diagrama%20%5C(B%5C)%20n%C3%A3o%20est%C3%A1%20hachurado.%20Isso%20significa%20que%20%5C(B%
paragraph'%3E%5C((A%20%5Ccup%20C)-
B%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3E%C3%89%20necess%C3%A1rio%20colocar%20o%20%5C(-
B%5C)%2C%20pois%20existem%20elementos%20de%20%5C(A%5C)%20que%20em%20interse%C3%A7%C3%A3o%20com%20o%20%5C(B%5C)%2C%
A (A ∩ C) − B.
B (A − B) ∪ C.
C (A ∪ C) − B.
D AU(C − B).
E A ∪ C.
3 - Operações entre os intervalos da reta
Ao �nal deste módulo, você será capaz de resolver operações entre intervalos da reta.
Operações com os intervalos da reta real
Neste módulo, trabalharemos exclusivamente com operações envolvendo os intervalos da reta. Veremos que, para esses conjuntos particulares, as
representações geométricas na reta real são a melhor maneira de desenvolver as operações. Lembramos a você que insistiremos em manter a
estrutura de definição e exemplos, por acreditarmos que ela facilita a compreensão dos conceitos matemáticos.
De�nição 1
Sejam . Os intervalos são tipos especiais de subconjuntos dos números reais que são definidos por:
Intervalo fechado: 
Intervalo fechado à esquerda: 
Intervalo fechado à direita: 
Intervalo aberto: 
Semirreta direita fechada de origem 
Semirreta direita aberta de origem a: 
Semirreta esquerda fechada de origem 
Semirreta esquerda aberta de origem 
Reta real inteira: 
Note que os termos fechado e aberto na definição significam, respectivamente, que:
O extremo do intervalo pertence ao intervalo considerado
Utiliza-se o termo fechado na definição. O colchete representa que o extremo pertence ao intervalo.
O extremo do intervalo não pertence ao intervalo considerado
Utiliza-se o termo aberto na definição. Os parênteses representam que o extremo não pertence ao intervalo.
Desse modo, para fazer operações entre intervalos da reta, é essencial tomarmos o cuidado de destacar quando o extremo pertence ou não
pertence ao intervalo.
a, b ∈ R
[a, b] = {x ∈ R ∣ a ≤ x ≤ b}
[a, b) = {x ∈ R ∣ a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R ∣ a < x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ R ∣ a < x < b}
a : [a, +∞) = {x ∈ R ∣ a ≤ x}
(a, +∞) = {x ∈ R ∣ a < x}
b : (−∞, b] = {x ∈ R ∣ x ≤ b}
b : (−∞, b) = {x ∈ R ∣ x < b}
(−∞,+∞) = R

Representação dos intervalos na reta
Agora veremos como representar geometricamente cada um dos intervalos apresentados na definição 1. Como a grande diferença situa-se no(s)
extremo(s) do intervalo, utilizaremos:
Bolinhas fechadas no extremo
Quando ele pertence ao intervalo.
Bolinhas abertas no extremo
Quando ele não pertence ao intervalo.
Assim, a representação de cada intervalo será:
A seguir, apresentaremos vários exemplos de operações realizadas entre intervalos.
Exemplo 1
Considere os intervalos e . Vamos calcular:
Rotacione a tela. 
A resolução dessas operações ocorre do seguinte modo:
Representamos geometricamente os intervalos envolvidos na operação um abaixo do outro (colocando os
extremos do intervalo seguindo a ordem crescente da reta, ou seja, crescimento da esquerda para a direita) e
abaixo da representação desses dois intervalos colocamos uma terceira reta real para marcar o resultado da
operação.
Veja caso a caso.
: como a união é formada utilizando todos os elementos dos conjuntos, temos a seguinte representação:

A = [−2, 3),B = (−1, 4),C = (−∞, 2] D = [−3, 1)
A ∪ B,A ∩ B,A − B,B − A,A ∩ C,C − D,D − C.
A ∪ B
Logo, .
