Tema_7_Modelos_Matematicos_Sistemas

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Engenharia de Controle
Tema 7 – Modelos Matemáticos de Sistemas 
Dinâmicos
Fabrício Bradaschia
Universidade Federal de Pernambuco – UFPE
Centro de Tecnologia e Geociências – CTG
Departamento de Engenharia Elétrica – DEE
Objetivos do Tema
Os objetivos deste tema são:
• Representar matematicamente os principais sistemas a serem
controlados: elétricos, eletrônicos, mecânicos, térmicos, fluídicos,
etc.;
• Apresentar a correlação existente entre os elementos e as
variáveis de cada sistema;
• Mostrar que, devido à correlação entre elementos e variáveis,
todos os sistemas possuem um sistema elétrico análogo, que
pode ser montado de forma a simplificar a compreensão do seu
funcionamento e a facilitar o projeto do sistema de controle.
Modelagem de Sistemas Dinâmicos
Um das questões mais importantes na análise e projeto de sistemas
de controle é a correta modelagem dos sistemas dinâmicos.
Dependendo das características do sistema a ser modelado, o
projetista pode representá-lo no espaço de estados ou por funções
de transferência.
É papel do projetista não só modelar com precisão o sistema, mas
também realizar suposições e aproximações de forma que o sistema
possa ser realisticamente caracterizado por um modelo matemático
linear quando necessário.
Modelagem de Sistemas Dinâmicos
A teoria clássica de análise e controle de sistemas, baseada em
técnicas realizadas em papel e caneta (abordagem de engenharia),
está perdendo espaço nos últimos anos.
Devido aos recentes avanços computacionais, a modelagem precisa
de sistemas dinâmicos complexos tem ganhado cada vez mais
importância, já que, hoje, é possível carregar tais modelos
complexos em poderosos softwares computacionais, analisá-los e
controlá-los usando técnicas matemáticas complexas (abordagem
analítica) e ferramentas baseadas em inteligência artificial
(abordagem computacional).
Modelagem de Sistemas Dinâmicos
A modelagem de sistemas parte do uso das leis naturais que regem
as respectivas áreas do conhecimento. Por exemplo, os sistemas
mecânicos e elétricos podem ser modelados usando as Leis de
Newton e Leis de Kirchhoff, respectivamente.
Além da modelagem dos sistemas, é de grande importância
modelar os controladores analógicos (que podem ser eletrônicos,
pneumáticos e hidráulicos), os sensores e os atuadores.
Vale ressaltar que será apresentada aqui somente uma introdução
aos procedimentos de modelagem, já que existem uma infinidade
de diferentes sistemas, cada um podendo ser tão complexo quanto
se queira.
Sistemas Elétricos
Os sistemas elétricos, na maioria das aplicações, podem ser
considerados sistemas lineares e invariantes no tempo, modelados
por EDOs.
Algumas exceções devem ser destacadas: sistemas elétricos de
potência, que abrangem grandes distâncias podem ser modelados
por equações diferenciais parciais; sistemas elétricos que possuem
equipamentos de Eletrônica de Potência possuem comportamento
não linear; etc.
Os sistemas elétricos convencionais possuem três elementos
básicos que podem ser conectados entre si: capacitor, indutor e
resistor.
Sistemas Elétricos
Os sistemas elétricos são regidos pelas leis eletromagnéticas. Para
um capacitor (que armazena energia potencial elétrica), tem-se:
𝑖 = 𝐶
𝜕𝑣
𝜕𝑡
Para um indutor (que armazena energia no campo magnético), tem-
se:
𝑖 =
1
𝐿
 𝑣𝑑𝑡
Sistemas Elétricos
Para um resistor (que dissipa energia – efeito Joule), tem-se:
𝑖 =
1
𝑅
𝑣
Nos sistemas elétricos, a corrente elétrica pode ser considerada
como uma variável-através, pois ela “atravessa” os elementos de
um lado a outro (no capacitor tal efeito não ocorre, embora possa
ser considerado que sim).
A tensão elétrica pode ser considerada uma variável-sobre, pois
uma corrente atravessando um elemento causa uma diferença de
potencial entre os dois terminais do elemento (tensão sobre).
Sistemas Elétricos
A razão entre a transformada de Laplace da variável-sobre pela
transformada de Laplace da a variável-através define a dinâmica do
elemento, ou seja, representa sua função de transferência.
Se o elemento armazena energia através da variável-sobre, então
ele é um elemento armazenador de energia capacitivo.
Se o elemento armazena energia através da variável-através, então
ele é um elemento armazenador de energia indutivo.
Se o elemento não armazena e, sim, dissipa a energia armazenada
nos outros elementos, então ele é um elemento dissipador de
energia.
Assim, o resistor é um elemento dissipador de energia e o capacitor
e o indutor são armazenadores sobre e através.
Sistemas Elétricos
Portanto, a função de transferência dos elementos são:
𝑖 = 𝐶
𝜕𝑣
𝜕𝑡
→
𝑉 𝑠
𝐼(𝑠)
= 𝑍𝐶 =
1
𝑠𝐶
𝑖 =
1
𝐿
 𝑣𝑑𝑡 →
𝑉 𝑠
𝐼(𝑠)
= 𝑍𝐿 = 𝑠𝐿
𝑖 =
1
𝑅
𝑣 →
𝑉 𝑠
𝐼(𝑠)
= 𝑍𝑅 = 𝑅
Para resolver um sistema elétrico complexo, pode-se usar as leis de
Kirchhoff, o divisor de tensão, o divisor de corrente, a análise de
malhas e a análise nodal. É possível também fazer associações série-
paralelo dos elementos e representar o sistema completo por um
diagramas de blocos.
Sistemas Elétricos
Uma associação em série ocorre quando os elementos
compartilham a mesma variável-através (corrente). Uma associação
em paralelo ocorre quando os elementos compartilham a mesma
variável-sobre (tensão). Assim, um elemento equivalente a uma
associação em série possui a seguinte função de transferência:
𝑉𝑒𝑞 𝑠
𝐼𝑒𝑞(𝑠)
=
𝑉1 𝑠 + ⋯+ 𝑉𝑛 𝑠
𝐼(𝑠)
=
𝑉1 𝑠
𝐼1(𝑠)
+ ⋯+
𝑉𝑛 𝑠
𝐼𝑛(𝑠)
Assim, um elemento equivalente a uma associação em paralelo
possui a seguinte função de transferência:
𝑉𝑒𝑞 𝑠
𝐼𝑒𝑞(𝑠)
=
𝑉(𝑠)
𝐼1 𝑠 + ⋯+ 𝐼𝑛 𝑠
→
1
 
𝑉𝑒𝑞(𝑠)
𝐼𝑒𝑞(𝑠)
=
1
 
𝑉1(𝑠)
𝐼1(𝑠)
+ ⋯+
1
 
𝑉𝑛(𝑠)
𝐼𝑛(𝑠)
Sistemas Elétricos
Exercício 1: Dado o circuito abaixo, encontre o diagrama de blocos
expandido e o diagrama de blocos simplificado, considerando que
𝑣 𝑡 é a entrada do sistema e 𝑖2 𝑡 é a saída.
Sistemas Elétricos
O diagrama de blocos é montado da seguinte forma: usa-se 𝑉(𝑠) e
𝑉1 𝑠 (tensão do nó entre os resistores) para encontrar 𝐼1 𝑠 ; usa-se
𝐼1 𝑠 e 𝐼2 𝑠 para encontrar 𝑉1 𝑠 ; usa-se 𝑉1 𝑠 e 𝑉𝐶 𝑠 para
encontrar 𝐼2 𝑠 ; e por fim, realimenta-se 𝐼2 𝑠 com 1/𝑠𝐶 para
encontrar 𝑉𝐶 𝑠 .
