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Engenharia de Controle Tema 6 – Função de Transferência, Diagramas de Blocos e Correlação com o Espaço de Estados Fabrício Bradaschia Universidade Federal de Pernambuco – UFPE Centro de Tecnologia e Geociências – CTG Departamento de Engenharia Elétrica – DEE Objetivos do Tema Os objetivos deste tema são: • Apresentar o conceito de função de transferência de sistemas lineares e invariantes no tempo; • Representar os sistemas por diagramas de blocos e apresentar as principais propriedades e reduções dos blocos de sistema; • Apresentar a correlação entre as representações do sistema pela função de transferência e pelo espaço de estados; • Apresentar as principais ferramentas do MATLAB que tratam destes assuntos. Função de Transferência A Função de Transferência é definida como a razão entre a transformada de Laplace da saída (função de resposta) e a transformada de Laplace da entrada (função de excitação) de um determinado sistema dinâmico, admitindo-se todas as condições iniciais nulas. Assim, a função de transferência é comumente usada para caracterizar relações entrada-saída baseadas na dinâmica interna de sistemas descritos por EDOs lineares e invariantes no tempo. Função de Transferência A função de transferência possui algumas características importantes: • É um modelo matemático que permite a separação da entrada, da saída e da dinâmica do sistema; • É uma propriedade inerente ao sistema, ou seja, a função de transferência será sempre a mesma independente da natureza da entrada e da saída; • Incorpora a relação de unidades da saída pela entrada, mas não fornece nenhuma informação sobre a estrutura física do sistema, ou seja, dois sistemas fisicamente distintos podem possuir a mesma função de transferência; Função de Transferência A função de transferência possui algumas características importantes (continuação): • Se a função de transferência é conhecida, é possível determinar as saídas do sistema para cada entrada distinta; • Se a função de transferência é desconhecida, é possível determiná-la experimentalmente com o auxílio de entradas conhecidas e através da análise das saídas obtidas. Assim que for determinada, a função de transferência fornecerá o comportamento dinâmico do sistema independente do projetista ter conhecimento ou não do sistema físico (o sistema pode ser uma caixa preta). Função de Transferência Considere o sistema SISO linear e invariante no tempo definido pela seguinte EDO (𝑛 ≥ 𝑚): 𝑎0 𝑦 (𝑛) + 𝑎1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑦 = 𝑏0 𝑢 (𝑚) + 𝑏1 𝑢 (𝑚−1) + ⋯+ 𝑏𝑚𝑢 Para este sistema, 𝑦 𝑡 é definido como a saída e 𝑢(𝑡) como a entrada. A função de transferência do sistema é a relação entre as transformadas de Laplace da saída e da entrada, com as condições iniciais nulas: 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐺 𝑠 = ℒ 𝑦 𝑡 ℒ 𝑢 𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑢𝑙𝑎𝑠 Função de Transferência Assim, a partir da EDO, tem-se que: A maior potência de 𝑠 no denominador da função de transferência define a ordem do sistema. Portanto, se o termo 𝑎0 for não nulo, o sistema é de ordem 𝒏. A equação (polinômio) característica do sistema é definida como o denominador de 𝐺 𝑠 igualado a zero: 𝑎0𝑠 𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑠 + 𝑎𝑛 𝑌 𝑠 = 𝑏0𝑠 𝑚 + ⋯+ 𝑏𝑚−1𝑠 + 𝑏𝑚 𝑈 𝑠 𝐺 𝑠 = 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) = 𝑏0𝑠 𝑚 + 𝑏1𝑠 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑚−1𝑠 + 𝑏𝑚 𝑎0𝑠 𝑛 + 𝑎1𝑠 𝑛−1 ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑠 + 𝑎𝑛 𝑎0𝑠 𝑛 + 𝑎1𝑠 𝑛−1 ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑠 + 𝑎𝑛 = 0 As raízes da equação característica (polos) definem completamente a estabilidade do sistema. Função de Transferência A partir da definição da função de transferência, considere a saída temporal obtida ao aplicar um impulso unitário na entrada: A função 𝑔(𝑡) é conhecida como função de resposta impulsiva ou função característica do sistema. O motivo de tal nome está associado com a relação entrada-saída temporal do sistema: 𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑈 𝑠 = 𝐺 𝑠 ℒ−1 𝑌(𝑆) = ℒ−1 𝐺(𝑆) = 𝑔(𝑡) 𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑈 𝑠 𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌(𝑆) = ℒ−1 𝐺(𝑆)𝑈 𝑠 = 0 𝑡 𝑔 𝜏 𝑢 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 Função de Transferência A transformada de Laplace da função 𝑔(𝑡) dará a função de transferência do sistema, 𝐺 𝑠 = ℒ 𝑔 𝑡 . Logo, tanto a função característica 𝑔(𝑡) quanto a função de transferência 𝐺 𝑠 fornecem as mesmas informações sobre a dinâmica do sistema. Assim, é possível obter as características dinâmicas de um sistema desconhecido ao aplicar um impulso unitário na sua entrada e medir a saída 𝑔(𝑡). Na prática, um pulso de entrada de duração muito inferior às constantes de tempo do sistema pode ser uma aproximação da função impulso unitário. Portanto, após estimar 𝑔(𝑡), a função de transferência 𝐺 𝑠 pode ser obtida através da sua transformada de Laplace. Função de Transferência Em um sistema MIMO, é possível obter diversas funções de transferência que ditam a influência de cada entrada em cada saída do sistema (usando o princípio da superposição). Assim, considerando um sistema