A B: como a interseção é formada apenas pelos elementos comuns aos dois conjuntos, temos a seguinte representação:
Note que as bolinhas em -1 e em 3 são abertas, pois , portanto, e . Logo, .
A − B: vamos considerar apenas os elementos que estão em A, mas que não pertencem a B. Temos a seguinte representação:
Note que em a bolinha em é fechada, pois , mas . Portanto, B. Logo, .
B - A: vamos considerar apenas os elementos que estão em B, mas que não pertencem a A. Temos a seguinte representação:
Note que em B - A a bolinha em 3 é fechada, pois , mas . Portanto, . Logo, .
A C: como a interseção é formada apenas pelos elementos comuns aos dois conjuntos, temos a seguinte representação:
Note que as bolinhas são fechadas em e 2, pois C. Portanto, e . Logo, .
A ∪ B = [−2, 4)
∩
−1 ∉ B, 3 ∉ A −1 3 ∉ A ∩ B A ∩ B = (−1, 3)
A − B −1 −1 ∈ A −1 ∉ B −1 ∈ A− A − B = [−2,−1]
3 ∉ A 3 ∈ B 3 ∈ B − A B − A = [3, 4)
∩
−2 −2, 2 ∈ A ∈ −2, 2 ∈ −2 2 ∈ A ∩C A ∩ C = [−2, 2]
C − D: vamos considerar apenas os elementos que estão em C, mas que não pertencem a D. Temos a seguinte representação:
Note que em temos duas partes onde a bolinha está aberta em , pois e .
Logo, . A bolinha em fica fechada, pois e .
Portanto, . Como ficou dividido em duas partes, escrevemos como a união das duas partes:
Rotacione a tela. 
D - C: vamos considerar apenas os elementos que estão em D, mas que não pertencem a C. Observe que, nesse caso, temos . Logo, todos os
elementos de D também estão em C, ou seja, não existem elementos que estão em D, mas que não pertencem a C. Portanto:
D − C = { } (conjunto vazio).
Rotacione a tela. 
Outra forma de ver que é utilizando a propriedade da diferença vista no módulo 2:
Atenção!
Quando existem mais do que dois conjuntos envolvidos em operações, analisamos as operações em etapas de dois a dois, sempre trabalhando
inicialmente de dentro dos parênteses para fora, como mostraremos no próximo exemplo.
Exemplo 2
Vamos considerar os mesmos intervalos do exemplo 1, ou seja:
Rotacione a tela. 
Agora calcularemos as seguintes operações entre esses conjuntos:
Rotacione a tela. 
Para resolver - , primeiro resolvemos a parte entre parênteses separadamente, ou seja:
Rotacione a tela. 
Como já vimos no exemplo 1, sabemos que:
C − D −3 −3 ∈ C −3 ∈ D
−3 ∉ C − D 1 1 ∈ C 1 ∉ D
1 ∈ C − D C − D C − D
C − D = (−∞,−3) ∪ [1, 2]
D ⊂ C
D − C = {}
D − C = {} ⇔ D ⊂ C
A = [−2, 3),B = (−1, 4),C = (−∞, 2] e D = [−3, 1)
A − (A ∩ B), (A ∪ B) − (A ∩ B),D − (C ∩ A), (D − C) ∩ A
A (A ∩ B)
A ∩ B e após A − (A ∩ B). 
Rotacione a tela. 
Assim, podemos realizar a operação desejada, , pela seguinte figura:
Note que a bolinha em -1 é fechada, pois , mas .
Rotacione a tela. 
No exemplo 1, vimos que , ou seja, , conforme já havíamos visto nas propriedades da
diferença no módulo 
Para resolver , primeiro resolvemos as partes entre parênteses separadamente, ou seja:
Rotacione a tela. 
Como já fizemos essas operações no exemplo 1, sabemos que:
Rotacione a tela. 
Agora podemos realizara operação desejada, , pela seguinte figura:
Note que, na última reta, e 3 estão com bolinha fechada, pois , mas . Logo,
Para resolver - , primeiro resolvemos a parte entre parênteses separadamente, ou seja:
Rotacione a tela. 