O diagrama em blocos possui um ramo direto e três contornos de
malha fechada. Assim:
𝐼2 𝑠
𝑉(𝑠)
=
 𝑠𝐿 𝑅1𝑅2
1 + 𝑠𝐿 𝑅1 + 𝑠𝐿 𝑅2 + 1 𝑠𝑅2𝐶 + 𝐿 𝑅1𝑅2𝐶
𝐼2 𝑠
𝑉(𝑠)
=
𝐿𝐶𝑠2
(𝑅1 + 𝑅2)𝐿𝐶𝑠
2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1
Sistemas Eletrônicos
Os elementos em um sistema elétrico são considerados passivos,
pois suas dinâmicas são determinadas completamente pelas
variáveis através e sobre (corrente e tensão).
Os circuitos eletrônicos são constituídos de uma combinação de
elementos passivos (resistores, capacitores e indutores) e ativos. O
principal elemento ativo é o amplificador operacional (AOP).
O AOP é considerado um elemento ativo, pois recebe energia de
uma fonte externa que não determina sua dinâmica. Sua dinâmica
depende completamente dos elementos que estão conectados em
seus terminais de entrada e saída. Assim, diferentes circuitos podem
ser montados usando diferentes combinações do AOP com
elementos passivos.
Sistemas Eletrônicos
Ao associar dois circuitos elétricos passivos em cascata, a função de
transferência resultante é diferente do produto das funções de
transferência individuais. Isso ocorre, pois tais circuitos trocam
energia entre si, de forma que a dinâmica de um circuito é
influenciada pelo outro.
A grande vantagem dos circuitos contendo AOPs reside no fato de
que sua impedância de entrada é muito elevada e sua impedância
de saída é muito pequena. Assim, ao associar dois circuitos com
AOPs em cascata, um circuito praticamente não demanda energia
do outro (todos são alimentados por uma fonte externa). Logo, a
função de transferência resultante é igual ao produto das funções
de transferência individuais.
Sistemas EletrônicosUm exemplo simples de configuração com AOP é o amplificador
inversor:
𝐸𝑠 𝑠
𝐸𝑒(𝑠)
= −
𝑍2(𝑠)
𝑍1(𝑠)
Sistemas Eletrônicos
A partir da configuração amplificador inversor, é possível obter
diferentes funções de transferência:
Sistemas Eletrônicos
Vale ressaltar que existem outras configurações com AOPs que
podem ser adotadas:
• Amplificador não inversor;
• Amplificador somador;
• Amplificador diferencial;
• Conversor tensão-corrente e corrente-tensão;
• Entre outros.
Sistemas Eletrônicos
Exercício 2: Dado o circuito abaixo, encontre a função de
transferência, 𝑉𝑠(𝑠) 𝑉𝑒(𝑠).
Sistemas Eletrônicos
Primeiramente, encontra-se as impedâncias 𝑍1(𝑠) e 𝑍2(𝑠) .
Posteriormente, faz-se a divisão, encontrando a função de
transferência:
𝑍1(𝑠) =
𝑅1
1 + 𝑅1𝐶𝑠
𝑍2(𝑠) =
𝑅2𝐶2𝑠 + 1
𝐶2𝑠
𝑉𝑠 𝑠
𝑉𝑒(𝑠)
= −
𝑍2 𝑠
𝑍1 𝑠
= −𝑅2𝐶1
𝑠2 + 1 𝑅2𝐶2 + 1 𝑅1𝐶1 𝑠 + 1 𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2
𝑠
𝑉𝑠 𝑠
𝑉𝑒(𝑠)
= −1,232
𝑠2 + 45,95𝑠 + 22,55
𝑠
Sistemas Translacionais
Os sistemas mecânicos são naturalmente sistemas de massa
distribuída, modelados com equações diferenciais parciais no
espaço tridimensional e no tempo. Porém, em muitos casos, é
possível considerá-los (aproximá-los) como sistemas de massa
concentrada, modelados por equações diferenciais ordinárias (só
dependentes do tempo).
Os sistemas mecânicos podem ser classificados em sistemas
translacionais, nos quais ocorrem movimentos de translação, e
sistemas rotacionais, nos quais ocorrem movimentos de rotação.
Os sistemas mecânicos translacionais possuem três elementos
básicos que podem ser conectados entre si: a massa, a mola e o
amortecedor (atrito) viscoso.
Sistemas Translacionais
Os sistemas mecânicos translacionais são regidos por forças
aplicadas aos elementos. Para um sistema força-massa (que
armazena energia cinética), tem-se:
𝑓 = 𝑀
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2
= 𝑀
𝜕𝑣
𝜕𝑡
= 𝑀𝑎
Para um sistema força-mola (que armazena energia potencial), tem-
se:
𝑓 = 𝐾𝑦 = 𝐾 𝑣𝑑𝑡 = 𝐾 𝑎𝑑𝑡
Sistemas Translacionais
As forças de atrito surgem quando ocorre qualquer tendência de
movimento entre dois corpos em contato. As forças de atrito pode
ser classificadas como atrito viscoso (cinético), atrito estático e
atrito de Coulomb. Destes, só trataremos do atrito viscoso.
Para um sistema força-atrito viscoso (que ocorre dissipação de
energia), tem-se:
𝑓 = 𝐵
𝜕𝑦
𝜕𝑡
= 𝐵𝑣 = 𝐵 𝑎𝑑𝑡
Sistemas Translacionais
Nos sistemas mecânicos translacionais, a força pode ser considerada
como uma variável-através, pois a força aplicada em um lado da
mola é transmitida através da mola até o outro lado.
A velocidade pode ser considerada uma variável-sobre, pois uma
variação na força que atua na mola é capaz de causar uma diferença
de velocidade entre um lado da mola fixo no espaço e o outro lado
móvel. Logo, surge uma diferença de velocidade sobre a mola.
A razão entre a transformada de Laplace da variável-sobre pela
transformada de Laplace da a variável-através define a dinâmica do
elemento, ou seja, representa sua função de transferência.
Sistemas Translacionais
Se o elemento armazena energia através da variável-sobre, então
ele é um elemento armazenador de energia capacitivo.
Se o elemento armazena energia através da variável-através, então
ele é um elemento armazenador de energia indutivo.
Se o elemento não armazena energia e dissipa a energia
armazenada nos outros elementos, então ele um elemento
dissipador de energia.
Assim, nos sistemas translacionais, a massa é o armazenador
capacitivo, a mola é o armazenador indutivo e o amortecedor
viscoso é o dissipador de energia.
Sistemas Translacionais
Assim, para o sistema força-massa-velocidade, tem-se:
𝑓 = 𝑀
𝜕𝑣
𝜕𝑡
→ 𝐹 𝑠 = 𝑠𝑀𝑉 𝑠 →
𝑉 𝑠
𝐹(𝑠)
=
1
𝑠𝑀
→ 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 (𝐶 = 𝑀)
Exemplo: considere que a força que atua na massa 𝑀1 é a mesma
que atua na massa 𝑀2. Como a força é uma variável-através, então
as massas estão em série. Qual é a massa que sujeito à mesma força
equivale às massas 𝑀1 e 𝑀2?