com 𝑚 saídas e 𝑟 entradas, tem-se que a influência da entrada 𝑢𝑗 na saída 𝑦𝑖 é definida fazendo todas as outras entradas nulas. Ao aplicar a transformada de Laplace em 𝑢𝑗 e 𝑦𝑖 e fazendo a razão, chega-se a: 𝐺𝑖𝑗 𝑠 = 𝑌𝑖(𝑠) 𝑈𝑗(𝑠) Função de Transferência Após verificar a influência de cada entrada 𝑢𝑗 na saída 𝑦𝑖, é possível obter a equação da saída 𝑌𝑖(𝑠) em função de todas as entradas 𝑈𝑗(𝑠): 𝑌𝑖 𝑠 = 𝐺𝑖1 𝑠 𝑈1 𝑠 + 𝐺𝑖2 𝑠 𝑈2 𝑠 + ⋯+ 𝐺𝑖𝑟 𝑠 𝑈𝑟 𝑠 Assim, as equações de saída 𝑌𝑖(𝑠) pode ser expressas na forma matricial: 𝒀 𝑠 = 𝑮 𝑠 𝑼 𝑠 𝑮 𝑠 = 𝐺11 𝑠 𝐺12 𝑠 ⋯ 𝐺1𝑟 𝑠 𝐺21 𝑠 𝐺22 𝑠 ⋯ 𝐺2𝑟 𝑠 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝐺𝑚1 𝑠 𝐺𝑚2 𝑠 ⋯ 𝐺𝑚𝑟 𝑠 , 𝒀 𝑠 = 𝑌1 𝑠 𝑌2 𝑠 ⋮ 𝑌𝑚 𝑠 , 𝑼 𝑠 = 𝑈1 𝑠 𝑈2 𝑠 ⋮ 𝑈𝑟 𝑠 Função de Transferência Exercício 1: Encontre a função de transferência do sistema elétrico abaixo, considerando 𝑟(𝑡) a entrada do sistema e 𝑣1(𝑡) a saída. Função de Transferência Existem duas abordagens que podem ser aplicadas. Na abordagem convencional, usa-se as leis de Kirchhoff nos nós e malhas do sistema e encontra a EDO que relaciona a grandeza de saída com a de entrada. Uma abordagem mais simples leva em consideração que, para determinar a função de transferência, todas as condições iniciais são nulas, as derivações temporais são representadas por multiplicações por 𝑠 e as integrações são representadas por multiplicações por 1 𝑠. Somente depois disso é que as leis de Kirchhoff são aplicadas. Assim, as equações do sistema a ser analisado se tornam puramente algébricas, evitando manipulações de derivadas e integrais. Função de Transferência Baseado na abordagem mais simples, tem-se que: 𝑣𝑅 𝑡 = 𝑅𝑖𝑅(𝑡) → 𝑉𝑅 𝑠 = 𝑅𝐼𝑅(𝑠) 𝑣𝐶 𝑡 = 1 𝐶 𝑖𝐶 𝑡 𝑑𝑡 → 𝑉𝐶 𝑠 = 1 𝑠𝐶 𝐼𝐶(𝑠) 𝑣𝐿 𝑡 = 𝐿 𝜕𝑖𝐿(𝑡) 𝜕𝑡 → 𝑉𝐿 𝑠 = 𝑠𝐿𝐼𝐿(𝑠) Assim, no domínio 𝑠 , as relações tensão e corrente de cada elemento são puramente algébricas, semelhante à relação do resistor no domínio do tempo. Portanto, é possível realizar associações série-paralelo dos elementos no domínio 𝑠. Função de Transferência Encontrando a associação dos elementos 𝑅1, 𝐶2 e 𝐿 e aplicando a lei dos nós em 𝑉1, tem-se: 𝑅 𝑠 = 𝑉1(𝑠) 1 𝑠𝐶1 + 𝑉1(𝑠) 𝑅2 + 𝑉1(𝑠) 𝑅1 + 𝐿//𝐶2 𝑅 𝑠 = 𝑉1(𝑠) 1 𝑠𝐶1 + 𝑉1(𝑠) 𝑅2 + 𝑉1(𝑠) 𝑅1 + 𝑠𝐿 𝑠2𝐿𝐶2 + 1 1 = 𝑉1(𝑠) 𝑅 𝑠 𝑠𝐶1 + 1 𝑅2 + 𝑠2𝐿𝐶2 + 1 𝑠2𝐿𝐶2 + 1 𝑅1 + 𝑠𝐿 𝑉1(𝑠) 𝑅 𝑠 = 𝑠2𝐶2 + 𝑠/𝑅1 + 1/𝐿 𝑠3𝐶1𝐶2 + 𝑠 2 𝐶1/𝑅1 + 𝐶2/𝑅1 + 𝐶2/𝑅2 + 𝑠 𝐶1/𝐿 + 1/𝑅1𝑅2 + 1/𝑅1𝐿 + 1/𝑅2𝐿 Função de Transferência Exercício 2: Usando a resposta do Exercício 1, encontre a função de transferência de 𝑣2(𝑡) em função de 𝑟(𝑡). Função de Transferência Usando o método da divisão de tensão, tem-se: 𝑉2 𝑠 = 𝐿//𝐶2 𝑅1 + 𝐿//𝐶2 𝑉1(𝑠) 𝑉2 𝑠 = 𝑠𝐿 𝑠2𝑅1𝐿 𝐶2 + 𝑠𝐿 + 𝑅1 𝑉1(𝑠) 𝑉2 𝑠 𝑅(𝑠) = 𝑠𝐿 𝑠2𝑅1𝐿 𝐶2 + 𝑠𝐿 + 𝑅1 𝑉1(𝑠) 𝑅(𝑠) , 𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑉1(𝑠) 𝑅 𝑠 = 𝑠2𝐶2 + 𝑠/𝑅1+ 1/𝐿 𝑠3𝐶1𝐶2 + 𝑠2 𝐶1/𝑅1 + 𝐶2/𝑅1 + 𝐶2/𝑅2 + 𝑠 𝐶1/𝐿 + 1/𝑅1𝑅2 + 1/𝑅1𝐿 + 1/𝑅2𝐿 Diagrama de Blocos Um sistema de controle pode ter diversos componentes. Para destacar as funções executadas em cada um destes componentes na engenharia de controle, são utilizados os diagramas de blocos. O diagrama de blocos é a representação gráfica das funções executadas pelos componentes de um sistema e dos fluxos de sinais entre componentes. Diferentemente da representação matemática pura, o diagrama de blocos indica realisticamente o fluxo de sinais de um sistema real. A vantagem do diagrama de blocos reside no fato de que, após construído, é possível compreender a influência de cada componente na dinâmica global do sistema. Diagrama de Blocos Com o diagrama de blocos, é possível entender facilmente as operações matemáticas que estão sendo realizadas no sistema. Tal compreensão não é possível ao examinar o sistema físico real. Por outro lado, o diagrama de blocos não permite que se compreenda a construção física do sistema. É por isso que sistemas físicos diferentes podem possuir o mesmo diagrama de blocos. Além disso, um mesmo sistema pode possuir diversos diagramas de blocos distintos (simplificado, detalhado, reduzido, expandido, etc.) O bloco funcional é um símbolo da operação matemática que é realizada no sinal de entrada de um componente, produzindo o sinal de saída. Em geral, a função de transferência é quem define a operação matemática do bloco funcional. Diagrama de Blocos Em um diagrama de blocos, os sinais só podem passar no sentido indicado pelas setas, indicando que tal diagrama é unilateral. Abaixo está a representação de um bloco funcional cuja entrada é indicada pela seta apontando para o bloco e a saída é indicada pela seta saindo do bloco. Tais setas indicam sinais. Diagrama de Blocos O símbolo de um círculo com uma cruz indica a operação de soma (somador). Os sinais em cada seta indica se a variável deve ser somada ou subtraída. É importante que as variáveis possuam mesmas dimensões e mesmas unidades. O ponto de ramificação é aquele que distribui um mesmo sinal simultaneamente a outros blocos ou somadores. Diagrama de Blocos O diagrama de blocos de um sistema em malha fechada é mostrado abaixo. É visível a realimentação da saída ao somador presente na entrada através do sensor representado pelo bloco 𝐻(𝑠) . A realimentação pode ser positiva ou negativa, embora, na maioria dos casos é negativa. 