Pelo exemplo 1, sabemos que . Assim, como vimos no módulo 2, temos que:
Rotacione a tela. 
A ∩ B = (−1, 3)
A − (A ∩ B)
−1 ∈ A −1 ∉ A ∩ B
 Portanto, 1 ∈ A − (A ∩ B). Logo, A − (A ∩ B) = [−2,−1]. 
A − B = [−2,−1] A − B = [−2,−1] = A − (A ∩ B)
2.
(A ∪ B) − (A ∩ B)
A ∪ B e após A ∩ B. 
A ∪ B = [−2, 4) e A ∩ B = (−1, 3)
(A ∪ B) − (A ∩ B)
−1 −1, 3 ∈ A ∪ B −1, 3 ∉ A ∩ B
(A ∪ B) − (A ∩ B) = [−2,−1] ∪ [3, 4)
D (C ∩ A)
C ∩ A e após D − (C ∩ A)
A ∩ C = [−2, 2]
C ∩ A = A ∩ C = [−2, 2]
Agora podemos realizar a operação desejada, , da seguinte forma:
Note que, na última reta, -2 está com bolinha aberta, pois e , então:
Rotacione a tela. 
Logo:
Rotacione a tela. 
Para resolver , primeiro resolvemos a parte entre parênteses separadamente, ou seja:
 e após .
Rotacione a tela. 
Pelo exemplo 1, sabemos que D − C = { }. Logo, como vimos no módulo 2, temos que:
Rotacione a tela. 
Logo, é vazio.
Observe que o exemplo anterior mostra claramente que:
Rotacione a tela. 
Perceba que é muito importante respeitar e distinguir a ordem de resolução das operações.
Exemplo 3
Veja o exemplo 3 no vídeo a seguir.
D − (C ∩ A)
−2 ∈ D −2 ∈ A ∩ C
−2 ∉ D − (A ∩ C)
D − (C ∩ A) = [−3,−2)
(D − C) ∩ A
D − C (D − C) ∩ A
(D − C) ∩ A = {} ∩ A = {}.
(D − C) ∩ A = {}
D − (C ∩ A) = [−3,−2) ≠ (D − C) ∩ A = {}

Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Dados os intervalos podemos afirmar que é dado por:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20resolver%20%5C(%5Cmathrm%7BA%7D%20%5Ccup(%5Cmathrm%7BB%7D%20%5Ccap%20%5Cmathrm%7BC%7D)%2C%5C)%
paragraph'%3E%5C(B%20%5Ccap%20%5Cmathrm%7BC%7D%5C)%20e%20ap%C3%B3s%20%5C(%5Cmathrm%7BA%7D%20%5Ccup(%5Cmathrm%7BB
paragraph'%3EPara%20resolver%20%5C(B%20%5Ccap%20%5Cmathrm%7BC%7D%2C%5C)%20operamos%20utilizando%20a%20figura%20abaixo%3A%
image%20src%3D%22img%2Fimagem_33.jpg%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Yuri%20Cooke%22%20loading%3D%22lazy%22%3E%3C%2Fyduq
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ENote%20que%2C%20na%20%C3%BAltima%20reta%2C%20o%202%20aparece%20com%20bolinha%20aberta%2C%20pois%20%5C(2%20
paragraph'%3E%5C(B%20%5Ccap%20C%3D%5B-
6%2C2)%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAgora%20podemos%20calcular%20%5C(A%20%5Ccup(B%20%5Ccap%20C)%5C)%20utilizando%20a%20representa%C3%A7%C3%A3o%
image%20src%3D%22img%2Fimagem_34.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Yuri%20Cooke%22%20loading%3D%22lazy%22%3E%3C%2Fydu
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPortanto%2C%20%5C(A%20%5Ccup(B%20%5Ccap%20C)%3D%5B-
6%2C2%5D.%5C)%20Resposta%3A%20(a).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
Dados os intervalos A = [−1, 3) B = (1, 5) e C = (1, 3), qual dos itens abaixo representa o conjunto (A − B) × C ?