𝑉𝑒𝑞
𝐹
=
𝑉1
𝐹
+
𝑉2
𝐹
=
1
𝑠𝑀1
+
1
𝑠𝑀2
 1 𝑠𝑀𝑒𝑞
→
1
𝑀𝑒𝑞
=
1
𝑀1
+
1
𝑀2
Sistemas Translacionais
Assim, para o sistema força-mola-velocidade, tem-se:
𝑓 = 𝐾 𝑣𝑑𝑡 → 𝐹 𝑠 =
𝐾
𝑠
𝑉 𝑠 →
𝑉 𝑠
𝐹(𝑠)
=
𝑠
𝐾
→ 𝐼𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐿 =
1
𝐾
Exemplo: considere que uma força atua em duas molas (𝐾1 e 𝐾2)
em série. Qual é a constante da mola que sujeito à mesma força
equivale às molas em série?
𝑉𝑒𝑞
𝐹
=
𝑉1
𝐹
+
𝑉2
𝐹
=
𝑠
𝐾1
+
𝑠
𝐾2
 𝑠 𝐾𝑒𝑞
→
1
𝐾𝑒𝑞
=
1
𝐾1
+
1
𝐾2
Sistemas Translacionais
Assim, para o sistema força-atrito viscoso-velocidade, tem-se:
𝑓 = 𝐵𝑣 → 𝐹 𝑠 = 𝐵𝑉 𝑠 →
𝑉 𝑠
𝐹(𝑠)
=
1
𝐵
→ 𝐷𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑅 =
1
𝐵
Exemplo: considere que uma força atua em dois amortecedores (𝐵1
e 𝐵2) em série. Qual é o coeficiente do amortecedor que sujeito à
mesma força equivale aos amortecedores em série?
𝑉𝑒𝑞
𝐹
=
𝑉1
𝐹
+
𝑉2
𝐹
=
1
𝐵1
+
1
𝐵2
 1 𝐵𝑒𝑞
→
1
𝐵𝑒𝑞
=
1
𝐵1
+
1
𝐵2
Sistemas Translacionais
Exercício 3: Determine a função de transferência 𝑋(𝑠) 𝐹(𝑠) do
sistema abaixo.
B
Sistemas Translacionais
Existem três diferentes abordagens para resolver o problema.
No primeiro caso, é realizado o diagrama de forças na massa e é
considerado que a soma das forças é igual ao produto da massa e
pela aceleração. Neste caso, a aceleração e a velocidade são
transformadas em posição (𝑥), surgindo uma EDO de 𝑥 em função
de 𝑓. Posteriormente, aplica-se a transformada de Laplace na EDO e
encontra-se a função de transferência desejada:
𝑓 = 𝑀𝑎 + 𝐵𝑣 + 𝐾𝑥 → 𝑀
𝜕2𝑥
𝜕𝑡2
+ 𝐵
𝜕𝑥
𝜕𝑡
+ 𝐾𝑥 →
𝑋 𝑠
𝐹(𝑠)
=
1
𝑀𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐾
Sistemas Translacionais
Na segunda abordagem, cada relação força-deslocamento (mola,
amortecedor e massa) é primeiramente transformada para o
domínio 𝑠. Posteriormente, é realizado o diagrama de forças na
massa, com sua respectiva força resultante. Por fim, manipula-se a
equação algébrica, encontrando a função de transferência desejada:
𝐹(𝑠) = 𝑀𝑠2𝑋(𝑠) + 𝐵𝑠𝑋(𝑠) + 𝐾𝑋(𝑠) →
𝑋 𝑠
𝐹(𝑠)
=
1
𝑀𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐾
Sistemas Translacionais
No terceiro caso, o sistema mecânico é convertido em um sistema
elétrico análogo, considerando a analogia resistência-amortecedor,
mola-indutor, massa-capacitor, força-corrente e velocidade-tensão.
Como todo o sistema mecânico está sujeito à mesma velocidade,
equivale a um sistema elétrico RLC sujeito à mesma tensão (RLC
paralelo). A força externa 𝑓 , que faz surgir forças em todos
elementos do sistema, equivale a uma fonte de corrente 𝑓, que faz
surgir correntes em todos elementos do RLC paralelo. Assim:
f(t)
Sistemas Translacionais
Para o sistema RLC paralelo, tem-se que (𝑀 = 𝐶, 𝐾 = 1 𝐿 e 𝐵 =
 1 𝑅):
𝐹 𝑠 =
𝑉 𝑠
𝑅
+
𝑉 𝑠
𝑠𝐿
+ 𝑠𝐶𝑉 𝑠 →
𝑉 𝑠
𝐹 𝑠
=
𝑠𝑅𝐿
𝑅𝐿𝐶𝑠2 + 𝐿𝑠 + 𝑅
𝑉 𝑠
𝐹 𝑠
=
𝑠𝑋 𝑠
𝐹(𝑠)
=
𝑠𝑅𝐿
𝑅𝐿𝐶𝑠2 + 𝐿𝑠 + 𝑅
→
𝑋 𝑠
𝐹(𝑠)
=
1
𝐶𝑠2 + 𝑠 𝑅 + 1 𝐿
𝑋 𝑠
𝐹(𝑠)
=
1
𝑀𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐾
Sistemas Translacionais
Assim:
𝐵
1
𝐵
1
𝐵
𝐵
Sistemas Translacionais
Exercício 4: Encontre o circuito elétrico análogo do sistema
mecânico abaixo, considerando as analogias força-corrente e
velocidade-tensão.
𝐵1 𝐵2
𝐵3
Sistemas Translacionais
Nota-se que o sistema possui dois referenciais de posição (𝑥1 e 𝑥2),
além do ponto fixo (terra). Todos os elementos do sistema se
deslocam com velocidade 𝑣1, com velocidade 𝑣2 ou com velocidade
𝑣1 − 𝑣2. Portanto, considere o sistema elétrico com três nós: 𝑣1, 𝑣2
e o terra (solo).
Todos os elementos que se deslocam com velocidade 𝑣1 têm que
ser conectados do nó 𝑣1 ao terra. Todos os elementos que se
deslocam com velocidade 𝑣2 têm que ser conectados do nó 𝑣2 ao
terra. Por fim, todos os elementos que se deslocam com velocidade
𝑣1 − 𝑣2 devem ser conectados entre os nós 𝑣1 e 𝑣2.
Como a força externa 𝑓 está atuando no sistema que se desloca com
velocidade 𝑣1 ,então ela é representada como uma fonte de
corrente conectada ao nó 𝑣1.
Sistemas Translacionais
Assim:
1
𝐵1
1
𝐵3
1
𝐵2
Sistemas Rotacionais
Os sistemas mecânicos rotacionais possuem três elementos básicos
que podem ser conectados entre si: o momento de inércia (da
massa), a mola (torção) e o amortecedor (atrito) viscoso.
Os sistemas mecânicos rotacionais são regidos por torques
aplicados aos elementos. Para um sistema torque-inércia (que
armazena energia cinética), tem-se:
𝑇 = 𝐽
𝜕2𝜃
𝜕𝑡2
= 𝐽
𝜕𝜔
𝜕𝑡
= 𝐽𝛼
Sistemas Rotacionais
Para um sistema torque-mola (torção – que armazena energia
potencial), tem-se:
𝑇 = 𝐾𝜃 = 𝐾 𝜔𝑑𝑡 = 𝐾 𝛼𝑑𝑡
Para um sistema torque-atrito viscoso (que ocorre dissipação de
energia), tem-se:
𝑇 = 𝐷
𝜕𝜃
𝜕𝑡
= 𝐷𝜔 = 𝐷 𝛼𝑑𝑡
Sistemas Rotacionais
Nos sistemas mecânicos rotacionais, o torque pode ser considerado
como uma variável-através, pois o torque aplicado em um lado da
mola é transmitido através da mola até o outro lado.