𝐵(𝑠) Diagrama de Blocos A relação entre o sinal de realimentação 𝐵 𝑠 e o sinal de erro atuante 𝐸 𝑠 é chamada de função de transferência de malha aberta: Função de Transferência de Malha Aberta = 𝐵 𝑠 𝐸 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) A relação entre o sinal de saída 𝐶 𝑠 e o sinal de erro atuante 𝐸 𝑠 é chamada de função de transferência do ramo direto: Função de Transferência do Ramo Direto = 𝐶 𝑠 𝐸 𝑠 = 𝐺 𝑠 Se a função de transferência do sensor 𝐻 𝑠 for unitária então as funções de transferência de malha aberta e ramo direto serão iguais. Diagrama de Blocos A relação entre o sinal de saída 𝐶 𝑠 e o sinal de entrada 𝑅 𝑠 é chamada de função de transferência de malha fechada. Se a realimentação for negativa, então: 𝐶 𝑠 𝑅 𝑠 = 𝐺(𝑠) 1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) Se a realimentação for positiva, então: 𝐶 𝑠 𝑅 𝑠 = 𝐺(𝑠) 1 − 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) Diagrama de Blocos Na presença de um distúrbio, 𝐷 𝑠 , o sistema em malha fechada deve ser analisado como se tivesse duas entradas: a entrada real, 𝑅 𝑠 , e o distúrbio, 𝐷 𝑠 . Assim, usando a superposição, tem-se: 𝐶 𝑠 = 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 𝑅 𝑠 𝐶𝑅(𝑠) + 𝐺2 𝑠 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 𝐷(𝑠) 𝐶𝐷(𝑠) Diagrama de Blocos Para se construir o diagrama de blocos de um sistema, primeiramente deve-se encontrar as equações que descrevem o comportamento dinâmico do sistema e, posteriormente, representá-las no domínio 𝑠 usando a Transformada de Laplace. Como as equações são lineares e algébricas, é possível representá- las com somadores, pontos de ramificação e blocos funcionais. A natureza do diagrama de blocos depende se as equações no domínio 𝑠 são simplificadas ou expandidas. Caso se deseje representar, além da entrada e saída, variáveis intermediárias do sistema, então as equações deve estar expandidas e em função de tais variáveis. Caso contrário, utilize-as de forma simplificada. Diagrama de Blocos Exercício 3: Represente a relação da tensão de saída 𝐸𝑜(𝑠) pela entrada 𝐸𝑖(𝑠) usando diagrama de blocos. Evidencie a variável 𝐼(𝑠). Diagrama de Blocos Primeiramente, monta-se as equações algébricas que relacionam 𝐸𝑖(𝑠), 𝐸𝑜(𝑠) e 𝐼(𝑠) no domínio 𝑠: 𝐸𝑖 𝑠 − 𝐸𝑜(𝑠) 𝑅 = 𝐼(𝑠) 𝐸𝑜 𝑠 = 1 𝑠𝐶 𝐼(𝑠) Em seguida, monta-se o diagrama de blocos usando as equações: Diagrama de Blocos Por fim, junta-se os blocos individuais em um único diagrama: 𝐸𝑜(𝑠) 𝐸𝑖(𝑠) = 1/𝑅𝐶𝑠 1 + 1/𝑅𝐶𝑠 = 1 𝑅𝐶𝑠 + 1 A função de transferência do sistema é: Diagrama de Blocos Dependendo da complexidade do sistema e do seu diagrama de blocos, convém reduzi-lo usando regras de redução de blocos. A 1ª regra especifica que um grupo de blocos em cascata, que não possuam somadores ou pontos de derivação nas suas conexões internas, pode ser representado por um único bloco cuja função de transferência é igual ao produto das funções de transferência dos blocos individuais. Diagrama de Blocos A 2ª regra especifica que um grupo de blocos em paralelo, que compartilham a mesma entrada e cujas saídas terminam em um somador (com seus devidos sinais), pode ser representado por um único bloco cuja função de transferência é igual à soma (com seus devidos sinais) das funções de transferência individuais. Diagrama de Blocos A 3ª regra especifica a malha fechada (realimentação): 𝐵(𝑠) Diagrama de Blocos No processo de redução do diagrama de blocos, nem sempre as formas comuns (cascata, paralelo ou malha fechada) estão evidentes. Por exemplo, se houver uma derivação após o somador na malha fechada, não é possível simplificar. Outro exemplo ocorre na presença do distúrbio entre o controlador e planta (através do somador). Neste caso, também não é possível simplificar. Uma solução é usar regras de deslocamento de blocos, cuja função é deslocar blocos à esquerda ou à direita de somadores e de pontos de ramificação, permitindo gerar formas comuns (cascata, paralelo ou malha fechada) que possam ser reduzidas. Diagrama de Blocos 1ª Regra: deslocar um bloco 𝐺 𝑠 para a esquerda de um somador equivale a acrescentar o bloco 𝐺 𝑠 a cada ramo de entrada do somador. A explicação é simples: o produto da soma é igual à soma dos produtos. Diagrama de Blocos 2ª Regra: deslocar um bloco 𝐺 𝑠 para a direita de um somador equivale a acrescentar o bloco 𝐺 𝑠 após o somador e blocos 1/𝐺 𝑠 a cada ramo de entrada do somador. A explicação é simples: a ação equivale a colocar o bloco 𝐺 𝑠 em evidência na soma, surgindo após o somador multiplicado e em cada elemento da soma dividido. Diagrama de Blocos 3ª Regra: deslocar um bloco 𝐺 𝑠 para a esquerda de um ponto de ramificação equivale a acrescentar o bloco 𝐺 𝑠 antes da ramificação e blocos 1/𝐺 𝑠 em cada ramo. A explicação é simples: no momento que o sinal a ser ramificado foi multiplicado por 𝐺 𝑠 , é necessário que tal multiplicação seja anulada em cada ramificação (produto por 1/𝐺 𝑠 ). Diagrama de Blocos 4ª Regra: deslocar um bloco 𝐺 𝑠 para a direita de um ponto de ramificação equivale a remover o bloco 𝐺 𝑠 antes da ramificação e acrescentar blocos 𝐺 𝑠 em cada ramo. A explicação é simples: como o sinal a ser ramificado foi multiplicado por 1/𝐺 𝑠 , tal produto deve ser anulado em cada ramo (multiplica por 𝐺 𝑠 ). Diagrama de Blocos Exercício 4: Simplifique o diagrama de blocos do sistema abaixo. Diagrama de Blocos Primeiramente, o bloco 𝐺1 é deslocado para direita do somador, possibilitando que os