A = (−5, 2],B = [−6, 4],C = (−∞, 2), A ∪ (B ∩ C)
A [-6,2]
B [-6,2)
C (−∞, 4]
D (−∞, 4)
E (−∞, 2]
A a.
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAntes%20de%20buscar%20a%20representa%C3%A7%C3%A3o%20geom%C3%A9trica%20do%20conjunto%20(A%20%E2%88%92%20B)
paragraph'%3EPara%20encontrarmos%20A%E2%88%92B%2C%20basta%20realizarmos%20a%20seguinte%20opera%C3%A7%C3%A3o%20com%20os%
image%20src%3D%22img%2Fimg_42.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Yuri%20Cooke%22%20loading%3D%22lazy%22%3E%3C%2Fyduqs-
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ENote%20que%2C%20na%20%C3%BAltima%20reta%2C%201%20aparece%20com%20bolinha%20fechada%2C%20pois%20%5C(1%20%5
%20B.%20Portanto%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3E%24%24%24%20A-B%3D%5B-
1%2C1%5D%20%24%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELogo%2C%20(A%20%E2%88%92%20B)%20%C3%97%20C%20%3D%20%5B%E2%88%921%2C%201%5D%20%C3%97%20(1%2C%203)%2
image%20src%3D%22img%2Fimg_43.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Yuri%20Cooke%22%20loading%3D%22lazy%22%3E%3C%2Fyduqs-
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
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B)%20%5Ctimes%20C%2C%5C)%20pois%20%5C(1%20%5Cnotin%20C%2C%5C)%20e%20%5C((-1%2C3)%5C)%20e%20%5C((1%2C3)%20%5Cnotin(A-
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4 - Conjuntos e problemas do cotidiano
Ao �nal deste módulo, você será capaz de resolver problemas do cotidiano utilizando conjuntos.
B b.
C c.
D d.
E e.
Aplicações da teoria de conjuntos
Chegamos ao nosso último módulo. Como você sabe, nosso objetivo é a aplicabilidade dos conceitos aprendidos anteriormente, seja no âmbito da
resolução de problemas cotidianos, ou na solução de questões geralmente cobradas em concursos públicos.
Aqui você perceberá, portanto, a falta do item definição, já que vamos recuperar os conceitos apresentados nos módulos anteriores mais alguns
exemplos para ajudá-lo a seguir em frente nesse processo de compreensão dos conjuntos matemáticos.
Exemplo 1 - Adaptado da UNESP
Em um estudo de grupos sanguíneos humanos, realizado com 1000 pessoas, constatou-se que 470 tinham o antígeno A, 230 tinham o antígeno B e
450 não tinham nenhum dos dois antígenos. Determine o número de pessoas que possuem os antígenos A e B simultaneamente.
Vamos, inicialmente, extrair as informações do enunciado. Chamando de:
1. X o conjunto de todas as pessoas do estudo;
2. A o conjunto das pessoas com antígeno A;
3. B o conjunto das pessoas com antígeno B;
Podemos formar a seguinte figura:
Pelo enunciado, temos que:
4. X possui 1000 pessoas, A possui 470 pessoas, B possui 230 pessoas;
5. Dentro do conjunto X, mas fora de ambos os conjuntos A e B existem 450 pessoas.
Completando a figura com essas informações, temos:
Precisamos encontrar a quantidade de pessoas que possuem os antígenos A e B, simultaneamente, ou seja:
�. Queremos saber a quantidade y de pessoas presentes no conjunto .
Colocando y na parte correspondente a e utilizando a figura anterior, podemos formar o seguinte diagrama:
Note que o conjunto A está dividido em 2 partes. A parte correspondente à interseção possui y pessoas. Como A tem 470 pessoas, então
a outra parte do conjunto A possuirá 470- y pessoas, fornecendo a figura a seguir
Da mesma forma, o conjunto B está dividido em 2 partes. A parte correspondente à interseção A B possui y pessoas. Como B tem 230 pessoas,
então a outra parte do conjunto B possuirá 230 - y pessoas, fornecendo a seguinte figura:
Assim, podemos ver que o conjunto X foi dividido em quatro partes:
Uma parte fora dos conjuntos A, B;
Duas partes dentro do conjunto A;
Mais uma parte dentro do conjunto B.