A velocidade angular pode ser considerada uma variável-sobre,
pois uma variação no torque que atua na mola é capaz de causar
uma diferença de velocidade entre um lado da mola fixo no espaço
e o outro lado móvel. Logo, surge uma diferença de velocidade
angular sobre a mola.
A razão entre a transformada de Laplace da variável-sobre pela
transformada de Laplace da a variável-através define a dinâmica do
elemento, ou seja, representa sua função de transferência.
Sistemas Rotacionais
Assim, nos sistemas rotacionais, o momento de inércia é o
armazenador capacitivo, a mola é o armazenador indutivo e o
amortecedor viscoso é o dissipador de energia.
Para o sistema torque-inércia-velocidade, tem-se:
𝑇 = 𝐽
𝜕𝜔
𝜕𝑡
→ 𝑇 𝑠 = 𝑠𝐽𝑊 𝑠 →
𝑊 𝑠
𝑇(𝑠)
=
1
𝑠𝐽
→ 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 (𝐶 = 𝐽)
Para o sistema torque-mola-velocidade, tem-se:
𝑇 = 𝐾 𝜔𝑑𝑡 → 𝑇 𝑠 =
𝐾
𝑠
𝑊 𝑠 →
𝑊 𝑠
𝑇(𝑠)
=
𝑠
𝐾
→ 𝐼𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐿 =
1
𝐾
Sistemas Rotacionais
Para o sistema torque-atrito viscoso-velocidade, tem-se:
𝑇 = 𝐷𝜔 → 𝑇 𝑠 = 𝐷𝑊 𝑠 →
𝑊 𝑠
𝑇(𝑠)
=
1
𝐷
→ 𝐷𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑅 =
1
𝐷
Da mesma forma que nos sistemas translacionais, os sistemas
rotacionais podem ser resolvidos a partir da analogia com o sistema
elétrico.
Assim, torques externos representam fontes de corrente, cada
referencial de posição angular ou velocidade angular corresponde a
um nó do circuito. Todos elementos com mesma velocidade estão
conectados em um mesmo nó. Já os elementos entre dois
referenciais de velocidade, estão conectados entre nós do circuito.
Sistemas Rotacionais
Exercício 5: Determine a função de transferência 𝜃2(𝑠) 𝑇(𝑠) do
sistema abaixo.
Sistemas Rotacionais
O sistema é redesenhado para mostrar os mancais como atritos
viscosos conectados a um referencial fixo e a torção como mola:
Os dois referenciais, 𝜔1 e 𝜔2, representam os nós do circuito. No nó
𝜔1, estão conectados o resistor 1/𝐷1 e o capacitor 𝐽1. Entre 𝜔1 e
𝜔2, está conectada a mola 1/𝐾. No nó 𝜔2, estão conectados o
resistor 1/𝐷2 e o capacitor 𝐽2. A fonte de corrente 𝑇 está conectada
no nó 𝜔1.
Sistemas Rotacionais
Assim, a função de transferência 𝜃2(𝑠) 𝑇(𝑠) é:
𝑊1 𝑠
𝑇 𝑠
=
1
𝐽1𝑠 + 𝐷1 +
𝐽2𝐾𝑠 + 𝐷2𝐾
𝐽2𝑠
2 + 𝐷2𝑠 + 𝐾
𝑒
𝑊2 𝑠
𝑊1 𝑠
=
𝐾
𝐽2𝑠
2𝐷2𝑠 + 𝐾
𝑊2 𝑠
𝑇 𝑠
=
𝑊2 𝑠
𝑊1 𝑠
𝑊1 𝑠
𝑇 𝑠
=
𝐾
𝐽1𝐽2 𝑠
3 + 𝐽1𝐷2 + 𝐽2𝐷1 𝑠
2 + 𝐽1 + 𝐽2 𝐾 + 𝐷1𝐷2 𝑠 + 𝐷1 + 𝐷2 𝐾
𝜃2 𝑠
𝑇 𝑠
=
1
𝑠
𝑊2 𝑠
𝑇(𝑠)
=
𝐾
𝐽1𝐽2 𝑠
4 + 𝐽1𝐷2 + 𝐽2𝐷1 𝑠
3 + 𝐽1 + 𝐽2 𝐾 + 𝐷1𝐷2 𝑠
2 + 𝐷1 + 𝐷2 𝐾 𝑠
Sistemas Rotacionais e Translacionais
Em muitos sistemas mecânicos, um motor, capaz de aplicar um
torque controlado em uma extremidade do seu eixo, é conectado a
um sistema de polia, correia e massa ou de pinhão, cremalheira e
massa, na outra extremidade do seu eixo.
Na maioria dos casos, estes sistemas podem ser reduzidos a um
sistema completamente rotacional ao considerar os elementos
acoplados na outra extremidade do eixo (o sistema polia-correia-
massa ou o sistema pinhão-cremalheira-massa) como uma simples
inércia de carga (𝐽𝐶) conectada à extremidade do eixo do motor.
Dependendo da velocidade e das perdas dos sistemas acoplados, é
possível representar também um atrito viscoso (𝐷𝐶 ) aplicado à
inércia de carga, 𝐽𝐶 .
Sistemas Rotacionais e Translacionais
Sistemas Rotacionais com Engrenagens
Um trem de engrenagens ou uma correia conectando polias são
dispositivos mecânicos capazes de transmitir energia de uma parte
do sistema a outro, de forma que variáveis como torque, velocidade
angular e deslocamento angular podem ser alterados.
Considere o caso de duas engrenagens acopladas que possuem
inércia, atrito e folga desprezíveis:
Sistemas Rotacionais com Engrenagens
Para este sistema, é possível encontrar as seguintes relações:
• O número de dentes (𝑁) é proporcional aos raios (𝑟):
𝑁1𝑟2 = 𝑁2𝑟1
• A distância percorrida na superfície das engrenagens é a mesma:
𝑟1𝜃1 = 𝑟2𝜃2
• Desprezando as perdas, a energia entregue a uma engrenagem é
transmitida completamente à outra engrenagem:
𝑇1𝜃1 = 𝑇2𝜃2
• Assim, as seguintes relações são verdadeiras:
𝑇1
𝑇2
=
𝑟1
𝑟2
=
𝑁1
𝑁2
=
𝜃2
𝜃1
=
𝜔2
𝜔1
Sistemas Rotacionais com Engrenagens
Considere um sistema inércia, atrito viscoso e mola acoplado ao
eixo da engrenagem 2, que está conectada à engrenagem 1, na qual
está sendo aplicado um torque 𝑇1.
É possível simplificar o sistema de duas formas: ou levando o torque
da engrenagem 1 para a engrenagem 2 ou trazendo o sistema
inércia, atrito viscoso e mola da engrenagem 2 para a engrenagem
1. No primeiro caso, tem-se:
Sistemas Rotacionais com Engrenagens
No segundo caso, escreve-se a equação dinâmica da engrenagem 2
em função de 𝑇2 e 𝜔2 e depois 𝑇2 e 𝜔2 são convertidos para 𝑇1 e
𝜔1, ou seja, como se o sistema estivesse todo acoplado ao eixo da
engrenagem 1. Assim, surge uma relação entre a inércia, o atrito
viscoso e a mola equivalentes na engrenagem 1 e a inércia, o atrito
viscoso e a mola originais na engrenagem 2.
