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Engenharia de Controle Tema 13 – Métodos Heurísticos de Projeto de PID e Controladores Industriais Fabrício Bradaschia Universidade Federal de Pernambuco – UFPE Centro de Tecnologia e Geociências – CTG Departamento de Engenharia Elétrica – DEE Objetivos do Tema Os objetivos deste tema são: • Apresentar métodos heurísticos de projeto de controladores PID para sistemas em malha fechada: sintonia manual, método de Ziegler-Nichols e métodos alternativos; • Mostrar como os controladores industriais são realizados por circuitos analógicos ativos (baseados em amplificadores operacionais, resistores e capacitores) e passivos (somente com resistores e capacitores). Projeto de Controladores PID A grande maioria dos controladores práticos utilizados nas indústrias são controladores PID ou PID modificados (controladores que utilizam variações da estrutura PID clássica). Existem dois motivos que levam os controladores industriais serem, em geral, do tipo PID: • O controlador PID possui uma extensa aplicabilidade a problemas de controle em geral, ou seja, é capaz de obter respostas satisfatórias para uma grande diversidade de plantas existentes na indústria; • É possível obter controladores do tipo P, PD e PI (mais simples) simplesmente anulando uma ou mais constantes do controlador PID, ou seja, tem-se uma maior liberdade de projeto. Projeto de Controladores PID O ato de projetar um controlador PID é também conhecido na literatura como ajuste ou sintonia de PID. Atualmente, existem diversos métodos de sintonia de controladores PID: • Sintonia manual: os ganhos do controlador são determinados através do processo de tentativa e erro, usando a experiência do projetista. Tal método pode ser usado para plantas modeladas matematicamente ou desconhecidas; • Sintonia pelo método de Ziegler-Nichols: a principal característica deste método é a sua capacidade de determinar os ganhos do controlador em campo, ou seja, sem conhecer a modelagem matemática da planta. Por este motivo que o método de Ziegler-Nichols é um dos mais difundidos em escala industrial; Projeto de Controladores PID Atualmente, existem diversos métodos de sintonia de controladores PID (continuação): • Sintonia por métodos analíticos clássicos: os métodos de LGR e resposta em frequência são usados para determinar os ganhos. É necessário conhecer o modelo matemático preciso da planta para obter uma resposta confiável; • Sintonia ótima com graus de liberdade: definem-se os graus de liberdade do controlador PID (um, dois, três ou mais graus) e executa-se um algoritmo de busca dos graus de liberdade que atendem um ou mais critérios de otimalidade pré-definidos; Projeto de Controladores PID Atualmente, existem diversos métodos de sintonia de controladores PID (continuação): • Sintonia automática (on-line): é um método no qual o próprio controlador ajusta seus ganhos em tempo real, até atingir uma resposta temporal satisfatória. Neste método, aplica-se entradas conhecidas, mede-se as saídas e executa-se um processo de aprendizagem e ajuste dos ganhos. Então, o método é executado novamente, até que a resposta satisfatória seja atingida; • Sintonia com estruturas PID modificadas: os métodos de sintonia já apresentados são aplicados em estruturas PID modificadas, cada uma com suas características, vantagens e desvantagens. Sintonia Manual de Controladores PID A abordagem de sintonia manual consiste em encontrar faixas válidas de ganho, uma após ou outra, e testar o sistema com um conjunto escolhido de ganhos e verificar se estes atendem as especificações desejadas. Caso atendam, o projeto está concluído. Caso contrário, um processo interativo de ajuste fino deve ser realizado até que o comportamento desejado seja encontrado. Vale ressaltar que os métodos não analíticos, em que a sintonia é realizada sem conhecer o