Logo, o total de pessoas do conjunto X (ou seja, 1000) é obtido somando a quantidade de pessoas (números na cor preta) dessas quatro partes, por
meio do seguinte cálculo:
A ∩ B
A ∩ B
A ∩ B
∩
Rotacione a tela. 
Portanto, y = 150 é a quantidade de pessoas desse grupo com os antígenos A e B simultaneamente.
Exemplo 2
Em uma escola, foram oferecidas aulas de reforço para Física e Matemática. Feito um levantamento em uma turma com 48 alunos, obteve-se que 22
alunos querem reforço em Matemática, 28 querem reforço em Física e 10 querem reforço em ambas as matérias. Para essa turma, determine:
1. Quantos alunos querem reforço apenasem Matemática?
2. Quantos alunos querem reforço apenas em Física?
3. Quantos alunos querem reforço em pelo menos uma matéria?
4. Quantos alunos não querem reforço em nenhuma matéria?
5. Quantos alunos querem reforço em, no máximo, uma matéria?
Vamos, inicialmente, extrair as informações do enunciado. Chamando de:
X o conjunto de todos os alunos dessa turma;
F o conjunto dos alunos que querem reforço em Física;
M o conjunto dos alunos que querem reforço em Matemática.
Podemos formar a seguinte figura:
Pelo enunciado, temos que:
X possui 48 alunos, M possui 22 alunos, F possui 28 alunos e M F possui 10 alunos.
Completando a figura com essas informações, temos:
450 + (470 − y) + y + (230 − y) = 1000 ⇒
920 − y + y + 230 − y = 1000 ⇒ 920 + 230 − y = 1000 ⇒
1150 − y = 1000 ⇒ −y = 1000 − 1150 ⇒ −y = −150 ⇒
y = 150
∩
Assim como vimos no exemplo 1, podemos perceber que os conjuntos M e F foram divididos em duas partes e o conjunto X foi dividido em quatro
partes. Utilizando os valores que temos na figura anterior, podemos completar os conjuntos M e F da seguinte maneira:
Agora, vamos resolver os questionamentos.
1. Quantos alunos querem reforço apenas em Matemática?
12 alunos, pois observando a figura anterior, podemos ver que, dentre os 22 alunos que querem reforço de Matemática, somente 12 querem reforço
apenas em Matemática.
2. Quantos alunos querem reforço apenas em Física?
18 alunos, pois observando a figura anterior, podemos ver que, dentre os 28 alunos que querem reforço de Física, apenas 18 querem reforço apenas
em Física.
3. Quantos alunos querem reforço em pelo menos uma matéria?
Os alunos que querem reforço em pelo menos uma disciplina formam exatamente o conjunto . Pela figura, essa união possui:
12 + 10 + 18 = 40 alunos.
Rotacione a tela. 
4. Quantos alunos não querem reforço em nenhuma matéria?
Os alunos que não querem reforço em nenhuma matéria são exatamente aqueles que estão fora de . Como tem 48 alunos e em M U F tem
40 alunos (como vimos na letra (c)), então a quantidade y que está fora de é:
y = 48 − 40 = 8 alunos.
Rotacione a tela. 
5. Quantos alunos querem reforço em, no máximo, uma matéria?
Dizer que o aluno quer reforço em no máximo uma matéria significa que o aluno: ou quer reforço em apenas uma matéria, ou não quer reforço em
nenhuma matéria.
Analisando a figura, destacamos os alunos que querem reforço em apenas uma matéria e os que não querem reforço em nenhuma matéria.
Assim, a quantidade de alunos que querem reforço em, no máximo, uma matéria, é dada por:
12 + 18 + 8 = 38 alunos.