Sistemas Rotacionais com Engrenagens
De forma generalizada, os elementos mecânicos podem ser
deslocados de uma engrenagem de origem para uma engrenagem
de destino ao multiplicar suas constantes pela relação:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎
𝑒𝑛𝑔𝑟𝑒𝑛𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑛𝑜
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎
𝑒𝑛𝑔𝑟𝑒𝑛𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚
2
Assim, para o sistema referenciado da engrenagem 2 para 1, tem-se:
𝐽1 = 𝐽2
𝑁1
𝑁2
2
𝑒 𝐷1 = 𝐷2
𝑁1
𝑁2
2
𝑒 𝐾1 = 𝐾2
𝑁1
𝑁2
2
Sistemas Rotacionais com Engrenagens
Exercício 6: Determine a função de transferência 𝜃2(𝑠) 𝑇1(𝑠) do
sistema abaixo.
Sistemas Rotacionais com Engrenagens
O primeiro passo é deslocar os elementos conectados ao eixo da
engrenagem 1 (origem) para o eixo da engrenagem 2 (destino).
Assim, o sistema resultante possui duas inércias acopladas ao
mesmo eixo, com valores 𝐽1
𝑁2
𝑁1
2
e 𝐽2. Portanto, a inércia resultante
é a soma das inércias.
O sistema possui também dois atritos viscosos entre as inércias e o
solo, com valores 𝐷1
𝑁2
𝑁1
2
e 𝐷2 . Portanto, o atrito viscoso
resultante é a soma dos atritos. A mola resultante é a mola 𝐾2
original.
O torque resultante também é referenciado ao eixo 2: 𝑇2 =
𝑁2
𝑁1
𝑇1.
Sistemas Rotacionais com Engrenagens
O sistema resultante se torna:
A função de transferência deste sistema já foi vista e é igual a:
Sistemas Térmicos
As duas variáveis mais importantes em um sistema térmico são a
temperatura, 𝑇, e o fluxo de calor (fluxo térmico), 𝑞.
A transferência de calor está relacionada com o fluxo de calor, que é
taxa de variação temporal do calor armazenado (energia térmica),
𝑄, em um objeto:
𝑞 =
𝜕𝑄
𝜕𝑡
O calor armazenado em um objeto está relacionado à sua
temperatura através de uma capacitância térmica, 𝐶 , que
representa o quanto de calor se pode armazenar para cada
incremento de 1𝐾 na temperatura.Assim:
𝑄 = 𝐶𝑇
Sistemas Térmicos
Desta forma, o fluxo de calor em um objeto está relacionado à taxa
de variação de sua temperatura:
𝑞 = 𝐶
𝜕𝑇
𝜕𝑡
É importante ressaltar que a capacitância térmica depende da
massa específica, do volume e do calor específico do objeto.
A transmissão de calor em um sistema térmico pode ocorrer por
condução, convecção e radiação. Dos três, só serão estudados a
condução e a convecção, pois são aproximadamente lineares.
Sistemas Térmicos
A condução descreve como um objeto sólido conduz calor. Assim, se
há uma diferença de temperatura entre duas superfícies de um
objeto, o fluxo de calor ocorre da superfície de maior temperatura
(𝑇2) para de menor temperatura (𝑇1) através da relação:
𝑞 =
∆𝑇
𝑅
=
𝑇2 − 𝑇1
𝑅
→ 𝑅 =
𝑇2 − 𝑇1
𝑞
O termo 𝑅 representa a resistência térmica de condução, que
depende da condutividade térmica do material, da área da seção
transversal na qual o fluxo de calor atravessa e da distância entre as
duas superfícies de temperatura 𝑇1 e 𝑇2.
Sistemas Térmicos
A convecção descreve como ocorre a transferência de calor entre
um objeto sólido e um fluido. Considere que o fluido em contato
com a superfície do objeto está a uma temperatura maior (𝑇2) e o
fluido a uma certa distância do objeto está a uma temperatura
menor (𝑇1). Assim, o fluxo de calor se dá através da relação:
𝑞 =
∆𝑇
𝑅
=
𝑇2 − 𝑇1
𝑅
→ 𝑅 =
𝑇2 − 𝑇1
𝑞
O termo 𝑅 representa a resistência térmica de convecção, que
depende do coeficiente de transferência de calor convectivo e da
área do objeto que está em contato com o fluido (onde o fluxo de
calor atravessa).
Sistemas Térmicos
Portanto, em um sistema térmico, é fácil relacionar o fluxo de calor
à variável-através, já que ele atravessa o sólido ou fluido, e a
diferença de temperatura à variável-sobre, já que ocorre uma
diferença de temperatura sobre o objeto ou fluido.
Assim, a função de transferência do fluxo de calor em um objeto é:
𝑞 = 𝐶
𝜕𝑇
𝜕𝑡
→ 𝑄 𝑠 = 𝑠𝐶𝑇 𝑠 →
𝑇 𝑠
𝑄(𝑠)
=
1
𝑠𝐶
→ 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 (𝐶 = 𝐶)
De forma equivalente, a função de transferência da condução e
convecção se dão por:
𝑞 =
∆𝑇
𝑅
→ 𝑄 𝑠 =
∆𝑇 𝑠
𝑅
→
∆𝑇 𝑠
𝑄(𝑠)
= 𝑅 → 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑜 (𝑅 = 𝑅)
Sistemas Térmicos
Exercício 7: Considere que 𝑙 é um objeto sólido de temperatura 𝑇𝑙.
Considere que 𝑓 é um fluido cuja temperatura na sua camada
superior é 𝑇𝑓. Determine a função de transferência 𝑇𝑙(𝑠) 𝑇𝑓(𝑠) do
sistema abaixo, em função de 𝐶 (objeto) e 𝑅 (convecção).
Sistemas Térmicos
O fluxo de calor entrando no objeto 𝑙 é:
𝑞 = 𝐶
𝜕𝑇𝑙
𝜕𝑡
O fluxo de calor entregue pelo fluido 𝑓 ao objeto 𝑙 é:
𝑞 =
∆𝑇
𝑅
=
𝑇𝑓 − 𝑇𝑙
𝑅
Igualando os fluxos e realizando a transformada de Laplace, tem-se:
𝑠𝐶𝑇𝑙 𝑠 =
𝑇𝑓 𝑠 − 𝑇𝑙(𝑠)
𝑅
→
𝑇𝑙 𝑠
𝑇𝑓(𝑠)
=
1
𝑅𝐶𝑠 + 1
Sistemas Fluídicos
Os sistemas de fluidos incompressíveis (volume constante) são
análogos aos sistemas elétricos, podendo ser modelados por
elementos passivos como resistores, capacitores e indutores.
As duas variáveis mais importantes em um sistema fluídico são a
pressão, 𝑃, e a vazão líquida volumétrica, 𝑞.