blocos 𝐺1, 𝐺2 e 𝐻1 formem uma malha fechada: Diagrama de Blocos Em seguida, a malha fechada é simplificada de forma a permitir que a nova função de transferência, 𝐺3 e 𝐻2/𝐺1 formem uma nova malha fechada: Diagrama de Blocos Em seguida, a nova malha fechada é simplificada, fazendo surgir a última malha fechada do sistema: Diagrama de Blocos Por fim, a última malha fechada é resolvida, encontrando a função de transferência do sistema: Diagrama de Blocos No exercício anterior, observe que existe uma relação entre o diagrama de blocos original e o simplificado: Diagrama de Blocos É possível obter a função de transferência completa 𝐶(𝑠)/𝑅(𝑠) do sistema usando uma Regra de Ouro, ou seja, evitando fazer qualquer simplificação. Vale ressaltar que tal regra só vale para sistemas SISO. Se o sistema for MIMO, simplifique-o para vários sistemas SISO antes de usar a Regra de Ouro. Pela Regra de Ouro, o numerador da função de transferência completa é igual ao somatório dos produtos das funções de transferência contidas em todos os possíveis ramos diretos. Ramos diretos são aqueles que partem da entrada e terminam na saída e só avançam no sentido das setas e sempre da esquerda para a direita, ou seja, o ramo direto não pode incluir qualquer realimentação (não pode voltar a um ponto mais à esquerda de onde estava anteriormente). Diagrama de Blocos O sinal de cada ramo direto (de cada produto do somatório) depende das combinações dos sinais dos somadores contidos no ramo direto em questão. Para cada sinal + em um somador se contabiliza um +. Para cada sinal − em um somador se contabiliza um −. Por fim, o produto de todos estes sinais dará o sinal do ramo direto em questão. Simplificando na forma de equação: 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 = (±𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙) Diagrama de Blocos Pela Regra de Ouro, o denominador da função de transferência completa é igual a 1 mais o somatório dos produtos das funções de transferência contidas em cada contorno que representa uma possível malha fechada do sistema. O contorno de uma malha fechada é aquele que parte de um somador, segue o ramo direto (exclusivamente indo da esquerda para a direita), se ramifica, segue um ou mais ramos de realimentação (exclusivamente indo da direita para a esquerda) até voltar para o somador de origem. Vale ressaltar na hora de detectar todos os possíveis contornos de malha fechada, deve-se desprezar somadores e ramificações encontrados no caminho (tanto no ramo direto quanto nas realimentações). Diagrama de Blocos O sinal de cada contorno de malha fechada é formado pelo produto do sinal do ramo direto pelo sinal dos ramos de realimentação. O sinal do ramo direto segue a mesma regra vista no numerador: cada + no somador conta como + e cada − no somador conta como −; no final, faz-se o produto desses sinais. O sinal dos ramos de realimentação segue a regra da realimentação positiva ou negativa: para cada ramo de realimentação, um sinal − no somador conta como +; um sinal + no somador conta como −; no final, faz-se o produto dos sinais. Simplificando na forma de equação: 𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 = 1 + (±𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎) Diagrama de Blocos Exercício 5: Simplifique o diagrama de blocos do sistema abaixo usando a Regra de Ouro. Diagrama de Blocos Só existe um ramo direto no diagrama. Assim: 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 = +𝐺1𝐺2𝐺3𝐺4 Diagrama de Blocos Existem três contornos de malha fechada no sistema. Assim: 𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 = 1 + −𝐺3𝐺4𝐻1 + 𝐺2𝐺3𝐻2 + 𝐺1𝐺2𝐺3𝐺4𝐻3 Diagrama de Blocos A função de transferência completa é: Diagrama de Blocos Exercício 6: Simplifique o diagrama de blocos do sistema abaixo usando a Regra de Ouro. Diagrama de Blocos O sistema possui dois ramos diretos e um contorno de malha fechada. Assim: Diagrama de Blocos Exercício 7: Simplifique o diagrama de blocos do sistema abaixo usando a Regra de Ouro. Diagrama de Blocos Primeiramente, nota-se que o sistema possui somente um ramo direto. Assim: Em seguida, ao desprezar os somadores e as ramificações, nota-se que existem quatro contornos de malha fechada: um envolvendo somente 𝐻1 , outro envolvendo somente 𝐻2 , outro envolvendo somente 𝐻3 e um quarto envolvendo 𝐻1 e 𝐻2. Assim: 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 = +𝐺1𝐺2𝐺3𝐺4 𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 = 1 + +𝐺1𝐺2𝐻1 + 𝐺3𝐺4𝐻2 − 𝐺2𝐺3𝐻3 + 𝐺1𝐺2𝐺3𝐺4𝐻1𝐻2 Diagrama de Blocos A função de transferência completa é: Diagrama de Blocos A prova dos 9: Diagrama de Blocos A prova dos 9: Diagrama de Blocos Exercício 8: Simplifique o diagrama de blocos do sistema abaixo usando a Regra de Ouro. Diagrama de Blocos Nota-se que o sistema possui dois ramos diretos e quatro contornos de malha fechada. Assim: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑠 + 1/𝑠2 1 + 𝑠2 + 𝑠2 + 1/𝑠 + 1/𝑠 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑠 + 1/𝑠2 2𝑠2 + 1 + 2/𝑠 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑠3 + 1 2𝑠4 + 𝑠2 + 2𝑠 Diagrama de Blocos Exercício 9: Simplifique o diagrama de blocos do sistema abaixo usando a Regra de Ouro, considerando tanto a função de transferência da saída pela