modelo matemático da planta, servem somente como uma estimativa inicial de ganhos. Na grande maioria dos casos, será necessário um processo interativo de ajuste fino destes ganhos até encontrar a resposta desejada. Sintonia Manual de Controladores PID Uma das possíveis abordagens para a sintonia manual do controlador PID consiste em tornar os ganhos 𝐾𝑑 e 𝐾𝑖 nulos e incrementar o ganho 𝐾𝑝 lentamente, até que o sistema oscile no limiar de estabilidade, ou seja, até se tornar marginalmente estável. Tal procedimento pode ser realizado em simulação ou com o sistema real em funcionamento. Posteriormente, o ganho 𝐾𝑝 é reduzido até que se atinja o estado de decaimento de um quarto de amplitude, ou seja, até que o segundo pico da resposta ao degrau tenha um sobressinal igual a um quarto do primeiro pico. O passo seguinte é aumentar 𝐾𝑑 e 𝐾𝑖 manualmente para que se alcance as respostas transitória e estacionária desejadas. Sintonia Manual de Controladores PID Exercício 1: Para o sistema em malha fechada abaixo, projete manualmente o controlador PID de forma a obter um máximo sobressinal percentual de até 20%, um tempo de acomodação de até 3s (critério de 1%) e erro estacionário nulo para a entrada tipo rampa. Considere 𝑏 = 10, 𝜁 = 0,707 e 𝜔𝑛 = 4. Sintonia Manual de Controladores PID Em um primeiro passo, deve-se considerar ganhos integral e derivativo nulos e encontrar o ganho proporcional que corresponde ao decaimento de um quarto de amplitude. Uma regra geral é encontrar o ganho proporcional no limite da estabilidade e começar a busca com a metade deste valor. Se o decaimento de amplitude não for suficiente, reduza 𝐾𝑝, e se foi excessivo, aumente 𝐾𝑝. O valor limite de 𝐾𝑝 pode ser encontrado usando Routh-Hurwitz: 𝑠3 𝑠2 𝑠1 𝑠0 1 56,560 15,656 𝐾𝑝 885,5 − 𝐾𝑝 0 𝐾𝑝 0 𝑠 𝑠 + 10 𝑠 + 5,656 + 𝐾𝑝 = 0 𝑠3 + 15,656𝑠2 + 56,560𝑠 + 𝐾𝑝 = 0 Sintonia Manual de Controladores PID Com o critério de Routh-Hurwitz, encontra-se o valor limite de 𝐾𝑝 = 885,5. O LGR do sistema com o valor limite de 𝐾𝑝 é visto abaixo: Material/Tema13_Exercicio1.m Material/Tema13_Exercicio1.m Sintonia Manual de Controladores PID Ao escolher a metade desse valor (𝐾𝑝 = 442,75), o decaimento não foi suficiente. Assim, o valor de 𝐾𝑝 foi reduzido até atingir decaimento de um quarto, o que correspondeu a 𝐾𝑝 = 357. Material/Tema13_Exercicio1.m Material/Tema13_Exercicio1.m Sintonia Manual de Controladores PID O próximo passo é manter os valores de 𝐾𝑝 = 357 e 𝐾𝑖 = 0, aumentar lentamente 𝐾𝑑 e observar os critérios de desempenho: A partir de 𝐾𝑑 = 9, o tempo de acomodação fica abaixo de 3𝑠 e, a partir de 𝐾𝑑 = 33, o máximo sobressinal fica abaixo de 20%. Escolhe- se 𝐾𝑑 = 76, pois corresponde ao mínimo tempo de acomodação. Material/Tema13_Exercicio1.m Material/Tema13_Exercicio1.m Sintonia Manual de Controladores PID O próximo passo é manter os valores de 𝐾𝑝 = 357 e 𝐾𝑑 = 76, aumentar lentamente 𝐾𝑖 e observar os critérios de desempenho: A partir de 𝐾𝑖 = 285, o tempo de acomodação fica abaixo dos 3𝑠. Até o valor de 𝐾𝑖 = 523, o máximo sobressinal fica abaixo de 20%. Uma solução de compromisso é escolher 𝐾𝑖 = 400. Material/Tema13_Exercicio1.m Material/Tema13_Exercicio1.m Sintonia Manual de Controladores PID Assim, é adequado escolher 𝐾𝑝 = 357, 𝐾𝑑 próximo a 76, para garantir um bom tempo, e 𝐾𝑖 entre 285 e 523, garantindo erro nulo estacionário. Logo, para 𝐾𝑝 = 357, 𝐾𝑑 = 76 e 𝐾𝑖 = 400, tem-se 𝑀𝑝 = 16,2% e 𝑇𝑠 = 2,24𝑠, como visto abaixo: Material/Tema13_Exercicio1.m Material/Tema13_Exercicio1.m Sintonia Manual de Controladores PID A resposta à rampa unitária do sistema com o controlador PID é visto abaixo. Nota-se que o tempo de acomodação do sistema para a rampa é igual a 𝑇𝑠 = 1,78𝑠: Material/Tema13_Exercicio1.m Material/Tema13_Exercicio1.m Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols O método de Ziegler-Nichols foi criado em 1942 por John Ziegler e Nathaniel Nichols, dois