A vazão líquida volumétrica em um recipiente é definida como a
diferença entre a vazão volumétrica de entrada, 𝑞𝑖 , e a vazão
volumétrica de saída, 𝑞𝑜, ou seja:
𝑞 = 𝑞𝑖 − 𝑞𝑜
Sistemas Fluídicos
Pela lei da conservação de volume, a vazão líquida volumétrica é
igual à taxa de variação temporal do volume, 𝑉, de um fluido em
um recipiente:
𝑞 = 𝑞𝑖 − 𝑞𝑜 =
𝜕𝑉
𝜕𝑡
O volume armazenado em um recipiente está relacionado à sua
pressão, 𝑃, através de uma capacitância fluídica, 𝐶, que representa
o quanto de volume se pode armazenar no recipiente para cada
incremento de 1𝑁/𝑚2 na pressão. Assim:
𝑉 = 𝐶𝑃
Sistemas Fluídicos
Assim, a relação entre a vazão líquida volumétrica e a pressão em
um recipiente é:
𝑞 = 𝑞𝑖 − 𝑞𝑜 = 𝐶
𝜕𝑃
𝜕𝑡
Considerando um reservatório cuja base possui área 𝐴 e cujo fluido
possui altura ℎ, pode-se encontrar as expressões para a pressão e a
capacitância fluídica:
𝑃 =
𝐹
𝐴
=
𝑚𝑔
𝐴
=
𝜌𝑉𝑔
𝐴
= 𝜌𝑔ℎ
𝐶 =
𝑉
𝑃
=
𝑉
𝜌𝑔ℎ
=
𝐴
𝜌𝑔
Sistemas Fluídicos
A inércia fluídica, 𝐿, representa a inércia de um fluido em um
sistema tubular em variar bruscamente sua vazão volumétrica. A
consequência é a geração instantânea de uma diferença de pressão
no tubo com o intuito de se contrapor à variação de vazão.
Considere um tubo sem atrito em que o fluido se move com
velocidade 𝑣. Para provocar uma variação de vazão volumétrica,
uma força 𝐹 é aplicada.
Sistemas Fluídicos
Assim:
𝐹 = 𝐴∆𝑃 = 𝑚
𝜕𝑣
𝜕𝑡
= 𝜌𝐴𝑙
𝜕𝑣
𝜕𝑡
∆𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2 = 𝜌𝑙
𝜕𝑣
𝜕𝑡
𝑞 =
𝜕𝑉
𝜕𝑡
= 𝐴
𝜕𝑙
𝜕𝑡
= 𝐴𝑣 → 𝑣 =
𝑞
𝐴
∆𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2 = 
𝜌𝑙
𝐴
𝐿
𝜕𝑞
𝜕𝑡
= 𝐿
𝜕𝑞
𝜕𝑡
O termo 𝐿 (inércia fluídica) também é conhecido como indutância
fluídica.
Sistemas Fluídicos
Em sistemas fluídicos reais, tubos, conexões, válvulas, joelhos e
derivações, possuem uma resistência à passagem dos fluidos.
Tal resistência fluídica, 𝑅, é representada como uma força contrária
ao movimento do fluido no elemento. Como consequência, é gerada
uma diferença entre a pressão do fluido na entrada do elemento e a
pressão do fluido na saída do elemento (queda de pressão).
Se o escoamento for laminar, então a relação entre a vazão
volumétrica, 𝑞, e a diferença de pressão no elemento, ∆𝑃, é linear e
representa a resistência fluídica. Assim:
𝑞
∆𝑃 ∝ 𝑞 → 𝑅 =
∆𝑃
𝑞
=
𝑃1 − 𝑃2
𝑞
Sistemas Fluídicos
Portanto, em um sistema fluídico, a vazão volumétrica líquida se
relaciona à variável-através, já que ela atravessa os elementos
(recipientes, tubos, conexões, etc.), e a diferença de pressão se
relaciona à variável-sobre, já que ocorre uma diferença de pressão
sobre os elementos.
Assim, a função de transferência da vazão líquida volumétrica em
um recipiente é:
𝑞 = 𝐶
𝜕𝑃
𝜕𝑡
→ 𝑄 𝑠 = 𝑠𝐶𝑃 𝑠 →
𝑃 𝑠
𝑄(𝑠)
=
1
𝑠𝐶
→ 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 (𝐶 = 𝐶)
Sistemas Fluídicos
De forma equivalente, a função de transferência da resistência à
passagem de fluido se dá por:
𝑞 =
∆𝑃
𝑅
→ 𝑄 𝑠 =
∆𝑃 𝑠
𝑅
→
∆𝑃 𝑠
𝑄(𝑠)
= 𝑅 → 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑜 (𝑅 = 𝑅)
Por fim, a função de transferência da inércia à variação da vazão
volumétrica em um elemento se dá por:
∆𝑃 = 𝐿
𝜕𝑞
𝜕𝑡
→ 𝐿𝑠𝑄 𝑠 = ∆𝑃 𝑠 →
∆𝑃 𝑠
𝑄(𝑠)
= 𝑠𝐿 → 𝐼𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜 (𝐿 = 𝐿)
Sistemas Fluídicos
Exercício 8: Obtenha a função de transferência, 𝐻(𝑠)/𝑄𝑒(𝑠), que
define o sistema, considerando que o recipiente possui uma
capacitância fluídica 𝐶 e a válvula possui uma resistência fluídica 𝑅.
Sistemas Fluídicos
Na primeira abordagem, a função de transferência, 𝐻 𝑠 /𝑄𝑒(𝑠), é
diretamente definida pelas equações dinâmicas do sistema:
𝑞 = 𝑞𝑒 − 𝑞𝑠 = 𝐶
𝜕𝑃
𝜕𝑡
= 𝐶𝜌𝑔
𝜕ℎ
𝜕𝑡
∆𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2 = 𝑅𝑞𝑠 = 𝜌𝑔ℎ → 𝑞𝑠 =
𝜌𝑔ℎ
𝑅
𝑞𝑒 = 𝐶𝜌𝑔
𝜕ℎ
𝜕𝑡
+
𝜌𝑔ℎ
𝑅
𝑄𝑒 𝑠 = 𝑠𝐶𝜌𝑔𝐻 𝑠 +
𝜌𝑔
𝑅
𝐻 𝑠 →
𝐻 𝑠
𝑄𝑒(𝑠)
=
𝑅/𝜌𝑔
𝑅𝐶𝑠 + 1
Sistemas Fluídicos
Na segunda abordagem, a função de transferência, 𝐻 𝑠 /𝑄𝑒(𝑠), é
definida através do circuito elétrico análogo.
Primeiramente, a vazão volumétrica líquida de cada elemento
(reservatório e válvula) são diferentes, embora os dois estejam
sendo alimentados pela vazão de entrada, 𝑞𝑒 . Além disso, a
diferença de pressão do reservatório é igual à da válvula, pois
ambos estão ligados à pressão atmosférica.
Assim, 𝑞𝑒 funciona como uma fonte de corrente que alimenta o
circuito que contém um capacitor e um resistor. Como a diferença
de pressão (variável-sobre) nos elementos é igual, então 𝑅 e 𝐶 estão
em paralelo. A corrente em 𝑅 é igual a 𝑞𝑠 e a corrente em 𝐶 é igual
a 𝑞 = 𝑞𝑒 − 𝑞𝑠.
Sistemas Fluídicos
Desta forma, é possível encontrar a função de transferência da
diferença de pressão (tensão) nos elementos pela vazão de entrada
(fonte de corrente). Depois, a relação da diferença de pressão setransforma e altura é usada para encontrar a função de
transferência de 𝐻 𝑠 /𝑄𝑒(𝑠):
∆𝑃 𝑠
𝑄𝑒(𝑠)
=
𝑅/𝑠𝐶
𝑅 + 1/𝑠𝐶
=
𝑅
𝑅𝐶𝑠 + 1
∆𝑃 𝑠 = 𝜌𝑔𝐻 𝑠 →
𝐻 𝑠
𝑄𝑒(𝑠)
=
𝑅/𝜌𝑔
𝑅𝐶𝑠 + 1
Atuadores
Na modelagem de sistemas de controle, os atuadores possuem um
papel fundamental no processo de converter a variável de controle
gerada pelo controlador em uma variável de atuação, que
dependem do sistema a ser controlado.