entrada ( 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠)) quanto a função de transferência da saída pelo distúrbio ( 𝐶(𝑠) 𝐷(𝑠)). Diagrama de Blocos Para resolver tal sistema, deve-se usar o princípio da superposição e avaliar isoladamente a influência de cada entrada na saída. Primeiramente, considera-se 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠). Para isso, elimina-se o distúrbio fazendo 𝐷 𝑠 = 0 no diagrama. Assim: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝐺𝑐𝐺1𝐺𝑝 + 𝐺𝑓𝐺1𝐺𝑝 1 + 𝐺𝑐𝐺1𝐺𝑝𝐻 De forma equivalente, considera-se 𝐶(𝑠) 𝐷(𝑠). Para isso, elimina- se a entrada, fazendo 𝑅 𝑠 = 0 no diagrama. Assim: 𝐶(𝑠) 𝐷(𝑠) = 𝐺𝑝 1 + 𝐺𝑐𝐺1𝐺𝑝𝐻 Diagrama de Blocos Exercício 10: Simplifique o diagrama de blocos do sistema abaixo usando a Regra de Ouro, considerando a influência de cada entrada em cada saída. Diagrama de Blocos Para cada par entrada-saída, elimina-se a outra entrada e a outra saída do sistema. Assim: Diagrama de Blocos Para cada par entrada-saída, elimina-se a outra entrada e a outra saída do sistema. Assim: Correlação com o Espaço de Estados Dado um sistema linear e invariante no tempo representado no espaço de estados (domínio do tempo), podendo ter quantas variáveis de estado quanto se queira, é possível obter a representação do sistema no domínio da frequência (função de transferência) através de simples operações matriciais. Vale ressaltar que um mesmo sistema pode ser representado por distintos espaços de estados, mas só terá uma única função de transferência. Considere as equações de estado e de saída de um sistema SISO: 𝒙(𝒕) = 𝑨𝒙(𝑡) + 𝑩𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝑪𝒙(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡) Correlação com o Espaço de Estados Aplicando a transformada de Laplace nas duas equações, chega-se a 𝒔𝑿 𝑠 = 𝑨𝑿 𝑠 + 𝑩𝑈 𝑠 , 𝑌 𝑠 = 𝑪𝑿 𝑠 + 𝐷𝑈 𝑠 . 𝒔𝑰 − 𝑨 𝑿 𝑠 = 𝑩𝑈 𝑠 → 𝑿 𝑠 = 𝒔𝑰 − 𝑨 −1𝑩𝑈(𝑠) 𝑌(𝑠) = 𝑪𝑿(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠) → 𝑌(𝑠) = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1𝑩𝑈(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠) Isolando o vetor 𝑿 𝑠 da primeira equação e substituindo na segunda, tem-se que: 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) = 𝐺 𝑠 = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1𝑩 + 𝐷 Correlação com o Espaço de Estados O único termo que envolve a componente 𝑠 é 𝒔𝑰 − 𝑨 −1. Portanto, somente este termo é capaz de gerar a equação característica do sistema (polinômio do denominador). Assim: O termo 𝑄(𝑠) é o polinômio numerador e depende de 𝑨, 𝑩, 𝑪 e 𝐷. Já o determinante 𝒔𝑰 − 𝑨 representa a equação característica. Assim, os autovalores de 𝑨 são idênticos aos polos de 𝐺(𝑠). 𝐺 𝑠 = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1𝑩 + 𝐷 = 𝑄(𝑠) 𝒔𝑰 − 𝑨 Correlação com o Espaço de Estados Exercício 11: Dado o sistema massa-mola-atrito abaixo representado no espaço de estados, encontre a função de transferência que relaciona a posição 𝑦 𝑡 com a força𝑢 𝑡 . Correlação com o Espaço de Estados O espaço de estados do sistema foi definido no Exemplo 1 da Aula 4: 𝒙 𝑡 = 0 1 − 𝑘 𝑚 − 𝑏 𝑚 𝑨 𝒙(𝑡) + 0 1 𝑚 𝑩 𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 = 1 0 𝑪 𝒙(𝑡) + 0 𝐷 𝑢 𝑡 A função de transferência é dada por: 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) = 𝐺 𝑠 = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1𝑩 + 𝐷 = 1 0 𝑠 −1 𝑘 𝑚 𝑠 + 𝑏 𝑚 −1 0 1 𝑚 Correlação com o Espaço de Estados Assim: 𝐺 𝑠 = 1 𝑠2 + 𝑏 𝑚 𝑠 + 𝑘 𝑚 1 0 𝑠 + 𝑏 𝑚 1 − 𝑘 𝑚 𝑠 0 1 𝑚 𝐺 𝑠 = 1 𝑠2 + 𝑏 𝑚 𝑠 + 𝑘 𝑚 1 𝑚 = 1 𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘 𝑚 𝑦 𝑡 + 𝑏 𝑦 𝑡 + 𝑘𝑦 𝑡 = 𝑢 𝑡 → 𝑌 𝑠 𝑈 𝑠 = 𝐺 𝑠 = 1 𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘 De forma equivalente: Correlação com o Espaço de Estados De forma equivalente ao sistema SISO, considere as equações de estado e de saída de um sistema MIMO: 𝒙(𝒕) = 𝑨𝒙(𝑡) + 𝑩𝒖(𝑡) 𝒚(𝑡) = 𝑪𝒙(𝑡) + 𝑫𝒖(𝑡) 𝒀 𝑠 = 𝑮 𝑠 𝑼 𝑠 → 𝑮 𝑠 = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1𝑩 + 𝑫 É possível encontrar uma matriz função de transferência 𝑮(𝑠) que relaciona todas as influências de cada entrada em cada saída: Correlação com o Espaço de Estados Dado um sistema linear e invariante no tempo representado por uma função de transferência (domínio da frequência), é possível obter representações do sistema no espaço de estados (domínio do tempo) através de simples manipulações algébricas da função de transferência. Vale ressaltar que um sistema representado por uma função de transferência pode ter distintas representações no espaço de estados, dependendo somente de como a manipulação algébrica é realizada. Dentre as diversas formas de conversão, três se destacam: conversão em cascata, em paralelo e a combinação das duas. Correlação com o Espaço de Estados Conversão em Cascata: Primeiramente, o numerador e o denominador da função de transferência são fatorados. Se o sistema possui ordem 𝑛 (𝑛 polos), então a função de transferência global é representada como um produto de 𝑛 funções de transferência (𝑛 blocos em cascata), cada uma contendo um polo do sistema e alguma parte do numerador (podendo ser um zero ou não). A primeira função de transferência relaciona a saída 𝐶 𝑠 = 𝑋1(𝑠) com uma variável de estado 𝑋2 𝑠 . A segunda relaciona 𝑋2 𝑠 com 𝑋3 𝑠 e assim sucessivamente. A última relaciona 𝑋𝑛 𝑠 com a