engenheiros da Taylor Instrument Company (EUA) que buscavam um método simples e eficazde sintonizar controladores PID que não necessitasse da modelagem matemática do processo a ser controlado (por ser complexo ou impossível). Após o sucesso em encontrar um método, os engenheiros decidiram publicar a descoberta, que ganhou popularidade mundial no ramo industrial devido a sua simplicidade e praticidade. O método de Ziegler-Nichols sintoniza controladores PID objetivando uma excelente rejeição a perturbações (decaimento de um quarto na resposta à perturbação). Assim sendo, as características entrada-saída do sistema não foram priorizadas. Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Vale ressaltar que embora o método de Ziegler-Nichols foi destinado para processos que são complexos ou impossíveis de serem modelados, não há nenhum impedimento de usá-lo em processos simples e que já foram modelados matematicamente. Basta usar uma ferramenta computacional para emular a resposta temporal do sistema de forma semelhante ao realizado experimentalmente em processos industriais. Ziegler e Nichols propuseram dois métodos distintos de extrair parâmetros do processo, cujo modelo matemático é desconhecido, de forma que tais parâmetros possam ser usados para determinar os ganhos proporcional, derivativo e integral do controlador. Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols O primeiro método (malha aberta) obtém parâmetros úteis a partir da resposta ao degrau unitário do processo em malha aberta (sem controlador). Neste método, a resposta ao degrau unitário do processo deve apresentar o formato de uma curva em S, com um tempo de atraso e um ponto de inflexão bem característicos. A planta só apresenta tal característica se não tiver polos na origem (tipo 0) e se não tiver polos complexos conjugados dominantes. Caso o processo não apresente essa curva característica em S, este método não poderá ser utilizado. Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Assim, se a resposta do processo ao degrau unitário possuir o comportamento em S, ela pode ser caracterizada por duas constantes: o tempo de atraso, 𝐿, e a inclinação da reta tangente no ponto de inflexão, 𝑅: 1 Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Se o degrau ou o ganho estático forem diferentes de 1, a inclinação da reta tangente da resposta será igual a 𝑅 = 𝑀/𝜏 , onde 𝜏 é o tempo de subida da resposta. Para o caso particular em que 𝐺(0) = 𝑀 = 1, as constantes 𝑅 e 𝜏 se relacionam como: 𝑅 = 1/𝜏 O tempo de atraso, 𝐿, pode ser definido como a passagem pelo zero da reta tangente. L𝐿 𝜏 𝑅 = 𝑀/𝜏 Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Ziegler e Nichols sugeriram que, quando o processo possui resposta ao degrau semelhante a um S, escolhe-se os seguintes ganhos para os controladores P, PI e PID em função de 𝐿 e 𝑅 (Ogata): Tipo de Controlador 𝑲𝒑 𝑻𝒊 𝑻𝒅 𝑃 1 𝑅𝐿 − − 𝑃𝐼 0,9 𝑅𝐿 𝐿 0,3 − 𝑃𝐼𝐷 1,2 𝑅𝐿 2𝐿 0,5𝐿 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 1 𝑇𝑖𝑠 + 𝑇𝑑𝑠 Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Se o controlador PID for reescrito em função dos seus ganhos 𝐾𝑝, 𝐾𝑑 e 𝐾𝑖, a tabela se torna (Dorf): Tipo de Controlador 𝑲𝒑 𝑲𝒊 𝑲𝒅 𝑃 1 𝑅𝐿 − − 𝑃𝐼 0,9 𝑅𝐿 0,27 𝑅𝐿2 − 𝑃𝐼𝐷 1,2 𝑅𝐿 0,6 𝑅𝐿2 0,6 𝑅 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 + 𝐾𝑖 𝑠 + 𝐾𝑑𝑠 Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Ao substituir os ganhos do controlador PID na sua função de transferência, encontra-se os seguintes polos e zeros: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 1 𝑇𝑖𝑠 + 𝑇𝑑𝑠 𝐺𝑐 𝑠 = 1,2 𝑅𝐿 1 + 1 2𝐿𝑠 + 0,5𝐿𝑠 𝐺𝑐 𝑠 = 0,6 𝑅 𝑠2 + 2 𝐿 𝑠 + 1 𝐿2 𝑠 = 0,6 𝑅 𝑠 + 1 𝐿 2 𝑠 O controlador acrescenta um polo na origem, dois zeros em 𝑠 = − 1/𝐿 e possui um ganho estático igual a 0,6/𝑅𝐿2. Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Exercício 2: Para o sistema em malha fechada abaixo, projete controladores P, PI e PID usando o método de Ziegler-Nichols da malha aberta. Considere 𝑏 = 10, 𝜁 = 0,707 e 𝜔𝑛 = 4. Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols O primeiro passo é simular a resposta ao degrau unitário do processo sem o controlador e obter a inclinação 𝑅 da reta tangente no ponto de inflexão, que corresponde ao maior valor da derivada da resposta ao degrau. Assim, 𝑅 = 0,0476: Material/Aula13_Exercicio2.m Material/Aula13_Exercicio2.m Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Em seguida, a inclinação da reta tangente e o ponto de inflexão são usados para gerar a reta tangente e obter o seu cruzamento pelo zero, que representa o tempo de atraso 𝐿. Assim, 𝐿 = 0,0367: Material/Aula13_Exercicio2.m Material/Aula13_Exercicio2.m Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Os valores de 𝑅 e 𝐿 são usados para projetar o controlador P (𝐾𝑝 = 572,48). A resposta obteve 𝑀𝑝 = 23,4% e erro estacionário de 9%. Material/Aula13_Exercicio2.m Material/Aula13_Exercicio2.m Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Os valores de 𝑅 e 𝐿 são usados para projetar o controlador PI (𝐾𝑝 = 515,23 e 𝐾𝑖 = 4.213). A resposta obteve 𝑀𝑝 = 60,1% e 𝑇𝑠 = 1,019𝑠. Material/Aula13_Exercicio2.m Material/Aula13_Exercicio2.m Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Os valores de 𝑅 e 𝐿 são usados para projetar o controlador PID (𝐾𝑝 = 686,97, 𝐾𝑖 = 9.363 e 𝐾𝑑 = 12,6). A resposta obteve 𝑀𝑝 = 44,5% e 𝑇𝑠 = 0,676𝑠. Material/Aula13_Exercicio2.m Material/Aula13_Exercicio2.m Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols A resposta visual dos três controladores pode ser vista abaixo, como forma de comparação: Material/Aula13_Exercicio2.m Material/Aula13_Exercicio2.m Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols O segundo método (malha fechada) tem seus parâmetros úteis associados ao sistema em malha fechada com um controlador proporcional (P). Neste método, o sistema em malha fechada com ganho proporcional deve possuir dois polos complexos conjugados dominantes, ou seja, deve existir um valor crítico de 𝐾𝑝 que faz com que o sistema se torne marginalmente estável com uma oscilação não amortecida. Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Neste caso, os parâmetros são: o ganho proporcional crítico, chamado de 𝐾𝑐𝑟, e o período de oscilação não amortecida quando operando no caso crítico, chamado de 𝑃𝑐𝑟. Se o sistema não apresentar uma oscilação não amortecida para algum valor de 𝐾𝑝, então este método não poderá ser usado. Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Os ganhos dos controladores P, PI e PID em função de 𝐾𝑐𝑟 e 𝑃𝑐𝑟 podem ser definidos como (Ogata): Tipo de Controlador 𝑲𝒑 𝑻𝒊 𝑻𝒅 𝑃 0,5𝐾𝑐𝑟 − − 𝑃𝐼 0,45𝐾𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 1,2 − 𝑃𝐼𝐷 0,6𝐾𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 2 𝑃𝑐𝑟 8 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 1 𝑇𝑖𝑠 + 𝑇𝑑𝑠 Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Se o controlador PID for reescrito em função dos seus ganhos 𝐾𝑝, 𝐾𝑑 e 𝐾𝑖, a tabela se torna (Dorf): 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 + 𝐾𝑖 𝑠 + 𝐾𝑑𝑠 Tipo de Controlador 𝑲𝒑 𝑲𝒊 𝑲𝒅 𝑃 0,5𝐾𝑐𝑟 − − 𝑃𝐼 0,45𝐾𝑐𝑟 0,54𝐾𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 − 𝑃𝐼𝐷 0,6𝐾𝑐𝑟 1,2𝐾𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 0,6𝐾𝑐𝑟𝑃𝑐𝑟 8 Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Ao substituir os ganhos do controlador PID na sua função de transferência, encontra-se os seguintes polos e zeros: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 1 𝑇𝑖𝑠 + 𝑇𝑑𝑠 𝐺𝑐 𝑠 = 0,6𝐾𝑐𝑟 1 + 2 𝑃𝑐𝑟𝑠 + 𝑃𝑐𝑟𝑠 8 𝐺𝑐 𝑠 = 0,6𝐾𝑐𝑟𝑃𝑐𝑟 8 𝑠2 + 8 𝑃𝑐𝑟 𝑠 + 16 𝑃𝑐𝑟 2 𝑠 = 0,3𝐾𝑐𝑟𝑃𝑐𝑟 4 𝑠 + 4 𝑃𝑐𝑟 2 𝑠 O controlador acrescenta um polo na origem, dois zeros em 𝑠 = − 4/𝑃𝑐𝑟 e possui um ganho igual a 1,2𝐾𝑐𝑟/𝑃𝑐𝑟. Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Exercício 3: Para o sistema em malha fechada abaixo, projete controladores P, PI e PID usando o método de Ziegler-Nichols da malha fechada com controle proporcional. Considere 𝑏 = 10, 𝜁 = 0,707 e 𝜔𝑛 = 4. Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Em um primeiro passo, deve-se considerar ganhos integral e derivativo nulos e encontrar o ganho proporcional que faz com que o sistema em malha fechada seja marginalmente estável. O valor limite de 𝐾𝑝 pode ser encontrado usando o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz: 𝑠3 𝑠2 𝑠1 𝑠0 1 56,560 15,656 𝐾𝑝 885,5 − 𝐾𝑝 0 𝐾𝑝 0 𝑠 𝑠 +10 𝑠 + 5,656 + 𝐾𝑝 = 0 𝑠3 + 15,656𝑠2 + 56,560𝑠 + 𝐾𝑝 = 0 O ganho proporcional crítico do sistema é igual a 𝐾𝑐𝑟 = 885,5. Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Para o valor limite do ganho proporcional, o polinômio auxiliar, 𝑃(𝑠), da tabela de Routh determina os polos complexos conjugados no eixo 𝑗𝜔. Neste caso, os polos são iguais a ±𝑗𝜔𝑛 (frequência natural não amortecida). Assim, obtém-se o valor de 𝑃𝑐𝑟 = 2𝜋/𝜔𝑛 = 0,8355: 𝑃𝑐𝑟 Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Os valores de 𝐾𝑐𝑟 e 𝑃𝑐𝑟 são usados para projetar o controlador P (𝐾𝑝 = 442,75). A resposta obteve 𝑀𝑝 = 55,8% e 𝑇𝑠 = 4,157𝑠. Material/Aula13_Exercicio3.m Material/Aula13_Exercicio3.m Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Os valores de 𝐾𝑐𝑟 e 𝑃𝑐𝑟 são usados para projetar o controlador PI (𝐾𝑝 = 398,48 e 𝐾𝑖 = 572,32). A resposta obteve 𝑀𝑝 = 95,6% e 𝑇𝑠 = 13,834𝑠. Material/Aula13_Exercicio3.m Material/Aula13_Exercicio3.m Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Os valores de 𝐾𝑐𝑟 e 𝑃𝑐𝑟 são usados para projetar o controlador PID (𝐾𝑝 = 531,3, 𝐾𝑖 = 1.272 e 𝐾𝑑 = 55,49). A resposta obteve 𝑀𝑝 = 59,3% e 𝑇𝑠 = 2,419𝑠. Material/Aula13_Exercicio3.m Material/Aula13_Exercicio3.m Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols A resposta ao degrau unitário dos três controladores pode ser vista abaixo, como forma de comparação: Material/Aula13_Exercicio3.m Material/Aula13_Exercicio3.m Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols A resposta à rampa unitária dos três sistemas pode ser vista abaixo, como forma de comparação: Material/Aula13_Exercicio3.m Material/Aula13_Exercicio3.m Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Exercício 4: Compare as respostas ao degrau unitário dos sistemas com controlador PID sintonizado manualmente e pelo segundo método de Ziegler-Nichols. Compare também a rejeição à perturbação de ambos os sistemas. Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Comparando as respostas ao degrau dos sistemas com controlador PID manual e com controlador PID pelo método de Ziegler-Nichols: Material/Tema13_Exercicio4.m Material/Tema13_Exercicio4.m Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Comparando as respostas ao degrau da perturbação com controlador PID manual e com controlador PID pelo método de Ziegler-Nichols: Material/Tema13_Exercicio4.m Material/Tema13_Exercicio4.m Sintonia pelo Método de Ziegler-Nichols Baseado nestes dois resultados, pode-se concluir que: • A sintonia do controlador PID pelo método de Ziegler-Nichols garantiu uma excelente rejeição à perturbação. Em compensação, o máximo sobressinal foi excessivo, chegando a 60%, o que acarretou grande oscilação; • Por outro lado, a sintonia manual garantiu um máximo sobressinal reduzido (16,2%), além da ausência da oscilação. Em compensação, apresentou uma pior rejeição à perturbação; • O tempo de acomodação (critério de 1%) dos dois controladores ficaram em torno de 2𝑠 a 3𝑠, sendo o de sintonia manual igual a 𝑇𝑠 = 2,24𝑠 e o de Ziegler-Nichols igual a 𝑇𝑠 = 2,94𝑠. Sintonia por Métodos Alternativos Como já comentado, o método clássico de Ziegler-Nichols (ZN) possui uma excelente rejeição a perturbações (decaimento de um quarto na saída do sistema para uma entrada em degrau na perturbação). Vale ressaltar que, desde 1942, surgiram diversos métodos alternativos de sintonia de controladores PID que aproveitam os