Se o controlador é eletrônico, então os atuadores têm que
converter um sinal elétrico de baixa potência em uma variável de
atuação equivalente do sistema a ser controlado.
Assim, se o sistema a ser controlado for elétrico ou eletrônico, então
o atuador deve ser uma fonte de potência (podendo ser linear ou
chaveada), capaz de converter um sinal elétrico de baixa potência
em um de alta potência. Se o sistema for mecânico translacional,
atuadores são eletropneumáticos.
Atuadores
Se for rotacional, devem ser usados atuadores eletromecânicos, nos
quais se destacam os motores de CC. Se o sistema for térmico, são
usados aquecedores elétricos, e se for fluídico, são usados
atuadores eletro-hidráulicos.
Vale ressaltar que a apresentação das modelagens detalhadas de
tais atuadores poderia formar uma disciplina completa de 60 horas
e, por este motivo, não será explorada desta disciplina. Como prova
de conceito, será apresentado mais à frente o modelo de um dos
atuadores mais importantes: o motor de CC.
Caso queiram aprender mais sobre alguns destes atuadores, vale a
pena cursar as disciplinas de Circuitos Elétricos 1, Eletrônica 1,
Eletrônica Analógica, Eletrônica de Potência, Modelagem e
Dinâmica de Máquinas Elétricas e Acionamentos Elétricos.
Atuadores
Além disso, caso os sistemas a serem controlados sejam
translacionais, rotacionais ou fluídicos, há a possibilidade de
projetar controladores 100 % pneumáticos ou hidráulicos, ou seja,
controladores que incorporam o sensor, o cálculo do erro, os ganhos
do controlador e o atuador em um só dispositivo. O dispositivo pode
ser completamente modelado usando as leis da mecânica
translacional, rotacional e dos fluidos e não contém nenhum
elemento elétrico ou eletrônico na sua composição.
Como tais tipos de controladores/atuadores fogem ao escopo de
uma disciplina de controle para engenheiros eletricistas e
eletrônicos, sua modelagem não será abordada na disciplina. Aos
interessados, sugiro a leitura dos livros do Ogata e do Golnaraghi.
Motores de CC
Os motores de corrente contínua (CC) são um dos atuadores mais
utilizados para produzir movimento em uma indústria. A grande
vantagem dos motores de CC é a simplicidade da sua modelagem e
controle quando comparados com os motores de CA síncronos e
assíncronos.
As suas grandes desvantagens são o elevado custo por cv (cavalo-
vapor), o elevado peso/volume por cv e a alta frequência de
manutenção. Felizmente, nos últimos anos, tais desvantagens estão
sendo vencidas devido ao avanço tecnológico dos comutadores e
das escovas e também do desenvolvimento de motores de CC a imã
permanente.
Por estes motivos, a aplicação dos motores de CC nos equipamentos
e na indústria tem se intensificado.
Motores de CC
O esboço de um motor de CC é visto abaixo, com a representação
do enrolamento de campo (estator) e de armadura (rotor).
Motores de CC
O diagrama elétrico dos
enrolamentos de campo e de
armadura é visto ao lado.
O enrolamento de campo é
responsável por gerar o fluxo
no entreferro, essencial para
possibilitar a geração de torque
na armadura.
O modelo do motor de CC será
deduzido desprezando não
linearidades, como histerese e
saturação, e perdas nas
escovas, rolamentos, etc.
Motores de CC
O fluxo de campo no entreferro, 𝜑, é proporcional à corrente de
campo, 𝑖𝑐:
𝜑 = 𝐾𝑐𝑖𝑐
O torque mecânico, 𝑇𝑚, está linearmente relacionado com o fluxo
de campo, 𝜑, e com a corrente de armadura, 𝑖𝑎:
𝑇𝑚 = 𝐾1𝜑𝑖𝑎
Admitindo-se que o controle se dará pelo enrolamento de
armadura, o enrolamento de capo deverá gerar um fluxo constante
através de uma corrente de campo constante, 𝑖𝑐, ou usando um imã
permanente. Assim:
𝑇𝑚 = 𝐾1𝐾𝑐𝑖𝑐 𝑖𝑎 = 𝐾𝑚𝑖𝑎
Motores de CC
A corrente de armadura, 𝑖𝑐, está relacionada à tensão de armadura,
𝑣𝑎, através da equação de malha:
𝑣𝑎 = 𝑅𝑎𝑖𝑎 + 𝐿𝑎
𝜕𝑖𝑎
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑐𝑒
O termo 𝑣𝑐𝑒 representa a força contraeletromotriz gerada na
armadura, que é diretamente proporcional à velocidade angular, 𝜔:
𝑣𝑐𝑒 = 𝐾𝑐𝑒𝜔
A equação mecânica representa o movimento de rotação do eixo
acoplado à armadura, que depende do torque de carga, 𝑇𝐿, do atrito
viscoso, 𝑏, e do momento de inércia do motor de CC, 𝐽:
𝐽
𝜕𝜔
𝜕𝑡
= 𝑇𝑚 − 𝑇𝐿 − 𝑏𝜔 𝑒 𝜔 =
𝜕𝜃
𝜕𝑡
Motores de CC
A representação do sistema completo no espaço de estados em
função da corrente de armadura, 𝑖𝑎, da velocidade angular, 𝜔, e do
deslocamento angular, 𝜃, é:
 𝑖𝑎
 𝜔
 𝜃
=
− 
𝑅𝑎
𝐿𝑎
− 
𝐾𝑐𝑒
𝐿𝑎
0
 
𝐾𝑚
𝐽 − 
𝑏
𝐽 0
0 1 0
𝑖𝑎
𝜔
𝜃
+
 1 𝐿𝑎
0
0
𝑣𝑎 +
0
− 1 𝐽
0
𝑇𝐿
Vale ressaltar que 𝐾𝑚 pode ser considerado igual a 𝐾𝑐𝑒, já que em
regime permanente e desprezando as perdas, a potência elétrica de
entrada na armadura é igual à potência mecânica de saída no eixo:
𝑣𝑐𝑒𝑖𝑎 = 𝑇𝑚𝜔 → 𝐾𝑐𝑒𝜔 𝑖𝑎 = 𝐾𝑚𝑖𝑎 𝜔 → 𝐾𝑐𝑒 = 𝐾𝑚
Motores de CC
Aplicando a transformada de Laplace nas equações do torque
mecânico em função da corrente de armadura e de malha de
armadura e da força contraeletromotriz, é possível encontrar:
𝐼𝑎 =
𝑉𝑎 − 𝑉𝑐𝑒
𝑅𝑎 + 𝐿𝑎𝑠
→ 𝑇𝑚 =
𝐾𝑚
𝑅𝑎 + 𝐿𝑎𝑠
𝑉𝑎 − 𝐾𝑐𝑒𝜔
Aplicando a transformada de Laplace na equação mecânica do
motor de CC, é possível encontrar:
𝜔 =
𝑇𝑚 − 𝑇𝐿
𝐽𝑠 + 𝑏
𝑒 𝜃 =
1
𝑠
𝜔
Motores de CC
Assim, é possível obter o diagrama de blocos do motor de CC
representando o efeito da tensão de armadura, 𝑣𝑎 , no seu
deslocamento angular, 𝜃:
𝑇𝐿(𝑠)
Motores de CC
A função de transferência completa que representa o efeito da
tensão de armadura, 𝑣𝑎, no deslocamento angular, 𝜃, do motor de
CC é (sistema de terceira ordem):
𝐺 𝑠 =
𝜃(𝑠)
𝑉𝑎(𝑠)
=
𝐾𝑚
𝑠 𝑅𝑎 + 𝐿𝑎𝑠 𝐽𝑠 + 𝑏 + 𝐾𝑐𝑒𝐾𝑚
Como a constante de tempo da armadura é, geralmente, muito
menor que a constante de tempo da inércia do motor, ou seja,
 𝐿𝑎 𝑅𝑎 ≪ 𝐽 𝑏, tal dinâmica pode ser desprezada e o sistema se
torna de segunda ordem:
𝐺 𝑠 =
𝜃(𝑠)
𝑉𝑎(𝑠)
=
𝐾𝑚
𝑠 𝑅𝑎𝐽𝑠 + 𝑅𝑎𝑏 + 𝐾𝑐𝑒𝐾𝑚
Sensores
Na modelagem de sistemas de controle, os sensores possuem o
papel de converter a variável gerada na saída do sistema a ser
controlado em uma variável compatível com o controlador
utilizado.