entrada 𝑅 𝑠 . Correlação com o Espaço de Estados Conversão em Cascata: Assim, é possível aplicar a transformada inversa em cada função de transferência, de forma a obter um conjunto de 𝑛 equações de estado. Por fim, a relação 𝑐 𝑡 = 𝑥1 𝑡 representa a equação de saída do sistema. Este tipo de abordagem é bastante útil quando a função de transferência global do sistema não possui zeros, de forma a evitar que a equação de uma variável de estado dependa da derivada da outra variável de estado. Correlação com o Espaço de Estados Conversão em Cascata: 𝐺 𝑠 = 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝐾(𝑠 + 𝑧1)(𝑠 + 𝑧2) ⋯ (𝑠 + 𝑧𝑚) (𝑠 + 𝑝1)(𝑠 + 𝑝2)⋯ (𝑠 + 𝑝𝑛) 𝐺 𝑠 = 𝐾 (𝑠 + 𝑝1) 𝑋𝑛 𝑅 (𝑠 + 𝑧1) (𝑠 + 𝑝2) 𝑋𝑛−1 𝑋𝑛 ⋯ (𝑠 + 𝑧𝑚−1) (𝑠 + 𝑝𝑚) 𝑋𝑛−𝑚+1 𝑋𝑛−𝑚+2 ⋯ 1 (𝑠 + 𝑝𝑛) 𝑋1 𝑋2= 𝐶 𝑋2 𝑋𝑛(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝐾 𝑠 + 𝑝1 → 𝑠𝑋𝑛 𝑠 + 𝑝1𝑋𝑛 𝑠 = 𝐾𝑅 𝑠 ℒ−1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 → 𝑥𝑛 𝑡 = −𝑝1𝑥𝑛 𝑡 + 𝐾𝑟(𝑡) Correlação com o Espaço de Estados Conversão em Cascata: 𝑋𝑛−1(𝑠) 𝑋𝑛(𝑠) = 𝑠 + 𝑧1 𝑠 + 𝑝2 → 𝑠𝑋𝑛−1 𝑠 + 𝑝2𝑋𝑛−1 𝑠 = 𝑠𝑋𝑛 𝑠 + 𝑧1𝑋𝑛(𝑠) ℒ−1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 → 𝑥𝑛−1 𝑡 = −𝑝2𝑥𝑛−1 𝑡 + 𝑥𝑛 𝑡 + 𝑧1𝑥𝑛(𝑡) 𝑥𝑛−1 𝑡 = −𝑝2𝑥𝑛−1 𝑡 + 𝑧1 − 𝑝1 𝑥𝑛 𝑡 + 𝐾𝑟(𝑡) 𝑋1(𝑠) 𝑋2(𝑠) = 1 𝑠 + 𝑝𝑛 → 𝑠𝑋1 𝑠 + 𝑝𝑛𝑋1 𝑠 = 𝑋2 𝑠 ℒ−1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 → 𝑥1 𝑡 = −𝑝𝑛𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡 𝑐 𝑡 = 𝑥1 𝑡 Correlação com o Espaço de Estados Exercício 12: Converta a função de transferência abaixo para o espaço de estados usando a conversão em cascata. 𝐺 𝑠 = 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 24 (𝑠 + 2)(𝑠 + 3)(𝑠 + 4) Correlação com o Espaço de Estados Primeiramente, define-se as razões entre as variáveis de estado, entrada e saída: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 24 (𝑠 + 2) 𝑋3 𝑅 1 (𝑠 + 3) 𝑋2 𝑋3 1 (𝑠 + 4) 𝑋1 𝑋2= 𝐶 𝑋2 Abaixo, está a representação do sistema em diagrama de blocos, provando que ocorre a associação em cascata dos termos acima: Correlação com o Espaço de Estados Posteriormente, encontra-se as equações de estado ao realizar a transformada inversa de Laplace nos termos: 𝑋3(𝑠) 𝑅(𝑠) = 24 (𝑠 + 2) → 𝑥3 𝑡 = −2𝑥3 𝑡 + 24𝑟 𝑡 𝑋2(𝑠) 𝑋3(𝑠) = 1 (𝑠 + 3) → 𝑥2 𝑡 = −3𝑥2 𝑡 + 𝑥3 𝑡 𝑋1(𝑠) 𝑋2(𝑠) = 1 (𝑠 + 4) → 𝑥1 𝑡 = −4𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡 𝑐(𝑡) = 𝑥1(𝑡) Correlação com o Espaço de Estados Por fim, encontra-se as matrizes das equações de estado e de saída do sistema: 𝑨 = −4 1 0 0 −3 1 0 0 −2 , 𝑩 = 0 0 24 𝑪 = 1 0 0 , 𝑫 = 0 Correlação com o Espaço de Estados Conversão em Paralelo: Primeiramente, a função de transferência global do sistema é expandida em frações parciais. Se o sistema for de ordem 𝑛, então a função de transferência global é representada como uma soma de 𝑛 funções de transferência ( 𝑛 blocos em paralelo), cada uma contendo um polo do sistema. A saída, 𝐶 𝑠 , é igual à soma dos produtos das 𝑛 funções de transferência pela entrada única, 𝑅 𝑠 . O próximo passo é igualar cada um destes produtos a uma variável de estado, 𝑋𝑗(𝑠). Desta forma, todas as variáveis de estado dependem da entrada e a saída será igual à soma das variáveis de estado, 𝑋1 𝑠 + ⋯+ 𝑋𝑛(𝑠). Correlação com o Espaço de Estados Conversão em Paralelo: Em seguida, é possível aplicar a transformada inversa em cada função de transferência que relaciona uma variável de estado à entrada, de forma a obter um conjunto de 𝑛 equações de estado. Por fim, a relação 𝑐 𝑡 = 𝑥1 𝑡 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑡 representa a equação de saída do sistema. Este tipo de abordagem é bastante útil quando a função de transferência global do sistema não possui polos múltiplos, de forma a evitar que a equação de uma variável de estado dependa de suas múltiplas derivadas. Correlação com o Espaço de Estados Conversão em Paralelo: 𝐺 𝑠 = 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝐾(𝑠 + 𝑧1)(𝑠 + 𝑧2) ⋯ (𝑠 + 𝑧𝑚) (𝑠 + 𝑝1)(𝑠 + 𝑝2) ⋯ (𝑠 + 𝑝𝑛) 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑎1 (𝑠 + 𝑝1) 𝑋1 𝑅 + 𝑎2 (𝑠 + 𝑝2) 𝑋2 𝑅 + ⋯+ 𝑎𝑛 (𝑠 + 𝑝𝑛) 𝑋𝑛 𝑅 𝑋1(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑎1 𝑠 + 𝑝1 → 𝑠𝑋1 𝑠 + 𝑝1𝑋1 𝑠 = 𝑎1𝑅 𝑠 ℒ−1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 → 𝑥1 𝑡 = −𝑝1𝑥1 𝑡 + 𝑎1𝑟(𝑡) Correlação com o Espaço de Estados Conversão em Paralelo: 𝑋𝑛(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑎𝑛 𝑠 + 𝑝𝑛 → 𝑠𝑋𝑛 𝑠 + 𝑝𝑛𝑋𝑛 𝑠 = 𝑎𝑛𝑅 𝑠 ℒ−1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 → 𝑥𝑛 𝑡 = −𝑝𝑛𝑥𝑛 𝑡 + 𝑎𝑛𝑟(𝑡) 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑋1(𝑠) 𝑅(𝑠) + 𝑋2(𝑠) 𝑅(𝑠) + ⋯ + 𝑋𝑛 𝑠 𝑅 𝑠 → 𝐶 𝑠 = 𝑋1 𝑠 + 𝑋2 𝑠 + ⋯ + 𝑋𝑛 𝑠 ℒ−1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 → 𝑐 𝑡 = 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑡 Correlação com o Espaço de Estados Exercício 13: Converta a função de transferência abaixo para o espaço de estados usando a conversão em paralelo. 