dois graus de liberdade explorados por Ziegler e Nichols, 𝐾𝑐𝑟 e 𝑃𝑐𝑟, e usam outros graus de liberdade, como, por exemplo, o ganho estático do processo/planta, 𝐾0 = 𝐺(0). Sintonia por Métodos Alternativos O desempenho explorado pelos métodos alternativos se referem a um processo/planta de primeira ordem com atraso, ou seja: É claro que tais métodos podem ser usados para sintonizar controladores de processos de ordem superior, mas deve-se ressaltar que o sistema pode não apresentar o comportamento ótimo esperado pelo método. O método ITSE busca sintonizar o controlador PID para que o sistema apresente a menor integral do erro quadrático multiplicado pelo tempo (ISTE) com relação ao degrau na entrada. 𝐺 𝑠 = 𝐾0 𝑇𝑠 + 1 𝑒−𝑠𝐿 Sintonia por Métodos Alternativos O método PIAE (integral do erro absoluto de Pessen) busca sintonizar o controlador PID para que o sistema apresente o menor IAE com relação ao degrau no distúrbio (visa reduzir o efeito do distúrbio de forma semelhante ao método ZN). O método SO-OV (Some Overshoot) visa reduzir o máximo sobressinal percentual na resposta da saída para entrada do tipo degrau. O método NO-OV (No Overshoot) visa em eliminar o sobressinal percentual na resposta da saída para entrada do tipo degrau, reduzindo o ganho proporcional e aumentando o derivativo por 1/3 quando comparado com o método ZN. Sintonia por Métodos Alternativos Os ganhos dos controladores PID para quatro métodos alternativos de sintonia são vistos abaixo (em função de 𝐾𝑐𝑟, 𝑃𝑐𝑟 e 𝐾0): Método de Sintonia 𝑲𝒑 𝑻𝒊 𝑻𝒅 ZN Clássico 0,6𝐾𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 2 𝑃𝑐𝑟 8 ITSE 0,509𝐾𝑐𝑟 0,051 3,302𝜅 + 1 𝑃𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 8 PIAE 0,7𝐾𝑐𝑟 0,4𝑃𝑐𝑟 0,15𝑃𝑐𝑟 SO-OV 0,33𝐾𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 2 0,33𝑃𝑐𝑟 NO-OV 0,2𝐾𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 2 0,33𝑃𝑐𝑟 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 1 𝑇𝑖𝑠 + 𝑇𝑑𝑠 𝑒 𝜅 = 𝐾𝑐𝑟𝐾0 Sintonia por Métodos Alternativos Exercício 5: Compare as respostas ao degrau unitário tanto da entrada quanto da perturbação para os sistemas com controlador PID sintonizados pelos quatro métodos alternativos e o método ZN clássico. Considere a planta de terceira ordem definida abaixo: 𝐺 𝑠 = 1 𝑠 + 2 𝑠2 + 5𝑠 + 10 Sintonia por Métodos Alternativos O primeiro passo é considerar os ganhos integral e derivativo nulos e encontrar o ganho proporcional crítico. Logo: 𝑠3 𝑠2 𝑠1 𝑠0 1 20 7 20 + 𝐾𝑝 𝐾𝑝 − 120 0 20 + 𝐾𝑝 0 𝑠 + 2 𝑠2 + 5𝑠 + 10 + 𝐾𝑝 = 0 𝑠3 + 7𝑠2 + 20𝑠 + 20 + 𝐾𝑝 = 0 O ganho proporcional crítico do sistema é igual a 𝐾𝑐𝑟 = 120. Para este ganho, tem-se dois polos no eixo 𝑗𝜔 definidos por 7𝑠2 + 140 = 0. Assim, a frequência natural não amortecida crítica é igual a 𝜔𝑐𝑟 = 20. Isso define um período crítico igual a 𝑃𝑐𝑟 = 2𝜋/𝜔𝑐𝑟 = 1,405𝑠. O ganho estático da planta é igual a 𝐾0 = 1/20 = 0,05. Sintonia por Métodos Alternativos A resposta visual dos cinco controladores pode ser vista abaixo, como forma de comparação: Material/Aula13_Exercicio5.m Material/Aula13_Exercicio5.m Sintonia por Métodos Alternativos Comparando as respostas ao degrau da perturbação com os cinco controladores, obtém-se: Material/Aula13_Exercicio5.m Material/Aula13_Exercicio5.m Controladores Industriais Os controladores industriais são utilizados em escala industrial para controle de plantas e processos simples ou complexos. Existem controladores industriais dos mais diversos tipos, que dependem da característica de saída dos sensores e da característica de entrada dos atuadores. Devido ao avanço dos processadores e dos microcontroladores, a grande maioria dos controladores industriais disponíveis comercialmente são eletroeletrônicos. Tais controladores recebem dos sensores sinais de tensão e corrente de pequena amplitude e baixa potência e enviam para o atuador também sinais de tensão e corrente de pequena amplitude e baixa