Se o controlador é eletrônico, então os sensores têm que converter
a variável de saída do sistema a ser controlado em um sinal elétrico
de baixa potência.
Assim, se o sistema a ser controlado for elétrico ou eletrônico, então
o sensor deve ser um dispositivo capaz de converter um sinal
elétrico de alta potência em um de baixa potência (TCs, TPs,
resistores shunt, sensores de efeito hall, etc.). Se o sistema for
mecânico translacional, sensores são eletropneumáticos.
Sensores
Se for rotacional, devem ser usados sensores eletromecânicos, nos
quais se destacam os potenciômetros e tacômetros (analógicos) e os
enconders (digitais). Se o sistema for térmico, são usados sensores
de temperatura, e se for fluídico, são usados sensores eletro-
hidráulicos.
Vale ressaltar que, devido à grande quantidade de sensores
disponíveis no mercado e à complexidade em modelá-los
detalhadamente, tais modelos não serão explorada desta disciplina.
Como prova de conceito, serão apresentados os sensores analógicos
mais importantes: o potenciômetro e o tacômetro.
Caso queiram aprender mais sobre alguns sensores, vale a pena
cursar as mesmas disciplinas previamente comentadas na seção de
atuadores.
Potenciômetros
O potenciômetro é um transdutor eletromecânico capaz de
converter um movimento angular (sistemas rotacionais)ou linear
(sistemas translacionais) em um sinal elétrico de baixa potência.
Quando uma tensão é aplicada aos terminais fixos do
potenciômetro, uma tensão proporcional ao deslocamento surge no
seu terminal móvel, como visto abaixo:
𝑒 𝑡 = 𝐾𝑠𝜃𝑐 𝑡
𝐾𝑠 =
𝐸
𝜃𝑚𝑎𝑥
Potenciômetros
Dois potenciômetros também podem ser usados para medir o
deslocamento (angular ou linear) de dois elementos no mesmo
sistema de referência. Neste caso, ao medir a diferença de tensão
entre os dois terminais, obtém-se a diferença de deslocamento dos
dois elementos em relação ao sistema de referência:
𝑒 𝑡 = 𝐾𝑠 ±𝜃1 𝑡 ∓ 𝜃2 𝑡
Potenciômetros
Nos sistemas de controle com motores de CC, os potenciômetros
podem ser usados para medir e já calcular o erro entre a posição
desejada (referência) e a posição atual do eixo do motor:
Potenciômetros
O sinal 𝑒(𝑡) representa o erro na posição atual do motor em relação
ao desejado. Tal erro é amplificado, de forma a alimentar o motor
com uma tensão necessária para que ele corrija sua posição:
Potenciômetros
As formas de onda típicas de
um controle de posição com
potenciômetros e o motor
de CC podem ser vistas ao
lado.
Neste caso, o amplificador
faz o papel do controlador e
do atuador elétrico. Como o
amplificador é CC, ele é do
tipo proporcional (P).
Tacômetros
Os tacômetros são dispositivos eletromecânicos que convertem
energia mecânica rotacional em energia elétrica. Em geral, os
tacômetros geram uma tensão CC que é proporcional à velocidade
angular de giro do seu eixo.
Na prática, o tacômetro é um motor de CC de pequena proporção,
cujo eixo é acoplado ao eixo em que se deseja medir a velocidade.
Como sua proporção é pequena, suas constantes de tempo de
inércia e de armadura são desprezíveis quando comparadas à sua
velocidade angular nominal, de forma que:
𝜃(𝑠)
𝑉𝑎(𝑠)
=
𝐾𝑚
𝑠 𝑅𝑎 + 𝐿𝑎𝑠 𝐽𝑠 + 𝑏 + 𝐾𝑐𝑒𝐾𝑚
=
1
𝑠𝐾𝑐𝑒
→ 𝑉𝑎 𝑠 = 𝐾𝑐𝑒𝜔(𝑠)
Tacômetros
Uma aplicação típica dos tacômetros é no controle de velocidade
angular de motores (CC ou CA). Neste caso, a tensão gerada pelo
tacômetro (proporcional à velocidade atual) é comparada com uma
tensão que representa a velocidade desejada e o erro de tensão
alimenta o amplificador de potência:
𝑣𝑎
Tacômetros
Outra típica aplicação do tacômetro é na melhoria da estabilidade
no controle de posição angular de motores (CC ou CA). Neste caso, a
tensão gerada pelo tacômetro alimenta uma malha interna de
velocidade, enquanto a tensão gerada pelo encoder alimenta a
malha externa de posição:
𝑣𝑎
Resumo dos Sistemas
Baseado nas definições de variáveis-através e variáveis-sobre, é
possível resumir as equivalências entre as variáveis dos diferentes
sistemas analisados:
Resumo dos Sistemas
Também é possível estabelecer um paralelo entre os diferentes
elementos presentes nos sistemas, classificando-os como
armazenamentos indutivos, capacitivos ou dissipadores de energia:
Resumo dos Sistemas
Também é possível estabelecer um paralelo entre os diferentes
elementos presentes nos sistemas, classificando-os como
armazenamentos indutivos, capacitivos ou dissipadores de energia:
Resumo dos Sistemas
Também é possível estabelecer um paralelo entre os diferentes
elementos presentes nos sistemas, classificando-os como
armazenamentos indutivos, capacitivos ou dissipadores de energia:
Resumo dos Sistemas
Pode ser visto abaixo, um resumo dos principais atuadores e
sensores apresentados e suas funções de transferência:
Resumo dos Sistemas
Pode ser visto abaixo, um resumo dos principais atuadores e
sensores apresentados e suas funções de transferência:
Resumo dos Sistemas
Pode ser visto abaixo, um resumo dos principais atuadores e
sensores apresentados e suas funções de transferência:
Resumo dos Sistemas
Pode ser visto abaixo, um resumo dos principais atuadores e
sensores apresentados e suas funções de transferência:
Resumo dos Sistemas
Pode ser visto abaixo, um resumo dos principais atuadores e
sensores apresentados e suas funções de transferência:
Resumo dos Sistemas
Pode ser visto abaixo, um resumo dos principais atuadores e
sensores apresentados e suas funções de transferência:
Resumo dos Sistemas
Pode ser visto abaixo, um resumo dos principais atuadores e
sensores apresentados e suas funções de transferência:
Resumo dos Sistemas
Pode ser visto abaixo, um resumo dos principais atuadores e
sensores apresentados e suas funções de transferência:
Outros sistemas, atuadores e sensores podem ser encontrados nos
livros do Dorf e Bishop, Ogata e Golnaraghi e Kuo.