𝐺 𝑠 = 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 24 (𝑠 + 2)(𝑠 + 3)(𝑠 + 4) Correlação com o Espaço de Estados Primeiramente, realiza-se a expansão em frações parciais: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 12 (𝑠 + 2) − 24 (𝑠 + 3) + 12 (𝑠 + 4) Em seguida, encontra-se as razões entre as variáveis de estado e a entrada do sistema: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 12 (𝑠 + 2) 𝑋1 𝑅 + −24 (𝑠 + 3) 𝑋2 𝑅 + 12 (𝑠 + 4) 𝑋3 𝑅 Correlação com o Espaço de Estados Posteriormente, encontra-se as equações de estado ao realizar a transformada inversa de Laplace nos termos: 𝑋1(𝑠) 𝑅(𝑠) = 12 (𝑠 + 2) → 𝑥1 𝑡 = −2𝑥1 𝑡 + 12𝑟 𝑡 𝑋2(𝑠) 𝑅(𝑠) = −24 (𝑠 + 3) → 𝑥2 𝑡 = −3𝑥2 𝑡 − 24𝑟 𝑡 𝑋3(𝑠) 𝑅(𝑠) = 12 (𝑠 + 4) → 𝑥3 𝑡 = −4𝑥3 𝑡 + 12𝑟 𝑡 𝑐 𝑡 = 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡 + 𝑥3(𝑡) Correlação com o Espaço de Estados Por fim, encontra-se as matrizes das equações de estado e de saída do sistema: 𝑨 = −2 0 0 0 −3 0 0 0 −4 , 𝑩 = +12 −24 +12 𝑪 = 1 1 1 , 𝑫 = 0 Correlação com o Espaço de Estados Conversão em Cascata e Paralelo: Se necessário, sempre é possível fazer uma combinação das conversões em cascata e em paralelo. Estetipo de abordagem é útil quando se tem uma função de transferência com zeros e polos múltiplos. Por causa dos zeros, é interessante expandir a função em frações parciais, eliminando os zeros da representação. Como o sistema possui polos múltiplos, alguns termos das frações parciais conterão polos múltiplos. Então é possível usar a conversão em cascata somente nestes termos que possuem polos múltiplos. Nos outros termos de polos simples, a abordagem em paralelo é suficiente. Correlação com o Espaço de Estados Exercício 14: Converta a função de transferência abaixo para o espaço de estados usando as conversões em paralelo e em cascata. 𝐺 𝑠 = 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑠 + 3 (𝑠 + 1)2(𝑠 + 2) Correlação com o Espaço de Estados Primeiramente, realiza-se a expansão em frações parciais: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 2 (𝑠 + 1)2 − 1 (𝑠 + 1) + 1 (𝑠 + 2) Em seguida, encontra-se as razões entre as variáveis de estado e a entrada do sistema: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = −2 (𝑠 + 1) 𝑋1 𝑋2 −1 (𝑠 + 1) 𝑋2 𝑅 𝑋1 𝑅 + −1 (𝑠 + 1) 𝑋2 𝑅 + 1 (𝑠 + 2) 𝑋3 𝑅 Correlação com o Espaço de Estados Posteriormente, encontra-se as equações de estado ao realizar a transformada inversa de Laplace nos termos: 𝑋1(𝑠) 𝑋2(𝑠) = −2 (𝑠 + 1) → 𝑥1 𝑡 = −𝑥1 𝑡 − 2𝑥2 𝑡 𝑋2(𝑠) 𝑅(𝑠) = −1 (𝑠 + 1) → 𝑥2 𝑡 = −𝑥2 𝑡 − 𝑟 𝑡 𝑋3(𝑠) 𝑅(𝑠) = 1 (𝑠 + 2) → 𝑥3 𝑡 = −2𝑥3 𝑡 + 𝑟 𝑡 𝑐 𝑡 = 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡 + 𝑥3(𝑡) Correlação com o Espaço de Estados Por fim, encontra-se as matrizes das equações de estado e de saída do sistema: 𝑨 = −1 −2 0 0 −1 0 0 0 −2 , 𝑩 = 0 −1 +1 𝑪 = 1 1 1 , 𝑫 = 0 Função de Transferência com MATLAB O pacote de ferramentas de controle do MATLAB também permite que se represente sistemas a partir de suas funções de transferência. Assim, dada uma função de transferência 𝐺(𝑠), existem três formas de representá-la no MATLAB: >> num = [1 1 ]; den = [1 5 6]; % Diretamente pelos coeficientes dos polinômios 𝑁(𝑠) e 𝐷 𝑠 de 𝐺 𝑠 . >> G = tf(num, den); % Através da função ‘tf’ que converte os coeficientes em uma função de transferência em 𝑠. >> s = tf(‘s’); G = (s+1)/(s^2 + 5*s + 6); % Através da atribuição de ‘s’ e definindo a equação algébrica diretamente em Laplace. Função de Transferência com MATLAB Independente da forma que 𝐺(𝑠) foi representada, é possível obter as mesmas respostas temporais dos sistemas representados no espaço de estados: >> t = 0:Tpasso:Tfinal; % cria-se um vetor de tempo t >> y = impulse(num, den, t); y = impulse(G, t); % obtém a resposta para o vetor t >> y = step(num, den, t); y = step(G, t); % obtém a resposta para o vetor t >> u = sin(t); % define-se a entrada desejada >> y = lsim(num, den, u, t); y = lsim(G, u, t); % obtém-se a saída ‘y’ em função de ‘u’ Função de Transferência com MATLAB Exercício 15: Dado a função de transferência abaixo, use o MATLAB para obter as respostas ao impulso, ao degrau unitário e à função seno de amplitude unitária e frequência angular 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 usando as três representações apresentadas. 𝐺 𝑠 = 𝑠 + 1 (𝑠 + 2)(𝑠 + 3) Solução Material/Aula7_Exercicio15.m Função de Transferência com MATLAB Uma outra forma de representar um sistema em Laplace no MATLAB é fatorar (não é expandir em frações parciais) os polinômios do numerador e do denominador e representar o sistema pelos seus zeros, polos e ganho: >> zeros = [-1]; polos = [-2 -3]; ganho = 1; % Define diretamente os zeros, polos e ganho da função de transferência fatorada. >> G = zpk(zeros, polos, ganho); % A função ‘zpk’ converte os zeros, polos e ganho em uma função de transferência em 𝑠. >> y = impulse(G, t); % obtém a resposta para o vetor t >> y = step(G, t); % obtém a resposta para o vetor t >> y = lsim(G, u, t); % obtém-se a saída ‘y’ em função de ‘u’ Função de Transferência com MATLAB Exercício 16: Dado a função de transferência abaixo, use o MATLAB para obter as respostas ao impulso, ao degrau unitário e à função seno de amplitude unitária e frequência angular 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 usando a função ‘zpk’. 