potência. Controladores Industriais Passivos Uma família de controladores industriais são os controladores passivos, realizados somente por circuitos RC. Os únicos controladores realizáveis por elementos passivos são os compensadores por avanço, atraso e avanço e atraso de fase. Recapitulando, a função de transferência de um compensador por avanço (𝑧1 < 𝑝1) ou atraso (𝑧1 > 𝑝1) de fase é dado por: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑐1 𝑠 + 𝑧1 𝑠 + 𝑝1 = 𝐾𝑐2 𝑇𝑧2𝑠 + 1 𝑇𝑝2𝑠 + 1 Para o controlador passivo, a impedância de saída do sensor deve ser a menor possível e a de entrada do atuador deve ser a maior possível, evitando o efeito de carregamento no acoplamento. Controladores Industriais Passivos Abaixo, pode ser visto os circuitos passivos que realizamos compensadores por avanço de fase e atraso de fase. Controladores Industriais Passivos O circuito passivo que realiza o compensador por avanço e atraso de fase é uma combinação da entrada do compensador por avanço de fase e da saída do compensador por atraso de fase. 𝐺𝑐 𝑠 = 𝑠 + 𝑧1 𝑠 + 𝑧2 𝑠2 + 𝑝1 + 𝑝2 𝑠 + 𝑝1𝑝2 ⇒ 𝑧1 < 𝑝1 𝑒 𝑧2 > 𝑝2 Controladores Industriais Passivos É possível notar que qualquer mudança realizada em um dos quatro componentes passivos irá alterar ao mesmo tempo um zero e os dois polos, ou seja, há um acoplamento indesejável. Assim, por vezes, é impraticável realizar uma sintonia fina em tal circuito passivo, caso seja necessária. Uma solução é associar em cascata um compensador por avanço de fase passivo e um compensador por atraso de fase passivo. Entretanto, a associação cascata deve ser desacoplada por um estágio com amplificador operacional, de forma a evitar o efeito do carregamento entre os compensadores. Controladores Industriais Passivos Tal estágio pode ser um amplificador inversor de ganho unitário, inverte o ganho global do controlador, ou pode ser um seguidor de tensão (buffer), que não inverte o ganho global. Outra solução é implementar o compensador por circuitos ativos. Controladores Industriais Passivos Exercício 6: Realize o compensador por avanço de fase passivo, cuja função de transferência é vista abaixo. 𝐺𝑐 𝑠 = 𝑠 + 4 𝑠 + 20,09 Controladores Industriais Passivos O compensador por avanço de fase passivo é realizado pelo circuito abaixo, cuja função de transferência é: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝑠 + 1 𝑅1𝐶 𝑠 + 1 𝑅1𝐶 + 1 𝑅2𝐶 = 𝑠 + 4 𝑠 + 20,09 Basta, agora, relacionar os três elementos de circuito com as duas constantes do controlador. Escolhe-se um valor arbitrário para um dos elementos e encontra-se os valores dos outros. Controladores Industriais Passivos Assim: 1 𝑅1𝐶 = 4 1 𝑅1𝐶 + 1 𝑅2𝐶 = 20,09 ⇒ 1 𝑅2𝐶 = 20,09 − 4 = 16,09 ⇒ Escolhe-se 𝐶 = 1𝜇𝐹 𝑅1 = 1 4𝐶 = 250𝑘Ω 𝑅2 = 1 16,09𝐶 = 62,15𝑘Ω Controladores Industriais Ativos Outra família de controladores industriais são os controladores ativos, realizados por amplificadores operacionais. Diferentes controladores são formados por associações em cascata de estágios de circuito, cada um com seu amplificador operacional. Assim, um estágio básico com amplificador operacional utilizado nos controladores ativos é este: 𝑉𝑠 s 𝑉𝑒(𝑠) = − 𝑍2 𝑠 𝑍1(𝑠) Controladores Industriais Ativos Os controladores ativos são mostrados abaixo: Controladores Industriais Ativos Os controladores ativos são mostrados abaixo (continuação): Controladores Industriais Ativos Observando a tabela com os controladores ativos, nota-se duas claras desvantagens: • Os ganhos das funções de transferência dos controladores são todos negativos; • Há um acoplamento natural entre os parâmetros dos controladores PI e PD e PID, que dificulta a sintonia fina do controlador em tempo real. A primeira desvantagem é facilmente resolvida ao acrescentar, na saída do controlador, um estágio inversor com ganho unitário. Este estágio de saída irá inverter o sinal da função de transferência do controlador