Rotacione a tela 
M∪ F
M∪ F X
M ∪ F
Rotacione a tela. 
Outra forma de analisar esse caso é:
Os alunos que querem reforço em, no máximo, uma matéria, correspondem ao total de alunos da turma , exceto aqueles que querem
reforço nas duas matérias :
48 − 10 = 38 alunos.
Rotacione a tela. 
Nos exemplos anteriores, trabalhamos casos com apenas dois conjuntos dentro do conjunto principal. Vamos analisar agora problemas com três ou
mais conjuntos dentro do conjunto X.
Exemplo 3
Uma população consome 3 marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os seguintes resultados tabelados.
Sendo assim:
1. Determine o número de pessoas que consomem apenas a marca C.
2. Determine o número de pessoas que consomem apenas uma das marcas.
3. Determine o número de pessoas que consomem exatamente duas marcas.
4. Determine o número de pessoas consultadas.
Vamos, inicialmente, extrair as informações do enunciado. Chamando de:
X o conjunto de todas as pessoas consultadas.
A, B e C os conjuntos das pessoas que consomem as marcas A, B e C, respectivamente.
Assim, podemos formar a figura a seguir:
Observe que o conjunto X ficou dividido em várias partes, e os conjuntos A, B e C estão divididos em quatro partes.
Pela tabela, temos as seguintes informações com relação ao número de consumidores:
(X = 48)
(M ∩ F = 10)
X =?,A = 105,B = 200,C = 160
Para resolvermos problemas como este, vamos anotar inicialmente: a quantidade nos conjuntos maiores e C), a quantidade fora da união
 ) e a quantidade no menor conjunto que é a interseção dos .
Assim, utilizando o primeiro e o terceiro item acima, podemos preencher a figura anterior da seguinte maneira:
Agora, utilizando o segundo item acima , podemos completar os seguintes espaços:
Como sabemos que A = 105, B = 200, C = 160, podemos finalizar a figura analisando a quantidade que já está em cada conjunto e verificando quanto
falta em cada conjunto. Sendo assim, obtemos a figura:
Agora, vamos resolver os questionamentos.
1. Determine o número de pessoas que consomem apenas a marca C.
100 pessoas, pois, dentre as 160 pessoas que consomem a marca C, podemos ver na figura que 100 delas não consomem outra marca.
2. Determine o número de pessoas que consomem apenas uma das marcas.
Fazendo uma análise semelhante à letra (a), podemos ver que:
A quantidade de pessoas que só consomem a marca A é 60.
A quantidade de pessoas que só consomem a marca B é 140.
Pela letra (a), a quantidade de pessoas que só consomem a marca C é 100.
Logo, a quantidade de pessoas que consomem apenas uma das marcas é dada por:
60 + 140 + 100 = 300 pessoas.
Rotacione a tela. 
A ∩ B = 25,B ∩ C = 40,A ∩ C = 25
A ∩ B ∩ C = 5eX − (A ∪ B ∪ C) = 120
(X,A,B
(X − (A ∪ B ∪ C) 3(A ∩ B ∩ C)
(A ∩ B = 25,B ∩ C = 40,A ∩ C = 25)
3. Determine o número de pessoas que consomem exatamente duas marcas.
Para isso, temos que analisar a quantidade de pessoas presentes nas interseções e em apenas dois conjuntos. Destacamos essas quantidades na
figura abaixo:
Logo, a quantidade de pessoas que consomem exatamente duas marcas é dada por:
20 + 20 + 35 =75 pessoas.
Rotacione a tela. 
4. Determine o número de pessoas consultadas.
A quantidade de pessoas consultadas é o total da soma de todos os valores da figura, ou seja:
X = 120 + 60 + 20 + 5 + 20 + 140 + 35 + 100 = 500 pessoas.
Rotacione a tela. 