𝐺 𝑠 = 𝑠 + 1 (𝑠 + 2)(𝑠 + 3) Solução Material/Aula7_Exercicio16.m Diagrama de Blocos com MATLAB O pacote de ferramentas de controle do MATLAB também realiza associações de blocos em um diagrama de blocos, sendo cada bloco representado pelas sua função de transferência. Primeiramente, dois blocos são representados por meio de ‘num’ e ‘den’ e por meio de ‘tf’. Posteriormente, mostra-se como se faz a conversão ‘num’ e ‘den’ para ‘tf’ e vice-versa: >> num1 = [1 1]; den1 = [1 5 6]; % Bloco 1. >> num2 = [1 0]; den2 = [1 2 1]; % Bloco 2. >> G1 = tf(num1, den1); % Conversão num1 e den1 para G1. >> [num1, den1] = tfdata(G1, ‘v’); % Conversão G1 para num1 e den1. Diagrama de Blocos com MATLAB Associação em Cascata: >> [nums, dens] = series(num1, den1, num2, den2); % Associação em cascata. >> Gs = series(G1, G2); % Associação em cascata. >> Gs = G1*G2; % Associação em cascata. Associação em Paralelo: >> [nump, denp] = parallel(num1, den1, num2, den2); % Associação em paralelo. >> Gp = parallel(G1, G2); % Associação em paralelo. >> Gp = G1+G2; % Associação em paralelo. Diagrama de Blocos com MATLAB Malha Fechada: >> [numfb, denfb] = feedback(num1, den1, num2, den2, -1); % Associação em malha fechada, sendo o bloco 1 na malha direta (planta + controle) e o bloco 2 na malha de realimentação (sensor). O valor ‘-1’ indica que é uma realimentação negativa. Use ‘+1’ para realimentação positiva. >> Gfb = feedback(G1, G2, -1); % Malha fechada (realimentação negativa). >> Gfb = G1/(1+ G1*G2); % Malha fechada (realimentação negativa). Diagrama de Blocos com MATLAB Algumas observações importantes devem ser feitas: • Não use o comando ‘cloop’ (realimentação unitária), pois está obsoleto. Use ‘feedback’ no lugar. Exemplo: “cloop(G1,-1)” é equivalente à “feedback(G1, tf(1,1), -1)”; • Algumas vezes, um comando equivalente ao outro produz funções de transferência aparentemente distintas (com diferentes coeficientes e ordens). Na realidade, tais funções são equivalentes, sendo que muitas delas possuem zeros e polos iguais que não se cancelaram. Para comprovar a equivalência, use o comando ‘minreal’ nas duas funções de transferências. Tal comando cancela todos os polos e zeros iguais e mostra a mínima função de transferência possível. Diagrama de Blocos com MATLAB Exercício 17: Dados dois blocos representados pelas suas funções de transferências, faça as associações em cascata, em paralelo e em malha fechada (realimentação negativa) usando todas as possíveis representações e comprovando que elas são equivalentes. 𝐺1 𝑠 = 10 𝑠2 + 2𝑠 + 10 𝐺2 𝑠 = 5 𝑠 + 5 Solução Material/Aula7_Exercicio17.m Diagrama de Blocos com MATLAB Exercício 18: Simplifique o diagrama de blocos do sistema abaixo, usando o MATLAB. 𝐺1 𝑠 = 1 𝑠 + 10 , 𝐺2 𝑠 = 1 𝑠 + 1 , 𝐺3 𝑠 = 𝑠 + 1 𝑠 + 6 𝐻1 𝑠 = 𝑠 + 3 𝑠 + 2 𝑒 𝐻2 𝑠 = 2. Diagrama de Blocos com MATLAB Primeiramente, usa-se o MATLAB para se obter sucessivas simplificações usando os comandos ‘series’, ‘parallel’ e ‘feedback’. Aqui o bloco 𝐺1 foi deslocado à direita do somador. H2G1 Solução Material/Aula7_Exercicio18.m Diagrama de Blocos com MATLAB Em seguida, a malha fechada é simplificada de forma a permitir que 𝐺1𝐺2𝐻1, 𝐺3 e 𝐻2𝐺1 formem uma nova malha fechada: G1G2H1 Diagrama de Blocos com MATLAB Em seguida, a nova malha fechada é simplificada, fazendo surgir a última malha fechada do sistema (𝐺1𝐺2𝐺3𝐻1𝐻2 e a realimentação unitária): G1G2G3H1H2 Diagrama de Blocos com MATLAB A última malha fechada é resolvida, encontrando a função de transferência do sistema (𝐺𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙). Depois disso, obtém-se também as sucessivas simplificações usando comandos de produto e divisão. Por fim, obtém-se a simplificação usando a regra de ouro. Gfinal Representações de Sistemas no MATLAB O pacote de ferramentas de controle do MATLAB também realiza conversões entre um tipo de representaçãode sistema e outro. Os três tipos de representação de um sistema são: o espaço de estados (comando ‘ss’), a função de transferência (comando ‘tf’) e zeros, polos e ganho (comando ‘zpk’). As representações são feitas da seguinte forma no MATLAB: >> Gss = ss(A, B, C, D); % Representação em ‘ss’. >> Gtf = tf(num, den); % Representação em ‘tf’. >> Gzpk = zpk(zeros, polos, ganho); % Representação em ‘zpk’. Representações de Sistemas no MATLAB As conversões são feitas da seguinte forma no MATLAB: >> Gtf2ss = ss(Gtf); % Conversão para ‘ss’. >> Gzpk2ss = ss(Gzpk); % Conversão para ‘ss’. >> [A, B, C, D] = ssdata(Gtf2ss); [A, B, C, D] = ssdata(Gzpk2ss); % Obtenção das matrizes do espaço de estados. >> Gss2tf = tf(Gss); % Conversão para ‘tf’. >> Gzpk2tf = tf(Gzpk); % Conversão para ‘tf’. >> [num, den] = tfdata(Gss2tf, ‘v’); [num, den] = tfdata(Gzpk2tf, ‘v’); % Obtenção dos coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência. Representações de Sistemas no MATLAB As conversões são feitas da seguinte forma no MATLAB (continuação): >> Gss2zpk = zpk(Gss); % Conversão para ‘zpk’. >> Gtf2zpk = zpk(Gtf); % Conversão para ‘zpk’. >> [zeros, polos, ganho] = zpkdata(Gss2zpk); % Obtenção dos zeros, polos e ganho da função de transferência. >> [zeros, polos, ganho] = zpkdata(Gtf2zpk); % Obtenção dos zeros, polos e ganho da função de transferência. Diagrama de Blocos com MATLAB Exercício 19: Mostre que as representações no espaço de estados dos Exercícios 12 e 13 são equivalentes à representação da função de transferência como zeros, polos e ganho. Solução Material/Aula7_Exercicio19.m Diagrama de Blocos com MATLAB Exercício 20: Converta a representação em espaço de estados em função de transferência, considerando um sistema de duas entradas e duas saídas. Solução 𝑨 = 0 1 −25 −1 , 𝑩 = 1 1 0 1 𝑪 = 1 0 0 1 , 𝑫 = 0 0 0 0 Material/Aula7_Exercicio20.m