sem afetar sua resposta em frequência ou seu LGR. Controladores Industriais Ativos Outra vantagem do estágio inversor é a sua capacidade de amplificar ou atenuar o sinal, se necessário. Muitas vezes, a faixa de tensões na saída do controlador não é compatível com a entrada do atuador, sendo necessário realizar um ajuste, atenuando ou amplificando o sinal. Há outras situações em que os ganhos do controlador são tão pequenos ou tão grandes, que os valores dos capacitores e resistores encontrados são não realizáveis. Dependendo do tipo de controlador, o estágio inversor é capaz de reajustar os ganhos para uma faixa de valores na qual os elementos capacitivos e resistivos se tornam realizáveis. Controladores Industriais Ativos Controlador PID e compensador por avanço ou atraso de fase com estágio inversor na saída (o ganho se torna positivo): Controlador PID Compensador por avanço ou atraso de fase Controladores Industriais Ativos O compensador ativo por avanço e atraso de fase é uma associação em cascata de dois estágios, um realizando o atraso de fase e o outro o avanço de fase. Como a função de transferência global é o produto das funções de transferência individuais, este controlador possui ganho global positivo, evitando o uso de um estágio inversor. Controladores Industriais Ativos A segunda desvantagem, referente ao acoplamento natural entre os parâmetros do controlador, pode ser evitada ao tratar cada ação de controle como um estágio individual de circuito com amplificador operacional, resistores e capacitores dedicados. Assim, os termos proporcional, integral e derivativo terão, cada um, seus próprios elementos passivos, sendo possível sintonizar um termo sem afetar o outro, desacoplando completamente as ações do controlador. Como cada estágio corresponde a uma ação, há a necessidade de somar as ações. Isto é realizado por um estágio somador inversor na saída do controlador. Este estágio realiza uma dupla função: soma e inverte o sinal das ações do controlador. Controladores Industriais Ativos Por exemplo, nesta montagem acoplada de um controlador PD, nota-se que os termos proporcional e derivativo estão acoplados através do resistor 𝑅2: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝑅2 𝑅1 + 𝑅2𝐶1𝑠 ⇒ 𝐾𝑝 = 𝑅2/𝑅1 𝐾𝑑 = 𝑅2𝐶1 Controladores Industriais Ativos Ao usar um amplificador por ação e ao incluir um estágio somador inversor, desacopla-se os ganhos do controlador: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝑅2 𝑅1 + 𝑅𝑑𝐶𝑑𝑠 ⇒ 𝐾𝑝 = 𝑅2/𝑅1 𝐾𝑑 = 𝑅𝑑𝐶𝑑 Controladores Industriais Ativos Outro exemplo: nesta montagem acoplada de um controlador PI, nota-se que os termos proporcional e derivativo estão acoplados através dos resistores 𝑅1 e 𝑅2: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝑅2 𝑅1 + 𝑅2 𝑅1𝐶2𝑠 ⇒ 𝐾𝑝 = 𝑅2/𝑅1 𝐾𝑖 = 𝑅2/𝑅1𝐶2 Controladores Industriais Ativos Ao usar um amplificador por ação e ao incluir um estágio somador inversor, desacopla-se os ganhos do controlador: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝑅2 𝑅1 + 1 𝑅𝑖𝐶𝑖𝑠 ⇒ 𝐾𝑝 = 𝑅2/𝑅1 𝐾𝑖 = 1/𝑅𝑖𝐶𝑖 Controladores Industriais Ativos Exercício 7: Realize o controlador PID de um único estágio a partir da função de transferência vista abaixo. 𝐺𝑐 𝑠 = 𝑠 + 55,92 (𝑠 + 0,5) 𝑠 Controladores Industriais Ativos O controlador PID de um único estágio é realizado com as impedâncias 𝑍1 𝑠 e 𝑍2 𝑠 abaixo. A função de transferência é: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝑅2 𝑅1 + 𝐶1 𝐶2 + 1 𝑅1𝐶2 𝑠 + 𝑅2𝐶1𝑠 = 56,42 + 27,96 𝑠 + 𝑠 𝑍1 𝑠 𝑍2 𝑠 Basta, agora, relacionar os quatro elementos de circuito com as três constantes do controlador. Escolhe-se um valor arbitrário para um dos elementos e encontra-se os valores dos outros. Controladores Industriais Ativos Assim: 𝑅2 𝑅1 + 𝐶1 𝐶2 = 56,42 𝑒 𝑅2𝐶1 = 1 𝑒 𝑅1𝐶2 = 0,0358 ⇒ Escolhe-se 𝐶2 = 100𝑛𝐹 𝑅1 = 0,0358 𝐶2 = 357,65𝑘Ω 𝑅2 2 357,65𝑘Ω + 1 100𝑛𝐹 = 56,42𝑅2 ⇒ 𝑅2 = 178,89𝑘Ω 𝐶1 = 1 𝑅2 = 5,59𝜇𝐹