Quando há 4 conjuntos (A, B, C, D) contidos em um conjunto X, a análise é similar àquela que realizamos no exemplo 4.3, porém a análise
geométrica é mais sofisticada.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(FCC - 2019) Um grupo é formado por 410 ciclistas, dos quais 260 praticam natação e 330 correm regularmente. Sabendo que 30 ciclistas não
nadam e não correm regularmente, o número de ciclistas que praticam natação e correm regularmente é:
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20resolver%20este%20problema%20n%C3%A3o%20precisamos%20montar%20um%20diagrama%20de%20Venn%20na%20verda
paragraph'%3EPerceba%20que%2C%20temos%20um%20total%20de%20410%20ciclistas%2C%20sendo%20que%2030%20n%C3%A3o%20correm%20e
%2030%20%3D%20380%3C%2Fstrong%3E.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ETemos%20ent%C3%A3o%20380%20ciclistas%2Cque%20correm%20ou%20nadam.Todavia%2Cvemos%20que%20se%20somarmos%20
%20380%20%3D%20210%3C%2Fstrong%3E%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c
paragraph'%3ECom%20essa%20subtra%C3%A7%C3%A3o%2C%20percebemos%20o%20seguinte%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cli%3E210%20ciclistas%2C%20correm%20e%20nada
A 170
B 150
C 190
D 200
E 210
210)%3C%2Fli%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cli%3E30%20ciclistas%20n%C3%A3o%20correm
paragraph'%3EVeja%20que%20a%20soma%20resulta%20em%20410%3A%20210%20%2B%20170%20%2B%2030%20%3D%20%3Cstrong%3E410%3C%
Questão 2
Em uma pesquisa realizada com todas as pessoas de uma pequena cidade sobre a leitura dos jornais A, B e C, obteve-se que 28% das pessoas
leem o jornal A, 35% leem o jornal B, 23% leem o jornal C, 15% leem os jornais A e B, 8% leem os jornais B e C, 12% leem os jornais A e C e 5%
leem os três jornais. Qual é o percentual das pessoas dessa cidadenão leem nenhum dos jornais?
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPrimeiramente%2C%20temos%20que%20saber%20que%20o%20total%20de%20pessoas%20que%20participaram%20da%20pesquisa%
paragraph'%3EPara%20solucionar%20esse%20problema%2C%20teremos%20que%20montar%20um%20diagrama%20de%20Venn%2C%20mas%20par
paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%20%20%20%2
paragraph'%3EMontando%20o%20diagrama%20de%20Venn%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
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image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20que%2C%20ao%20somarmos%20todas%20as%20porcentagens%20existentes%20no%20diagrama%2C%20obtemos%20um%2
56%25%3D44%25)%2C%20restam%2044%25%2C%20que%20%C3%A9%20a%20porcentagem%20de%20entrevistados%20que%20n%C3%A3o%20leem
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Considerações �nais
Conforme vimos ao longo deste tema, existem várias maneiras de se trabalhar com conjuntos, sendo que o melhor método a ser utilizado depende
dos conjuntos envolvidos. As operações realizadas entre conjuntos fornecem diversas informações de dados pertinentes, de acordo com aquilo que
se deseja saber a respeito ou de acordo com o que se espera sobre determinadas informações.
No caso particular em que os conjuntos são intervalos da reta, as operações entre intervalos geram novos conjuntos, mas isso é assunto para outro
momento do seu estudo matemático! Finalmente, utilizamos todos os conceitos e todas as operações de conjuntos para resolvermos vários
A 44%
B 43%
C 34%
D 33%
E 0%
problemas do cotidiano, assim como questões comuns em concursos para diversos setores da sociedade.
Podcast
Agora com a palavra o professor Marcelo Rainha, contando um pouco mais sobre a relação entre os conjuntos e o nosso cotidiano. Vamos ouvir!

Referências
GIOVANNI, J. R; BONJORNO, J.R; GIOVANNI Jr., J.R. Matemática Fundamental - Uma Nova Abordagem. Volume único. São Paulo: FTD, 2002.
GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2011.
LIMA, E. L. Curso de análise. v.1, 12. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007.
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